Eksamen Matematikk 2P-Y Høsten 2015 Tid: 2 timer Hjelpemiddel: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Oppgave 1 (1 poeng) Prisen på en vare er satt ned med 30 %. I dag koster varen 280 kroner. Hvor mye kostet varen før prisen ble satt ned? Vekstfaktoren er 100 30 70 0,7 100 100 Ny pris Opprinnelig pris vekstfaktor 280 kr Opprinnelig pris 0,7 Opprinnelig pris 400 kr Varen kostet 400 kroner før prisen ble satt ned. Oppgave 2 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 9 3 9 3 6 7 3,4 10 4,0 10 3,4 4,0 10 13,6 10 1,36 10 Oppgave 3 (1 poeng) Regn ut 4 2 3 6 0 2 4 2 3 4 2 6 ( 2) 4 3 2 4 (2 2 ) 3 2 4 2 2 3 2 4 2 6 4 2 2 4 1 Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2015 - løsning Side 1 av 20
Oppgave 4 (2 poeng) For 10 år siden vant Lea i Lotto. Hun opprettet en konto i banken og satte inn hele gevinsten. Beløpet har stått urørt på kontoen siden. Renten har hele tiden vært 3,2 % per år. I dag har Lea 500 138 kroner på kontoen. Sett opp et uttrykk som du kan bruke til å regne ut hvor stor gevinsten til Lea var. Vekstfaktoren er 1,032. Vi får uttrykket: Gevinst 1,032 10 500138 kr 500138 kr Gevinst 10 1,032 Gevinst 500138 kr 1,032 10 Oppgave 5 (2 poeng) Omkretsen av jordkloden ved ekvator er ca. 40 000 km. Tenk deg at voksne og barn står hånd i hånd og danner en ring rundt jordkloden. Hver person favner i gjennomsnitt 1,6 m. Omtrent hvor mange personer må stå hånd i hånd for å nå rundt jordkloden ved ekvator? Skriv svaret på standardform. 3 40000 10 m 7 4 10 m 1,6 m 1 16 10 m 1 16 10 m 4 40000 km 1 10 0,25 10 2,5 10 7 ( 1) 8 7 Omtrent 7 2,5 10 mennesker må stå hånd i hånd for å nå rundt hele jordkloden ved ekvator. Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2015 - løsning Side 2 av 20
Oppgave 6 (3 poeng) Alder Bedrift A Frekvens Bedrift B Frekvens 20,40 52 35 40,60 36 45 60,70 12 20 Sum 100 100 Hver av de to bedriftene A og B har 100 ansatte. Tabellen ovenfor viser aldersfordelingen for de ansatte i bedriftene. a) I hvilken bedrift er medianalderen lavest? Grunngi svaret. Medianen blir gjennomsnittsalderen til ansatt nr. 50 og 51 når de plasseres i stigende rekkefølge. I bedrift A finner vi disse to i aldersintervallet 20,40, mens vi finner de i intervallet i 40,60 bedrift B. Medianalderen er derfor lavest i bedrift A. b) Bestem gjennomsnittsalderen for de ansatte i bedrift B. 30 35 50 45 65 20 1050 2250 1300 4600 46 100 100 100 Gjennomsnittsalderen for ansatte i bedrift B er 46 år. Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2015 - løsning Side 3 av 20
Oppgave 7 (3 poeng) Sebastian har to jukseterninger. To sider på hver av terningene har seks øyne, én side har fire øyne, én side har tre øyne, én side har to øyne, og én side har ett øye. Sebastian kaster begge terningene. a) Bestem sannsynligheten for at han får to seksere. 1 P(1) 6 1 P(2) 6 1 P(3) 6 1 P(4) 6 P(5) 0 2 1 P(6) 6 3 1 1 1 P(to seksere) 3 3 9 Sannsynligheten for at Sebastian får to seksere er 1/9. b) Bestem sannsynligheten for at summen av antall øyne blir sju. Dette kan skje på følgende måter: 1-6, 3-4, 4-3 og 6-1. 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 6 1 P(summen blir 7) 6 6 6 6 6 6 6 6 36 36 6 Sannsynligheten for at summen av antall øyne blir 7 er 1/6. Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2015 - løsning Side 4 av 20
Oppgave 8 (2 poeng) Lars observerer en bakteriekultur. Fra han startet observasjonene, har antall bakterier avtatt eksponentielt. Se grafen til funksjonen B ovenfor. Bestem vekstfaktoren og sett opp utrykket for B(). Alternativ 1: Vi ser at antall bakterier starter med 10 000. Den førte timen avtar antallet med 1000, fra 10 000 til 1000 9 000. Det tilsvarer 0,1 10% 10000 Siden B avtar eksponentielt, avtar antall bakterier med 10 % for hver time. 10 Vekstfaktoren 1 1 0,1 0,9 100 B Det betyr at 10 000 0,9 Alternativ 2: Siden B avtar eksponentielt, kan vi skrive B a b B 0 10 000. Det betyr at Grafen viser at ab 0 10 000 a 1 10 000 a 10 000 Vi ser videre at B 1 9 000. Det betyr at 1 10000 b 9 000 9 000 b 0,9 10 000 Vekstfaktoren 0,9 b og B 10 000 0,9 hvor b er vekstfaktoren. Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2015 - løsning Side 5 av 20
