108 b i tªp v v n v b t ng thùc

Transkript

1 108 b i tªp v v n v b t ng thùc Sigma-maths Sigmathsgroup@gmail.com

2 Sigma - MATHS LÍI GIÎI THI U Cuèn s ch nhä n y ñc nhâm c c th nh vi n SIGMA-MATHS s u t m v bi n so n phöc vö cho cæng ngh» gi o döc cõa nhâm. Xu t ph t tø c c v n r t ìn gi n ng íi håc câ thº nhanh châng l m quen v th n thi»n vîi chuy n ng nh B t ng Thùc(BT), câ c i nh¼n tü tin, têng thº tr îc c c v n v BT. Ngay c khi ph i r±n luy»n c c kÿ n«ng º i thi chóng ta v n câ õ b n l¾nh º nh gi vi»c m¼nh ang ph i thüc hi»n. V n câ thº th y m¼nh ang l m to n hay ang l m quen vîi nhúng k¾ n«ng thi cû. Hi vång c c gi ng vi n hay c c b n l n u l m quen vîi BT u t¼m th y nhúng i u bê ½ch. S ch gçm 4 ph n: 1. L m quen: Tø c c b i tªp ìn gi n n ng cao d n, c c gi o vi n câ th m t i li»u gi ng d y t½ch hñp v t i. C c b n håc sinh câ thº tü thüc hi»n c c b i tªp. Cuèi ch ìng chóng ta ñc l m quen vîi c c BT nêi ti ng ð d ng ìn gi n nh t.. T¼m hiºu BT (Cho nhúng ng íi tá má). Trong möc n y chóng tæi giîi thi»u hai t i thó và. â l ành lþ s p x p v ành lþ Shapiro. ành lþ s p x p còng chùng minh ch v i dáng n y g y b t ngí. H ng lo t c c b t ng thùc danh ti ng ñc chùng minh l i nh nhúng v½ dö p döng cõa ành lþ n y. y công ch½nh l ëng lüc mð íng cho c c tr o l u mîi. t i thù hai l ành lþ Shapiro. Tø khi ra íi nh mët gi thuy t, ph i sau 45 n«m mîi câ c u tr líi y õ cho cho c u häi t ra. Tr ng th i óng sai cõa gi thuy t l i g y sü chó þ lîn trong t m iºm cõa nhi u cuëc luªn b n. 3. Ph n luy»n tªp: K t thóc b ng nhúng b i to n hay v lþ thó, cuèn s ch cung c p cho c c b n nhúng k t qu nêi ti ng düa tr n c c ki n thùc vøa l m quen. 4. Appendix: Ghi nhanh mët b i gi ng lþ thó cõa GS.TSKH Nguy¹n V«n Mªu v BT bªc v ùng döng. - Mong b n åc âng gâp nhúng þ ki n quþ gi º cæng vi»c cõa chóng tæi ng y c ng ho n thi»n v phöc vö c c b n ñc nhi u hìn. C m ìn c c b n! H Nëi. 09/03/017 Þ ki n xin chuyºn v : sigmathsgroup@gmail.com loiscenter@gmail.com 1

3 MÖC LÖC Sigma - MATHS Möc löc 1 L m quen vîi b t ng thùc B t ph ìng tr¼nh C c trung b¼nh th íng g p Trung b¼nh cëng, nh n, b¼nh ph ìng, i u háa cõa hai sè B t ng thùc trong b t ng thùc Trung b¼nh cëng v trung b¼nh nh n cõa nhi u sè ành lþ v c c s p x p B t ng thùc tam gi c B t ng thùc CBS B t ng thùc Jensen C c b i tªp têng hñp Tr m ng m trong l u i B t ng Thùc B t ng thùc s p x p - hay cán gåi l BT ho n và B t ng thùc Shapiro : gi i xong m ch a thº h t Luy»n tªp p döng c c BT nêi ti ng B t ng thùc trong h¼nh håc Appendix Nhúng b t ng thùc bªc kiºu th y Mªu Trong c«n h m b½ mªt cõa c c phò thõy ra Còng b i thi n y c c anh t i BT s³ h nh ëng th n o?

4 Sigma - MATHS 1 L m quen vîi b t ng thùc. 1.1 B t ph ìng tr¼nh. 1. Gi i c c b t ph ìng tr¼nh sau: a, 3x x < 4; b, x 1 x + 1 < x3 1 x ; c, x + 1 x < C c ph n sè a 1, a,..., a n câ m u sè b i > 0(i=1,,...,n). CMR gi trà cõa ph n sè b 1 b b n a 1 + a a n n m giúa gi trà nhä nh t v lîn nh t cõa c c ph n sè a i cho. b 1 + b b n b i 3. D y sè sau d y n o bà ch n tr n, (tùc l tçn t i mët sè K sao cho b t k¼ ph n tû n o cõa d y u câ gi trà khæng v ñt qu K). H y x c ành câ tçn t i sè K nh vªy khæng v hay t¼m sè K nhä nh t n u câ thº trong méi tr íng hñp: a, a n = n ; b, b n = n ; c, c n = n ; d, d n = n(n + 1). 4. D y f n = câ bà ch n hay khæng? n 1. C c trung b¼nh th íng g p. 5. y cõa mët h¼nh thang l a v c. H y biºu thà qua a v c c c i l ñng sau: a, íng trung b¼nh cõa h¼nh thang. b, o n th ng i qua giao iºm cõa hai íng ch²o, song song vîi hai y v giîi h n bði hai c nh b n cõa h¼nh thang. c, o n th ng n o lîn hìn trong c c o n th ng x c ành trong a v b? H y cho chùng minh b ng i sè v h¼nh håc. 3

