FYS2140 KVANTEFYSIKK

Transkript

1 % % * FS2140 KVANTEFSIKK $#! " 465 '&

2 Første uke, 1014 januar Mandag: Første time: Presentasjon av kurset med opplegg m.m. Mandag: Andre time, enheter og størrelser i FS2140 Tirsdag: Sort legemestråling og Plancks kvantiseringshypotese (Tirsdag: Fotoelektrisk effekt) Torsdag og fredag: Datalab med repetisjonsoppgaver (matematikk). ) 465

3 En hund etter kvantefysikk.. 78:9 465 '&

4 Undervisningsopplegg Forelesninger: mandag ( ) og tirsdag ( , dessverre...) + 465

5 Undervisningsopplegg Forelesninger: mandag ( ) og tirsdag ( , dessverre...) Forelesningsnotater for første del av kurset er lagt ut på kursets hjemmeside

6 Undervisningsopplegg Forelesninger: mandag ( ) og tirsdag ( , dessverre...) Forelesningsnotater for første del av kurset er lagt ut på kursets hjemmeside. Onsdagstimen brukes til gjennomgang av obliger samt tilleggsoppgaver. Første gang 19. januar

7 Undervisningsopplegg Forelesninger: mandag ( ) og tirsdag ( , dessverre...) Forelesningsnotater for første del av kurset er lagt ut på kursets hjemmeside. Onsdagstimen brukes til gjennomgang av obliger samt tilleggsoppgaver. Første gang 19. januar. Regneverksted og datalab: tre grupper, 913 torsdag og fredag. Fredag 1317 er for MEF of ELDAT. Maks 15 studenter per gruppe

8 Undervisningsopplegg Forelesninger: mandag ( ) og tirsdag ( , dessverre...) Forelesningsnotater for første del av kurset er lagt ut på kursets hjemmeside. Onsdagstimen brukes til gjennomgang av obliger samt tilleggsoppgaver. Første gang 19. januar. Regneverksted og datalab: tre grupper, 913 torsdag og fredag. Fredag 1317 er for MEF of ELDAT. Maks 15 studenter per gruppe. Oppgavene som skal leveres inn kunngjøres tirsdagen i uka før. Innleveringsfrist mandag

9 Undervisningsopplegg Av 12 innleveringsoppgaver skal 6 være godkjent for å gå opp til eksamen

10 Undervisningsopplegg Av 12 innleveringsoppgaver skal 6 være godkjent for å gå opp til eksamen. Kurset består av tre hoveddeler, og oppgavene følger disse. For hver del må minst to oppgaver være godkjent. Innleveringsobligene 14 hører til del 1, 58 til del 2 og 912 til del

11 Undervisningsopplegg Av 12 innleveringsoppgaver skal 6 være godkjent for å gå opp til eksamen. Kurset består av tre hoveddeler, og oppgavene følger disse. For hver del må minst to oppgaver være godkjent. Innleveringsobligene 14 hører til del 1, 58 til del 2 og 912 til del 3. Oppgavene returnes rettet påfølgende labtime.gjennomgås første onsdagen etter innlevering

12 Undervisningsopplegg Av 12 innleveringsoppgaver skal 6 være godkjent for å gå opp til eksamen. Kurset består av tre hoveddeler, og oppgavene følger disse. For hver del må minst to oppgaver være godkjent. Innleveringsobligene 14 hører til del 1, 58 til del 2 og 912 til del 3. Oppgavene returnes rettet påfølgende labtime.gjennomgås første onsdagen etter innlevering. Tilleggsoppgaver gjennomgås også på onsdagstimen

13 Undervisningsopplegg Av 12 innleveringsoppgaver skal 6 være godkjent for å gå opp til eksamen. Kurset består av tre hoveddeler, og oppgavene følger disse. For hver del må minst to oppgaver være godkjent. Innleveringsobligene 14 hører til del 1, 58 til del 2 og 912 til del 3. Oppgavene returnes rettet påfølgende labtime.gjennomgås første onsdagen etter innlevering. Tilleggsoppgaver gjennomgås også på onsdagstimen. Elektronisk innlevering av oppgavene (Latex) er frivillig men vil bli satt pris på

14 Undervisningsopplegg Av 12 innleveringsoppgaver skal 6 være godkjent for å gå opp til eksamen. Kurset består av tre hoveddeler, og oppgavene følger disse. For hver del må minst to oppgaver være godkjent. Innleveringsobligene 14 hører til del 1, 58 til del 2 og 912 til del 3. Oppgavene returnes rettet påfølgende labtime.gjennomgås første onsdagen etter innlevering. Tilleggsoppgaver gjennomgås også på onsdagstimen. Elektronisk innlevering av oppgavene (Latex) er frivillig men vil bli satt pris på. Siste ordinære forelesning er tirsdag 3. mai. Repetisjonsforelesninger 23. og 24. mai

15 Vurderingsform Skriftlig eksamen 9. juni kl.14:30, 3 timer. Teller ca. 50%. 9465

16 Vurderingsform Skriftlig eksamen 9. juni kl.14:30, 3 timer. Teller ca. 50%. Prosjektoppgave I (hjemmeeksamen, numerisk og analytisk), utleveres 10. mars, innlevering 18. mars. Teller ca. 30%. Mulighet for å bli trukket ut til muntlig redegjørelse. 9465

