8 Eksamens trening. E1 (Kapittel 1) Bruk en av kvadratsetningene til å bestemme verdien av produktet (Eksamen høsten 2014)

Transkript

1 4 8 Eksamenstrening 8 Eksamens trening Uten hjelpemidler E1 (Kapittel 1) Bruk en av kvadratsetningene til å bestemme verdien av produktet (Eksamen høsten 014) E (Kapittel 1) Bruk konjugatsetningen til å regne ut a b (Eksempeloppgave 01) E (Kapittel 1) Skriv så enkelt som mulig. a a + b a b b ( ) ( ) 4 a b a ( ) a b a (Eksamen våren 014) 0 E4 (Kapittel 1) a Skriv så enkelt som mulig. a b + a b a b b Bruk konjugatsetningen til å bestemme ( ) c Hvis x + y = 100 og x + y = 60, hva er da produktet x y? (Eksamen våren 01) E5 (Kapittel 1) Skriv så enkelt som mulig. a ( x 5) ( 1 x)( 1+ x) b x 4 x c d x + 6 x 1 x x + 4 x 4 x x x 50 x 10

2 Uten hjelpemidler 5 E6 (Kapittel 1) Nedenfor er det gitt tre påstander. 1) x + 5x + 6 = 0 x = ) x + 5x + 6 = 0 x = ) x + 5x + 6 = 0 x = Avgjør hvilken av påstandene som er riktig. Begrunn svaret. (Eksempeloppgave 01) E7 (Kapittel 1 og 4) 9 a b a Skriv så enkelt som mulig: ( ab ) a b b Vis at: lg lg lg ( a b) lg ( a ab) b + a + + = + 0 a ( a b) c Skriv så enkelt som mulig: 4 1 a b a d Skriv så enkelt som mulig: lg ( a b) lg lg a b b + (Eksamen høsten 01 og våren 01, noe endret) ( ) E8 (Kapittel 1 og 4) Skriv så enkelt som mulig. a a lg( ab) + lgb lg 5 b b ( x + ) ( x 1)( x + 1) + ( x )( x 1) (Eksamen høsten 01) E9 (Kapittel 1, og 4) Løs likningene. x a x( x + 5) 10 = 4 b = 0 (Eksamen høsten 01) E10 (Kapittel 1, og 4) Løs likningene. a x = 18 x x b = 4 c = x (Eksempeloppgave 01) E11 (Kapittel 1, og 4) Løs likningene. 5x a 4 + x + x 1= b 1= 8 x x + 1 c = 96 d = + +

3 6 8 Eksamenstrening E1 (Kapittel ) Løs likningene. a c 6x 4 x x 1 x = + b ( x ) = x x = 0 d 1 x + x = 6 E1 (Kapittel ) Løs likningene. a x = 18 x b 6 1 x 1 x 1 x + 1 c ( x + 1)( x) = 0 d ( x + )( x 1) ( x 1)( x + ) = 0 E14 (Kapittel ) En bevegelse foregår langs en rett linje. Startfarten var v 0, og akselerasjonen er konstant lik a. Etter tiden t er farten v blitt v = v0 + at. a Bestem en formel for t uttrykt ved v, v 0 og a. b Hvor lang tid tar det før farten v er blitt 5 når akselerasjonen a = og startfarten v 0 = 1? (Eksamen høsten 01) E15 (Kapittel ) Vi har gitt sammenhengen a + ab + b = 1. Finn a uttrykt ved b. Skriv svaret så enkelt som mulig. (Eksamen våren 011) E16 (Kapittel ) Harald kjøpte i alt 0 sekker med bjørkeved og granved. En sekk med bjørkeved kostet 8 kr, og en sekk med granved kostet 65 kr. Til sammen betalte han 1570 kr for sekkene. Bestem hvor mange sekker med bjørkeved og hvor mange sekker med granved Harald kjøpte. (Eksamen høsten 01) E17 (Kapittel ) Løs likningssystemet. x = y 4 4x + y = 1 (Eksamen høsten 014)

4 Uten hjelpemidler 7 E18 (Kapittel ) Løs likningssystemet. y = 6 x y + 4 = x (Eksamen våren 01) E19 (kapittel ) Løs likningssystemet. y = x x y + = x (Eksamen høsten 010) E0 (Kapittel ) Løs ulikhetene. x a > x + b x 6x c ( x + 1)( x ) < 0 d x 7 E1 (Kapittel og 4) Løs likningene. a x x 8 b x = 7 c lg( x + 1) = 4 (Eksamen høsten 01) E (Kapittel og 4) Sammenhengen mellom lydstyrken L og lydintensiteten I er gitt ved formelen L = 10 lgi + 10 Lag en formel for lydintensiteten I uttrykt ved lydstyrken L. (Eksempeloppgave 01) E (Kapittel og 5) En rasjonal funksjon f er gitt ved ax + b f ( x ) = D \{} x 1, f = R 1 Grafen til f skjærer x-asken i x og y-aksen i y 6. a Bestem a og b. b Tegn grafen til f. (Eksamen våren 014)