5 1.3 Trung b¼nh cëng, nh n, b¼nh ph ìng, i u háa cõa hai sè. Sigma - MATHS 6. (Vªn tèc trung b¼nh, thíi gian v qu ng íng ) a, Mët æ tæ i vîi vªn tèc v 1 trong mët thíi gian nh t ành, v sau â i vîi vªn tèc v công trong thíi gian nh vªy. Häi tr n c qu ng íng xe æ tæ i vîi vªn tèc trung b¼nh l bao nhi u? b, Mët æ tæ i tø A n B vîi vªn tèc v 1, sau â khi quay l i tø B v A vîi vªn tèc v. H y x c ành vªn tèc trung b¼nh cõa æ tæ trong c h nh tr¼nh. 7. Tam gi c vuæng ABC. íng cao CT chia c nh huy n AB thanh c c o n AT=p, BT=q. H y biºu thà qua p v q c c i l ñng sau: a, ë d i íng cao CT; b, ë d i íng trung tuy n CF; c, ë d i h¼nh chi u vuæng gâc cõa CT l n CF. 1.3 Trung b¼nh cëng, nh n, b¼nh ph ìng, i u háa cõa hai sè. 8. a, Chu vi cõa mët h¼nh chú nhªt l P. Di»n t½ch (S) cõa h¼nh chú nhªt â n m trong kho ng n o? b, Di»n t½ch cõa mët h¼nh chú nhªt l S. Chu vi (P) cõa h¼nh chú nhªt â n m trong kho ng n o? 9. Cho a v b R +. H y ch ra r ng: a, a + b a + b ; b, a + b a.b; c, a.b ab a + b ; d u b ng x y ra khi v ch khi n u a=b. 10. a, N u x R +. H y ch ra r ng: x + 1 x b, N u x R. H y ch ra r ng x + 1 x 4

6 1.3 Trung b¼nh cëng, nh n, b¼nh ph ìng, i u háa cõa hai sè. Sigma - MATHS 11. a,b l c c sè d ìng. CMR a b + b a. 1. iºm n o câ tåa ë (x,y) l nghi»m cõa ph ìng tr¼nh hiperbol x.y = 1 câ và tr½ ð g n t m cõa h» tåa ë nh t? 13. H m sè g(x) tr n mi n sè thüc Gi trà cüc tiºu (minimum) cõa h m sè l bao nhi u? g(x) = x + x Chia o n th ng AB th nh hai ph n sao cho c c h¼nh vuæng ñc düng tr n c c o n th ng â ( xem h¼nh v³) câ têng c c di»n t½ch a) Nhä nh t; b) Lîn nh t. 15. N u têng cõa hai sè d ìng khæng êi, th¼ t½ch cõa chóng c ng lîn khi hi»u cõa chóng c ng nhä. Têng b¼nh ph ìng c ng lîn khi hi»u cõa chóng c ng lîn. 16. C c íng th ng a, b,c v d t o th nh mët h¼nh tù gi c. Tø giao iºm cõa a v b ng íi ta muèn i n giao iºm cõa hai íng kia vîi còng mët ùa tr. V¼ vªy ng íi ta ph i chån íng i ng n nh t. ùng tø iºm xu t ph t nh¼n v hai ph½a ng íi ta u th y ngay r ng tr îc khi i ñc nûa cõa méi íng u ph i r³ vuæng gâc t i gâc phè g n nh t. Th m núa o n íng a (câ v ) d i hìn o n íng b. Ng íi ta ph i chån i íng n o? 17. N u 0< b a, h y ch ra r ng 1 b).(a 8 a a + b a.b 1 8 b).(a. b 5

7 1.4 B t ng thùc trong b t ng thùc. Sigma - MATHS 1.4 B t ng thùc trong b t ng thùc. 18. Cho a, b, c l c c sè d ìng, CMR: (a + b)(b + c)(c + a) 8abc. 19. Cho a, b, c l c c sè d ìng, CMR: ab a + b + bc b + c + ca c + a a + b + c. 0. Cho a 1, a,..., a n l c c sè d ìng sao cho a 1.a.....a n = 1. CMR: (1 + a 1 )(1 + a )...(1 + a n ) n 1. N u x, y, z R. CMR: x + y + z x y + z + y x + z. D u b ng x y ra khi n o?. Cho a 1, a, a 3 l c c sè d ìng sao cho a 1 + a + a 3 = 1. CMR: 4a a a < 5 3. H m sè hai n x, y R: f(x, y) = x + y xy x y + 1 H y x c ành gi trà cüc trà (cüc i, cüc tiºu) cõa h m sè. x 4. + xy + y Ch ra r ng n m giúa trung b¼nh cëng A(x,y) v trung b¼nh b¼nh 3 ph ìng N(x,y). C c gi trà trung b¼nh n y so vîi gi trà A(x, y).n(x, y) câ luæn nhä hìn hay lîn hìn khæng? 6

8 1.5 Trung b¼nh cëng v trung b¼nh nh n cõa nhi u sè. Sigma - MATHS 1.5 Trung b¼nh cëng v trung b¼nh nh n cõa nhi u sè. 5. Cho x, y, z R +. CMR: x + y + z 3 3 xyz Khi n o x y ra d u b ng? 6. Chùng minh b t ng thùc giúa trung b¼nh cëng v trung b¼nh nh n. Ngh¾a l n u a 1, a,..., a n l c c sè d ìng, th¼ a 1 + a a n n n a 1.a...a n khi n o x y ra d u b ng? 7. Cho x, y l c c sè d ìng. CMR x 3 + y xy. 8. Sè thüc λ nhä nh t n o sao cho b t ng thùc x 4 + y 4 + λ 8xy luæn luæn óng vîi måi sè thüc x, y. 9. H y ch ra r ng vîi c c sè d ìng a, b b t k¼ b t ng thùc sau luæn óng: n+1 a.b n a + nb n Tø c c gâc cõa h¼nh vuæng c nh 30 cm, ng íi ta c t c c h¼nh vuæng nhä rçi g p vuæng gâc c c ph n cán l i th nh mët c i hëp mð n p. Häi ph i c t nhúng h¼nh vuæng con câ c nh bao nhi u cm º h¼nh hëp ñc t o th nh câ thº t½ch lîn nh t? 7