17 Vurderingsform Skriftlig eksamen 9. juni kl.14:30, 3 timer. Teller ca. 50%. Prosjektoppgave I (hjemmeeksamen, numerisk og analytisk), utleveres 10. mars, innlevering 18. mars. Teller ca. 30%. Mulighet for å bli trukket ut til muntlig redegjørelse. Prosjektoppgave II (Eksperimentell oppgave på syklotronlaben). Start 6. mai med innlevering av prosjektrapport ca. 25. mai. Teller ca. 20%. 9465

18 Vurderingsform Skriftlig eksamen 9. juni kl.14:30, 3 timer. Teller ca. 50%. Prosjektoppgave I (hjemmeeksamen, numerisk og analytisk), utleveres 10. mars, innlevering 18. mars. Teller ca. 30%. Mulighet for å bli trukket ut til muntlig redegjørelse. Prosjektoppgave II (Eksperimentell oppgave på syklotronlaben). Start 6. mai med innlevering av prosjektrapport ca. 25. mai. Teller ca. 20%. Hver deleksamen må være bestått for å stå i kurset! 9465

19 Datalab Rom FV329 er åpent i tidsrommet 913 torsdager og 917 fredager for påmeldte på FS2140. Tid Gruppe 1: Torsdag 913 Gruppe 3: Torsdag 1317 Gruppe 5: Fredag 913 Gruppe 7: Fredag 1317 Veileder Elise Bergli Åpnes ved behov Sunniva Siem (Magne Guttormsen Mateusz Røstad (MEF of ELDAT) 78;9 465

20 Kursets oppbygning Første del tar for seg den historiske utviklingen fra slutten av det nittende århundre til begynnelsen av forrige århundre. I denne tidsperioden vokste erkjennelsen av at en rekke eksperimenter ikke kunne beskrives av klassisk fysikk (Newtons lover m.m.). Denne utviklingen ledet fram til den nye kvanteteorien i De nye begrepene som ble innført var materiegenskapen til stråling, bølgegenskapene til materien og kvantiseringen av fysiske størrelser. Dekkes av forelesningsnotater. Første 34 uker av semesteret. 78<9 465

21 Kursets oppbygning Andre del tar for seg en første introduksjon til kvantemekanikk, med løsning av Schödingerligningen i enkle systemer, samt litt om kvantemekanikkens formalisme. Denne delen avsluttes med en kvantemekanisk beskrivelse av hydrogenatomet. Dekkes av kapitlene 14 i Griffiths. Undervises de påfølgende 56 uker. 78=9 465

22 Kursets oppbygning Tredje og siste del tar for seg anvendelser i ulike fagfelt, fra kvantemekanikkens spede begynnelse med atomfysikk, til kjernefysikk, moderne partikkelfysikk og faste stoffers fysikk/nanofysikk. Undervises resten av semesteret. Dekkes av deler av kap. 5 i Griffiths, samt forelesningsnotater. 78,9 * 465

23 Detaljert innhold Første del, Forelesningsnotater Enheter og størrelser i Fys2140 Sort legemestråling og Plancks kvantiseringshypotese Fotoelektrisk effekt Röntgenstråling Comptonspredning Bohrs atommodell Materiebølger og partikkelbølge dualitet ** 465

24 Detaljert innhold Andre del, kap. 14 i Griffiths Introduksjon til kvantemekanikk og enkle kvantemekaniske systemer Kvantemekanikkens matematiske formalisme Kvantisering av banespinn Hydrogenatomet * ) 465

25 Detaljert innhold Tredje del, deler av kap. 5 i Griffiths, forelesningsnotater Atomfysikk. Teori til å forklare det periodiske system. Faste stoffers fysikk, nanofysikk. Kjernefysikk. Moderne partikkelfysikk, kvarker og leptoner 78:9 * 465

26 Kursmateriale Lærebok: Griffiths: Introduction to Quantum Mechanics Viefers, Hjorth Jensen og Engeland: Forelesningsnotater. Kan lastes ned fra kursets webside. Andre notater som legges ut i løpet av kurset. +* 465

27 Get ready to be shocked... Kvantemekanikken er alt annet enn intuitiv! *

28 Kvantemekanikk i et nøtteskall... Energikvantisering Vi er vant til energi som en kontinuerlig størrelse. Den potensielle >? til en fjær, for eksempel, kan ifølge klassisk mekanikk anta en hvilken som helst verdi. Men ser vi på verden med stort nok forstørrelsesglass (dvs atomært nivå), finner en mange tilfeller av at energier bare kan anta visse, diskrete verdier. Dette kalles kvantisering. Vi vil se mange eksempler på dette, bl.a. elektronbanene i atomer, og fotoner ( partiklene som lyset består av). 9 * 465

29 E DC '& Kvantemekanikk i et nøtteskall... Bølge partikkel dualitet En kan tilordne bølgeegenskaper til enhver partikkel (eller for den saks skyld til hver og en av dere...), og partikkelegenskaper til lyset. At lyset består av partikler (energipakker) har jeg allerede nevnt. Et sjokkerende bevis på materiens bølgeegenskaper er dobbeltspalteeksperimentet: Dere har lært om interferens med klassiske bølger på videregående. Men: Sender man ett elektron mot to spalter, vil det grovt sagt gå gjennom begge spaltene samtidig og interferere med seg selv. Som en konsekvens av dette trenger man en bølgeligning (Schrödingerligningen) til å beskrive materien, i stedet for Newtons lover. Og det eneste vi kan få vite noe om utfra denne bølgeligningen er, f.eks. sannsynligheten for at en partikkel skal befinne seg et gitt sted. M K N JLK GH$IE FCE 78;9 * 465

