Exercises plotting. Øyvind Ryan

Transkript

1 Exercises plotting Øyvind Ryan 19. februar 2013

2 1. Bruk Matlab til å tegne kurvene: % Oppgave a) t=linspace(0,6*pi,100); plot(t.*cos(t),t.*sin(t)); % Oppgave b) t=linspace(0,2*pi,100); plot(5*cos(t),3*sin(t)); % Oppgave c) t=linspace(0,2*pi,100); plot(sin(2*t).*cos(t),sin(2*t).*sin(t)); % Oppgave d) t=linspace(0,6*pi,100); plot3(t.*cos(t),t.*sin(t),t); % Oppgave e) t=linspace(-20,20,400); plot3(t,sin(t),cos(t)); a. r(t) = t cos t i + t sin t j, t [0,6π] b. r(t) = 5cos t i + 3sin t j, t [0,2π] c. r(t) = sin(2t)cos t i + sin(2t)sin t j, t [0,2π] d. r(t) = t cos t i + t sin t j + t k, t [0,6π] e. r(t) = t i + sin t j + cos t k, t [ 20,20] 2. Bruk Matlab til å tegne kurven r(t) i eksempel 9. Velg m = 1, g = 9.8 og eksperimenter med forskjellige verdier for k, u 1 og u 2. Løsningsforslag: % Oppgave t=linspace(0,200,1000); m=1; 2

3 g=9.8; k=0.5; u1=0.2; u2=0.4; f1=(m*u1/k)*(1-exp(-k*t/m)); f2=(-m*g*t/k)+(m*u2/k + m*m*g/(k*k))*(1-exp(-k*t/m)) plot(f1,f2); 3. Vi har r(t) = (2cos t, 2sin t, 2sin t). a. Finn hastigheten, farten og akselerasjonen. Svar: v(t) = ( 2sin t, 2cos t, 2cos t) v(t) = 2 a(t) = r(t) Løsningsforslag: Vi regner ut v(t) = r (t) = ( 2sin t, 2cos t, 2cos t) v(t) = v(t) = 4sin 2 t + 2cos 2 t + 2cos 2 t = 2 a(t) = v (t) = ( 2cos t, 2sin t, 2sin t) b. Finn buelengden fra t = 0 til t = 2π. Svar: 4π Løsningsforslag: L(0,2π) = 2π 0 v(t)dt = 2π 0 2dt = 4π. c. Vis at kurven ligger på en kuleflate med sentrum i origo. Svar: x 2 + y 2 + z 2 = 4 Løsningsforslag: En kule med sentrum i origo er beskrevet ved at x 2 +y 2 + z 2 = r 2, der r er kuleradien. Vi har at x 2 + y 2 + z 2 = 4cos 2 t + 2sin2t + 2sin 2 t = 4cos 2 t + 4sin 2 t = 4 = 2 2, og derfor ligger kurven på en kule om origo med radius 2. d. Vis at kurven ligger i planet y z = 0. Løsningsforslag: Vi har at y z = 2sin t 2sin t = 0, og derfor ligger kurven i det gitte planet. 3

4 e. Hva slags kurve fremstiller r? Bruk Matlab til å tegne kurven. Svar: En sirkel med radius 2 om origo i planet y-z=0. Løsningsforslag: Kurven beskriver en sirkel med radius 2, på grunn av c), d), og det faktum at skjæringen mellom en kule med senter i origo og et plan gjennom origo er en sirkel med samme radius som kula. % Oppgave e) t=linspace(0,2*pi,100); plot3(2*cos(t),sqrt(2)*sin(t),sqrt(2)*sin(t)); 4. Avstanden mellom det stedet der bakhjulet til en sykkel berører bakken, og det stedet der forhjulet berører bakken, er 1 meter. Når vi sykler, etterlater både forhjulet og bakhjulet et spor i bakken. a. Anta at sporet bakhjulet etterlater seg, er gitt ved r 1 (t). Vis at sporet forhjulet etterlater seg, har parametrisering r 2 (t) = r 1 (t) + T 1 (t), der T 1 (t) er enhetstangentvektoren til r 1 (t). Løsningsforslag: Siden fartsretningen til bakhjulet alltid er retningen mot forhjulet, så vil v 1 (t) ha samme retning som r 2 (t) r 1 (t). Fra oppgaveteksten har vi at r 2 (t) r 1 (t) har lengde 1, så denne er dermed en enhetsvektor i fartsretningen, som også er definisjonen på T 1 (t). Altså er T 1 (t) = r 2 (t) r 1 (t), slik at r 2 (t) = r 1 (t) + T 1 (t). b. Anta at bakhjulet følger kurven r 1 (t) = (t,sin t). Finn parametriseringen r 2 (t) til kurven som forhjulet følger. 1 Svar: r 2 (t) = (t +,sin t + cos t ) 1+cos 2 t 1+cos 2 t Løsningsforslag: Vi antar at r 1 (t) = (t,sin t), og får da at v 1 (t) = (1,cos t) v(t) = 1 + cos 2 t ( ) 1 T 1 (t) = 1 + cos 2 t, cos t ( 1 + cos 2 t r 2 (t) = r 1 (t) + T 1 (t) = t cos 2 t,sin t + ) cos t. 1 + cos 2 t c. Bruk Matlab til å tegne kurvene r 1 og r 2 i samme koordinatsystem. % Oppgave c) t = 0:0.05:10; 4

5 plot(t,sin(t), k-,... t + 1./sqrt(1+cos(t).^2),sin(t) + cos(t)./sqrt(1+cos(t).^2), k+ ); legend( bakhjul, forhjul ); axis( equal ); d. Figuren ovenfor viser sporene etter en sykkel som har vinglet forbi. Kjørte sykkelen fra venstre mot høyre eller i motsatt retning? Svar: Fra venstre mot høyre Løsningsforslag: Sykkelen kjører fra venstre mot høyre, siden plottet faller sammen med det vi tegnet i c). 5. Bruk Matlab til å tegne kurvene r 1 (t) = (t, t 2,sin t) og r 2 (t) = (sin 2 t,cos 2 t,e t ). Vri på koordinatsystemet for å se kurvene best mulig. % Oppgave 5.2 t=linspace(0,50,1000); x1=t; y1=t.^2; z1=sin(t); x2=sin(t).^2; y2=cos(t).^2; z2=exp(-t); plot3(x1,y1,z1) figure(2) plot3(x2,y2,z2) 6. Bruk kommandoen plot3 til å lage en tredimensjonal strektegning av en terning. % Oppgave 5.3 5

6 a=[ ]; b=[ ]; c=[ ]; plot3(a,b,c) axis( equal ) 7. I denne oppgaven skal vi se nærmere på vektorfeltet i eksempel 3. F(x, y) = y x 2 + y 2 i + x x 2 + y 2 j a. La φ 1 (x, y) = arctan y x +C der C er en konstant. Vis at φ 1(x, y) = F(x, y) når x 0. Løsningsforslag: Med φ 1 (x, y) = arctan y x +C får vi φ 1 (x, y) = y x ( y ) 2 i + x 1 x 1 + ( y x ) 2 j = y x 2 + y 2 i + x x 2 j = F(x, y). + y 2 b. Regn ut C F dr der C er en glatt kurve som ligger til høyre for y-aksen og som starter i punktet (1, 1) og ender i (3,3). π Svar: 2 Løsningsforslag: Siden F har potensialfunksjonen φ 1, og denne er definert til høyre for y-aksen, så har vi at F dr = φ 1 (3,3) φ 1 (1, 1) = arctan(1) arctan( 1) C = π ( 4 π ) = π 4 2. c. La φ 2 (x, y) = arctan x y + C der C er en konstant. Vis at φ 2(x, y) = F(x, y) når y 0. Løsningsforslag: Med φ 2 (x, y) = arctan x y +C får vi φ 2 (x, y) = 1 + Koden blir 1 y ( x y ) 2 i x y 2 ( x y ) 2 j = y x 2 + y 2 i + x x 2 j = F(x, y). + y 2 d. Bruk Matlab eller en lommeregner til å tegne grafene til φ 1 og φ 2 (husk at ar ct an heter atan i Matlab). 6