5 8 8 Eksamenstrening E4 (kapittel og 5) ax + b Grafen til funksjonen f ( x ) = er tegnet nedenfor. cx 1 y x 4 5 Bruk figuren til å bestemme verdiene til a, b og c. (Eksamen høsten 01) E5 (Kapittel og ) a Løs likningssystemet ved regning. y + x = 8 y = 9 x b Marker grafområdet som er bestemt av ulikhetene x 0 y 0 x + y 8 x + y 9 Et uttrykk er gitt ved S( xy, ) = x+ y. 5 c Finn verdien av S(x, y) i punktet, d Finn den største verdien S(x, y) kan ha innenfor grafområdet du fant ovenfor. E6 (Kapittel ) Vi har gitt ulikhetene x 0 y 0 x + y 6 x + y 6 Tegn ulikhetene i et koordinatsystem. Skraver det området som tilfredsstiller alle ulikhetene.

6 Uten hjelpemidler 9 E7 (Kapittel ) Vi har gitt ulikhetene x > 0 y > 0 x + y x + y 6 Tegn ulikhetene i et koordinatsystem. Skraver det området i koordinatsystemet som tilfredsstiller alle ulikhetene. (Eksamen høsten 011) E8 (Kapittel ) y 7 6 (0, 6) 5 4 (, 4) (0, ) 1 (6, 0) x a Finn ulikhetene som bestemmer det markerte grafområdet. Et uttrykk er gitt ved S( xy, ) = 1x+ 8y. b I hvilket punkt i grafområdet har S( xy, ) sin største verdi? Et annet uttrykk er gitt ved Z( xy, ) = 1x+ 1y. c I hvilke punkter i grafområdet med heltallige koordinater har Z( xy, ) sin største verdi? E9 (kapittel ) 1 a Tegn linjene y = x + 5 og y = x + i samme koordinatsystem. b Marker grafområdet til systemet av ulikheter: y x y x + x 0 yy 0 0 c Et uttrykk er gitt ved Z(x, y) = y + x. Finn den største verdien Z(x, y) kan ha når ( x, y) er med i grafområdet i oppgave b.

7 0 8 Eksamenstrening E0 (Kapittel 4) Løs likningene. a lg x + = 5 b lg x lg 1 8 = x c lg ( x + ) + lg ( x ) = lg 5 d lg x = 10 lg x E1 (Kapittel 4) Løs likningene. x a lg = b lg x lg ( x) = lg c 4 + lg( x 5) = 10 E (Kapittel 5) x 4 Vi har gitt funksjonen f ( x) = x 1. Tegn grafen til f for x,5. (Eksamen høsten 010) E (Kapittel 6) Funksjonen f er gitt ved f ( x) = x + x +, Df = R a Bestem f ( x). b Bruk den deriverte til å bestemme eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f. c Regn ut f (). Forklar ved hjelp av det du fant i oppgave b, at f bare har ett nullpunkt. (Eksamen høsten 014) E4 (Kapittel 6) Funksjonen f er gitt ved f ( x) = x x D = R, f Bruk definisjonen av den deriverte til å vise at f ( x) = x 1. (Eksamen høsten 014)

8 Uten hjelpemidler 1 E5 (Kapittel 6) En bedrift produserer x enheter av en vare. Kostnadene K (i kroner) er gitt ved K( x) = 0,1x 10x Inntektene I (i kroner) er gitt ved I( x) = p x, der p er salgsprisen per enhet for varen. a Vis at overskuddet O er gitt ved O( x) = 0,1x + ( 10 + px ) b Hvilken produksjonsmengde gir størst overskudd dersom p 140? c For en bestemt salgspris p er overskuddet størst når bedriften produserer og selger 000 enheter. Hva er denne salgsprisen p? (Eksamen våren 014) E6 (Kapittel 6) En bedrift produserer og selger x enheter av en vare per dag. Fortjenesten F per enhet (målt i kroner) er gitt ved Fx ( ) = 0,01x + 0,x a Hvor mange enheter må bedriften produsere for at fortjenesten per enhet skal bli størst mulig? b Forklar at overskuddet O til bedriften per dag er gitt ved Ox ( ) = x Fx ( ). c Bestem den produksjonsmengden som gjør overskuddet størst mulig. Hvor stort er overskuddet da? (Eksamen våren 014) E7 (Kapittel 6) Funksjonen f er gitt ved f ( x) = x + x 1x + 1. a Bestem f ( x). b Tegn fortegnslinje til f ( x). Bruk den til å avgjøre hvor grafen til f stiger, og hvor den synker. (Eksamen våren 01) E8 (Kapittel, 5 og 6) Funksjonen f er gitt ved f ( x) = x + x. a Bestem nullpunktene til f. b Tegn fortegnslinja til f ( x). Bruk den til å finne eventuelle topp- eller bunnpunkter på grafen til f. c Tegn grafen til f når x,. d Tegn grafen til g( x) = x 4 i samme koordinatsystem. e Bestem skjæringspunktene mellom f og g ved regning. (Eksamen våren 01)