9 1.6 ành lþ v c c s p x p. Sigma - MATHS 31. ( t i tranh luªn.) T¼m gi trà cüc i cõa h m sè bªc ba p(x) = 3x 3 7x + 4 tr n kho ng [-1,1]. [ GS. u To: p(x) = ( x)(1 x)(3x + ). Nh vªy ngo i kho ng 1; 3 ] th¼ [ 3 ] P < 0 v trong kho ng ; 1 th¼ P 0. Nh vªy ch c n kh o s t tr n kho ng [ 3 ] ; 1 l õ. Tr n kho ng n y, ( x); (1 x) v (3x + ) u khæng m. Sû döng AM - GM: 3 p(x) = 3 (4 x)(1 x)(3x + ) (4 x) + (1 x) + (3x + ) 3 = 7 3 Nh vªy gi trà cüc i cõa p(x) l , 35 GS Tai Lîn: p(x) = 4 x (7 3x). Trong mi n c n kh o s t, (7 3x) < 0. Do â p(x) 4. Vªy k t qu cõa GS. u To khæng óng. Häi lªp luªn ai óng? Gi trà cüc i cõa p(x) b ng bao nhi u? 3. Trong b i tªp n y chóng ta kh o s t h m sè g(x) = x 3 3x + 3 : a, Lªp b ng mët sè gi trà cõa h m sè; x g(x) b, Thû v³ h¼nh d ng cõa h m sè; c, Cho c c gi trà cüc trà àa ph ìng, cüc trà to n thº. d, H m sè l y gi trà y n o, bao nhi u l n? Gi i p c u häi n y vîi måi gi trà thüc cõa y. 33. T¼m gi trà cüc i cõa h m sè h(x) = x.(4000 x 3 ) khi x [0; 100]. 34. Cho n l mët sè nguy n d ìng v l mët sè thüc ( n). Kþ hi»u e n, l gi trà cüc i cõa t½ch n thøa sè khæng m v câ têng b ng (n + ). a, T½nh v lªp b ng c c gi trà cõa e n, n u 100 n 105 v 3 3. b, Kh o s t b ng gi trà. H y tü a c c gi thuy t cõa b n th n v gi trà cõa e n, v c c mèi li n h» i sè cõa gi trà n y. c, Thû chùng minh hay phõ ành c c gi thuy t. 1.6 ành lþ v c c s p x p. 35. N u a 1 < a v b 1 < b th¼ a 1.b 1 + a.b v a 1 b + a b 1 i l ñng n o lîn hìn v lîn hìn bao nhi u? 8

10 1.7 B t ng thùc tam gi c Sigma - MATHS 36. N u a 1 < a < a 3 v b 1 < b < b 3. C c i l ñng (a 1 b 1 + a b + a 3 b 3 ), (a 1 b 1 + a b 3 + a 3 b ), (a 1 b + a b 1 + a 3 b 3 ) (a 1 b + a b 3 + a 3 b 1 ), (a 1 b 3 + a b 1 + a 3 b ), (a 1 b 3 + a b + a 3 b 1 ) i l ñng n o a) Nhä nh t? b) lîn nh t? 37. (ành lþ c c s p x p hay cán gåi l b t ng thùc Szucs Adolf ) N u a 1 a... a n v b 1 b... b n. (a i, b i R) v π l mët giao ho n cõa (1,, 3,..., n), khi â a 1 b 1 +a b a n b n a 1 b π(1) +a b π() a n b π(n) a 1 b n +a b n a n b 1. Khi n o x y ra d u b ng? 38. Trong hai biºu thùc d îi y a 1, a, a 3, a 4 l c c sè thüc b t ký. Câ thº kh ng ành biºu thùc b n n y luæn lîn hìn b n kia hay khæng? N u óng h y chùng minh, n u sai a ra ph n v½ dö! a, a 1 + a + a 3 + a 4 v (a 1 a 4 + a a 3 ) b, a 1 a 4 + a a 3 + a 3 a + a 4 a 1 v a 1 a + a a 3 + a 3 a 4 + a 4 a N u a 1, a, a 3, a 4, a 5 l c c sè d ìng b t ký. CMR a 1 a + a a 3 + a 3 a 4 + a 4 a 5 + a 5 a B t ng thùc tam gi c 40. Cho tr îc c nh v íng cao t ìng ùng thuëc c nh â cõa tam gi c. Khi n o chu vi cõa nâ l nhä nh t? 1.8 B t ng thùc CBS 41. Gi trà cõa a 1 b 1 +a b thay êi trong kho ng n o n u a 1 +a = 1 v b 1 +b = 1? 9

11 1.8 B t ng thùc CBS Sigma - MATHS 4. (B t ng thùc Cauchy-Bunhyakovski-Schwarz ) Cho a 1, a, a 3,..., a n v b 1, b, b 3,..., b n l c c sè thüc b t ký. CMR: a 1 b 1 + a b a n b n (a 1 + a a n ).(b 1 + b b n ) Trong tr íng hñp a, n=3; b, n > 3 N Khi n o x y ra d u b ng? 43. N u x 1, x, x 3 l c c sè thüc, CMR: ( 1 x x x 3 ) 1 x x x 3 (1) 44. N u a 1, a, a 3, a 4 l c c sè thüc d ìng câ têng b ng 1. CMR:. 4a a a CMR vîi x,y > 0 th¼ (a + b) x + y a x + b y. Khi n o d u b ng x y ra? 46. CMR n u x 1, x,..., x n > 0 th¼ (a 1 + a + a a n ) a 1 x 1 + x x n x a n x n Khi n o x y ra d u b ng? 47. CMR BT trong b i 46 t ìng ìng vîi b t ng thùc Cauchy - Bunhyakovski - Schwarz. 48. Cho a, b, x, y >0. H y l t m t ph ng b ng nhúng mi ng v n s n k½ch th îc (a b) v (x y ) (h¼nh v³) sao cho c c nh cõa ba h¼nh chú nhªt bao quanh t m tåa ë, gi sû y b {(0; 0), (a; b)}, {( x; b y), (0; b)}, {(0; y), (x; 0)} (b>y l m t ìng tü). H y t¼m tr n b n v³ mët h¼nh b¼nh h nh, º câ thº chùng minh b ng ph ìng ph p h¼nh håc BT CBS trong tr ìng hñp c c c p sè d ìng. 10

