Fibonaccitallene og det Gylne Snitt

Transkript

1 Fibonaccitallene og det Gylne Snitt 4. mai Fibonacci Er navnet kjent? Leonardo Fibonacci var en italiensk matematiker som levde i Pisa rundt år Han er anerkjent som en av middelalderens største matematikere, hans arbeid har formet den vestlige verden til den vi kjenner, fordi det var ham som innførte de arabiske tallene, bedre kjent som titallssystemet, i Europa! Før dette regnet man med romertall, men Fibonacci innså at titallssystemet var mye mer praktisk. Dette er det viktigste budskapet i hans hovedverk, Liber Abaci - Regningens Bok. Det han imidlertid er mest kjent for i dag er tallfølgen vi kaller Fibonaccitallene. 2 Kaniner, bier og blomster Å formere seg som kaniner er en vanlig uttrykk, men hvor fort kan egentlig kaniner formere seg (ideelt sett)? La oss se på en tenkt situasjon: To nyfødte kaniner, én hann og én hunn, settes ut på et jorde. Figur 1: Kanin i en eng 1

2 Kaniner kan få unger fra de er 1 måned gamle, og vi ser for oss at alle kaniner med mulighet produserer to unger, én hann og én hunn, hver måned fra de er 1 måned gamle. Vi får følgende situasjon: 1. Ved slutten av 1. måned parer de seg, det er kun ett par kaniner. 2. Ved slutten av 2. måned får de ett par unger, det er nå 2 par kaniner på engen. 3. Ved slutten av 3. måned får det originale paret enda et par unger, det er nå 3 par kaniner på engen. 4. Ved slutten av 4 måned får det originale paret ett par unger, det eldste av ungeparene er nå to måneder gamle og får sitt første par unger. Det er nå 5 par kaniner på engen. Og det er nå det begynner å ta av... Figur 2: Kaniner Tenk over hvordan dette fortsetter. Ser du noen sammenheng? Nå vil noen kanskje tenke: Dette er jo ikke det spor realistisk, hverken kaniner eller andre dyr vil pare seg med søsknene sine! Derfor skal vi se litt på noen blomster og bier i stedet. Honningbier har en noe snodig måte å formere seg på. I en bikube er det bare én bie som produserer egg, dette er dronningen. Hvis eggene ikke blir befruktet, blir barna hanner - hanner har altså bare en mor, men ingen far. Men hvis eggene blir befruktet av en hann, vil avkommet bli av hunkjønn. Disse jentebarna er sterile arbeidere; de kan ikke produsere egne egg, men har altså to foreldre. Hvordan blir da stamtreet til biene seende ut? Hvor 2

3 mange forfedre har en gitt bie for hver generasjon? Prøv å tegne det opp, og se om det er noe system. Så til blomstene: Noen planter vokser på en spesifikk måte. Hvert skudd setter nye skudd hver måned, men et nytt skudd må vokse to måneder før det er sterkt nok til å sette egne. Hvor mange grener har planten etter mange måneder? Figur 3: Planten 3 Det Gylne Snitt Dette er nok et kjent begrep for de fleste. Det gylne snitt er noe vi kaller et irrasjonalt tall, det vil si at det ikke kan skrives nøyaktig - det har et uendelig antall desimaler! Rasjonale tall kjennetegnes ved at de kan skrives som en brøk av to heltall. Dette kan vi ikke gjøre med irrasjonale tall. Blant de mest kjente irrasjonale tallene er π(3, ), 2 ( ), eulertallet e (2, ) og det gylne snitt, ofte kalt φ. Et linjestykke er gyllent dersom det deles i et punkt slik at forholdet mellom hele linjen og den lengste biten er det samme som forholdet mellom den lengste biten og den korteste. Forholdet er da lik φ. Menneskekroppen, naturen, kunst og arkitektur er full av gylne snitt og rektangler, det har seg nemlig sånn at ting bygd opp etter dette forholdet oppfattes som penere enn andre. (For mer utførlig informasjon om dette temaet: Et raskt Google-søk på golden section gir 310 millioner treff. Les i vei!) Leonardo Da Vincis velkjente studie av menneskets anatomi, Den Vitruviske Mann, har avmerket en mengde steder hvor det gylne snitt kan finnes igjen. Mål selv! 3

4 Figur 4: Den Vitruviske Mann 4 Fibonaccitallene Tilbake til utgangspunktet: Fibonaccitallene. Følgen av tall der hvert tall er summen av de to foregående dukker opp mange steder i naturen, enten som hele følgen, enkeltvis eller i par. Solsikkefrø, for eksempel, ligger pakket slik at alle frøene har passelig med plass, en optimal utnyttelse av den tilgjengelige plassen. Teller man spiralene som dannes i en stor solsikke (to sett, en i hver retning), vil du med svært stor sannsynlighet komme fram til et Fibonacci-par! Men hvordan kan vi bruke Fibonaccitallene til å finne en tilnærmet verdi for det gylne snitt?

5 Del to og to tall på hverandre. 1/1, 2/1, 3/2 osv... Lag en graf av tallene du får ut. Hva finner du? 5