7 e. Finn sammenhengen mellom arctan y x og arctan x y (det kan lønne seg å se på hver kvadrant { for seg). arctan Svar: arctan y x x = y + π 2 når (x, y) ligger i 1. og 3. kvadrant arctan x y π 2 når (x, y) ligger i 2. og 4. kvadrant Løsningsforslag: Funksjonene φ 1 og φ 2 er begge kontinuerlige når x, y 0. Spesielt er de kontinuerlige i hver kvadrant, og siden de har de samme partielle deriverte, så skiller de seg fra hverandre med en konstant i hver kvadrant. Men som vi skal se, konstanten er forskjellig fra kvadrant til kvadrant: I likningen φ 1 (x, y) = φ 2 (x, y)+c setter vi inn punktet (1,1) fra første kvadrant, og får arctan(1) = arctan(1)+c, som gir C = π 2. Setter vi inn punktet ( 1, 1) fra tredje kvadrant får vi samme verdi for C. Setter vi så inn punktet ( 1,1) fra andre kvadrant får vi at arctan( 1) = arctan( 1) + C, som gir C = π 2. Setter vi inn punktet (1, 1) fra fjerde kvadrant får vi samme verdi for C. Setter vi inn for φ 1 og φ 2 får vi dermed at arctan y x arctan y x = arctan x y + π 2 = arctan x y π 2 i første og tredje kvadrant, eller når x y > 0, i andre og fjerde kvadrant, eller når x y < 0. f. Finn en potensialfunksjon φ for F i området A = {(x, y) R 2 y ligger ikke på den negative y-aksen} Forklar hvorfor du ikke kan utvide denne funksjonen φ til en kontinuerlig funksjon på hele R 2. Svar: For eksempel φ(x, y) = arctan( y x ) når x > 0 arctan( y x ) + π når x < 0 π 2 når x = 0 og y > 0 Denne funksjonen har et sprang langs den negative y-aksen. Løsningsforslag: Vi vet at φ 1 (x, y) = arctan y x +C er en potensialfunksjon for x 0, uansett verdi av C. For y > 0 har vi at lim φ 1(x, y) = π x C lim x 0 φ 1(x, y) = π 2 +C. 7

8 Velger vi derfor potensialfunksjonen ψ 1 (x, y) = arctan y x + C for x > 0 og potensialfunksjonen ψ 2 (x, y) = arctan y x +C +π for x < 0 får vi at, for y > 0 lim x 0 + ψ 1(x, y) = π 2 +C lim ψ 2(x, y) = π x 0 2 +C + π = π 2 +C, slik at vi har en potensialfunksjon for F, ψ, definert ved ψ(x, y) = arctan y +C for x > 0, x ψ(x, y) = π +C for x = 0, y > 0, 2 ψ(x, y) = arctan y +C + π for x < 0, x som er kontinuerlig utenom den negative y-aksen. Gitt en verdi for C, så er det klart at dette er den eneste måten å kontinuerlig utvide φ 1 til planet utenom den negative y-aksen. For å se at det er umulig å utvide φ 1 til den negative y-aksen, regner vi ut, for y < 0, lim ψ(x, y) = lim arctan y x 0 + x 0 + x +C = π 2 +C lim ψ(x, y) = lim arctan y x 0 x 0 x +C + π = π 2 +C + π = 3π 2 +C. Derfor blir ikke utvidelsen vi har gjort kontinuerlig også på den negative y-aksen, slik at det er umulig å lage en kontinuerlig utvidelse til hele R Skisser grafen til funksjonen og sammenlign resultatet med det du får når du bruker Matlab. a. f (x, y) = 2x 2 + y 2 Løsningsforslag: Vi setter f (x, y) = 2x 2 + y 2. For nivåkurvene og konturkurvene har vi 2x 2 + y 2 = c gir en ellipse med store halvakse c, lille halvakse c 2. For c < 0 inneholder ikke nivåkurvene noen punkter, og for c = 0 består nivåkurven kun av origo. Skjæring med xz-planet er kurven z = 2x 2, og skjæring med yz-planet er kurven z = y 2. Alle andre konturkurver er også parabler, som er forskyvede versjoner av disse. 8

9 % Oppgave a) r=-2:0.05:2; s=-2:0.05:2; [x,y]=meshgrid(r,s); z=2*x.^2+y.^2; mesh(x,y,z); title( Oppgave 3.7.2a ) b. f (x, y) = y 2 x Løsningsforslag: y 2 x = c gir en nivåkurve som er en liggende parabel med åpning mot høyre. Toppunktet blir i (c,0). Dette gjør det lett å tegne eller se for oss flaten, siden alle parablene er forsyvede varianter av hverandre. Konturkurvene for flater parallelle med xz-planet ser vi at blir linjer (sett inn y like en konstant verdi i z = y 2 x), mens konturkurver for flater parallelle med y z-planet ser vi at blir parabler (sett inn x lik en konstant verdi i z = y 2 x). % Oppgave b) z=y.^2-x; figure(2) mesh(x,y,z); title( Oppgave 3.7.2b ) c. f (x, y) = sin(x 2 + y 2 ) Løsningsforslag: Vi setter f (x, y) = sin(x 2 + y 2 ). Nivåkurvene finner vi først ved å løse sin(x 2 + y 2 ) = c. Det er klart at denne har løsninger bare for 1 c 1, slik det ikke finnes nivåkurver utenfor dette intervallet. Videre er det mange løsninger for x 2 + y 2 for slike c: Først får vi at x 2 + y 2 = arcsinc er en løsning, men da er også x 2 + y 2 = arcsinc + 2kπ løsninger. Dette gir sirkler med radius arcsinc + 2kπ for k 0 eller k 1, avhengig av om c > 0 eller c < 0. Videre er x 2 + y 2 = π arcsinc + 2kπ også løsninger, siden sin(π x) = sin x for alle x. Dette gir sirkler med radius π arcsinc + 2kπ. Det er klart at disse radiusverdiene kommer tettere og tettere ettersom radiene vokser. Hver nivåkurve består altså av mange sirkler. For c = 1 eller c = 1 faller halvpartene av disse sirklene sammen, siden vinklene arcsinc og π arcsinc da faller sammen (arcsin(1) = π 2, arcsin( 1) = π 2 ). 9

10 Figur 1: Grafen y = sin x 2 Figur 2: Grafen z = sin(x 2 + y 2 ) Det er kanskje lettest å tegne grafen ved å skrive den som z = sinr 2 i polarkoordinater. Flaten er altså et omdreiningslegeme som fremgår ved å dreie y = sin x 2, vist i Figur 1 om y-aksen. Figuren som fremkommer er vist i Figur 2. Konturkurver forteller kanskje ikke så mye her. % Oppgave c) r=-4:0.1:4; s=-4:0.1:4; [x,y]=meshgrid(r,s); z=sin(x.^2+y.^2); figure(3) mesh(x,y,z); 10

11 title( Oppgave 3.7.2c ) d. f (x, y) = x 2 4y 2 % Oppgave d) r=-5:0.05:5; s=-5:0.05:5; [x,y]=meshgrid(r,s); z=x.^2-4*y.^2; figure(4); mesh(x,y,z); title( Oppgave 3.7.2d ); e. f (x, y) = ln(x y) Løsningsforslag: Hvis du forsøker å plotte ln(x y) i et intervall rundt null vil MATLAB rapportere problemer her, siden ln kun er definert for positive verdier. Funksjonen er derfor bare definert i første og tredje kvadrant. Det er kanskje enklest å tegne grafen ved hjelp av to plott, et for første kvadrant og et for tredje kvadrant, siden vi kan enkelt lage et grid for hver kvadrant: % Oppgave e) r=0.1:0.05:5; s=0.1:0.05:5; [x,y]=meshgrid(r,s); z=log(x.*y); mesh(x,y,z); hold on r=-5:0.05:-0.1; s=-5:0.05:-0.1; [x,y]=meshgrid(r,s); z=log(x.*y); mesh(x,y,z); title( Oppgave 3.7.2e ); 9. Skriv om funksjonen til polarkoordinater. Skisser grafen og sammenlign resultatet med det du får når du bruker Matlab. 11