12 1.9 B t ng thùc Jensen. Sigma - MATHS 49. Bi t r ng a 1 b 1 1, a b 1,....., a n b n 1 trong â a i, b i l c c sè d ìng v c c h» sè p 1, p,...., p n 0 sao cho p 1 + p p n = 1. CMR (a 1 p 1 + a p a n p n )(b 1 p 1 + b p b n p n ) H y chùng minh b t ng thùc CBS cho nhi u sè: ( ) ( )( )( ai b i c i ai bi ci ) 1.9 B t ng thùc Jensen. 51. a, CMR h m sè f(x) = x l h m lçi. b, Chùng minh BT li n h» giúa trung b¼nh cëng v trung b¼nh b¼nh ph ìng cõa nhi u sè h ng! Tùc l n u a 1, a, a 3,..., a n l c c sè khæng m, th¼ a 1 + a a n n a1 + a a n n 11

13 1.10 C c b i tªp têng hñp. Sigma - MATHS 5. a, CMR h m sè f(x) = 1 x l h m lçi khi x R+. b, Chùng minh BT li n h» giúa trung b¼nh cëng v trung b¼nh i u háa cõa nhi u sè h ng! Tùc l n u a 1, a, a 3,..., a n l c c sè d ìng, th¼ a 1 + a a n n n a 1 a a n 53. H m lçi n o chùng minh cho mèi li n h» BT giúa AM v GM? 1.10 C c b i tªp têng hñp. 54. CMR b t ng thùc sau luæn thäa m n vîi måi x 1, x, x 3 : x 1 + x + x 3 x 1 x x x 3 x 3 x N u a 1, a, a 3,..., a n l c c sè d ìng, CMR: ( 1 (a 1 + a a n ) ) n. a 1 a a n 56. Kþ hi»u p(a, b, c) = a 3 + b 3 + c 3 v q(a, b, c) = a b + b c + c a. Trong c c m nh sau, m»nh n o óng? I. N u a,b,c d ìng th¼ p(a, b, c) q(a, b, c) II. N u a,b,c d ìng th¼ p(a, b, c) q(a, b, c). H y chùng minh ho c phõ ành. 57. (B t ng thùc Nesbitt) N u a, b, c l c c sè d ìng CMR: a b + c + b c + a + c a + b N u a, b, c l c c sè d ìng. CMR: a, ab c + bc a + ca b a + b + c b, a b + b c + c a b a + c b + a c 1

14 1.10 C c b i tªp têng hñp. Sigma - MATHS 59. N u a, b, c l c c sè d ìng câ têng b ng 1. T¼m gi trà nhä nh t cõa biºu thùc 1 + a b c 60. N u a, b, c l c c sè d ìng. a, H y ch ra r ng ( 1 a 1) (1 b 1) (1 c 1) 8; b, T¼m gi trà nhä nh t cõa ( 1 a + 1) (1 b + 1) (1 c + 1) 61. N u n N +. CMR: ( n + 1 ) n ( n + 1 n! ) n 6. N u a, b, c, d l c c sè d ìng. CMR: a b + c d a + c b + d Thäa m n khi v ch khi n u m u sè cõa c c ph n sè ho c tròng nhau, ho c gi trà cõa ph n sè câ m u sè lîn hìn công khæng lîn hìn. D u b ng x y ra khi v ch khi ho c m u sè cõa hai ph n sè b ng nhau, ho c gi trà cõa ph n sè b ng nhau. 63. X c ành gi trà cüc tiºu cõa biºu thùc sau, n u c c tham sè a i (i=1,...,008) l c c sè d ìng. S = a 1 a a + a a 1 + a 3 + a 3 a + a a 008 a a CMR vîi n l sè nguy n õ lîn th¼ n < n. 65. CMR vîi måi k nguy n d ìng b t ký n u n l sè nguy n õ lîn th¼ n k < n. 66. CMR vîi måi a thùc p(n) b t k¼ l sè nguy n õ lîn thi p(n) < n. 13

15 Tr m ng m trong l u i B t ng Thùc. Sigma - MATHS Muèn th y To n h y nh¼n b ng m t cõa ri ng m¼nh! Trong cuëc du làch nhä v o l u i BT n y, chóng ta s³ còng th ðng thùc hai tuy»t ph m: - B t ng thùc s p x p Szucs Adolf hay cán gåi BT ho n và. - B t ng thùc xoay váng Shapio. Sü xu t hi»n cõa B t ng thùc s p x p, ngo i k t qu to n håc, cán chùa üng nëi dung lþ thuy t mð íng. Ch vîi hai d y ñc s p x p ho n to n n u nh n c c sè tøng æi mët rçi t½nh têng th¼ gi trà cüc i s³ nhªn ñc khi ta t ìng t c c c d y còng chi u v gi trà nhä nh t nhªn ñc khi chóng tr i chi u. ành lþ kh ng ành mët quy luªt tü nhi n khæng ìn gi n, trong cuëc sèng ng íi ta th íng cæng nhªn ½t khi kiºm nghi»m. Vi»c chùng minh ành lþ n y công ho n to n düa tr n sü s p x p tü nhi n: N u câ hai ph n tû g y n n lçi lãm th¼ ta ch c n chuyºn ché hai vªt â - l m màn m t b ng. Hiºn nhi n gi trà lîn nh t v nhä nh t thº hi»n ð sü cëng h ðng hay t½nh tri»t ti u trong t ìng t c cõa hai d y sè. ành lþ ñc chùng minh n«m 194, bði mët nh b c håc ng íi Hungary Szucs Adolf ( ) - t c gi l n n nh n cõa th m håa ph t x½t (1945). ành lþ r t trong s ng còng chùng minh ch v i dáng n y g y b t ngí. H ng lo t c c b t ng thùc danh ti ng ñc chùng minh l i nh nhúng v½ dö p döng cõa ành lþ n y. V y ch½nh l sùc m nh mð íng cho c c trao l u mîi cõa cæng cuëc nghi n cùu LÞ THUY T KHÆNG C N BŒNG m h¼nh nh ng íi ta ang ph t huy trong thüc t nhi u hìn khi ch a th nh chu n müc. t i thù hai l inh lþ Shapiro. Ng íi ta câ thº coi BT xoay váng n y l mët t c ph m Picasso cõa Cëng çng BT. Tø khi ra íi nh mët gi thuy t, ph i sau 45 n«m mîi câ c u tr líi y õ cho c u häi t ra. Tr ng th i óng sai cõa gi thuy t g y sü chó þ lîn trong t m iºm cõa nhi u cuëc luªn b n. V hai t i nâi ri ng n y v v BT nâi chung, n u x p h ng c c n ph m trong n îc còng c c n ph m n îc ngo i tæi m nh d n xu t và tr½ top 10 t c ph m cõa PGS. TSKH Nguy¹n Minh Tu n (NXB i håc quæc gia H Nëi): Lþ thuy t Cì sð cõa h m lçi v c c B t ng Thùc cê iºn. y l mët t c ph m to n håc khi åc câ sùc cuèn hót thó và. Nhúng nh nghi n cùu, c c b n quan t m,v c c em håc sinh u câ thº t¼m th y i u m¼nh c n, câ thº sû döng húu ½ch cho cæng vi»c v tr nh ñc cho b n th n khäi rìi v o váng xo y cõa BT và BT..1 B t ng thùc s p x p - hay cán gåi l BT ho n và. Ph n n y tæi dòng nguy n mët v«n b n ti ng Anh. y l mët b i gi ng hay ñc giîi sinh vi n v håc sinh chuy n tay nhau kh rëng r i. B n th n tæi b t g p khi lang thang t¼m t i li»u v åc c c b i vi t tr n m ng. Rearrangement Inequality The rearrangement inequality (also known as permutation inequality) is easy to understand and yet a powerful tool to handle inequality problems. 14