9 8 Eksamenstrening E9 (Kapittel 5 og 6) Vi har gitt funksjonen f. Fortegnslinja til f ( x) er gitt ved x f (x) 0 0 a Bestem hvor grafen til f stiger og synker. b Tegn en skisse som viser hvordan grafen til f kan se ut. (Eksamen høsten 011) E40 (Kapittel 7) Du kaster fem pengestykker. a Hva er sannsynligheten for at du får to mynt? b Hva er sannsynligheten for at du får minst tre mynt? E41 (Kapittel 7) a Skriv opp de seks første radene i Pascals talltrekant. b Bruk talltrekanten til å bestemme ( 4 ) (, 5 ) ( og 5 ). c Bruk talltrekanten til å regne ut ( a + b) 4 og ( a + b) 5. E4 (Kapittel 7) For å ta ut penger på et minibankkort må vi bruke en firesifret PIN-kode. For å sikre en bankkonto er minibankene laget slik at om noen slår inn feil PIN-kode tre ganger, avbrytes forsøket på å få ut penger. a Anders oppdager at han har mistet bankkortet sitt. Hvor stor sannsynlighet er det for at en fremmed som får tak i kortet til Anders, skal kunne ta ut penger på det? b Anders har et reservekort. Han har glemt koden for det, men han vet at han skal bruke sifrene 5, 7, 9 og. Hvor stor sjanse har Anders for å få ut penger om vi vet at han prøver tilfeldig med disse sifrene? E4 (Kapittel 7) Et quizlag er med i en konkurranse. I første omgang får laget åtte spørsmål. For hvert av de åtte spørsmålene er det gitt to svaralternativ, hvorav ett er riktig. a På hvor mange måter kan laget svare på de åtte spørsmålene? I andre omgang får laget oppgitt seks mulige temaer, og de skal velge to av dem. b På hvor mange måter kan laget velge de to temaene? Det er to gutter og to jenter på quizlaget. I tredje omgang skal bare to av dem svare på spørsmålene. c Laget bestemmer seg for å trekke lodd om hvem som skal svare. Hva er sannsynligheten for at én gutt og én jente blir trukket ut?

10 Uten hjelpemidler E44 (Kapittel 7) Med bokstavene A, B, C og D skal vi lage en kode på tre bokstaver. a Hvor mange ulike koder kan vi lage dersom vi tillater at en bokstav kan brukes flere ganger? b Hvor mange ulike koder kan vi lage dersom hver bokstav kan brukes bare én gang? c Hvor mange ulike koder kan vi lage dersom hver av kodene skal inneholde minst to like bokstaver? (Eksamen høsten 014) E45 (Kapittel 7) Nedenfor er det gitt et utsnitt av tre påfølgende rader av Pascals talltrekant x y x Bestem x og y ved å sette opp og løse et likningssystem. (Eksamen høsten 01, litt endret) E46 (Kapittel 7) a Skriv opp de ni første radene av Pascals talltrekant. b Bruk Pascals talltrekant til å bestemme binomialkoeffisientene ( ) 0 ( ),, 5 1 ( ) ( ) og 8. Fra en gruppe med gutter og 5 jenter skal det velges en komité på elever ved loddtrekning. c Bestem sannsynligheten for at det blir 1 gutt og jenter i komiteen. Fra en gruppe med 8 elever skal det velges en komité. Du får vite at komiteen kan settes sammen på 8 ulike måter. d Hvor mange elever kan det være i komiteen? (Eksamen våren 01) E47 (Kapittel 7) a Regn ut binomialkoeffisienten 8 ( ). En gruppe på 8 elever består av like mange gutter som jenter. Vi trekker tilfeldig ut elever. b Hva er sannsynligheten for å trekke ut gutter og 1 jente? c Hva er sannsynligheten for å trekke ut minst 1 jente? (Eksamen våren 011)