30 P O R O Q P Q Q Q P O '& Kvantemekanikk i et nøtteskall... Heisenbergs uskarphetsrelasjon. Klassisk er det slik at posisjon og bevegelsesmengde er uavhengige størrelser. Vi kan holde en kaffekopp i ro og samtidig vite hvor den befinner seg! Kvantemekanisk impliserer Heisenbergs uskarphetsrelasjon at vi ikke kan lokalisere en partikkel og samtidig bestemme dens bevegelsesmengde skarpt. Matematisk uttrykkes dette som S U T der er uskarpheten i posisjon, og er uskarpheten i bevegelsesmengde. Grunnen til at vi ikke merker noe til dette i hverdagen, er at uskarpheten blir uhyre liten for makrokopiske gjenstander. Men på atomært nivå har uskarphetsrelasjonen merkbare og viktige konsekvenser. 78<9 * 465

31 Kvantemekanikk i et nøtteskall... Paulis eksklusjonsprinsipp: To fermioner (som f.eks. elektroner, protoner, nøytroner, kvarker og nøytrinoer) kan ikke befinne seg i samme tilstand (dvs samme energi, samme sted...) samtidig. Dette fører bl.a. til at, som dere vet, energiskall i atomer kan bli fulle. Ekslusjonsprinsippet er m.a.o. avgjørende for hele materiens struktur! 78=9 * 465

32 ] _ ^ g f e d c b Svart legeme stråling ev ev ev ev Z\[ V Z\[ V Z\[ V ] Z\[ Klassisk 4 3 [ev] `Ba 2 Energi ,9 ) 465 '& 2e06 1.5e06 1e06 5e07 0 [ev/nm h]

33 Andre uke, 1721 januar Mandag 17: Kort repetisjon fra forrige uke Mandag 17: Fotoelektrisk effekt og Röntgenstråling Tirsdag 18: Comptonspredning Onsdag 21: Gjennomgang av oppgavene 1.1 og 1.2 i forelesningsnotatene. Gjennomgang av oblig 1. Torsdag og fredag: jobbing med oblig 2 (legges ut i dag, se undervisningsplan!) *) 465

34 Repetisjon fra 10. og 11. jan Kvantefysikken har en del egenskaper som skiller seg fundamentalt fra klassisk fysikk. Vi nevnte energikvantisering, bølgepartikkeldualitet, Heisenbergs uskarphetsrelasjon og Pauliprinsippet. )) 465

35 ?? i i '& Repetisjon fra 10. og 11. jan Kvantefysikken har en del egenskaper som skiller seg fundamentalt fra klassisk fysikk. Vi nevnte energikvantisering, bølgepartikkeldualitet, Heisenbergs uskarphetsrelasjon og Pauliprinsippet. Siden vi skal beskrive fysikken på mikroskala, er det ofte hensiktsmessig å bruke enheten ev (MeV) for energi, nm (Å) for lengde, ev/ (MeV/ ) for masse, og ev/c (MeV/c) for bevegelsesmengde. )) 465

36 Repetisjon fra 10. og 11. jan Sort stråling: Termisk stråling fra et legeme som har null refleksjon. Frekvensfordelingen (StefanBoltzmanns lov, Wiens forskyvningslov) var kjent eksperimentelt men kunne ikke forklares fra klassisk fysikk. Den ultrafiolette katastrofen 78:9 ) 465

37 Repetisjon fra 10. og 11. jan Sort stråling: Termisk stråling fra et legeme som har null refleksjon. Frekvensfordelingen (StefanBoltzmanns lov, Wiens forskyvningslov) var kjent eksperimentelt men kunne ikke forklares fra klassisk fysikk. Den ultrafiolette katastrofen Spekteret kunne forklares vha Planck s kvantiseringshypotese: Hulromsstrålingen består av kvantiserte energipakker (fotoner) med energi. `Ba 78:9 ) 465

38 Repetisjon fra 10. og 11. jan Sort stråling: Termisk stråling fra et legeme som har null refleksjon. Frekvensfordelingen (StefanBoltzmanns lov, Wiens forskyvningslov) var kjent eksperimentelt men kunne ikke forklares fra klassisk fysikk. Den ultrafiolette katastrofen Spekteret kunne forklares vha Planck s kvantiseringshypotese: Hulromsstrålingen består av kvantiserte energipakker (fotoner) med energi. `Ba Kvantiseringshypotesen utgjorde det avgjørende bruddet med klassisk fysikk. Kvantemekanikkens unnfangelse. 78:9 ) 465

39 qr m pk '& Ukens hovedbudskap Elektromagnetisk stråling (lys) har i tillegg til de velkjente bølgeegenskapene også partikkelegenskaper. Den består av kvantiserte energipakker (fotoner) som kan delta i støt med f.eks. elektroner. Fotoner kan tilordnes både energi ( ) og bevegelsemengde ( ). jlk mon +) 465

40 Tredje uke, januar Mandag 24: Kort repetisjon fra forrige uke Mandag 24: Problemer med klassisk atomfysikk. Bohrs atommodell. Tirsdag 25: Materiebølger: Dobbeltspalteeksp., de Brogliebølgelengde Onsdag 26: Gjennomgang av oppgave 1.4 i forelesningsnotatene. Gjennomgang av oblig 2. Torsdag og fredag: Jobbing med oblig 3 (er lagt ut, se undervisningsplan) 8) 465