16 .1 B t ng thùc s p x p - hay cán gåi l BT ho n và. Sigma - MATHS Definition: Let a 1 a... a n and b 1 b... b n be any real numbers. a, S = a 1 b 1 + a b a n b n is called the Sorted sum of the numbers. b, R = a 1 b n + a b n a n b 1 is called the Reversed sum of the numbers. c, Let c 1, c,..., c n be any permutation of the numbers b 1, b,..., b n. P = a 1 c 1 + a c a n c n is called the Permutated sum of the numbers. 67. Rearrangement inequality S P R Proof: (a) Let P(n) be the proposition: S P. P(1) is obviously true. Assume P(k) is true for some k N. For P(k+1), Since the c's are the permutations of the b's, suppose b k+1 = c i and c k+1 = b j (a k+1 a i )(b k+1 b j ) 0 a i b j + a k+i b k+1 a i b k+1 + a k+1 b j a i b j + a k+1 b k+1 a i c i + a k+1 c k+1 So in P, we may switch c i and c k+1 to get a possibly larger sum. After switching of these terms, we come up with the inductive hypothesis P(k). P(k + 1) is also true. By the principle of mathematical induction, P(n) is true n N. (b) The inequality P R follows easily from S P by replacing b 1 b... b n by b n b n 1... b 1. Note: (a) If a is are strictly increasing, then equality holds (S = P = R) if and only if the b is are all equal. (b) Unlike most inequalities, we do not require the numbers involved to be positive. 68. Corollary 1: Let a 1, a,..., a n be real numbers and c 1, c,..., c n be its permuation. Then a 1 + a a n a 1 c 1 + a c a n c n 69. Corollary : Let a 1, a,..., a n be positive real numbers and c 1, c,..., c n be its permuation. Then c 1 a 1 + c a c n a n n The rearrangement inequality can be used to prove many famous inequalities. Here 15

17 .1 B t ng thùc s p x p - hay cán gåi l BT ho n và. Sigma - MATHS are some of the highlights. 70. Arithmetic Mean - Geometric Mean Inequality (A.M G.M) Let x 1, x,..., x n be positive numbers. Then x 1 + x x n n Equality holds if and only if x 1 = x =... = x n. n x 1 x...x n. Proof: Let G = n x 1 x...x n, a 1 = x 1 G, a = x 1x G,..., a n = x 1x...x n = 1. G n By corollary, n a 1 + a a n = x 1 a n a 1 a n 1 G + x G x n G <=> x 1 + x x n n Equality holds a 1 = a =... = a n x 1 = x =... = x n. n x 1 x...x n 71. Geometric Mean - Harmonic Inequality (G.M H.M.) Let x 1, x,..., x n be positive numbers. Then n n x 1 x...x n x 1 x x n Proof: Define G anf a 1, a,..., a n similarly as in the proof of A.M - G.M. By Corollary, n a 1 a + a a a n a 1 = G x 1 + G x G x n which then gives the result. 7. Root Mean Square - Arithmetric Mean Inequality (R.M.S A.M) Let x 1, x,..., x n be numbers. Then x1 + x x n n x 1 + x x n n Proof: By Corollary 1, we cyclically rotate x i, x 1 + x x n = x 1 x 1 + x x x n x n x 1 + x x n x 1 x + x x x n x 1 x 1 + x x n x 1 x 3 + x x x n x x 1 + x x n x 1 x n + x x x n x n 1 Adding all inequalities together, we have n(x 1 + x x n ) (x 1 + x x n ) Result follows. Equality holds x 1 = x =... = x n 16

18 .1 B t ng thùc s p x p - hay cán gåi l BT ho n và. Sigma - MATHS 73. Cauchy - Bunyakovskii - Schwarz inequality (CBS inequality) Let a 1, a,..., a n ; b 1, b,..., b n be real numbers. Then (a 1 b 1 + a b a n b n ) (a 1 + a a n ).(b 1 + b b n ) Proof: The result is trivial if a 1 = a =... = a n = 0 or b 1 = b =... = b n = 0. Otherwise, define A = a 1 + a a n, B = b 1 + b b n Since both A and B are non-zero, we may let x i = a i A, x n+i = b i 1 i n. B By Corollary 1, = a 1 + a a n + b 1 + b b n = x A B 1 + x x n x 1 x n+1 + x x n x n + x n + x n+1 x 1 + x n+ x x n x n = (a 1b 1 + a b a n b n ) AB (a 1 b 1 + a b a n b n ) (a 1 + a a n ).(b 1 + b b n ) Equality holds x i = x n+i a i B = b i A 1 i n. 74. Chebyshev's inequality Let x 1 x... x n and y 1 y... y n be any real numbers.then x 1 y 1 +x y +...+x n y n (x 1 + x x n )(y 1 + y y n ) n x 1 y n +x y n x n y 1 Proof: By Rearrangement inequality, we cyclically rotate x i and y i, x 1 y 1 + x y x n y n = x 1 y 1 + x y x n y n x 1 y n + x y n x n y 1 x 1 y 1 + x y x n y n x 1 y + x y x n y 1 x 1 y n + x y n x n y x 1 y 1 + x y x n y n x 1 y n + x y n x n y 1 = x 1 y n + x y n x n y 1 Adding up the inequalities and divide by n, we get our result. 17