11 4 8 Eksamenstrening Med hjelpemidler E48 (Kapittel 1) a Avgjør om implikasjonen nedenfor er riktig. x < 4 x > b Avgjør om den motsatte implikasjonen er riktig. (Eksamen høsten 01) E49 (Kapittel 1) Petter har satt opp tabellen nedenfor. Han tror han har funnet et mønster. n n Petter sier: «Jeg tror at summen av to etterfølgende hele tall pluss kvadratet av det minste av tallene er lik kvadratet av det største av tallene.» a Velg to etterfølgende hele tall, og vis ved eksempel at Petters antakelse er riktig for tallene du har valgt. b Formuler Petters antakelse for to etterfølgende hele tall n og (n + 1) og vis at den er riktig. (Eksamen 1T høsten 01, endret.) E50 (Kapittel 1) Sett inn korrekt symbol ( eller eller ) i boksen slik at påstanden blir riktig: x 9 = 0 x = Skriv av oppgaven på besvarelsen din, og forklar hvordan du tenker. (Eksamen høsten 011) E51 (Kapittel 1, og 4) x x a Løs likningen 7 = 4 5. b Avgjør om implikasjonene nedenfor er riktige. Begrunn svarene dine. 1 x = y = 7 x + y = 10 ( x ) x ( x + ) = 0 x = c Avgjør om den motsatte implikasjonen er riktig i noen av utsagnene i oppgave b. (Eksamen våren 01)

12 Med hjelpemidler 5 E5 (Kapittel 1 og ) Tre bakere skal bake brød. La x være antall kilogram hvetemel som skal brukes. a Baker nr. 1 tar halvparten av hvetemelet, pluss et halvt kilogram. x 1 Forklar at baker nr. 1 tar + x 1 kg hvetemel, og at det er igjen kg hvetemel. b Baker nr. tar halvparten av det hvetemelet som er igjen, pluss et halvt kilogram. x 1 Forklar at baker nr. tar + x 4 4 kg hvetemel, og at det er igjen 4 4 kg hvetemel. c Baker nr. tar halvparten av det hvetemelet som er igjen, pluss et halvt kilogram. x 1 Forklar at baker nr. tar kg hvetemel. x 1 x 1 x 1 d Forklar at + x = Bestem x. (Eksamen våren 011) E5 (Kapittel ) Likningen ax + ( a + ) x + a = 0 er gitt. a er et tall (a R). Bruk CAS til å finne for hvilke verdier av a likningen har E54 (Kapittel ) Vi har gitt likningen x 900 1,10 = 1500 k x Bestem k slik at x 10 er en løsning av likningen. (Eksamen høsten 01) E55 (Kapittel ) Bestem eksakt verdi for b slik at funksjonen f gitt ved f ( x) = x + bx + a har nullpunkter b har bare ett nullpunkt (Eksempeloppgave 01) E56 (Kapittel ) Bestem a slik at likningen x + ( a + ) x + = 0 bare har én løsning. Bestem denne løsningen for x. (Eksempeloppgave 01)

13 6 8 Eksamenstrening E57 (Kapittel ) Avstanden mellom byene A og B er 00 km. t være tiden klokka viser, målt i timer. a Forklar at likningssystemet nedenfor kan brukes til å bestemme hvor langt det er fra A til stedet der bilene møtes. s = 60 t 1 s = t b Løs likningssystemet og bestem hvor langt fra A de møtes. Anta at føreren av bilen som starter i B, ønsker at de skal møtes midt mellom de to byene. c Bestem hvilken fart bilen hans må ha, for at dette skal skje. (Eksamen høsten 014) E58 (Kapittel ) En forhandler selger pukk og veigrus til de lokale entrepenørene. pukk og veigrus. veigrus veier 1,60 t, og 1 m pukk veier 1,6 t. La x være antall tonn veigrus som blir importert, og y antall tonn pukk. a Forklar at opplysningene ovenfor gir oss følgende ulikheter: 0 x y ,6x + 1,60y 176 Forhandleren selger veigrus til 74 kr per tonn. Inntektene ved salg av x tonn veigrus og y tonn pukk er gitt ved Fxy (, ) = 74x+ 106y b Hva er utsalgsprisen for pukk? c Hvor mange tonn veigrus og pukk bør forhandleren kjøpe for å få størst inntekter? (Eksempeloppgave 014)