Oppgave 9 (5 poeng) Diagrammene ovenfor viser hvordan karakterene i klasse 1A og 1B fordelte seg ved forrige matematikkprøve. a) Bestem gjennomsnittskarakteren i hver av de to klassene. 1A: 1 5 2 4 3 2 4 1 5 3 6 5 5 8 6 4 15 30 68 34 3,4 20 20 20 10 1 1 2 3 3 5 4 6 5 4 6 1 1 6 15 24 20 6 72 36 1B: 3,6 20 20 20 10 Gjennomsnittskarakteren er 3,4 i 1A og 3,6 i 1B. b) I hvilken klasse er standardavviket for karakterfordelingen størst? Grunngi svaret. I 1B har de fleste en karakter i nærheten av gjennomsnittet, mens det er motsatt i 1A; her har mange fått karakterene 1, 2, 5 og 6. Standardavviket er derfor større i 1A enn i 1B. c) Bestem den kumulative frekvensen for karakteren 3 i hver av de to klassene. Kumulativ frekvens for 3 i 1A = 5 4 2 11 Kumulativ frekvens for 3 i 1B 1A = 1 3 5 9 Bestem den relative frekvensen for karakteren 6 i hver av de to klassene. 5 Relativ frekvens for 6 i 1A = 100 % 25 % 20 Relativ frekvens for 6 i 1B = 1 100 % 5 % 20 Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2015 - løsning Side 6 av 20
Oppgave 10 (4 poeng) Hos familien Vassdal er termostaten i varmtvannstanken satt til 70 C. Når familien bruker varmtvann fra tanken, renner kaldt vann inn, og gjennomsnittstemperaturen på vannet i tanken avtar. Varmeelementet slår seg da automatisk på, og vannet varmes opp igjen. Grafen ovenfor viser hvordan temperaturen i tanken varierte en morgen. Det varme vannet ble bare brukt til å dusje. a) Hvor mange familiemedlemmer dusjet denne morgenen? Temperaturen i vannet synker hver gang en person dusjer. Fire familiemedlemmer dusjet denne morgenen. Datteren Vanda var den som brukte lengst tid i dusjen. b) Hvor lenge dusjet hun? Vanda dusjet fra kl. 06:25 til ca. kl. 06:37. Vanda dusjet i ca. 12 minutter. Da familien forlot hjemmet klokka 7.30, var temperaturen i varmtvannstanken 58 C. c) Hvor lang tid tok det før temperaturen var steget til 70 C igjen? Dersom temperaturen fortsetter å stige lineært, ser jeg av grafen at den bruker 20 minutter på 2 grader (fra kl. 07:10 til kl. 07:30). Stigningstallet er da 2 0,1 20 Temperaturen stiger med 0,1 grader i minuttet. Dermed tar det 120 minutter for vannet og stige 12 grader (fra 58 C til 70 C). Det tok to timer før vannet var steget til 70 C igjen. Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2015 - løsning Side 7 av 20
Tid: 3 timer Hjelpemidler: Alle hjelpemiddel er tillat, unntak Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave 1 (3 poeng) Tabellen ovenfor gir en oversikt over de viktigste varmekildene for husstander i ulike deler av Norge. Bruk regneark til å lage ett diagram der du presenterer opplysningene i tabellen på en oversiktlig måte. Jeg skriver av tabellen i Ecel. Deretter markerer jeg tabellen, og velger kommandoen «sett inn stående stolpediagram». Viktigste varmekilder for husstander i ulike deler av Norge 70,0 % 60,0 % 50,0 % 40,0 % 30,0 % 20,0 % 10,0 % 0,0 % Oslo Østlandet for øvrig Sør-Norge Vestlandet Midt-Norge Nord-Norge Elektriske ovner Varmepumper Vannbåren varme Sentralvarme Vedfyring Annet eller vet ikke Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2015 - løsning Side 8 av 20
Oppgave 2 (4 poeng) Funksjonene G og J gitt ved G( ) 0,0030 3 0,088 2 1,17 3,7 0 12 3 2 J( ) 0,0017 0,057 0,93 3,7 0 12 viser hvordan vekten til to babyer, Geir og Janne, utviklet seg det første leveåret. Geir veide G() kilogram, og Janne veide J() kilogram måneder etter fødselen. a) Bruk graftegner til å tegne grafen til G og grafen til J i samme koordinatsystem. Jeg tegner grafene i GeoGebra: Hvor mange kilogram la hver av de to babyene på seg i løpet av det første leveåret? Bruker CAS i GeoGebra til å regne ut hvor mye de veier etter 12 måneder Det første leveåret la Geir på seg 6,6 kg og Janne 5,9 kg. Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2015 - løsning Side 9 av 20