12 a. f (x, y) = 1 x 2 +y 2 Løsningsforslag: f (x, y) = 1 x 2 + y 2 = 1 r. % Oppgave a) u=-0.5:0.03:0.5; v=-0.5:0.03:0.5; [x,y]=meshgrid(u,v); z=1./sqrt(x.^2 + y.^2); mesh(x,y,z); title( Oppgave 3.7.3a ) b. f (x, y) = x x 2 +y 2 Løsningsforslag: Vi kan skrive f (x, y) = x x 2 + y 2 = r cosθ r 2 = 1 r cosθ. Holder vi θ konstant, ser vi at vi får hyperbelen z = cosθ r. Dette hjelper oss til å kunne tegne opp flaten. Nivåkurvene er her sirkler: Setter vi c = får vi at x 2 + y 2 = x x 2 +y 2 c. Det er her greit at vi fullfører kvadratet i x for å se at vi får sirkler som er nivåkurver. % Oppgave b) u=-0.5:0.03:0.5; v=-0.5:0.03:0.5; [x,y]=meshgrid(u,v); z=x./(x.^2 + y.^2) figure(2) mesh(x,y,z) title( Oppgave 3.7.3b ) x c. f (x, y) = y x % Oppgave c) u=-0.5:0.03:0.5; v=-0.5:0.03:0.5; 12

13 [x,y]=meshgrid(u,v); z=y./x; figure(3) mesh(x,y,z) title( Oppgave 3.7.3c ) d. f (x, y) = x 2 4y 2 Løsningsforslag: f (x, y) = x 2 4y 2 = r 2 cos 2 θ 4r 2 sin 2 θ = r 2 (cos 2 θ 4sin 2 θ) = r 2 (1 5sin 2 θ) = r 2 ( cos2θ). Holder vi θ konstant, ser vi at vi får parabelen z = r 2 ( cos2θ). Nivåkurvene er her hyperbler. % Oppgave d) u=-1:0.05:1; v=-1:0.05:1; [x,y]=meshgrid(u,v); figure(4) z=x.^2-4*y.^2 mesh(x,y,z) title( Oppgave 3.7.3d ) e. f (x, y) = e x y % Oppgave e) u=-1:0.05:1; v=-1:0.05:1; [x,y]=meshgrid(u,v); figure(5) z=exp(x.*y); mesh(x,y,z); title( Oppgave 3.7.3e ) 10. I eksempel 3 i seksjon 2.2 studerte vi funksjonen { x 2 y for (x, y) (0,0) f (x, y) = x 4 +y 2 0 når (x, y) = 0 13

14 som et eksempel på en funksjon som oppfører seg kontinuerlig når vi nærmer oss origo langs rette linjer, men ikke når vi følger parabelen y = x 2. Bruk Matlab til å tegne grafen til funksjonen, og studer fenomenet ved å dreie på grafen. Tegn også inn kurven r(t) = t i+t 2 j+ 1 2 k i samme figur. Tegn til slutt konturkurvene til funksjonen. % Oppgave r=-2:0.02:2; s=-2:0.02:2; [x,y]=meshgrid(r,s); z=x.^2.*y./(x.^4+y.^2); figure(6) mesh(x,y,z) hold on t=linspace(0,2,100); plot3(t,t.^2,0.5*ones(1,length(t))) title( Oppgave ) hold off figure(7) contour(x,y,z); title( Oppgave ) contour(x,y,z,[ ]); title( Oppgave ) 11. I oppgave studerte vi funksjonen f (x, y) = { x 3 y x y 3 (x 2 +y 2 ) 2 for (x, y) (0,0) 0 når (x, y) = 0 som et eksempel på en funksjon der de blandede annenordens partiellderiverte er forskjellige. Bruk Matlab til å tegne grafen og konturkurvene til funksjonen, og prøv å forstå fra figuren hvorfor 2 f y x (0,0) er negativ mens 2 f x y (0,0) er positiv. Løsningsforslag: For å forklare hvordan vi kan forstå fra figuren hvorfor 2 f y x (0,0) er negativ og 2 f x y (0,0) er positiv, skriv først de partielle deriverte som grenseverdiene 2 f y x 2 f x y f f x (0,h) x (0,0) = lim (0,0) 1 f = lim h 0 h h 0 h x (0,h) (0,0) = lim h 0 f f y (h,0) y (0,0) h 14 1 f = lim h 0 h y (h,0),

15 Figur 3: Fortegnskjema for f (a) Plott av f (x, 0.1) (b) Plott av f (x, 0.1) Figur 4: Plott av f (x,h) for positiv og negativ h der vi har brukt at f f x (0,0) = y (0,0) = 0, som ble vist i Oppgave Fra funksjonsoppskriften er det klart at f skifter fortegn på koordinataksene, og på linjene y = x og y = x. Fortegnskjema for f er vist i Figur 3. La oss først se på f x (0,h) for små, positive verdier av h. Det er klart ved å studere flaten og fortegnskjemaet at f (x,h) går fra å være positiv til negativ ved x = 0, og vi har illustrert dette ved plott av f (x,0.1) i Figur??a). Dermed blir f f x (0,h) 0, slik at lim h h x (0,h) 0. At vi faktisk her har ekte ulikhet er ikke så lett å se fra grafen. For små, negative verdier av h er det på samme måte klart at f (x,h) går fra å være negativ til positiv ved x = 0, som illustrert ved plott av f (x, 0.1) i Figur??b). Dermed blir f x (0,h) 0, slik at lim h 0 1 f h x (0,h) 0. 1 f derfor må vi ha at lim h 0 h x (0,h) 0, slik at 2 f y x (0,0) 0. 15

16 La oss deretter se på f y går fra å være negativ til positiv ved y = 0, slik at f (h,0) for små, positive verdier av h. f (h, y) ser vi nå f y (h,0) y (h,0) 0, slik at lim h h 0. For små, negative verdier av h er det på samme måte klart at f (h, y) går fra å være positiv til negativ ved y = 0, slik at f y (h,0) 0, slik at lim h 0 1 f h y (h,0) 0. 1 f derfor må vi ha at lim h 0 h y (h,0) 0, slik at 2 f x y (0,0) 0. % Oppgave r=-5:0.01:5; s=-5:0.01:5; [x,y]=meshgrid(r,s); z=((x.^3).*y-x.*(y.^3))./(x.^2 + y.^2); mesh(x,y,z); title( Oppgave ) figure(2) contour(x,y,z); title( Oppgave ) 12. Tegn grafene til disse funksjonene med Matlab: f (x, y) = x 2 y 2, g (x, y) = sin x + x 2, h(x, y) = sin(e x+y ). Vri på flatene for å få et best mulig inntrykk. y 2 % Oppgave 5.1 r=linspace(-2,2,100); s=linspace(-2,2,100); [x,y]=meshgrid(r,s); f=(x.^2).* (y.^2); g=sin(x)./(y.^2)+x.^2; h=sin(exp(x+y)); mesh(x,y,f); figure(2) mesh(x,y,g); figure(3) mesh(x,y,h); 13. Bruk kommandoen quiver til å tegne vektorfeltet. Tegn også inn noen strømningslinjer. 16

17 % Oppgave a) r=linspace(0,2*pi,30); s=linspace(0,2*pi,30); [x,y]=meshgrid(r,s); u=cos(x); v=sin(x); figure(8) quiver(x,y,u,v); title( Oppgave 3.8.1a ); figure(9) streamline(x,y,u,v,0,1); hold on streamline(x,y,u,v,0,0.5); title( Oppgave 3.8.1a ); hold off % Oppgave b) r=linspace(-0.3,0.3,30); s=linspace(-0.3,0.3,30); [x,y]=meshgrid(r,s); u=-x./(x.^2+y.^2).^(3/2); v=-y./(x.^2+y.^2).^(3/2); figure(10) quiver(x,y,u,v) title( Oppgave 3.8.1b ); figure(11) streamline(x,y,u,v,-0.3,0.3); hold on streamline(x,y,u,v,0.3,0.3); title( Oppgave 3.8.1b ); hold off % Oppgave c) r=linspace(-2,2,30); s=linspace(-1,1,30); [x,y]=meshgrid(r,s); u=(1-x)./((x-1).^2+y.^2) + (1+x)./((x+1).^2+y.^2); v=-y./((x-1).^2+y.^2) + y./((x+1).^2 + y.^2); figure(12) quiver(x,y,u,v) 17