14 Med hjelpemidler 7 E59 (kapittel ) En matbutikk lager to typer kjøttkaker. Tabellen nedenfor viser hvor mye kjøttdeig og mel som går med til å lage 1 kg kjøttkaker for hver av de to typene. Kjøttkaketype Kjøttdeig Mel A 0,40 kg 0,60 kg B 0,80 kg 0,0 kg Matbutikken har hver uke tilgang på 1000 kg kjøttdeig og 800 kg hvetemel. La x være antall kilogram kjøttkaker av type A og y antall kilogram kjøttkaker av type B som lages hver uke. a Forklar at x og y må oppfylle ulikhetene nedenfor. x 0 y 0 0,60x + 0,0y 800 0, 40x + 0,80y 1000 Uilkhetene avgrenser et område. Marker dette området i et koordinatsystem. Prisen på kjøttkake av type A er 70 kr per kilogram. Prisen for type B er 110 kr per kilogram. b Anta at butikken for solgt alle kjøttkakene. Hvor mye av hver type kjøttkaker må de produsere for at salgsinntektene skal bli størst mulig? En uke er en av de ansatte i butikken syk. De klarer derfor ikke å produsere mer enn 1500 kg kjøttkaker til sammen. c Hvor mye av hver kjøttkaketype må de produsere denne uka for at salgsinntektene skal bli størst mulig? (Eksamen høsten 014) E60 (Kapittel ) Silje lager to typer syltetøy. Type 1 inneholder 90 % bær og 10 % sukker. Type inneholder 40 % bær og 60 % sukker. Syltetøyet skal fylles på glass, og et fullt glass skal inneholde 1 kg syltetøy. Hun har 0 kg bær og 5 kg sukker som hun skal lage syltetøy av. a Hvor mange glass av hver type må hun lage for å få brukt opp 0 kg bær og 5 kg sukker? b Hun kan selge syltetøy av type 1 for 80 kr per glass og syltetøy av type for 40 kr per glass. Hvilken inntekt får hun i dette tilfellet? Forklar ved å bruke lineær optimering at dette er den største inntekten hun kan oppnå. Helsemyndighetene foreslår å øke sukkerprisen slik at syltetøy av type blir dyrest. c Når Silje skal lage mer syltetøy, kjøper hun bær for 0 kr per kilogram. Det skal koste 5 kr mer per glass å lage syltetøy av type enn av type 1. Undersøk hva prisen per kilogram sukker da må være. (Eksamen høsten 01)

15 8 8 Eksamenstrening E61 (Kapittel ) En bedrift produserer to typer laksefôr, Godlaks og Gladlaks. Begge fôrtypene inneholder stoffene A og B. stoffet B. av stoffet B. av stoffet B. x tonn av fôret Godlaks og y tonn av fôret Gladlaks hver uke. a Forklar at x og y må oppfylle ulikhetene x 0, y 0 0,x + 0,6y 0 0,7x + 0, 4y 18 x + y 5 Marker det området som x og y må tilhøre i et koordinatsystem. Bedriften selger hele produksjonen. Salgsprisen for fôret Godlaks er 5000 kr per tonn, mens fôret Gladlaks selges for 8500 kr per tonn. b Hvor mye må bedriften produsere av hver fôrtype for at salgsinntekten per uke skal bli størst mulig? Bestem denne salgsinntekten. (Eksamen våren 01) E6 (Kapittel ) I denne oppgaven skal du bruke lineær optimering. En leketøysfabrikk lager to populære leker, en dukke og en lekebil. Fabrikken har tre avdelinger, én for produksjon, én for maling og én for montering av lekene. Nedenfor ser du en oversikt over nødvendig tidsbruk per leke og antall arbeidstimer som kan brukes i hver av de tre avdelingene. Avdeling Antall arbeids timer per dukkke Antall arbeidstimer per lekebil Produksjon 0,5 0,5 700 Maling 1 0, Montering 0, 0,5 100 Antall tilgjengelige arbeidstimer i alt Hver dukke kan selges for 900 kr, mens hver lekebil kan selges for 00 kr. Vi forutsetter at alt som produseres, blir solgt. a Hvor mange av hver leke vil du anbefale fabrikken å lage når de ønsker at den totale inntekten skal bli så høy som mulig? b Hva er den største inntekten fabrikken kan oppnå? (Eksamen våren 011)