19 . B t ng thùc Shapiro : gi i xong m ch a thº h t. Sigma - MATHS Exercise Hint 75. Find the minimum of sin3 x cosx + cos3 x sinx, 0 < x < π ( 1 Consider (sin3 x, cos 3 x), sinx, 1 ) cosx 76. Proof: For (ii) and questions below, (i) a + b + c ab + bc + ca Witout lost of generality, let a b c (ii) a n + b n + c n ab n 1 + bc n 1 + ca n 1 Consider (a, b, c), (a n 1, b n 1, c n 1 ) 77. Proof: 1 a + 1 b + 1 c a + b + c abc Consider ( 1 a, 1 b, 1 ) ( 1, c a, 1 b, 1 ) c 78. Proof: a b + b c + c a b a + c b + a c Consider ( a b, b c a), c ( a, b, b c a), c 79. Proof: a ( b + b c + c 1 a a + b + c Consider (a, b, c ), a, 1 b, 1 ) c ( Proof: If a, b, c > 0 and n N then : Consider (a n, b n, c n ), a n b + c + bn c + a + cn a + b an 1 + b n 1 + c n 1 b + c, 1 c + a, 1 a + b ) 81. Proof: If a, b, c > 0, then: Consider (a, b, c), (log a, log b, log c) a a b b c c (abc) a+b+c 3 and use Chebyshev's inequality. B t ng thùc Shapiro : gi i xong m ch a thº h t. N«m 1954, Harold S. Shapiro xu t mët gi thuy t v mët b t ng thùc têng xoay váng cho n, nh sau: Cho x i 0, x i + x i+1 > 0 vîi i N. Khi â: P (n) = x 1 + x x n 1 n x + x 3 x 3 + x 4 x n + x 1. n sau 45 n«m b i to n ñc gi i quy t ho n to n vîi nhúng kh½a c nh k t qu v mæi tr íng k t qu g y r t nhi u bï ngï. B n åc câ thº tham kh o t ìng èi y õ v chi ti t qu tr¼nh h¼nh th nh v ph t triºn cõa v n n y trong cuèn s ch cõa 18

20 . B t ng thùc Shapiro : gi i xong m ch a thº h t. Sigma - MATHS PGS TS Nguy¹n Minh Tu n (Lþ Thuy t cì sð cõa h m lçi v c c b t ng thùc cê iºn trang ). H y l ñc qua c c thíi iºm quan trång trong làch sû cõa ành lþ n y. - N«m 1956, Lighthill cho ph n v½ dö BT khæng óng trong tr íng hñp n=0. - N«m 1958, Lighthill ch ra r ng P(n) sai vîi nhúng n ch n lîn hìn ho c b ng 14 (n 14); çng thíi Rankin công chùng minh ñc sai vîi n l õ lîn. óng mët n«m sau (1959), Zulauf chùng minh ñc r ng P(53) l sai. - C c tr íng hñp P(6) - Diananda (1959), P(8) Djokovic (1963) chùng minh l óng. Sau â n«m 1963, Diananda cho v½ dö chùng minh P(7) sai. - Công còng n«m n y (1963), Diananda chùng minh ñc i u tuy»t víi sau: a, N u k 0 l sè tü nhi n ch n v n u P(k 0 ) óng th¼ P(n) óng vîi måi n ch n khæng v ñt qu k 0. b, N u k 0 l sè tü nhi n l v n u P(k 0 ) sai th¼ P(n) s³ sai vîi måi n l lîn hìn k 0. K t qu cõa Diananda h n ch húu h n c c tr íng hñp óng câ thº cõa gi thuy t. P(n) sai vîi n ch n lîn hìn ho c b ng 14, v P(n) sai vîi måi gi trà n l khæng nhä hìn 7. N«m 1968, Nowosad kh ng ành ñc P(8) l óng b ng mët b n chùng minh d i 64 trang. L ñng sè li»u v sè tr íng hñp khêng lç công k t thóc qu tr¼nh chùng minh ành lþ n y b ng bót ch¼ v gi y. Cuèi còng n«m 1989, Troesch düa tr n nhúng t½nh to n cõa m y t½nh c bi»t tr¼nh b y b ng chùng thuy t phöc r ng P(n) óng vîi n ch n khæng v ñt qu 1 v P(n) óng vîi n khæng v ñt qu 3 v sai vîi c c tr íng hñp cán l i. V m t To n håc, cæng tr¼nh cõa Troesch kh²p l i 45 n«m nghi n cùu v kiºm nghi»m sü óng sai cõa gi thuy t Shapiro. Cho n n«m 199, Bushell chùng minh khæng c n m y t½nh cho tr íng hñp n=10. V n n«m 00, Bushell v McLeod cæng bè ph²p chùng minh cho n=1. M c dò v n Shapiro câ c u tr líi ho n to n, nh ng ch½nh c c k t qu n y v n gñi l n nhúng c u häi cán l m m t ngõ nhi u ng íi quan t m. Mët b i to n ph t biºu ho n to n sì c p m t i sao xu t hi»n líi gi i phö thuëc t½nh ch n l cõa c c thæng sè tham gia? Mèi li n h» v kho ng c ch r t b½ hiºm cõa c p sè (1, 3) công ch a câ líi gi i th½ch thäa ng. Tr îc mët b i to n ng íi ta v n c m th y bà ëng v¼ khæng tr líi ñc cho b n th n tr îc c u häi:" T i sao l i ph i nh vªy?". Kho ng c ch ng n minh ho cho ë xo n cõa d y sè th¼ sü kh c bi»t cõa líi gi i khi xu t hi»n t½nh ch n l h¼nh nh cán t o sü nghi ngí cõa c c tr íng hñp lîn hìn con sè 1. 19