41 Repetisjon fra 17. og 18. jan Fotoelektrisk effekt: Lys sendt mot en metallplate slår ut elektroner. Eksperimentelle resultater (bl.a. eksistensen av en minstefrekvens og stoppespenningens uavhengighet av intensiteten) kunne ikke forklares klassisk. Kunne forklares ved å innføre fotonbegrepet (energikvantisering). 9) 465

42 Repetisjon fra 17. og 18. jan Fotoelektrisk effekt: Lys sendt mot en metallplate slår ut elektroner. Eksperimentelle resultater (bl.a. eksistensen av en minstefrekvens og stoppespenningens uavhengighet av intensiteten) kunne ikke forklares klassisk. Kunne forklares ved å innføre fotonbegrepet (energikvantisering). På samme måte kunne eksistensen av en minste bølgelengde i Röntgenstråling forklares vha fotonbegrepet. 9) 465

43 Repetisjon fra 17. og 18. jan Fotoelektrisk effekt: Lys sendt mot en metallplate slår ut elektroner. Eksperimentelle resultater (bl.a. eksistensen av en minstefrekvens og stoppespenningens uavhengighet av intensiteten) kunne ikke forklares klassisk. Kunne forklares ved å innføre fotonbegrepet (energikvantisering). På samme måte kunne eksistensen av en minste bølgelengde i Röntgenstråling forklares vha fotonbegrepet. Comptonspredning: Fotoner spres mot (effektivt) frie elektroner. Resultatene kan forklares ved å tilordne fotonene en bevegelsesmengde. 9) 465

44 Fjerde uke, 31.jan 4. feb Mandag 31: Kort repetisjon fra forrige uke Mandag 31: Litt bølgelære, sammenheng ml.bølge og partikkelbildet Tirsdag 1: Schrödingerligningen, bølgefunksjonen, sannsynlighet i Griffiths Onsdag 2: Gjennomgang av oppgave 4.2 og 4.3 i forelesningsnotatene. Gjennomgang av oblig 3. Torsdag og fredag: Jobbing med oblig 4 (egne filer, pdf og matlab, legges ut) 78;9 ) 465

45 Repetisjon fra 24. og 25. jan To dilemmaer i klassisk atomfysikk: Materiens stabilitet og spektroskopidata. Bohr løste disse med sin modell for hydrogenatomet. 78<9 ) 465

46 Repetisjon fra 24. og 25. jan To dilemmaer i klassisk atomfysikk: Materiens stabilitet og spektroskopidata. Bohr løste disse med sin modell for hydrogenatomet. Bohrs atommodell har mange svakheter, men var av avgjørende betydning for kvantefysikkens utvikling. 78<9 ) 465

47 Repetisjon fra 24. og 25. jan To dilemmaer i klassisk atomfysikk: Materiens stabilitet og spektroskopidata. Bohr løste disse med sin modell for hydrogenatomet. Bohrs atommodell har mange svakheter, men var av avgjørende betydning for kvantefysikkens utvikling. De viktigste egenskapene den forutsa var kvantisering av elektronets angulærmoment og dermed kvantiserte energinivåer for elektronet. 78<9 ) 465

48 Repetisjon fra 24. og 25. jan Dobbeltspalteeksperimentet viser at materie (f.eks. elektroner) også kan oppføre seg som bølger. (Interferens, diffraksjon). Hvert enkelt elektron går gjennom begge spaltene samtidig og interfererer med seg selv. 78=9 ) 465

49 Repetisjon fra 24. og 25. jan Dobbeltspalteeksperimentet viser at materie (f.eks. elektroner) også kan oppføre seg som bølger. (Interferens, diffraksjon). Hvert enkelt elektron går gjennom begge spaltene samtidig og interfererer med seg selv. Kvadratet av bølgens amplitude bestemmer sannsynligheten for at partikkelen skal observeres et gitt sted. 78=9 ) 465

50 ` t w ` s a '& Repetisjon fra 24. og 25. jan Dobbeltspalteeksperimentet viser at materie (f.eks. elektroner) også kan oppføre seg som bølger. (Interferens, diffraksjon). Hvert enkelt elektron går gjennom begge spaltene samtidig og interfererer med seg selv. Kvadratet av bølgens amplitude bestemmer sannsynligheten for at partikkelen skal observeres et gitt sted. Materiebølger tilordnes en bølgelengde (de Broglie bølgelengden) og frekvens. tvu 78=9 ) 465

51 ` t w ` s x S w x u '& Repetisjon fra 24. og 25. jan Dobbeltspalteeksperimentet viser at materie (f.eks. elektroner) også kan oppføre seg som bølger. (Interferens, diffraksjon). Hvert enkelt elektron går gjennom begge spaltene samtidig og interfererer med seg selv. Kvadratet av bølgens amplitude bestemmer sannsynligheten for at partikkelen skal observeres et gitt sted. Materiebølger tilordnes en bølgelengde (de Broglie bølgelengden) og frekvens. tvu Uttrykt ved bølgetallet relasjonene og og vinkelfrekvensen. blir de fundamentale 78=9 ) 465

52 Femte uke, feb Mandag 7: Kort repetisjon fra forrige uke Mandag 7: Normering av bølgefunksjonen, bevegelsesmengde, operatorer (1.4, 1.5). (Heisenbergs uskarphetsrelasjon, 1.6) Tirsdag 8: Uskarphetsrelasjonen. Film om Københavnertolkningen (LILLE F!) Onsdag 9: Gjennomgang av oppgave 1.1 og 1.2 i boka. Gjennomgang av oblig 4. Torsdag og fredag: Jobbing med oblig 5 78,: 9 465