16 Med hjelpemidler 9 E6 (Kapittel ) En ferje frakter personbiler og lastebiler. En personbil trenger et areal på 15 m når den står parkert på ferja, mens en lastebil trenger 50 m. Arealet av hele ferjedekket er 100 m. En personbil veier i gjennomsnitt 1 t (tonn), og en lastebil veier 10 t. Den samlede vekten av bilene på ferja må ikke overstige 50 t. Det koster 106 kr for en personbil på denne ferjestrekningen, mens det koster 60 kr for en lastebil. La x være antall personbiler og y antall lastebiler om bord på ferja ved en overfart. a Sett opp ulikheter som avgrenser antall personbiler og lastebiler det er mulig å ta med på ferja. b Tegn grafer som illustrerer ulikhetene i et koordinatsystem. Marker på figuren hvilket område som angir de mulige antallene av personbiler og lastebiler. c Sett opp et uttrykk som viser hvor stor inntekt ferjeselskapet har på en overfart. Finn den fordelingen av personbiler og lastebiler som gir høyest inntekt for selskapet. Hva er den største inntekten selskapet kan oppnå på en overfart? Det innføres nye regler. Av sikkerhetsgrunner er det ikke lenger tillatt å ta med mer enn 14 lastebiler. d Hva blir den høyeste inntekten som er mulig å oppnå på en overfart? (Eksamen høsten 010) y y y y 1 E64 (Kapittel ) Et gruveselskap produserer tre typer mineraler: kobberkis, sinkblende og blyglans. Selskapet har to gruver, Dronningens gruve og Kongens gruve. I Dronningens gruve produseres det daglig tonn kobberkis, 1 tonn sinkblende og 6 tonn blyglans. I Kongens gruve produseres det daglig 6 tonn kobberkis, 1 tonn sinkblende og 4 tonn blyglans. Driftskostnadene per dag er kr i Dronningens gruve og kr i Kongens gruve. Gruveselskapet får en ordre på 18 tonn kobberkis, 5 tonn sinkblende og 4 tonn blyglans. For å utføre ordren produserer selskapet x dager i Dronningens gruve og y dager i Kongens gruve. a På figuren er det tegnet tre rette linjer y1, y ogy. Bruk figuren og finn likningen for hver av de tre rette linjene. b Forklar hvilke opplysninger i den innledende teksten som kan knyttes til hver av likningene. c Bruk den innledende teksten til å begrunne i hvilket område på figuren punktene ( x, y) kan ligge. Tegn figur og skraver dette området. d Hvor mange dager må selskapet produsere i hver gruve for å få minst mulige kostnader? e Vurder om det blir noe overskudd av mineraler når x selskapet produserer som i oppgave d.

17 40 8 Eksamenstrening E65 (Kapittel 4) Sammenhengen mellom lydstyrke (L) og lydintensitet (I) er gitt ved L = 10lgI a Finn lydstyrken når lydintensiteten er 10 m (rolig samtale). b Finn lydintensiteten når lydstyrken er 100 db (diskotek). c Ved et bord i et diskotek måles lydstyrken fra to høyttalere. Målingene viser 80 db og 110 db. Hva er samlet lydstyrke fra de to høyttalerne? E66 (Kapittel 4) Den radioaktive nedbøren etter Tsjernobyl-ulykken våren 1986 skyldtes radioaktivt cesium, som har en halveringstid på ca. 0 år. Men mennesker og dyr som får dette stoffet i seg, skiller ut en del av det ved vanlige biologiske prosesser. Den tid det tar å skille ut halvparten av et stoff, kalles biologisk halveringstid. Målenheten for radioaktivitet er becquerel, som skrives Bq. Vi tenker oss at kjøttet på et dyr som har spist radioaktiv mat, har en radioaktivitet på 6000 Bq per kg. Vi forutsetter at dyret fra nå av bare spiser mat som er fri for radioaktivitet, og vi regner med en biologisk halveringstid på 0 dager. a Forklar at radioaktiviteten etter t dager er redusert til t ,5 0 Bq per kg. b Hvor lang tid tar det før strålingen blir mindre enn 600 Bq per kg? E67 (Kapittel 4) En forretning selger en bestemt type luer. Salget er avhengig av prisen p kr. Ut fra erfaring antar forretningen at antall luer som vil bli solgt er gitt ved funksjonen L, der Lp ( ) = lg ( p), p [ 00, 500]. a Hvor mange luer regner forretningen med å selge hvis prisen er 450 kr? b Hva er prisen hvis forretningen regner med å selge 600 luer? c Finn et uttrykk for inntekten ved salget av luene. d Bruk CAS til å finne hvilken pris forretningen bør velge for at inntekten skal bli størst mulig. Hva er inntekten da? E68 (Kapittel 4) Lysintensiteten i et vann er tilnærmet gitt ved funksjonen Ix ( ) = I0 10 kx, der I 0 er intensiteten av en lysstråle som treffer normalt på vannoverflata, og x er vanndybden målt i meter. a Lysintensiteten er halvert når vanndybden er,0 m. Bruk CAS til å vise at k = 0,1. b På hvilket dyp er intensiteten redusert med 60 %? cx 1 c Lysintensiteten kan skrives på formen Ix ( ) = I0, der c er en konstant. Bestem c.