Oppgave 3 (6 poeng) Tabellen nedenfor viser hvor mange nye elbiler som ble solgt i Hordaland i 2010 og 2014. År 2010 2014 Antall nye elbiler 26 2962 a) La være antall år etter 2010. Bruk opplysningene i tabellen til å bestemme en eksponentiell modell f() for elbilsalget i Hordaland. Jeg lar være antall år etter 2010, og lager følgende tabell i regnearket i GeoGebra: Jeg markerer så disse fire cellene, og bruker kommandoen «lag liste med punkt». Listen får da navnet Liste1, og jeg bruker kommandoen RegEksp[Liste1] til å finne en eksponentiell modell f() for elbilsalget i Hordaland. Jeg får da følgende modell: f ( ) 26 3,27 b) Hvor mange prosent steg elbilsalget per år i perioden fra 2010 til 2014 ifølge modellen fra oppgave a)? Vekstfaktoren er 3,27. Det svarer til en prosentvis økning på 227 %. Ifølge denne modellen steg elbilsalget med 227 % hvert år i perioden 2010 til 2014. Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2015 - løsning Side 10 av 20
Diagrammet ovenfor viser utviklingen i salget av nye elbiler i Hordaland i perioden 2010 2014. c) Gjør beregninger og vurder om modellen fra oppgave a) er en god modell for å beskrive denne utviklingen. Jeg regner ut f(1), f(2) og f(3) i CAS i GeoGebra. Vi ser at disse tre beregningene fra modellen stemmer nokså dårlig med tallene fra diagrammet over, spesielt for 2011 og 2012. Det er lite trolig at det selges over 3,6 millioner elbiler i Hordaland i 2020. Modellen er ikke god for å beskrive utviklingen. Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2015 - løsning Side 11 av 20
Oppgave 4 (4 poeng) Vi lar den røde streken være skillet mellom Vestlandet og Sør-Østlandet. a) Bruk regneark til å bestemme gjennomsnitt og standardavvik for sterkeste middelvind på Vestlandet og sterkeste middelvind på Sør-Østlandet. Jeg skriver tallene fra Vestlandet og Sør-Østlandet inn i to kolonner i et regneark i GeoGebra. Jeg markerer så hver av kolonnene, og velger kommandoen «lag liste med punkt». Listen med temperaturer fra Vestlandet får da navnet Liste1, mens listen med temperaturer fra Sør-Østlandet får navnet Liste2. Jeg bruker så kommandoene Gjennomsnitt[Liste1], Standardavvik[Liste1], Gjennomsnitt[Liste2], Standardavvik[Liste2]. Gjennomsnitt for sterkeste middelvind på Vestlandet var 29,9, med et standardavvik på 3,9. Gjennomsnitt for sterkeste middelvind på Sør-Østlandet var 24,4, med et standardavvik på 2,6. b) Hva forteller svarene i oppgave a) om sterkeste middelvind på Vestlandet sammenliknet med sterkeste middelvind på Sør-Østlandet? Det var i snitt en sterkere middelvind på Vestlandet enn på Sør-Østlandet. Det var også større variasjoner i vindstyrken på Vestlandet. Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2015 - løsning Side 12 av 20
Oppgave 5 (4 poeng) Tenk deg at du oppretter en BSU-konto 1. januar neste år og setter inn 25 000 kroner. Du setter inn 25 000 kroner 1. januar de neste sju årene også. Renten er 4,7 % per år. a) Lag et regneark som gir en oversikt over hvor mye du vil ha på kontoen ved slutten av hvert år disse åtte årene Oversikt over kontobeholdning og formler som er brukt Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2015 - løsning Side 13 av 20
b) Hvor mye vil du få til sammen i renter i løpet av disse åtte årene? Jeg vil til sammen få 47 281,80 kr i renter i løpet av disse åtte årene. Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2015 - løsning Side 14 av 20
