1T eksamen våren 017 løsningsforslag Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 0,710 6010 8 8 6 710 7 6 7 1 14 7 10 10 1 10 1, 10 610 6 Oppgave (1 poeng) Regn ut 4 ( ) 0 6 1 1 1 8 9 Oppgave ( poeng) Regn ut og skriv svaret så enkelt som mulig 0 5 160 1610 16 5 4 5 5 4 5 5 4 5 5 5 5 4 5 5 Eksamen MAT101 Matematikk 1T Våren 017 Side 1 av 18
Oppgave 4 ( poeng) Løs likningssystemet x y 4 x y y x x x x x x x 4x 0 1 4 4 4 4 x x 0 x x 0 Løsningen x1 0 gir y1 0, og løsningen x gir y 0. Likningssystemet har altså løsningene x1 0 y1 x y 0. Oppgave 5 ( poeng) Løs likningen lg x 0 4 lgx 4 10 10 0 x 1 4 1 x 4 1 x 4 1 x Begge løsningene er gyldige, da x 0 for begge løsningene. 4 Eksamen MAT101 Matematikk 1T Våren 017 Side av 18
Oppgave 6 ( poeng) Skriv så enkelt som mulig 1 x5 x6 x x 1 x x 1 x 1 x 5 x x 6 x x 1 x 1 x x x x x x x x x1 1 1 5 6 x x x x x x1 x 1 5 6 x x1 x1 x5 x x1 x 5 x 6x5 Bruker nullpunktmetoden og faktoriserer x 6x 5 1 6 6 415 6 4 x som gir x 1 x 5 1 Dette gir x 6x 5 x 1x 5. Eksamen MAT101 Matematikk 1T Våren 017 Side av 18
Oppgave 7 (4 poeng) Ved en skole leser 80 % av elevene aviser på nett, 50 % leser papiraviser, og % leser ikke aviser. a) Systematiser opplysningene gitt i teksten ovenfor i et venndiagram eller i en krysstabell. Nedenfor har vi systematisert opplysningene både i Venn-diagram og krysstabell. Løsningen krever kun en av metodene. Venn-diagram: % U = 100 % Leser på nett 48 % % Leser på papir 18 % Krysstabell: b) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev ved skolen leser både aviser på nett og papiraviser. Vi ser av tabellen ovenfor at % av elevene ved skolen leser både aviser på nett og papiraviser. Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev ved skolen leser både aviser på nett og papiraviser blir dermed %. En elev ved skolen leser aviser på nett. På nett Ikke på nett Sum Papir % 18 % 50 % Ikke papir 48 % % 50 % Sum 80 % 0 % 100 % c) Bestem sannsynligheten for at denne eleven ikke leser papiraviser. Vi ser av tabellen ovenfor at 48 % av elevene som leser aviser på nett, ikke leser papiraviser. Sannsynligheten for at denne eleven ikke leser papiraviser, blir dermed 48 % 6 0,6 60 % 80% 10 Eksamen MAT101 Matematikk 1T Våren 017 Side 4 av 18
Oppgave 8 ( poeng) Om en rettvinklet trekant får du vite: Lengden av den korteste siden er 0. Differansen mellom lengdene av de to andre sidene er. Hvor lang er den lengste siden i denne trekanten? Vi setter den lengste kateten lik x og hypotenus lik x. Pytagoras læresetning gir x 0 x 400 x x 4x 4 4x 96 x 99 Den lengste siden i trekanten er 99 101. Oppgave 9 (4 poeng) En funksjon f er gitt ved f x x x x ( ) a) Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til i intervallet Gjennomsnittlig vekstfart er gitt ved f,0 f x f x f x x x x 1 1 f 0 f 8 1 4 5 4 0 Den gjennomsnittlige vekstfarten til f i intervallet, 0 er 4. b) Bestem den momentane vekstfarten til f når x. Vi deriverer f x og finner f f x x 6x f 6 1 1 Den momentane vekstfarten til f når x er. Eksamen MAT101 Matematikk 1T Våren 017 Side 5 av 18
Oppgave 10 ( poeng) I koordinatsystemet ovenfor har vi tegnet grafen til en tredjegradsfunksjon f. Bruk den grafiske framstillingen til å løse ulikhetene a) fx ( ) 0 Vi ser av grafen til f at f x 0 for x 4. b) f( x) 0 Vi ser at grafen til f stiger fram til x 1. Fra x 1 og fram til x synker grafen. Fra x stiger grafen igjen. Det betyr at f x 0 for x 1 og for x. Eksamen MAT101 Matematikk 1T Våren 017 Side 6 av 18