18 Med hjelpemidler 41 E69 (Kapittel 4) Vi skal løse likningen nedenfor med hensyn på x, lgx n x n n x, x 0, n 0 = > > n a Vis at denne likningen kan omformes til lg x n x x lg lg n = n b Vis at likningen videre kan skrives ( ) ( ) lg x n lg x lg n = 0 c Bruk likningen i oppgave b til å bestemme x uttrykt ved n. (Eksamen våren 014) E70 (Kapittel 5) For nøyaktig tre år siden satte Per inn kr på en sparekonto. Kontoen har en fast årlig rente på 4,0 %. a Hvor mye penger har Per på sparekontoen i dag? b Hvor mange år vil det gå fra han setter inn pengene, til han har kr på kontoen dersom han lar pengene bli stående på kontoen? Per bestemmer seg for å sette inn mer penger på kontoen. c Hvor mye penger må han sette inn på sparekontoen i dag for at det til sammen skal stå kr på kontoen om sju år? (Eksamen høsten 014) E71 (Kapittel 5) En vanntank har form som en rett kjegle. Tanken er 10,0 m høy. En pumpe fyller 18 m vann på tanken hver time. Det tappes ikke noe vann ut av tanken. Tabellen nedenfor viser vannstanden i tanken ved ulike tidspunkt. Tid i timer Vannstand i meter, 4, 5, 6,0 6,6 7,1 a Sett punktene fra tabellen inn i et koordinatsystem med tiden langs x-aksen og vannstanden langs y-aksen. Lag en potensfunksjon som passer med tallene fra tabellen. b Bestem hvor mange timer det går før tanken er full. Hvor mye vann er det da i tanken? Det skal bygges en ny tank med samme form, men høyere. Den nye tanken skal romme 1000 m. c Hvor lang tid tar det for pumpa å fylle den nye tanken? Hvor høy blir den nye tanken? (Eksamen høsten 014)

19 4 8 Eksamenstrening E7 (Kapittel 5) Figuren viser grafen til funksjonen f gitt ved 1 f ( x) = 6 x, Df = R y D C A B x Under grafen og over x-aksen er det skrevet inn et rektangel ABCD slik figuren viser. Punktene A og B ligger på x-aksen, og C og D ligger på grafen. Punktet B har førstekoordinaten x, der x 0. a Forklar at arealet F av rektanglet kan skrives som en funksjon av x gitt ved Fx ( ) = 1x x. Bestem D f. b Det fins to verdier av x som gjør at arealet av rektanglet blir lik 9. Bestem disse to verdiene. c Bestem den verdien av x som gjør at arealet av rektanglet blir størst mulig. Hva blir det størst arealet? d Bestem et uttrykk for omkretsen av rektanglet. Bestem den verdien av x som gjør at omkretsen av rektanglet blir størst mulig. Kommenter svaret. (Eksamen høsten 01) E7 (Kapittel 5) Kostnadene f, målt i kroner, ved å produsere en bestemt vare er gitt ved funksjonen 0,4x f ( x) = der x er antall hundre produserte enheter. For eksempel svarer x 0 til 000 enheter. Produsenten selger hele produksjonen. Prisen per enhet er 500 kr. a Forklar at inntektsfunksjonen g er gitt ved g( x) 500x. Tegn grafene til f og g i samme koordinatsystem når x [ 0, ]. b Bestem hvor mange enheter som må produseres og selges for at driften skal gå i balanse. c Bestem den produksjonsmengden som gir størst overskudd. Hvor stort er dette overskuddet?

20 Med hjelpemidler 4 E74 (Kapittel 5 og 6) Vi har funksjonen f ( x) = 0,5x x + 1,5. a Grafen til f har en tangent t i punktet (,()). 1 f 1 Hva er stigningstallet for tangenten? 1 En annen funksjon g er gitt ved g( x) = x ax +, der a er en konstant. b Tangenten til grafen til g i punktet ( 1, g( 1)) er parallell med tangenten t i oppgave a. Bestem verdien for a. c Tegn i samme koordinatsystem grafen til f og grafen til g med den verdien du fant for a i oppgave b. Hva kan du si om grafene i punktene med x-koordinat 1? E75 (Kapittel 5 og 6) Et bakeri lager x kaker per dag, i tillegg til andre bakervarer. Bakeriet har funnet at de totale kostnadene K( x) i kroner ved kakeproduksjonen avhenger av antall kaker, slik tabellen viser. Antall kaker x Totale kostnader K(x) a Bruk regresjon til å bestemme en polynomfunksjon av tredje grad som passer best mulig med tallene i tabellen. I resten av oppgaven vil vi bruke kostnadsfunksjonen K gitt ved ( ) [ ] Kx = 0,001x 0,x + 0 x, x 0, 50 Bakeriet selger alle kakene for 15 kr per stykk. Inntektsfunksjonen I er da gitt ved Ix ( ) 15x b Tegn grafene til K og I i samme koordinatsystem. Bestem hvilke produksjonsmengder som gir overskudd, og hvilke som gir underskudd. c Bruk derivasjon til å bestemme hvor mange kaker som bør produseres dersom overskuddet skal bli størst mulig. Hva er det største overskuddet bakeriet kan oppnå per dag når vi bare ser på kakeproduksjonen? Som et ekstra tilbud til kundene vurderer bakeriet å sette ned prisen per kake. d La prisen per kake være p kr. Bestem den minste verdien p kan ha dersom det skal være mulig å oppnå balanse mellom kostnader og inntekter. Hvor mange kaker bør lages og selges per dag når p har denne verdien? (Eksamen høsten 01)