18 title( Oppgave 3.8.1c ); figure(13) streamline(x,y,u,v,1.5,1); hold on streamline(x,y,u,v,0.5,1); title( Oppgave 3.8.1c ); hold off a. F(x, y) = cos x i + sin x j b. F(x, y) = ( c. F(x, y) = x (x 2 +y 2 ) 3 2 i y (x 2 +y 2 ) 3 2 ) 1 x + 1+x (x 1) 2 +y 2 (x+1) 2 +y 2 j ( i + y (x 1) 2 +y I denne oppgaven skal vi se nærmere på vektorfeltet i eksempel 3 i seksjon 3.5 % Oppgave ac) r=-5:0.5:5; s=-5:0.5:5; [x,y]=meshgrid(r,s); u=-y./(x.^2 + y.^2); v=x./(x.^2 + y.^2); quiver(x,y,u,v); title( Oppgave 3.8.2ac ) hold on streamline(x,y,u,v,1,0); F(x, y) = y x 2 + y 2 i + x x 2 + y 2 j ) y j (x+1) 2 +y 2 a. Bruk kommandoen quiver til å tegne vektorfeltet. Bruk en forholdsvis grov oppdeling på aksene. b. Forklar at strømningslinjene til F er sirkler med sentrum i origo. c. Tegn strømningslinjen som starter i punktet (1, 0) på samme figur som vektorfeltet i a). Sammenlign resultatet med b). d. Gjenta punkt a) og c) med mye finere oppdeling av aksene. Hva skjer med strømningslinjene? 18

19 15. I denne oppgaven skal vi bruke Matlab til å eksperimentere litt med avbildninger slik som demonstrert i figur 5. Vi har altså en funksjon (u, v) = F(x, y) og vil se hvordan den avbilder et rutenett i x y-planet. For å slippe å lage et for omfattende program, skal vi nøye oss med en tilnærming der vi tegner opp hjørnene i det fordreide rutenettet og forbinder dem med rette streker (som i de fleste eksemplene burde vært buede kurver). Her er programmet i det tilfellet u = 3x y og v = x + 2y: r=-2:0.25:2; %lager oppdeling av x-aksen s=-2:0.25:2; %lager oppdeling av y-aksen [x,y]=meshgrid(r,s); %lager rutenett av opppdelingene u=3.*x-y; %regner ut u av alle hjørnene i rutenettet v=x+2.*y; %regner ut v av alle hjørnene i rutenettet plot(u,v,u,v ) %tegner opp bildet av alle hjørnene i %rutenettet og forbinder dem med rette streker %Den første delen av kommandoen (dvs. plot(u,v)) %tegner opp strekene mellom "loddrette naboer", mens den %andre delen (dvs. plot(u,v )) tegner opp strekene mellom %"vannrette naboer". % Oppgave a) r=-2:0.25:2; %lager oppdeling av x-aksen s=-2:0.25:2; %lager oppdeling av y-aksen [x,y]=meshgrid(r,s); u=3.*x-y; v=x+2.*y; figure(14) plot(u,v,u,v ) title( Oppgave 3.8.3a ); % Oppgave b) r=0:0.25:5; s=0:0.25:(2*pi); [x,y]=meshgrid(r,s); u = x.*cos(y); v = x.*sin(y); figure(15) plot(u,v,u,v ); 19

20 title( Oppgave 3.8.3b ); % Oppgave c) u=sqrt(x./y); v=sqrt(x.*y); figure(16) plot(u,v,u,v ); title( Oppgave 3.8.3c ); a. Kjør programmet ovenfor med de angitte funksjonene u = 3x y og ( ) 3x y v = x + 2y. Beskriv rutenettet du ser (avbildningen F(x, y) = er x + 2y lineær). b. Kjør programmet på nytt, men la u = x cos y, v = x sin y, og bruk en oppdeling slik at 0 x 5, 0 y 2π. Beskriv rutenettet, og forklar sammenhengen med polarkoordinater. c. Kjør programmet igjen med u = x y og v = x y. Velg en oppdeling slik at x 0 og y 0. Beskriv rutenettet. 16. Bruk Matlab til å lage en tegning av den delen av kulen x 2 + y 2 + z 2 = 4 som ligger i første oktant (dvs. området der x, y, z 0. % Oppgave u=linspace(0,pi*0.5,100); v=linspace(0,pi*0.5,100); [U,V]=meshgrid(u,v); x=2*sin(v).*cos(u); y=2*sin(v).*sin(u); z=2*cos(v); surf(x,y,z) axis( equal ) title( Oppgave ) 17. Bruk Matlab til å lage en tegning av flaten i oppgave 7. % Oppgave u=linspace(0,2,100); 20

21 v=linspace(0,2*pi,100); [U,V]=meshgrid(u,v); x=u; y=2*cos(v); z=2*sin(v); surf(x,y,z) axis( equal ) title( Oppgave ) 18. Bruk Matlab til å lage en tegning av flaten parametrisert ved r(u, v) = uv 2 i + u j + sin(uv)k, der 1 u 1,0 v 3 % Oppgave r=-1:0.05:1; s=0:0.05:3; [u,v]=meshgrid(r,s); figure(17) mesh(u.*v.^2,u,sin(u.*v)) title( Oppgave ); 19. Bruk Matlab til å lage en tegning av sylinderen x 2 + y 2 = 9, når 0 z 2. % Oppgave u=linspace(0,2*pi,100); v=linspace(0,2,100); [U,V]=meshgrid(u,v); x=3*cos(u); y=3*sin(u); z=v; surf(x,y,z) axis( equal ) title( Oppgave ) 20. Bruk Matlab til å lage en tegning av ellipsoiden i oppgave 6. Bruk samme målestokk på alle akser. 21

22 a=1; b=0.5; c=0.1; u=linspace(0,2*pi,100); v=linspace(0,pi,100); [U,V]=meshgrid(u,v); x=sin(v).*cos(u)*a; y=sin(v).*sin(u)*b; z=cos(v)*c; surf(x,y,z) axis( equal ) title( Oppgave ) 21. Bruk Matlab til å lage en tegning av en torus der r = 3 og R = 5. r=3; R=5; u=linspace(0,2*pi,100); v=linspace(0,2*pi,100); [theta,phi]=meshgrid(u,v); x=(5+3*cos(phi))*cos(theta); y=(5+3*cos(phi))*sin(theta); z=3*sin(phi); surf(x,y,z) title( Oppgave ) 22. En by har nettopp innført et system med bysykler der man kan låne en sykkel fra et sykkelstativ og levere den fra seg ved et annet (eller ved det samme om man bare skal en tur i nærområdet). Foreløpig har byen 4 stativer som vi kaller X, Y, Z, U. Myndighetene er interessert i å undersøke lånemønsteret for syklene, Utgangspunkt Prosentfordeling neste måned i X i Y i Z i U ute av drift X 40% 20% 20% 10% 10% Y 10% 40% 20% 20% 10% Z 10% 20% 25% 25% 20% U 30% 20% 20% 20% 10% og har derfor en månedlig undersøkelse av hvor de forskjellige syklene befinner seg. Denne undersøkelsen viser at av de syklene som befant seg i stativ X en måned, befinner 22

23 40% seg i X måneden etter, 20% befinner seg i Y, 20% i Z og 10% i U, mens 10% er ute av drift fordi de enten er forsvunnet eller inne til vedlikehold. Tilsvarende tall for syklene som opprinnelig var i Y, Z og U, fremgår av tabellen ovenfor. I forbindelse med undersøkelsen får hvert stativ påfyll med nye/reparerte sykler. Påfyllet tilsvarer 15% av antall sykler som står i stativet. Svar: En utvidet versjon av denne oppgaven ligger på med løsningsforslag på a. La x n, y n, z n, u n være antall sykler i henholdsvis X, Y, Z, U rett etter den n-te undersøkelsen (og rett etter påfyllet av nye/reparerte sykler). Forklar at x n+1 = 0.46x n y n z n u n y n+1 = 0.23x n y n z n u n z n+1 = 0.23x n y n z n u n u n+1 = 0.115x n y n z n u n Løsningsforslag: Antall sykler i stativ X rett før påfyllingen i måned n + 1 er lik 40% av antall sykler i X måneden før, pluss 10% av antall sykler i Y måneden før, pluss 10% av antall sykler i Z måneden før, pluss 30% av antall sykler i U måneden før, dvs. 0.4x n +0.1y n +0.1z n +0.3u n. Ganger vi dette med 1.15 for å fange opp påfyllet, får vi x n+1 = 0.46x n y n z n u n. De andre likningene fremkommer på tilsvarende måte. b. Skriv en m-fil som gitt x 1, y 1, z 1, u 1 returnerer x n, y n, z n, u n for n fra 1 til 50. Løsningsforslag: Vi kaller funksjone vi skal lage for bysykler. Denne kan programmeres slik: function C=bysykler(a,b,c,d) % Hver kolonne i C svarer til et tidspunkt. % 1. rad inneholder alle x-verdier, andre rad alle y-verdier osv. C=[a;b;c;d]; A=[ ; ; ; ]; for n=1:49 23