Oppgave 11 (8 poeng) Funksjonen f er gitt ved f x x x ( ) 4 a) Bestem nullpunktene til f. x 4x 0 4 4 4 1 x 1 4 x x 1 x 1 Grafen til f er symmetrisk om en linje. b) Tegn grafen til f sammen med linjen i et koordinatsystem. Grafen til f har en tangent med stigningstall. c) Bestem likningen for denne tangenten. Tegn tangenten i det samme koordinatsystemet som du brukte i oppgave b). f x x 4 x f 4 0 Vi bruker ettpunktsformelen og finner likningen for tangenten. 1 0 x y f x f x x x y y x6 Tangenten (blå) er tegnet i grafen nedenfor. Eksamen MAT101 Matematikk 1T Våren 017 Side 7 av 18
Tangenten fra oppgave c) skjærer linjen i punktet P. Grafen til f har en annen tangent som også går gjennom punktet P. d) Skisser denne tangenten i samme koordinatsystem som du har brukt tidligere i oppgaven. Bestem likningen for tangenten grafisk. Tangenten (rød) er skissert i koordinatsystemet ovenfor. Vi ser at stigningstallet til denne tangenten er, og at tangenten skjærer y-aksen i 0,. Likningen for denne tangenten blir dermed y x. e) Gjør beregninger og avgjør om likningen du fant i oppgave d), er riktig. Likningen vi fant i d), har stigningstall og skjærer y-aksen i 0,. Er likningen riktig, må disse betingelsene være oppfylt. Vi sjekker stigningstallet: f1 1 4 4, dette stemmer. Vi sjekker konstantleddet. Vi vet at tangenten skal gå gjennom, dette punktet og sjekker: y ax b b b. Vi bruker Vi finner at stigningstallet er, og at konstantleddet er. Likningen i d) er riktig. Eksamen MAT101 Matematikk 1T Våren 017 Side 8 av 18
Oppgave 1 (5 poeng) a) Bruk PQR ovenfor til å vise at sin0 1 cos0 tan0 Vi finner først siden PQ. PQ 1 PQ PQ 41 sin 0 QR PR 1 PQ PR cos 0 tan 0 QR 1 1 PQ Videre i oppgaven kan du få bruk for noen av disse trigonometriske verdiene. I ABC er AB, AC 4 og A 0 b) Bestem arealet av ABC. Vi bruker arealsetningen for trekanter og finner arealet av ABC. Areal blir: 1 AB AC sin0 1 4 1 c) Vis at BC BC BC BC 5 4 4 16 0 0 8 BC 45 BC 5 Eksamen MAT101 Matematikk 1T Våren 017 Side 9 av 18
Tid: timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave 1 (7 poeng) Funksjonen f gitt ved f x x x x ( ) 0,0047 0,40 8, 86 x 0,5 viser fyllingsgraden fx ( ) prosent i et vannmagasin x uker etter 1. januar 016. a) Bruk graftegner til å tegne grafen til f. Vi tegner grafen til f i GeoGebra. Eksamen MAT101 Matematikk 1T Våren 017 Side 10 av 18
b) I hvor mange uker var fyllingsgraden høyere enn 60 %? Vi legger inn en linje y 60 og finner skjæringspunktene A og B mellom denne linjen og grafen til f ved å bruke verktøyet «Skjæringer mellom to objekt» i GeoGebra, se nedenfor. Vi leser av og finner at fyllingsgraden er lavere enn 60 % fra,8 uke etter nyttår fram til uke 6,7 etter nyttår, altså i ca. uker. Det betyr at fyllingsgraden er høyere enn 60 % i ca. 9 uker i løpet av 016. c) I hvilken uke var fyllingsgraden lavest? Hvor stor del av vannmagasinet var fylt da? Vi bruker verktøyet «Ekstremalpunkt» i GeoGebra og finner bunnpunktet 1.67, 5.8, se punkt C ovenfor. Fyllingsgraden var lavest et stykke ut i uke 14, og den var da på ca. 5 %. (Legg merke til at uke 1 er fra 0 1, så uke 14 blir i intervallet 1 14 ). Eksamen MAT101 Matematikk 1T Våren 017 Side 11 av 18
d) Bestem likningen for tangenten til grafen til f i punktet (, f ()). Hva forteller stigningstallet til denne tangenten om fyllingsgraden i vannmagasinet? Vi bruker verktøyet «Tangenter» i GeoGebra og tegner tangenten til grafen til f i punktet, f, se nedenfor. Likningen for tangenten er y,48 x 7,51. Stigningstallet til tangenten er,48. Dette taller forteller oss at uker etter nyttår er fyllingsgraden i vannmagasinet i ferd med å øke med,48 prosentpoeng i uka. Oppgave ( poeng) To voksne og tre barn betaler til sammen 50 kroner for billetter til en kinoforestilling. En voksenbillett koster 40 kroner mer enn en barnebillett. Hvor mye koster en barnebillett, og hvor mye koster en voksenbillett? Vi lar x stå for en voksenbillett og y for en barnebillett. Vi setter opp to likninger og løser likningene ved hjelp av CAS i GeoGebra, se nedenfor. En voksenbillett koster 18 kroner, og en barnebillett koster 88 kroner. Eksamen MAT101 Matematikk 1T Våren 017 Side 1 av 18