21 44 8 Eksamenstrening E76 (Kapittel, 5 og 6) En bedrift har funnet at de samlede kostnadene f ved å produsere x enheter av en vare er gitt ved f ( x) = ,01x. a De samlede kostnadene må ikke overstige 00. Hvor mange enheter kan bedriften da høyst produsere? b Hele produksjonen blir solgt. Salgsinntekten g er gitt ved g( x) 1,6x. Hvilke produksjonsmengder gir overskudd for bedriften? Hvilken produksjonsmengde gir størst overskudd? Hvor stort er dette overskuddet? Hvis prisen per enhet er p, kan salgsinntekten skrives som h( x) = p x. Bedriften vil undersøke hvor lavt prisen kan settes dersom det skal være mulig å oppnå balanse mellom kostnader og inntekter. y f h T x c Forklar at vi kan bestemme denne minsteprisen når grafen til h tangerer grafen til f. Se figuren. Det kan vises at den minste prisen som vil gi balanse, er p 1, 48. d Forklar at prisen er minst når p = f () a, der a er førstekoordinaten til tangeringspunktet T på figuren. Bruk dette til å bestemme hvor mange enheter det produseres og selges når prisen er minst. e Likningen f ( x) h( x) kan omformes til 0,01x px + 55 = 0. Bestem den verdien for p som gjør at denne likningen har bare én løsning. Forklar hvorfor denne verdien er den minste prisen som vil gi balanse. (Eksamen våren 01) E77 (Kapittel 5 og 6) En produsent skal lage en rett, lukket sylinder. Høyden h og diameteren d kan variere, men d + h = 6. Vi setter radius i sylinderen lik x. Vis at volumet V av sylinderen da kan skrives som V ( x) = 6πx π x.

22 Med hjelpemidler 45 E78 (Kapittel 5 og 6) En bedrift selger en vare og ønsker å finne en optimal pris per enhet. De har foretatt en markedsanalyse og funnet ut at når prisen er p kr per enhet, får de solgt x enheter slik tabellen nedenfor viser. Pris p Antall solgte enheter x a Bruk regresjon til å finne en modell for antall solgte enheter som funksjon av prisen p. Videre i oppgaven går vi ut fra følgende modell for antall solgte enheter: x = 40p når prisen er p kr per enhet. Bedriften ønsker å sette prisen så høyt som mulig, men ikke høyere enn at de får solgt alle enhetene de produserer. b Vis at inntektene ved salg av x enheter er I( x) = 0,05x + 40x. Bedriften har kommet fram til at kostnadene ved å produsere x enheter er Kx ( ) = 0,00x + 10x , x 0, 100. c Avgjør om bedriften får overskudd dersom de produserer og selger 1000 enheter. d Tegn grafene til K og I i samme koordinatsystem. e Vis at overskuddet ved produksjon av x enheter er gitt ved Ox ( ) = 0,07x + 0x f Hva må prisen per enhet være for at overskuddet skal bli størst mulig? (Eksamen våren 01) E79 (Kapittel 5 og 6) Funksjonen f er gitt ved f ( x) = ax bx. Grafen til f har et toppunkt i, f () punktet ( 1, f () 1 ). Bestem de eksakte verdiene for a og b. ( ) og en tangent med stigningstall i E80 (kapittel 5 og 6) Vi har gitt funksjonen f ( x) = x 9x + 1x. 1 a Tegn grafen til f når x,. b Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet [ 1, ]. Marker denne på figuren i oppgave a. 1 c Finn den momentane vekstfarten når x. Marker den på figuren i oppgave a. d Tegn fortegnslinja til f ( x) og bruk den til å finne hvor grafen til f stiger, og hvor grafen til f synker. e Løs likningen f ( x) = 0. Bestem topp- og bunnpunktet på grafen til f. f Vis ved regning at likningen f ( x) 0 bare har løsningen x 0. (Eksamen høsten 010)