24 C(:,n+1) = A*C(:,n); end Vi bruker deretter denne funksjonen i resten av oppgaven: % Oppgave c) C=bysykler(100,100,100,100); plot(c(1,:)); hold on plot(c(2,:), r ) plot(c(3,:), g ) plot(c(4,:), y ) % Oppgave d) powers = ^[0:49]; D(1,:)=C(1,:)./powers; D(2,:)=C(2,:)./powers; D(3,:)=C(3,:)./powers; D(4,:)=C(4,:)./powers; plot(d(1,:)); hold on plot(d(2,:), r ) plot(d(3,:), g ) plot(d(4,:), y ) % Oppgave e) C=bysykler(200,0,0,200); % Kjør c) og d) som før ellers c. Velg x 1 = y 1 = z 1 = u 1 = 100, og bruk Matlab til å tegne følgene {x n }, {y n }, {z n }, {u n } i samme koordinatsystem. d. Lag en ny figur der du plotter følgene { }, { }, { }, { n n n 1 i samme koordinatsystem. x n y n z n u n } n 1 e. Gjenta plottingen i c) og d), men bruk starttilstanden x 1 = 200, y 1 = 0, z 1 = 0, u 1 = 200. Ser du et mønster? Eksperimenter gjerne med andre startverdier. f. La w n = x n y n z n u n være fordelingen av sykler den n-te måneden. Forklar at w n+1 = Aw n der A er matrisen 24

25 A = Forklar også hvorfor w n = A n 1 w 1. Løsningsforslag: Det er klart at hver rad i matrisen A svarer til koeffisientene i en av likningene vi fant i a). Men da er det klart at w n+1 = Aw n når vi setter w n = x n y n z n w n. % Oppgave g) A=[ ; ; ; ]; [U,V]=eig(A) U(1,:)=-U(1,:); % Gjør at egenvektoren for egenverdien % med størst absoluttverdi får positive tall. % Oppgave h) rref(u) % Oppgave i) rref([u [100;100;100;100]]) g. Bruk Matlab til å vise at matrisen A ovenfor har fire egenverdier λ 1, λ 2, λ 3, λ 4 med tilhørende egenvektorer v 1, v 2, v 3, v 4. Sørg for å ordne rekkefølgen slik at λ 1 er egenverdien med størst tallverdi. (NB: MATLAB gir av og til egenvektorer der alle komponentene er negative. For å få en egenvektor som er greiere å arbeide med, kan du da bare fjerne alle minustegnene i denne vektoren.) h. Vis at egenvektorene v 1, v 2, v 3, v 4 til A danner en basis for R 4, dvs. at de er lineært uavhengige og utspenner hele R 4 (bruk gjerne MATLAB). i. Velg w 1 = og skriv denne vektoren som en lineærkombinasjon av v 1, v 2, v 3, v 4 (bruk gjerne 25

26 MATLAB). Finn A n 1 w 1 lim n λ n 1 1 Sammenlign med resultatene i oppgave 1c) og d). Hva regner du med å få dersom du velger en annen starttilstand w 1? 23. En følge {x n, y n } i R 2 er gitt ved x 1 = y 1 = 0 og x n+1 = 0.6x n 0.6y n y n+1 = 0.6x n + 0.6y n + 1 Skriv et program som beregner elementer i følgen, og tegn dem inn i en figur. Vis at funksjonen ( ) 0.6x 0.6y + 0,2 F(x, y) = 0.6x + 0.6y + 1 har et fikspunkt. Svar: Fikspunkt ( 1, 1). % Oppgave N = 500; x=zeros(2,n); x(:,1)=[0;0]; for n=1:n x(:,n+1)=[ ; ]*x(:,n) + [0.2;1]; end plot(x(1,:),x(2,:)) 24. To dyreslag lever i det samme området. Dersom det er hhv. x n og y n dyr av hvert slag i området ett år, regner man at tallene året etter er gitt ved x n+1 = 0.9x n y n 10 y n+1 = 1.01x n + y n Skriv et program som beregner hvordan bestanden utvikler seg, og plott resultatet når x 1 = 20, y 1 = Finn et likevektspunkt for bestandene. Svar: Likevektspunkt: x 297, y

27 Løsningsforslag: Et likevektspunkt for bestandene kan vi finne ved å sette x n = x n+1 = x og y n = y n+1 = y i likningene fra oppgaven. Vi får da Samler vi variablene får vi Dette systemet kan vi løse ved å skrive [ ; ]\[-10; 300] x = 0.9x y 10 y = 1.01x + y x 0.01y = x = 300 som gir verdiene x 297, y I plottet du får skal du se vi starter iterasjonene i (20, 2000), og at verdiene deretter går i spiral inn mot dette likevektspunktet. Koden blir % Oppgave antalliterasjoner=200; x=zeros(2,antalliterasjoner+1); x(:,1)=[20;2000]; for n=1:antalliterasjoner x(:,n+1)=[ ; ]*x(:,n)+[-10; 300]; end plot(x(1,:),x(2,:)) 25. I denne oppgaven skal vi se på befolkningsutviklingen i to land. Dersom innbyggertallet (målt i millioner) i de to landene er hhv. x n og y n ett tiår, regner man at de tilsvarende tallene ti år etter er gitt ved x n+1 = 1.1x n y n 0.5 y n+1 = 0.95y n x n Skriv et program som beregner hvordan innbyggertallene utvikler seg, og plott resultatet når x 1 = 50, y 1 = 8. % Oppgave N = 100; x=zeros(2,n); 27

28 x(:,1)=[50;8]; for n=1:n x(:,n+1)=[ ; ]*x(:,n) + [-0.5; 0.2]; end plot(x(1,:)) hold on plot(x(2,:), r ) 26. To bensinstasjoner X og Y konkurrerer ved å tilpasse seg hverandres priser. Dersom prisene en uke er hhv. x n og y n, vil stasjon X uken etter sette sin pris til 1.01 xn+y n 2, mens stasjon Y vil velge den prisen som er lavest av x n og 1.1y n. Lag et program som viser hvordan prisene vil utvikle seg. Kjør programmet både med x 1 = 8, y 1 = 12 og med x 1 = 12, y 1 = 8. Sammenlign prisutviklingene. % Oppgave antalliterasjoner=200; x=zeros(antalliterasjoner+1); y=zeros(antalliterasjoner+1); x(1)=8; % 12 y(1)=12; % 8 for n=1:antalliterasjoner x(n+1)=1.01*(x(n)+y(n))/2; y(n+1)=min(x(n),1.1*y(n)); end plot(x,y) figure(2) x(1)=12; y(1)=8; for n=1:antalliterasjoner x(n+1)=1.01*(x(n)+y(n))/2; y(n+1)=min(x(n),1.1*y(n)); end plot(x,y) 28

29 27. To insektstyper konkurrerer om det samme området. Anta at x n og y n er antall insekter (målt i millioner) i området i år n. Vi regner at bestanden i år n +1 da er gitt ved x n+1 = 2.2x n (1 x n ) x n y n y n+1 = 3.1y n (1 y v ) 0.02x n y n Skriv et program som beregner hvordan bestandene utvikler seg, og plott resultatet når x 1 = 0.5, y 1 = 0.5 og når x 1 = 0.1, y 1 = 0.8. Eksperimenter også med andre startverdier i intervallet (0,1). % Oppgave antalliterasjoner=200; x=zeros(antalliterasjoner+1); y=zeros(antalliterasjoner+1); x(1)=0.5; % 0.1 y(1)=0.5; % 0.8 for n=1:antalliterasjoner x(n+1)=2.2*x(n)*(1-x(n)) *x(n)*y(n); y(n+1)=3.1*y(n)*(1-y(n)) *x(n)*y(n); end plot(x,y) I de fleste andre oppgavene avhenger x n+1, y n+1 lineært av x n, y n, og vi kan da finne generelle uttrykk for x n, y n ved å finne egenvektorene til koeffisientmatrisen slik vi har gjort mange ganger. I denne oppgaven avhenger ikke x n+1, y n+1 lineært av x n, y n, slik at denne strategien ikke leder frem til generelle uttrykk for x n, y n. Selv om vi ikke klarer finne et slikt generelt uttrykk, så kan vi likevel finne et uttrykk for likevektspunktet: setter vi x n = x n+1 = x og y n = y n+1 = y i likningene fra oppgaven får vi x = 2.2x(1 x) x y y = 3.1y(1 y) 0.02x y Forkorter vi med x i den første likningen og med y i den andre likningen, får vi Samler vi leddene får vi 1 = 2.2(1 x) y 1 = 3.1(1 y) 0.02x. 2.2x 0.01y = x + 3.1y = 2.1, 29