53 Repetisjon fra 31.jan og 1. feb Siden materien har bølgeegenskaper, må den beskrives vha en bølgefunksjon som er løsning av en bølgeligning Schrödingerligningen. *: 465

54 Repetisjon fra 31.jan og 1. feb Siden materien har bølgeegenskaper, må den beskrives vha en bølgefunksjon som er løsning av en bølgeligning Schrödingerligningen. En lokalisert partikkel beskrives som en sum av flere planbølger. *: 465

55 @ S S x z@ y x '& Repetisjon fra 31.jan og 1. feb Siden materien har bølgeegenskaper, må den beskrives vha en bølgefunksjon som er løsning av en bølgeligning Schrödingerligningen. En lokalisert partikkel beskrives som en sum av flere planbølger. Partikkelens energi er en funksjon av bevegelsesmengden Funksjonen kalles dispersjonsrelasjon.. *: 465

56 @ S S x z@ y t t x C ~} '& Repetisjon fra 31.jan og 1. feb Siden materien har bølgeegenskaper, må den beskrives vha en bølgefunksjon som er løsning av en bølgeligning Schrödingerligningen. En lokalisert partikkel beskrives som en sum av flere planbølger. Partikkelens energi er en funksjon av bevegelsesmengden Funksjonen kalles dispersjonsrelasjon.. Det vi er vant til som bølgens hastighet er fasehastigheten Men det som identifiseres med partikkelens hastighet er, dvs gruppehastigheten, IE GGH J F C E K N L M JLK H$I M J D C {ƒ {.. *: 465

57 Repetisjon fra 31.jan og 1. feb Bølgeligningen som beskriver ikkerelativistiske materiebølger er Schrödingerligningen (SL). Den er en partiell differensialligning i x og t. Dens løsning er bølgefunksjonen. ): 465

58 Repetisjon fra 31.jan og 1. feb Bølgeligningen som beskriver ikkerelativistiske materiebølger er Schrödingerligningen (SL). Den er en partiell differensialligning i x og t. Dens løsning er bølgefunksjonen. SL er essensielt en energiligning. ): 465

59 Repetisjon fra 31.jan og 1. feb Bølgeligningen som beskriver ikkerelativistiske materiebølger er Schrödingerligningen (SL). Den er en partiell differensialligning i x og t. Dens løsning er bølgefunksjonen. SL er essensielt en energiligning. Bølgefunksjonen er en kompleks funksjon som koder all informasjon som er mulig å få om partikkelens posisjon, bevegelsesmengde osv. ): 465

60 E DC '& Repetisjon fra 31.jan og 1. feb Bølgeligningen som beskriver ikkerelativistiske materiebølger er Schrödingerligningen (SL). Den er en partiell differensialligning i x og t. Dens løsning er bølgefunksjonen. SL er essensielt en energiligning. Bølgefunksjonen er en kompleks funksjon som koder all informasjon som er mulig å få om partikkelens posisjon, bevegelsesmengde osv. SL kan bare gi E } C } ~N D E H C HM C HM M D C dvs informasjon om M K E JLK GH$IE FCE for å få et visst måleresultat. (eller den fordelingen av måleresultater en ville få med mange identiske forsøk). ): 465

61 E DC? z M M E DC U A '& Repetisjon fra 31.jan og 1. feb Bølgeligningen som beskriver ikkerelativistiske materiebølger er Schrödingerligningen (SL). Den er en partiell differensialligning i x og t. Dens løsning er bølgefunksjonen. SL er essensielt en energiligning. Bølgefunksjonen er en kompleks funksjon som koder all informasjon som er mulig å få om partikkelens posisjon, bevegelsesmengde osv. SL kan bare gi E } C } ~N D E H C HM C HM M D C dvs informasjon om M K E JLK GH$IE FCE for å få et visst måleresultat. (eller den fordelingen av måleresultater en ville få med mange identiske forsøk). er en for å finne partikkelen nær posisjon ved tiden. Kan brukes til å beregne forventningsverdier og spredning/uskarphet (standardavviket) for ulike fysiske størrelser. y A ˆ J K GH$IE FCE M M CK M JLK ): 465

62 Sjette uke, feb Mandag 14: Kort repetisjon fra forrige uke Mandag 14: Tidsuavhengig SL. Stasjonære/ikkestasjonære tilstander. (2.1) Partikkel i uendelig bokspotensial (2.2) Tirsdag 15: Partikkel i uendelig boks forts. Harmonisk oscillator. (2.3) Onsdag 16: Gjennomgang av oppgave 1.9 i boka og 4.6 abc i forelesningsnotatene. Gjennomgang av oblig 5. Torsdag og fredag: Jobbing med oblig 6 78:: 9 465

63 '& Repetisjon fra 7. og 8. feb En fysisk akseptabel bølgefunksjon må være normerbar, cfr sannsylighetstolkningen. En bølgefunksjon er normert når A? Š ˆ. Normeringen er ikke tidsavhengig. : + 465

64 t Ž S Œ u '& Repetisjon fra 7. og 8. feb En fysisk akseptabel bølgefunksjon må være normerbar, cfr sannsylighetstolkningen. En bølgefunksjon er normert når A? Š ˆ. Normeringen er ikke tidsavhengig. Operatoren representerer bevegelsesmengden. Settes inn for når en beregner forventningsverdier av fysiske variable. Ž A : + 465