Oppgave 6 (4 poeng) I en rundspørring svarte 25 % at kantinetilbudet er viktig ved valg av arbeidsgiver. 32 % av mennene og 18 % av kvinnene som deltok i rundspørringen, svarte at god kantine er viktig. Anta at det var like mange menn som kvinner som deltok i rundspørringen. a) Systematiser opplysningene i teksten ovenfor i en krysstabell eller i et venndiagram. Må først finne ut hvor mange prosent av det totale antallet disse mennene og kvinnene utgjør: 0,32 0,50 0,16 0,18 0,50 0,09 Krysstabell: Kantinetilbudet er viktig Kantinetilbudet er ikke viktig Sum Menn 16 % 34 % 50 % Kvinner 9 % 41 % 50 % Sum 25 % 75 % 100 % b) Bestem sannsynligheten for at en person som deltar i rundspørringen, er en kvinne som synes kantine er viktig. Sannsynligheten for at en person som deltar er en kvinne som synes kantine er viktig er 9 %. c) Bestem sannsynligheten for at en person som svarer at kantine er viktig, er en mann. P(mann synes kantine er viktig) 16 100 % 64 % 25 Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2015 - løsning Side 15 av 20
Oppgave 7 (5 poeng) Tenk deg at du låner penger i banken og vil betale lånet tilbake med termin én gang i året. Du betaler første terminbeløp ett år etter at du tok opp lånet. Sett lånesummen lik L kroner p renten lik p prosent per år, slik at vekstfaktoren blir v 1 100 antall terminer (år) lik det årlige terminbeløpet lik T kroner Da gjelder formelen L ( v 1) v T v 1 Du tar opp et lån på 1 000 000 kroner med rente 3,5 % per år. a) Vis at formelen for terminbeløpet nå blir 35000 1,035 T ( ) 1,035 1 L v 1 v T ( ) v 1 1000000 1,035 1 1,035 T ( ) 1,035 1 1000000 0,035 1,035 T ( ) 1,035 1 35000 1,035 T ( ) 1,035 1 b) Bruk graftegner til å tegne grafen til T for 1 Tegner grafen i GeoGebra: Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2015 - løsning Side 16 av 20
c) Bestem det årlige terminbeløpet dersom du vil betale tilbake lånet på 20 år. Regner i CAS i GeoGebra: Det årlige terminbeløpet blir 70361 kroner dersom jeg vil betale tilbake lånet på 20 år. Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2015 - løsning Side 17 av 20
Oppgave 8 (6 poeng) Figur 1 Figur 2 Figur 3 Ovenfor ser du de tre første figurene i en serie som kan fortsettes. De store kvadratene er sammensatt av hvite og svarte kvadrater. Hvert av de hvite kvadratene har areal lik 1. De svarte kvadratene har areal som øker i størrelse. a) Bestem det totale arealet av de svarte kvadratene i den neste figuren, figur 4. Figur 1: Areal 1 Figur 2: Areal 4 4 16 Figur 3 Areal 9 9 81 Prøver å finne et mønster: Figur 1: 2 2 4 Areal 1 1 1 1 Figur 2: 2 2 4 Areal 2 2 2 16 Figur 3: 2 2 4 Areal 3 3 3 81 4 Figur 4: Areal 4 256 Arealet til figur 4 er 256. b) Sett opp et uttrykk som viser det totale arealet av de svarte kvadratene i figur n uttrykt ved n. A() n n 4 Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2015 - løsning Side 18 av 20
Antall hvite kvadrater i den nederste raden i hver figur kan uttrykkes med et andregradsuttrykk Sn ( ) c) Bestem Sn ( ) Figur 1: 2 Antall hvite i nederste rad 3 3 1 Figur 2: Antall hvite i nederste rad 12 3 2 Figur 3: 2 Antall hvite i nederste rad 27 3 3 S( n) 3n 2 2 d) Sett opp et uttrykk for det totale arealet av de hvite kvadratene i figur n uttrykt ved n. 2 Arealet blir S( n) A( n ) 2 3n n 9n n 8n 2 4 4 4 4 4 Totalt areal av de hvite kvadratene 8n Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2015 - løsning Side 19 av 20
Bildeliste Jordkloden: http://laholmutangranser.com/tag/fn/ (24.02.2015) Varmekilder: http://www.tu.no/kraft/2015/01/14/her-fyrer-man-mest-med-ved-i-norge (25.02.2015) Nina: http://www.vg.no/nyheter/innenriks/vaer-og-uvaer/her-blaaste-nina-mest/a/23371898/ (11.01.2015) BSU: https://www.sparebank1.no (26.02.2015) Kantine: http://e24.no/jobb/ (09.15.2015) Andre bilder, tegninger og grafiske framstillinger: Utdanningsdirektoratet Løsninger: Roar Edland-Hansen, NDLA matematikk. Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2015 - løsning Side 20 av 20