21 Sigma - MATHS Kº tø n«m 1989 trð l i y, tø khi gi thuy t Shapiro ñc gi i p th¼ sùc cuèn hót cõa nâ l i sæi ëng hìn trong cëng çng To n håc. Tø mët t i BT và BT, ng íi ta mð rëng sang kh½a c nh t¼m kh n«ng ùng döng ngo i thüc t cho k t qu "trî tr u" n y. Vi»c giîi thi»u k t qu Shapiro khæng thº trån vµn n u khæng nh c n BT Nesbitt ñc chùng minh tø n«m ành lþ n y sau trð th nh mët tr íng hñp c bi»t cõa ành lþ Shapiro vîi n=3: Vîi a,b, c d ìng: a b + c + b c + a + c a + b 3 Câ r t nhi u chùng minh hay v thó và cho ành lþ n y. Nh ng h¼nh nh v n thi u c ch chùng minh b ng sû döng ành lþ s p x p. y công câ thº t o n n mët h îng nh¼n kh c v t i n y. Trong ành lþ Shapiro, c c sè h ng c u th nh têng v h¼nh thùc r t chîi vîi, câ l³ n u ñc thay b ng c c sè h ng câ d ng: a i a i + a i+1 + a i+ c c d ng xo n s³ bît "xæ bç" hìn v câ l³ s³ cho chóng ta mët c ch ti p cªn n o â kh c cho t i xo n. Gi thuy t xo n mîi cõa chóng ta: Cho x i 0, x i + x i+1 + x i+ > 0 vîi i N. Khi â: P (n) = x 1 x 1 + x + x 3 + x x + x 3 + x hi vång s³ l mët v n khæng ph i ñi l u líi gi i! x n 1 x n 1 + x n + x 1 n 3 3 Luy»n tªp 3.1 p döng c c BT nêi ti ng. 84. CMR vîi a,b,c d ìng: 1 a + 1 b + 1 c ab bc ca 85. Cho a, b,c d ìng. CMR: 1 a b c 1 b 3 a. 3 a + 1 c b. 3 b + 1 a c. 3 b 0

22 3.1 p döng c c BT nêi ti ng. Sigma - MATHS 86. Gi i ph ìng tr¼nh tr n mi n sè thüc: x 3 = x Di»n t½ch cõa mët tù gi c lçi l 3cm, têng cõa mët íng ch²o v hai c nh èi di»n l 16 cm. T½nh ë d i cõa íng ch²o kia? 88. Cho m,n nguy n d ìng, x d ìng. CMR: m.x n + nx m m + n (k t qu v n óng khi n l sè thüc d ìng). 89. Cho a,b,c l c c sè nguy n d ìng ( thüc d ìng công óng). CMR: ( a + b + c a a.b b.c c 3 ) a+b+c 90. a,b,c l nhúng sè thüc kh c 0. CMR: a b + b c + c a a b + b c + c a 91. Cho a i vîi i=1,,...,n l c c sè d ìng. CMR: ( a1 + a a ) a1 +a n +...+a n ( a a1 1 a.a a a1...a n + a a n n n a 1 + a a n ) a1+a+...+an 9. BT Bernulli Cho a > 1 v a 0, q>0, q 0. CMR: { (1 + a) q > 1 + qa n u q > 1 (1 + a) q < 1 + qa n u q < 1 (1) 93. CMR: N u n>1 v n tü nhi n: n n > (n + 1) n N u x, y l c c sè d ìng, n l sè tü nhi n lîn hìn. CMR: x n y n 1 (nx (n 1).y) 1

23 3. B t ng thùc trong h¼nh håc. Sigma - MATHS 95. T¼m gi trà cüc tiºu cõa h m sè f(x) = 4 x 5 3x. 96. N u a i > 0(i = 1,,..., n) CMR: (a 1 a 1.a a.....a n a n ) n (a 1.a... a n ) a 1+a +...+a n 97. N u p, q l c c sè nguy n d ìng lîn hìn 1, CMR: (n 1).pq + (n 1).(p + q) + 1 n (n 1).pq CMR vîi n tü nhi n lîn hìn 1: n 1 + n n (n 1) n < Cho a i v b i vîi i=1,,...,n l c c sè thüc d ìng. CMR: n 1 a i b i n 1 b i th¼ n a i 1 n 1 b i 100. Vîi a, b, c, d l c c sè d ìng. CMR: a b + c + b c + d + c d + a + d a + b 3. B t ng thùc trong h¼nh håc Tam gi c ABC chùa tam gi c MNL. Chùng minh r ng: a, Chu vi cõa tam gi c ABC lîn hìn ho c b ng chu vi tam gi c MNL. b, Di»n t½ch tam gi c ABC lìn hìn di»n t½ch tam gi c MNL. Trong c hai tr íng hñp khi n o d u b ng x y ra? 10. (iºm Fermat-Toricelli ) X c ành iºm P trong tam gi c ABC sao cho têng kho ng c ch tø P n c c nh cõa tam gi c l nhä nh t.