30 som gir (0.5485, ) som likevektspunkt (vi har også tre andre likevektspunkter, et i origo, et når x = 0, y 0, et når x 0, y = 0). Hvis vi i koden for denne oppgaven bruker dette punktet som utgangspunkt, vil vi se at de første iterasjonene ligger nær punktet vi startet i (husk at avrundingsfeil inntrer slik at vi ikke vil fortsette i eksakt samme punkt), mens vi etter en stund vil bevege oss bort fra punktet. Systemet ser altså ut til å ha en frastøtende effekt, som sørger for å skyve oss bort fra likevektspunktet. I plottene fra MATLAB virker det ellers som at iterasjonene hopper mellom to punkter, bare vi fortsetter langt nok. 28. To firmaer konkurrerer i det samme markedet. Dersom prisene på produktet deres (målt i tusen kroner) er hhv. p og q, regner firmaene med å selge hhv. E 1 (p, q) = 1000e p q α(p+q) og E 2 (p, q) = 1000e q p β(p+q) eksemplarer, der α og β er konstanter. % Oppgave b) N = 50; a=0.02; b=0.03; x=zeros(2,n); x(:,1)=[10;12]; for n=1:n x(1,n+1)=1.1*(x(2,n)/(1+a*x(2,n))); x(2,n+1)=1.1*(x(1,n)/(1+b*x(1,n))); end plot(x(1,:)) hold on plot(x(2,:), r ) a. Anta at prisen q ligger fast. Vis at firma 1 da får størst salgsinntekter ved å selge sitt produkt for p =. Vis tilsvarende at hvis p ligger fast, q 1+αq så får firma 2 størst salgsinntekter ved å selge sitt produkt for q = p 1+βp. 30

31 b. Det første året velger firmaene prisene p 1 og q 1. De bestemmer seg for at prisen året etter skal være hhv. p 2 = 1.1p1 = 1.1 q 1 1+αq 1 og q 2 = 1.1q1 = 1.1 p 1 1+βp 1. Denne politikken holder de fast ved i årene som kommer. Skriv et program som beregner prisutviklingen for de to produktene. Parametrene α og β skal inngå blant input-variablene. c. Kjør programmet med α = β = Bruk startverdiene (x 1, y 1 ) = (3,4), (x 1, y 1 ) = (4,3), (x 1, y 1 ) = (1,1.3), (x 1, y 1 ) = (1.3,1) og sammenlign resultatene. d. Gjenta punkt c) med α = 0.05, β = I denne oppgaven skal vi se på en grafisk metode for å studere iterasjon av en kontinuerlig funksjon f av én variabel. I figur 1 har vi tegnet opp funksjonsgrafen og linjen y = x i samme koordinatsystem. y = x y = f (x) Figur 1 a. Forklar at fikspunktene til f er det samme som skjæringspunktene mellom linjen y = x og grafen til f. y = x x 2 x 0 x 3 x 1 Figur 2 31

32 b. Figur 2 viser hvordan vi grafisk kan finne punktene x 1 = f (x 0 ), x 2 = f (x 1 ), x 3 = f (x 2 ) osv. Forklar hvordan og hvorfor metoden virker. c. Figur 3 viser en bane med periode 2. Lag en tilsvarende figur som viser en bane med periode 3 (du kan godt bruke en annen funksjonsgraf y = f (x)). y = x x 0 x 1 Figur 3 d. I resten av oppgaven skal vi se på funksjoner f : [0,1] [0,1] gitt ved f (x) = bx(1 x), der 0 b 4. Vis at dersom b > 1, så har f to fikspunkter 0 og 1 1 b. e. Velg b = 7 2. Vis at banen som starter i x 0 = 3 7 er periodisk med periode 2. f. Bruk Matlab eller en lommeregner til å tegne grafen til f 2. Vis at grafen skjærer linjen y = x i punktene 0, 3 7, 5 7 og 6 7. Forklar. g. (arbeidskrevende) Vis at dersom 3 < b 4, så har funksjonen f (x) = bx(1 x) baner med periode to som starter i punktene b+1± (b 1) 2 4 2b. 30. I denne oppgaven skal vi se på iterasjon av funksjonen F : R 2 R 2 gitt ved ( 1 F(x, y) = 2 sin(x + y), 1 ) cos(x y) 2 function [x,y]=oppg01(x1,y1,antalliterasjoner) x=zeros(antalliterasjoner+1); 32

33 y=zeros(antalliterasjoner+1); x(1)=x1; y(1)=y1; for n=1:antalliterasjoner x(n+1)=0.5*sin(x(n)+y(n)); y(n+1)=0.5*cos(x(n)-y(n)); end % Oppgave % b) [x,y]=oppg01(1,-1,30); plot(x,y) axis([ ]); % c) for k=1:6 x1=5*rand()-2.5; y1=5*rand()-2.5; [x,y]=oppg050501(x1,y1,30); subplot(2,3,k); plot(x,y) axis([ ]); end a. Lag et program for å beregne følgen gitt ved u n+1 = F(u n ). b. Kjør programmet ditt med startpunkt u 1 = (x 1, y 1 ) = (1, 1) og et passende antall iterasjoner. Plott følgen {u n }. c. Kjør programmet 6 ganger til. I hvert tilfelle lar du programmet velge et tilfeldig startpunkt (x 1, y 1 ) med 2.5 x 1, y (kommandoen >> rand produserer et tilfeldig tall mellom 0 og 1). Tegn opp sekvensene i hvert sitt subplot, og sett aksene slik at resultatene er lette å sammenligne. 31. I denne oppgaven skal vi eksperimentere med en annen type fikspunkter. Disse fikspunktene er mengder som ikke forandrer seg når vi anvender en sammensetning av funksjoner på dem. Vi starter med funksjonene T 1 : R 2 R 2, T 2 : R 2 R 2 og T 3 : R 2 R 2 gitt ved T 1 (x, y) = ( x 2, y 2 ), T2 (x, y) = ( x , y 2 ) og T3 (x, y) = 33 ( x , y )

34 a. La S være den likesidede trekanten med hjørner i punktene (0,0), (1,0) og ( 1 2, 3 2 ). Beskriv bildene T 1(S), T 2 (S) og T 3 (S) av S under henholdsvis T 1, T 2 og T 3 (husk at generelt er T(S) = {T(x, y) (x, y) S}). b. La S 1 være det samlede bildet av S under T 1, T 2 og T 3 (vi har altså S 1 = T 1 (S) T 2 (S) T 3 (S)). Beskriv bildet S 2 av S 1 under T 1, T 2 og T 3 (vi har altså S 2 = T 1 (S 1 ) T 2 (S 1 ) T 3 (S 1 )). Lag en skisse av S 1 og S 2. Hvordan tror du S 3 og S 4 blir seende ut? Hvordan går det når du tegner inn S n for alle n? Mengden A vi da får kalles Sierpinski-trekanten, og den er et slags fikspunkt i den forstand at den ikke endrer seg når vi bruker T 1, T 2 og T 3 på den (dvs. at A = T 1 (A) T 2 (A) T 3 (A)). Vi skal nå se på følgende prosedyre: Start med et punkt (x 1, y 1 ) i planet. Velg tilfeldig én av funksjonen T 1,T 2,T 3, og la (x 2, y 2 ) være det punktet vi får når vi bruker denne funksjonen på (x 1, y 1 ). Velg på ny én av funksjonen T 1,T 2,T 3 på en tilfeldig måte, og la (x 3, y 3 ) være det punktet vi får når vi bruker denne funksjonen på (x 2, y 2 ). Fortsetter vi på denne måten, får vi en følge av punkter {(x n, y n )} i planet. Det viser seg at denne følgen alltid hoper seg opp på den samme mengden. Vi skal undersøke dette fenomenet nærmere. c. Forklar at følgende program implementerer prosedyren ovenfor: function x=sierpinski(a,b,n) x(:,1)=[a;b]; for n=1:n z=rand; if z<=1/3 x(:,n+1)=x(:,n)/2; elseif z<=2/3 x(:,n+1)=x(:,n)/2+[1/2;0]; else x(:,n+1)=x(:,n)/2+[1/4;sqrt(3)/4]; end end plot(x(1,:),x(2,:),. ) Du må sannsynligvis bruke hjelpefunksjonen for å finne ut av noen av kommandoene. d. Legg programmet ovenfor på en m-fil og kjør det med forskjellige inputverdier a, b og N. Beskriv det du ser. Velg noen av kjøringene, og presenter dem i samme figur ved hjelp av kommandoen subplot. (Hint: Du bør 34