65 t Ž S Œ u T t S R '& Repetisjon fra 7. og 8. feb En fysisk akseptabel bølgefunksjon må være normerbar, cfr sannsylighetstolkningen. En bølgefunksjon er normert når A? Š ˆ. Normeringen er ikke tidsavhengig. Operatoren representerer bevegelsesmengden. Settes inn for når en beregner forventningsverdier av fysiske variable. Ž A Heisenbergs uskarphetsrelasjon: sier at posisjon og bevegelsesmengde ikke kan bestemmes skarpt samtidig. : + 465

66 t Ž S Œ u T t S R '& Repetisjon fra 7. og 8. feb En fysisk akseptabel bølgefunksjon må være normerbar, cfr sannsylighetstolkningen. En bølgefunksjon er normert når A? Š ˆ. Normeringen er ikke tidsavhengig. Operatoren representerer bevegelsesmengden. Settes inn for når en beregner forventningsverdier av fysiske variable. Ž A Heisenbergs uskarphetsrelasjon: sier at posisjon og bevegelsesmengde ikke kan bestemmes skarpt samtidig. Uskarphetsrelasjonen er en egenskap ved fysiske fenomen som har bølgenatur. : + 465

67 t Ž S Œ u T t S R '& Repetisjon fra 7. og 8. feb En fysisk akseptabel bølgefunksjon må være normerbar, cfr sannsylighetstolkningen. En bølgefunksjon er normert når A? Š ˆ. Normeringen er ikke tidsavhengig. Operatoren representerer bevegelsesmengden. Settes inn for når en beregner forventningsverdier av fysiske variable. Ž A Heisenbergs uskarphetsrelasjon: sier at posisjon og bevegelsesmengde ikke kan bestemmes skarpt samtidig. Uskarphetsrelasjonen er en egenskap ved fysiske fenomen som har bølgenatur. Uskarpheten for makroskopiske objekter er så liten at vi ikke merker noe til den i hverdagen (ikke observerbar) : + 465

68 Sjuende uke, feb Mandag 21: Kort repetisjon fra forrige uke Mandag 21: Harmonisk oscillator (2.3) Tirsdag 22: Harmonisk oscillator forts. Onsdag 23: Oppg. 2.1, 2.2 (2.7). Gjennomgang av oblig 6. Torsdag og fredag: Jobbing med oblig : 9 465

69 ˆw ˆ '& Repetisjon fra 14. og 15. feb Stasjonære tilstander er separable løsninger av SL, dvs på formen. er løsninger av den tidsuavhengige SL, der er Hamiltonoperatoren. zs t w Œ y zv A u y A ˆ z y A ˆ 9: 465

70 ˆw ˆ w '& Repetisjon fra 14. og 15. feb Stasjonære tilstander er separable løsninger av SL, dvs på formen. er løsninger av den tidsuavhengige SL, der er Hamiltonoperatoren. zs t w Œ y zv A u y A ˆ z y A ˆ Stasjonære løsninger har SKARP energi. Deres sannsynlighetstetthet samt forventningsverdier av fysiske størrelser er konstante i tiden. 9: 465

71 ˆw ˆ w i z U '& Repetisjon fra 14. og 15. feb Stasjonære tilstander er separable løsninger av SL, dvs på formen. er løsninger av den tidsuavhengige SL, der er Hamiltonoperatoren. zs t w Œ y zv A u y A ˆ z y A ˆ Stasjonære løsninger har SKARP energi. Deres sannsynlighetstetthet samt forventningsverdier av fysiske størrelser er konstante i tiden. Alle andre løsninger av den fulle SL (de ikkestasjonære) kan uttrykkes som lineærkombinasjoner av de stasjonære, dvs zs t w Œ y zv A u y A ˆ y A 9: 465

72 '& Repetisjon fra 14. og 15. feb Med partikkel i uendelig boks menes en partikkel som beveger seg i et endelig område der, mens den potensielle energien er Z z y A uendelig stor utenfor dette området. Tilnærmet beskrivelse av f.eks. en ladd partikkel fanget av sterke elektriske felt. 78;: 9 465

73 '& Repetisjon fra 14. og 15. feb Med partikkel i uendelig boks menes en partikkel som beveger seg i et endelig område der, mens den potensielle energien er Z z y A uendelig stor utenfor dette området. Tilnærmet beskrivelse av f.eks. en ladd partikkel fanget av sterke elektriske felt. SL løses ved å skrive ned løsningene for hvert enkelt område og skjøte dem sammen. Her brukes kravet om kontinuitet av bølgefunksjonen. Generelt (for ENDELIG potensial) skal også den deriverte være kontinuerlig. 78;: 9 465

74 '& Repetisjon fra 14. og 15. feb Med partikkel i uendelig boks menes en partikkel som beveger seg i et endelig område der, mens den potensielle energien er Z z y A uendelig stor utenfor dette området. Tilnærmet beskrivelse av f.eks. en ladd partikkel fanget av sterke elektriske felt. SL løses ved å skrive ned løsningene for hvert enkelt område og skjøte dem sammen. Her brukes kravet om kontinuitet av bølgefunksjonen. Generelt (for ENDELIG potensial) skal også den deriverte være kontinuerlig. Man finner et uendelig sett løsninger ( egenfunksjoner ) med tilhørende energier. En generell egenskap er at egenfunksjonene er ORTOGONALE. 78;: 9 465