24 Sigma - MATHS 103. (B i to n Fagnano ch n ba íng cao). Mët tam gi c ñc gåi l nëi ti p trong mët tam gi c kh c n u méi nh cõa tam gi c n y n m tr n mët c nh kh c nhau t ìng ùng cõa tam gi c kia. Cho tr îc tam gi c nhån ABC. Trong t t c c c tam gi c nëi ti p trong tam gi c ABC, tam gi c nëi ti p câ c c nh l ch n cõa ba íng cao cõa tam gi c ABC l tam gi c câ chu vi nhä nh t ÀNH LÞ ( Cæng thùc EULER BT v b n k½nh). Cho tam gi c nhån ABC. B n k½nh váng trán t m O ngo i ti p ABC v b n k½nh váng trán t m I nëi ti p tam gi c ABC l n l ñt l R, r. Kho ng c ch OI=d. CMR: a, d = R Rr (cæng thùc EULER). b, R r (BT b n k½nh ) (B t ng thùc POTOLEME). C c c nh cõa mët tù gi c lçi theo thù tü l n l ñt l a,b,c,d. Hai íng ch²o l e v f. CMR ac + bd ef, d u b ng x y ra khi v ch khi tø gi c l h¼nh nëi ti p trong váng trán (B t ng thùc ERDOS MORDELL). Cho P l mët iºm thuëc tam gi c ABC ( P câ thº n m trong hay n m tr n chu vi cõa tam gi c). Kho ng c ch tø P n A,B,C l n l ñt l u, v, w: kho ng c ch tø P n c c íng th ng BC, CA, AB l n l ñt l x,y,z. Khi â: u + v + w (x + y + z) d u b ng x y ra khi v ch khi P l trång t m cõa tam gi c u ABC a, Trong c c tam gi c câ còng chu vi tam gi c u câ di»n t½ch lîn nh t. b, Trong c c tam gi c còng di»n t½ch tam gi c u câ chu vi nhä nh t Chùng minh r ng b t ký mët tam gi c nhån n o câ di»n t½ch b ng 1 công câ thº t ñc trong mæt tam gi c vuæng câ di»n t½ch khæng qu 3. 4 Appendix. Khi L m Quen Vîi Khæng C n B ng k t thóc th¼ væ t¼nh tròng hñp vîi thíi iºm GS.TSKH Nguy¹n V«n Mªu gi ng mët b i ng n nh ng håc c th ng ch a ch c h t: SO S NH PH N SÈ I SÈ ñc bªt m½ - B½ quy t x o n u BT - chóng tæi bi n so n l i thuy t tr¼nh º phöc vö c c b n muèn t¼m hiºu k¾ b i gi ng cõa S Phö ( t n gåi th y k½nh trång v th n mªt 3

25 4.1 Nhúng b t ng thùc bªc kiºu th y Mªu Sigma - MATHS giúa c c th nh vi n tr trong seminar cõa hëi To n Håc H Nëi). T t nhi n qu tr¼nh bi n so n l i s³ thi u mët sè c c þ t ðng ch a n m b t ñc cõa th y nh ng công s³ thøa th m nhúng tèi ki n chõ quan khæng thº tr nh - theo c ch håc cõa méi ng íi m câ. 4.1 Nhúng b t ng thùc bªc kiºu th y Mªu Xu t ph t tø mët i u hiºn nhi n ( (x y) 0) x y + y(x y) (1) V th m mët sè d a h nh m m muèi: x = y + (x y) () 1 = (x y) (3) Nh n (1), () v (3) vîi l n l ñt ba sè a, b, c trong â a d ìng. Rçi cëng c v ta ñc: ax + bx + c (ay + by + c) + ay(x y) + b(x y) k½ hi»u f(x) l h m bªc hai f(x) = ax + bx + c ta nhªn ñc mët b t ng thùc thó và vîi måi x,y: f(x) f(y) + (ay + b)(x y) (4) th m i u ki»n ay+b > 0 s³ câ BT: f(x) ay + b f(y) + (x y) (5) ay + b Mët BT v ph i x ch cán l bªc nh t v (ay+b) = f'(y) ( o h m). 4. Trong c«n h m b½ mªt cõa c c phò thõy ra. u ti n ng íi ta dòng t½nh ch t tuy n t½nh cõa x ð v ph i º phò ph²p BT (5) th nh nhúng th nh ph n khâ nhªn ra. B i thi 1: Cho x 1 + x + x 3 = 10. T¼m gi trà cüc tiºu cõa biºu thùc : M = x x 6 + x 3 10 (6) 4

26 4.3 Còng b i thi n y c c anh t i BT s³ h nh ëng th n o? Sigma - MATHS C c phò thõy ra ch bi n th n o º nhªn ñc b i to n n y? Ma thuªt. u ti n c c phò thõy cho h m bªc hai f(x) = x. Nh vªy trong f(x) c c h» sè a=1, b=0, c=0. Chån y 1 =, y = 3, y 3 = 5. º þ r ng y 1 + y + y 3 = 10(= x 1 + x + x 3 ). Thay c c c p (x = x i ; y = y i ) l n l ñt v o BT (5) ta nhªn ñc h» BT: ( f(x) ay + b = ) 4 4 ( 4 + (x 1 ) x 1 = f(y) ay + b + (x y) ) x (x 3) x (x 3 5) Cëng hai v v ìn gi n hâa c c sè h ng ta thu ñc k t qu : V tr i x x 6 + x (v ph i = k t qu ) Ph²p m u ch thi vøa ñc biºu di¹n. 4.3 Còng b i thi n y c c anh t i BT s³ h nh ëng th n o? Xin nh c l i thi: B i thi : Cho x 1 + x + x 3 = 10. T¼m gi trà cüc tiºu cõa biºu thùc : M = x x 6 + x 3 10 (6) Nhúng ng íi câ b o bèi BT bªc hai s³ nhanh châng ra nhúng n sè ph i t¼m. â l bë sè (y 1 ; y ; y 3 ) vîi y 1 + y + y 3 = 10(= x 1 + x + x 3 ), v c c ch sè a v b sao cho thäa m n h» ph ìng tr¼nh: y 1 + y + y 3 = 10 ay 1 + b = 4 ay + b = 6 ay 3 + b = 10 Th m c c i u ki»n : a > 0; ay i + b > 0(i = 1,, 3). V cuèi còng l khîp h m sè bªc hai f(x) º t¼m c c gi tri f(x i )(i = 1,, 3). 5

27 4.3 Còng b i thi n y c c anh t i BT s³ h nh ëng th n o? Sigma - MATHS Qua y ta công th y mët cuëc chi n khæng d¹ d ng èi vîi ng íi gi i m. ( Tæi ch dòng mët v½ dö ìn gi n º nâi l n ñc nëi dung ch½nh cõa cæng vi»c b n ra v b n gi i ). Trong b i gi ng cán mët ph n núa cho c c a thùc bªc cao, hi vång s³ câ dàp ñc ti p töc m o sau khi nghe ti p b i gi ng cõa th y Mªu. a tr n c c ch d n ban u chóng tæi công nghà b n åc quan t m nhi u hìn t½nh ùng döng cõa c c ành lþ Bernoulli (b i sè 94) v c c b i tªp trong möc 3.1. Xin ch n th nh c m ìn sü quan t m v nhúng þ ki n âng gâp cõa b n åc! H T