35 velge N opp til størrelsesorden for å få et godt bilde, men det er lærerikt også å se på mindre verdier av N. Det kan også være lurt å bruke kommandoen axis( equal ) før du lagrer bildene.) e. Undersøk også hvordan programmet nedenfor fungerer (rett opp figurene med axis( equal ) ). function x=blomst(r,d,s,n) x(:,1)=[1;0]; for n=1:n z=rand; if z<=0.95 x(:,n+1) = r*[cos(pi/d) -sin(pi/d); sin(pi/d) cos(pi/d)]*x(:,n); elseif z>.95 x(:,n+1) = s*x(:,n) + [1;0]; end end plot(x(1,:),x(2,:),. ) Kjør programmet først med r = 0.97,d = 7, s = 1 6, N = 10000, men eksperimenter også med andre verdier. Bruk de to funksjonene F 1 (x, y) = r (x cos π d y sin π d, x sin π d + y cos π d ) og F 2(x, y) = (sx + 1, sy) til å forklare hvordan bildene fremkommer. (Hint: I en typisk kjøring vil man velge F 1 mange ganger før F 2 dukker opp første gang. Deretter kommer sannsynligvis en ny sekvens av F 1 ere osv. Prøv å knytte dette bildet til de geometriske tolkningene av F 1 og F 2.) 32. Vi skal studere likningssystemet x 2 + y 2 48 = 0 x + y + 6 = 0 a. Lag et implisitt plott av de to likningene i samme figurvindu (du kan for eksempel lage et kontur-plott med en enkelt nivåkurve for funksjonsverdien 0). Bruk figuren til å bestemme hvor mange løsninger dette likningssystemet har. Løsningsforslag: Vi tegner opp nivåkurvene f (x, y) = 0 og g (x, y) = 0 i samme figurvindu (og skriver plottet til filen kontur.eps) med følgende kode: 35

36 r=-10:0.1:10; s=-10:0.1:10; [x,y]=meshgrid(r,s); f=x.^2+y.^2-48; g=x+y+6; contour(x,y,f,[0 0]) % tegner opp en nivaakurve hvor f=0 hold( on ) contour(x,y,g,[0 0]) % tegner opp en nivaakurve hvor g=0 axis( square ) hold( off ) print -deps kontur.eps Av figuren ser vi at de to nivåkurvene skjærer hverandre i to punkter, så likningssystemet har to løsninger. b. Bruk figuren du lagde i punkt a) til å finne fornuftige startverdier for Newtons metode, og kjør deretter funksjonen newtonfler med disse startverdiene og passende anonyme funksjoner for å finne tilnærmede verdier for nullpunktene. Løsningsforslag: Vi ser av figuren i punkt a) at de to nullpunktene ligger i nærheten av ( 7,1) og (1, 7), så det kan være lurt å prøve disse som startverdier. Vi utfører Newtons metode på vår vektorvaluerte funksjon og på dens Jacobimatrise med startpunkt ( 7,1), ved hjelp av koden >> 2*x(2); 1 1]) x = Denne verdien er nær å være et nullpunkt, som utskriften fra for-løkken viser oss. NB! Husk på at startpunktet skal angis som en søylevektor. For å finne en tilnærmingsverdi til det andre nullpunktet, bruker vi startpunktet (1, 7) og skriver >> 2*x(2); 1 1]) 36

37 x = Denne verdien er også nær å være et nullpunkt. 33. I denne oppgaven skal vi se på noen viktige forskjeller mellom funksjoner av henholdsvis én og flere variable. a. La f : R R være en deriverbar funksjon av én variabel og anta at det eneste stasjonære punktet til f er et lokalt maksimum i a. Vis at da er a et globalt maksimum for f. Løsningsforslag: Anta at a er det eneste stasjonære punktet til f, og at det er et lokalt maksimum. Anta for motsigelse at a ikke er et globalt maksimum. Da finnes det en b slik at f (b) > f (a). På intervallet [a,b] vet vi at f har et minimum, og vi vet også at dette minimum vil inntreffe i et indre punkt d, siden a er et lokalt maksimum og b et globalt maksimum. Men da vet vi at d er et stasjonært punkt for f, som strider mot at a er det eneste stasjonære punktet for f. Derfor må a være et globalt maksimum. b. La f (x, y) = 1 x 2 (1 + x) 3 y 2 Vis at (0,0) er det eneste stasjonære punktet til f. Løsningsforslag: Vi får at f x = 2x 3(1 + x)2 y 2 f y = 2(1 + x)3 y Vi har to muligheter for at f y = 2(1 + x)3 y = 0, nemlig x = 1 og y = 0. x = 1 innsatt i f x = 0 gir 2 = 0, som ikke har noen løsning. x = 0 innsatt gir at y = 0 er eneste løsning, slik at (0,0) er det eneste stasjonære punktet. c. Vis at (0,0) er et lokalt maksimum, men ikke et globalt maksimum for f. Bruk Matlab til å tegne grafen til f, og tenk gjennom forskjellen på én og flere dimensjoner. Løsningsforslag: Vi regner ut 2 f 2 = 2 6(1 + x)y x2 2 f x y = 6(1 + x)2 y 2 f = 2(1 + x)3 y 2 37

38 Setter vi inn x = 0, y = 0 får vi 2 f (0,0) = 2 x2 2 f x y (0,0) = 0 2 f (0,0) = 2 y 2 ( ) 2 0 slik at H f (0,0) =. Her er det klart at begge egenverdiene er 0 2 negative, slik at (0,0) må være et maksimumspunkt. For å se at (0,0) ikke er et globalt maksimum kan vi regne ut f ( 2, y) = y 2 = 3 + y 2. Det er klart at dette går mot når y, slik at (0,0) umulig kan være et globalt maksimum. For å forklare forskjellen mellom en og to variable, legg først merke til at en funksjon i en variabel må ha derivert lik null i et punkt en går fra å være voksende til stigende (og omvendt). Dette gjelder også for de partielle deriverte til en funksjon i to variable, men det er ikke sikkert at de partielle deriverte er null samtidig, som kreves for at vi skal ha et stasjonært punkt. Derfor kan det være flaten ikke har andre stasjonære punkt, men at verdiene likevel snur og går mot. % Oppgave c) u=linspace(-3,3,100); v=linspace(-3,3,100); [x,y]=meshgrid(u,v); f=1 - x.^2 - ((1+x).^3).*(y.^3); mesh(x,y,f) d. La g : R R være en kontinuerlig funksjon av én variabel og anta at a og b er to lokale maksimumspunkter for f. Vis at det finnes et lokalt minimumspunkt mellom a og b. Løsningsforslag: g restriktert til [a, b] vet vi at har et lokalt minimum. Det er klart at dette punktet er forskjellig fra a og b, siden verdiene av g i nærheten av disse er mindre enn eller lik g (a) og g (b). e. La g (x, y) = 4x 2 e y 2x 4 e 4y Vis at de stasjonære punktene til g er ( 1,0) og (1,0). Løsningsforslag: Vi har at g x = 8xe y 8x 3 g y = 4x2 e y 4e 4y 38