Oppgave ( poeng) Linjediagrammet ovenfor viser hvordan andelen dagligrøykere ved en bedrift har avtatt i perioden 000 017. a) Bestem en lineær modell som tilnærmet beskriver utviklingen. En lineær modell er gitt på formen y ax b. Vi ser at i løpet av 17 år synker antall dagligrøykere fra 0 % til 14 %. 16 Stigningstallet a er dermed 1. 17 En lineær modell som beskriver utvikling, er da gitt ved y x 0. b) Når vil andelen dagligrøykere ved bedriften være 5 % ifølge modellen i oppgave a)? Vi løser likningen fra a) og finner: x 0 5 x 5 Ifølge modellen vil antall dagligrøykere være 5 % i 05. Eksamen MAT101 Matematikk 1T Våren 017 Side 1 av 18
Oppgave 4 (4 poeng) Ved et meieri blir det oppdaget en feil ved en av maskinene som skrur korker på kartongene. På kjølelageret er det 00 kartonger med lettmelk og 100 kartonger med helmelk. 5 av kartongene med lettmelk og 1 4 av kartongene med helmelk har ikke tett kork. Tenk deg at du skal ta en kartong tilfeldig fra kjølelageret. a) Bestem sannsynligheten for at kartongen ikke har tett kork. Vi velger å systematisere opplysningene i en krysstabell. Kartong med lettmelk som ikke har tett kork: 00 80 5 1 Kartong med helmelk som ikke har tett kork: 100 5 4 Lettmelk Helmelk Sum Tett kork 10 75 195 Ikke tett kork 80 5 105 Sum 00 100 00 Fra tabellen ser vi at 105 av 00 kartonger ikke har tett kork. Sannsynligheten blir 105 7 0,5 5%. 00 0 Anta at du tar en kartong som ikke har tett kork. b) Bestem sannsynligheten for at kartongen inneholder lettmelk. Vi ser av tabellen ovenfor at det er 105 kartonger til sammen som ikke har tett kork. Videre ser vi at 80 av disse kartongene er lettmelk. Sannsynligheten blir dermed 80 16 0,76 76,%. 105 1 Eksamen MAT101 Matematikk 1T Våren 017 Side 14 av 18
Oppgave 5 ( poeng) Gitt trekanten ovenfor. Bruk CAS til å bestemme s. Vi velger å bruke CAS i GeoGebra og bestemmer s ved hjelp cosinussetningen, se nedenfor. I denne oppgaven er det kun den positive løsningen som er mulig. Det betyr at 8 s. Eksamen MAT101 Matematikk 1T Våren 017 Side 15 av 18
Oppgave 6 ( poeng) En funksjon f er gitt ved Bruk CAS til å f x x ax a x a ( ), 0 vise at grafen til f har et nullpunkt og et stasjonært punkt i Pa (, 0) avgjøre om P er et toppunkt, et bunnpunkt eller et terrassepunkt I linje 1 definerer vi funksjonen f. Linje og viser at grafen til f har et nullpunkt i a,0. I linje finner vi at den momentane veksthastigheten til f er 0 for 1 x a og for x a. I linje 5 og 6 tar vi stikkprøver og sjekker veksthastigheten på begge sider av a. Her er det viktig at vi tar en stikkprøve mellom 1 og a a. På grunnlag av stikkprøvene ser vi at det stasjonære punktet P a,0 er et bunnpunkt. Eksamen MAT101 Matematikk 1T Våren 017 Side 16 av 18
Oppgave 7 (4 poeng) Figuren ovenfor viser en halvsirkel med sentrum i B og radius R en halvsirkel med sentrum i C og radius r en kvart sirkel med sentrum i A og radius R De to halvsirklene tangerer hverandre i punktet D. Punktet D ligger på linjen gjennom B og C. a) Bruk Pytagoras setning til å vise at r R. Vi har at AB R, AC R r og BC R r. Bruker CAS og finner r. b) Bruk CAS til å bestemme arealet av det blå området på figuren uttrykt ved R. Vi bestemmer arealet av kvartsirkelen og trekker fra de to halvsirklene, se linje og 4. Eksamen MAT101 Matematikk 1T Våren 017 Side 17 av 18
Kilder Oppgavetekst med grafiske framstillinger og bilder: Utdanningsdirektoratet. Eksamen MAT101 Matematikk 1T Våren 017 Side 18 av 18