75 Åttende uke, 28. feb 4. mars Mandag 28: Kort repetisjon fra forrige uke Mandag 28: Bundne tilstander. Partikkel i endelig boks Tirsdag 1: Tunnelering Onsdag 2: Oppg Gjennomgang av oblig 7. Torsdag og fredag: Jobbing med oblig 8 (grafisk løsning av partikkel i boks) 78<: 9 465

76 Ÿš u š U A Repetisjon fra 21. og 22. feb Kommutatoren mellom to operatorer er definert som:. Det er underforstått at disse virker på en šœ š Œ š š šž Ÿ šœ U hjelpefunksjon. Hvis kommutatoren ikke er lik null, betyr det at det gjør en forskjell i hvilken REKKEFØLGE operatorene virker på en funksjon. Spesielt: Den kanoniske kommutator 78=: S &'

77 S Ÿš u š U A '& Repetisjon fra 21. og 22. feb Kommutatoren mellom to operatorer er definert som:. Det er underforstått at disse virker på en šœ š Œ š š šž Ÿ šœ U hjelpefunksjon. Hvis kommutatoren ikke er lik null, betyr det at det gjør en forskjell i hvilken REKKEFØLGE operatorene virker på en funksjon. Spesielt: Den kanoniske kommutator Den harmoniske oscillator (den kvantemekaniske versjonen av en klassisk fjær) spiller en meget sentral rolle i fysikken. Den dukker opp utallige steder fordi den gir en tilnærmet beskrivelse av mange realistiske systemer (spes. små svingninger rundt et likevektspunkt). 78=: 9 465

78 S Ÿš u š U A t '& Repetisjon fra 21. og 22. feb Kommutatoren mellom to operatorer er definert som:. Det er underforstått at disse virker på en šœ š Œ š š šž Ÿ šœ U hjelpefunksjon. Hvis kommutatoren ikke er lik null, betyr det at det gjør en forskjell i hvilken REKKEFØLGE operatorene virker på en funksjon. Spesielt: Den kanoniske kommutator Den harmoniske oscillator (den kvantemekaniske versjonen av en klassisk fjær) spiller en meget sentral rolle i fysikken. Den dukker opp utallige steder fordi den gir en tilnærmet beskrivelse av mange realistiske systemer (spes. små svingninger rundt et likevektspunkt). Potensialtermen i Hamiltonoperatoren for en harmonisk oscillator er gitt T t z y A T?? A x 78=: 9 465

79 x S zt t y t A '& Repetisjon fra 21. og 22. feb Det finnes to måter å løse oscillatoren på. Algebraisk og ved rekkeutvikling. I den algebraiske løsningen faktoriserer vi Hamiltonoperatoren ved å innføre operatorene og. Disse er essensielt kombinasjoner av og A. Får da šž š šž 6 š š. 78,

80 x S zt t y t A Z '& Repetisjon fra 21. og 22. feb Det finnes to måter å løse oscillatoren på. Algebraisk og ved rekkeutvikling. I den algebraiske løsningen faktoriserer vi Hamiltonoperatoren ved å innføre operatorene og. Disse er essensielt kombinasjoner av og A. Får da šž š šž 6 š š Disse operatorene kan brukes til å generere høyere/lavere bølgefunksjoner fra en gitt løsning. Spesielt finner en grunntilstanden ved å kreve. Kan så generere de eksiterte ved å la virke på grunntilstanden gjentatte ganger. ˆl z y A ˆ š. š 78,

81 x S zt t y t A Z x S zt t S x '& Repetisjon fra 21. og 22. feb Det finnes to måter å løse oscillatoren på. Algebraisk og ved rekkeutvikling. I den algebraiske løsningen faktoriserer vi Hamiltonoperatoren ved å innføre operatorene og. Disse er essensielt kombinasjoner av og A. Får da šž š šž 6 š š Disse operatorene kan brukes til å generere høyere/lavere bølgefunksjoner fra en gitt løsning. Spesielt finner en grunntilstanden ved å kreve. Kan så generere de eksiterte ved å la virke på grunntilstanden gjentatte ganger. ˆl z y A ˆ š Hver gang vi anvender heveoperatoren, får vi en tilstand som ligger høyere i energi. Hele spekteret er gitt ved š w yvª. š. 78,

82 Niende uke, mars Mandag 7: Kort repetisjon fra forrige uke Mandag 7: Tunnelering forts. Oppsummering av kvantemekanisk formalisme Tirsdag 8 (Lille F!): Kvantemekanisk formalisme og sammenheng med lineær algebra (forenklet versjon av ) Onsdag 9: Oppg. 2.34ab, Gjennomgang av oblig 8. Torsdag og fredag: Jobbing med hjemmeeksamen + * 465

83 ««A A Z Z '& Repetisjon fra 28. feb og 1. mars Bundne tilstander: Er mulige når IKKE går mot uendelig for. Med konvensjonen i, kan man ha bundne tilstander med og ubundne tilstander med. w z y A Z «z y A œ œ w ) + 465

84 ««A A Z Z A A Œ Œ A w '& Repetisjon fra 28. feb og 1. mars Bundne tilstander: Er mulige når IKKE går mot uendelig for. Med konvensjonen i, kan man ha bundne tilstander med og ubundne tilstander med. w z y A Z «z y A Partikkel i endelig boks: S.L. løses ved å skrive ned løsningene for hvert av områdene, og. Kontinuitetskravene leder til en transcendental ligning som bestemmer tillatte verdier for. œ œ w ) + 465