39 Setter vi dette lik 0 ser vi at x = 0 løser den første likningen, men er ikke forenlig med det andre likningen. Deler vi med 8x i den første likningn får vi e y = x 2. Dette innsatt i den andre likningen gir 4x 4 4x 8 = 0, som gir x 4 = 1. Det er klart at x = ±1 er de eneste løsningene her, og det følger også at y = 0. Dermed er (1,0) og ( 1,0) de eneste stasjonære punktene til g. f. Vis at begge de to stasjonære punktene til g er lokale maksimumspunkter. Bruk Matlab til å tegne grafen til g, og tenk gjennom forskjellen på én og flere dimensjoner. Løsningsforslag: Vi regner ut 2 g x 2 = 8e y 24x 2 2 g x y = 8xe y 2 g y 2 = 4x2 e y 16e 4y Setter vi inn x = ±1, y = 0 får vi 2 g (0,0) = 16 x2 2 g (0,0) = ±8 x y 2 g (0,0) = 12 y 2 ( ) 16 ±8 slik at H f (±1,0) =. Determinanten blir her > 0, og siden ±8 12 A = 16 < 0 er det klart at begge punktene er maksimum. % Oppgave f) u=linspace(-3,3,100); v=linspace(-3,3,100); [x,y]=meshgrid(u,v); g=4*(x.^2).*exp(y) - 2*x.^4 - exp(4*y); mesh(x,y,g) 34. Kurven C er gitt ved r(t) = t sin(t)i + (2πt t 2 )j, t [0,2π] Skisser kurven (f.eks. ved å bruke Matlab) og regn ut arealet til området den avgrenser. Svar: 4π 2 Løsningsforslag: Skisserer vi kurven ser vi at orienteringen er mot klokka, slik at 39

40 vi kan bruke Greens teorem direkte. Vi setter P(x, y) = 0 og Q(x, y) = x i Greens teorem og får A = = 2π = 2π xd y = C 2π 0 2π 0 t sin t 2 [ t cos t + t sin t(2π 2t)dt 2π 0 cos tdt t 2 sin tdt ] 2π 0 [ 2 t 2 cos t + ] 2π 2t cos tdt 0 = 2π[ t cos t + sin t] 2π 0 2[ t 2 cos t + 2t sin t + 2cos t ] 2π 0 = 4π 2 2( 4π 2 + 2) + 4 = 4π 2 % Oppgave t=linspace(0,2*pi,100); x=t.*sin(t); y=2*pi*t-t.^2; plot(x,y) 35. Kurven C er gitt ved r(t) = sin2t i + t cos t j, t [0, π 2 ] Skisser kurven (f.eks. ved å bruke Matlab) og regn ut arealet til området avgrenset av kurven. 10 3π Svar: 9 Løsningsforslag: I dette tilfellet vil vi kunne skjønne hva orienteringen må bli ved å regne ut fartsvektoren i startpunktet 0 og i sluttpunktet π 2. Vi får først at v(t) = r (t) = (2cos(2t),cos t t sin t), og deretter v(0) = (2,1) og v( π 2 ) = ( 2, π 2 ). Tegner vi opp disse to vektorene som startretning og sluttretning er det klart at orienteringen må bli positiv. Vi kan derfor bruke Greens teorem direkte. Setter vi 40

41 etter vi P(x, y) = 0, Q(x, y) = x får vi derfor A = = = C π/2 0 xd y = π/2 0 sin(2t)(cos t t sin t)dt (2sin t cos 2 t 2t sin 2 cos t)dt [ 2 3 cos3 t ] π/2 = [ t 3 sin3 t 0 [ t sin3 t 3 sin3 tdt 1 3 (1 cos2 t)sin tdt = [ t 3 sin3 t 1 3 ( cos t cos3 t) ] π/2 0 ] π/2 0 ] π/2 = 2 3 2(π ) = π 3 = 10 9 π 3 % Oppgave t=linspace(0,pi/2,100); plot( sin(2*t), t.*cos(t) ); axis equal; π = Ligningene ( X (u, v) = 1 + v 2 cos u ) cosu ( 2 Y (u, v) = 1 + v 2 cos u ) sinu 2 Z (u, v) = v 2 sin u 2 der 0 u 2π, 1 v 1 gir en parametrisering av et Möbiusbånd. Bruk Matlab til å lage en tegning av båndet. 37. Flaten T har parameterfremstillingen r(u, v) = uv cos v i + uv sin v j + uv k, u [0,1], v [0,2π] og kurven C er gitt ved s(t) = t cos t i + t sin t j + t k, t [0,2π] a. Finn arealet til T og buelengden til C. Lag en tegning av flaten (bruk gjerne Matlab). Svar: Areal: 4 2π 3 3, buelengde: π 4π log(2π + 4π 2 + 2) log 2 41

42 b. La F(x, y, z) = yz i + xz j. Finn T curlf nds både ved direkte utregning og ved hjelp av Stokes teorem. Bruk enhetsnormal n med positiv tredjekomponent. Svar: 4π I denne oppgaven er T flaten z = x 2 y 2 og F er vektorfeltet F(x, y, z) = yz i xz j + z k. a. Tegn nivåkurvene til T for z lik 4, 1,0,1,4, og lag en skisse av flaten. Bruk gjerne Matlab. b. Finn divergensen og curlen til F. Svar: divf = 1,curlF = x i + y j + 2z k c. La C være skjæringskurven mellom T og sylinderflaten x 2 + y 2 = 4, og orienter C slik at den har positiv omløpsretning sett ovenfra. Bruk Stokes teorem til å beregne C F dr. Svar: 0 d. Parametriser C og beregn linjeintegralet ovenfor uten å bruke Stokes teorem. Svar: Parametriseringen kan f.eks. være r(t) = 2cos t i+2sin t j+4(cos 2 t sin 2 t)k e. La V være området i første og fjerde kvadrant som ligger under flaten T, over x y-planet og innenfor sylinderen x 2 + y 2 = 4. Finn volumet til V. Svar: 4 f. La T 0 være den delen av overflaten til V som er del av T. Finn T 0 F nds der n har positiv z-komponent. Svar: Legg inn 6-tuplene a = (3,1, 2,5,4,3) og b = (4,1, 1,5,3,1) i Matlab og utfør kommandoen» plot(a,b). Utfør også kommandoene» plot(a) og» plot(b), og bruk» hold on til å sørge for at de to siste figurene kommer i samme vindu. % Oppgave 4.1 a=[ ]; b=[ ]; 42

43 plot(a,b) plot(a) hold on plot(b) 40. Bruk kommandoen» plot til å lage en enkel strektegning av et hus. % Oppgave 4.2 a=[ ]; b=[ ]; plot(a,b) 41. Bruk Matlab til å tegne grafen til f (x) = x 3 1 over intervallet [ 1,1]. Legg så inn grafen til g (x) = 3x 2 i samme koordinatsystem, og velg forskjellig farge på de to grafene. % Oppgave 4.3 x=-1:0.05:1; plot(x,x.^3-1) hold on plot(x,3*x.^2, r ) 42. Bruk Matlab til å tegne grafen til funksjonen f (x) = sin 1 x over intervallet [ 1,1]. Bruk først skrittlengde langs x-aksen. Tegn grafen på nytt med skrittlengde % Oppgave 4.4 x=-1:0.01:1; plot(x,sin(1./x)) x=-1:0.0001:1; plot(x,sin(1./x)) 43. I denne oppgaven skal vi se på en modell for samspillet mellom rovdyr og byttedyr. Vi lar x n og y n betegne hhv. antall rovdyr og antall byttedyr etter n uker, og vi antar at x n+1 = x n (r + c y n ) y n+1 = y n (q dx n ) der r er litt mindre enn 1, q er litt større enn 1, og c og d er to små, positive tall. 43

44 % Oppgave 8.2 x=zeros(1,1000); y=zeros(1,1000); r=0.98; q=1.04; c=0.0002; d=0.001; x(1)=50; y(1)=200; for k=2:1000 x(k) = x(k-1)*(r+c*y(k-1)); y(k) = y(k-1)*(q-d*x(k-1)); end plot(1:1000,x,1:1000,y) a. Forklar tankegangen bak modellen b. Velg r = 0.98, q = 1.04, c = , d = 0.001, x 1 = 50, y 1 = 200. Lag et program som regner ut x n og y n for n Plott følgene x n og y n i samme koordinatsystem. Hvorfor er toppene til x n forskjøvet i forhold til toppene til y n? 44. En dyrestamme består av tre årskull. Vi regner med at 40% av dyrene i det yngste årskullet lever videre året etter, mens 70% i det nest yngste årskullet lever videre året etter. Ingen dyr lever mer enn tre år. Et individ i det andre årskullet blir i gjennomsnitt forelder til 1.5 individer som blir født året etter. Et individ i det eldste årskullet blir i gjennomsnitt forelder til 1.4 individer som blir født året etter. La x n, y n, z n være antall dyr i hvert årskull etter n år, og forklar hvorfor x n+1 = 1.5y n + 1.4z n y n+1 = 0.4x n z n+1 = 0.7y n % Oppgave 8.3 ab) x=zeros(100); y=zeros(100); z=zeros(100); x(1)=300; 44