85 ««A A Z Z A A Œ Œ A w '& Repetisjon fra 28. feb og 1. mars Bundne tilstander: Er mulige når IKKE går mot uendelig for. Med konvensjonen i, kan man ha bundne tilstander med og ubundne tilstander med. w z y A Z «z y A Partikkel i endelig boks: S.L. løses ved å skrive ned løsningene for hvert av områdene, og. Kontinuitetskravene leder til en transcendental ligning som bestemmer tillatte verdier for. Det finnes to klasser med løsninger: Symmetriske (like) og antisymmetriske (odde) omkring boksens midtpunkt. Løsningene svarer til stående bølger i brønnen, annenhver like og odde. De har lavere energi enn tilsvarende løsning i uendelig brønn. Bølgefunksjonen (sannsynligheten) kan trenge inn i det klassisk forbudte område. Denne effekten danner også utgangspunktet for TUNNELERING (barrieregjennomtrenging). œ œ w ) + 465

86 Tiende uke, april Mandag 4: Kort repetisjon fra før påske Mandag 4: Kvantemekanikk i tre dimensjoner, avsnitt 4.1 Tirsdag 5 Hydrogenatomet, avsnitt 4.2 Onsdag 6: 4.1 ac, 4.3 Torsdag og fredag: Jobbing med Oblig 9 (oppg. 4.2ab) 78:

87 Repetisjon fra 7. og 8. mars Det finnes en nær sammenheng mellom den kvantemekaniske formalismen og lineær algebra

88 ˆ ˆ ˆ A '& Repetisjon fra 7. og 8. mars Det finnes en nær sammenheng mellom den kvantemekaniske formalismen og lineær algebra. En kvantemekanisk tilstand beskrives av en vektor. Ved valg av koordinatbasis blir denne vektoren vår vanlige bølgefunksjon. For hver er en komponent. z y A z y A

89 ˆ ˆ ˆ A '& Repetisjon fra 7. og 8. mars Det finnes en nær sammenheng mellom den kvantemekaniske formalismen og lineær algebra. En kvantemekanisk tilstand beskrives av en vektor. Ved valg av koordinatbasis blir denne vektoren vår vanlige bølgefunksjon. For hver er en komponent. z y A z y A Hver målbare størrelse representeres av en operator som beskrives ved en lineær transformasjon. I en gitt basis representeres operatoren som en matrise

90 ˆ ˆ ˆ A '& Repetisjon fra 7. og 8. mars Det finnes en nær sammenheng mellom den kvantemekaniske formalismen og lineær algebra. En kvantemekanisk tilstand beskrives av en vektor. Ved valg av koordinatbasis blir denne vektoren vår vanlige bølgefunksjon. For hver er en komponent. z y A z y A Hver målbare størrelse representeres av en operator som beskrives ved en lineær transformasjon. I en gitt basis representeres operatoren som en matrise. Måleverdien som oppnås er en egenverdi for operatoren, og etter målingen beskrives systemet av en egenvektor/egentilstand svarende til den oppnådde egenverdien. (Vektoren / bølgefunksjonen kollapser )

91 ˆ ˆ ˆ A '& Repetisjon fra 7. og 8. mars Det finnes en nær sammenheng mellom den kvantemekaniske formalismen og lineær algebra. En kvantemekanisk tilstand beskrives av en vektor. Ved valg av koordinatbasis blir denne vektoren vår vanlige bølgefunksjon. For hver er en komponent. z y A z y A Hver målbare størrelse representeres av en operator som beskrives ved en lineær transformasjon. I en gitt basis representeres operatoren som en matrise. Måleverdien som oppnås er en egenverdi for operatoren, og etter målingen beskrives systemet av en egenvektor/egentilstand svarende til den oppnådde egenverdien. (Vektoren / bølgefunksjonen kollapser ) Sannsynligheten for å observere en viss egenverdi er gitt ved absoluttkvadratet av tilstandens (vektorens) komponent langs tilsvarende egenvektor

92 ² ± '& Ellevte uke, april Mandag 11: Kort repetisjon fra forrige uke Mandag 11: Kvantisering av angulærmoment, avsnitt 4.3 Tirsdag 12 Elektronets spin, Zeemaneffekt, LSkobling Onsdag 13: Gjennomgang av oblig 9, Utledning av uttrykket for Torsdag og fredag: Jobbing med Oblig 10 (hydrogenatomet)

93 Repetisjon fra 4. og 5. april Generalisering av kvantemekanikken fra en til tre dimensjoner: Bruker enten kartesiske koordinater (x,y,z) eller sfæriske koordinater, avhengig av formen på potensialet. Tre kvantetall

94 Repetisjon fra 4. og 5. april Generalisering av kvantemekanikken fra en til tre dimensjoner: Bruker enten kartesiske koordinater (x,y,z) eller sfæriske koordinater, avhengig av formen på potensialet. Tre kvantetall. S.L. for et sentralsymmetrisk potensial i 3D løses enklest i sfæriske koordinater ved separasjon av variable. Løsningene av vinkeldelen er uavhengige av potensialet. De er gitt ved de s.k. sfæriske harmoniske

95 '& Repetisjon fra 4. og 5. april Generalisering av kvantemekanikken fra en til tre dimensjoner: Bruker enten kartesiske koordinater (x,y,z) eller sfæriske koordinater, avhengig av formen på potensialet. Tre kvantetall. S.L. for et sentralsymmetrisk potensial i 3D løses enklest i sfæriske koordinater ved separasjon av variable. Løsningene av vinkeldelen er uavhengige av potensialet. De er gitt ved de s.k. sfæriske harmoniske. For å løse radialdelen, må man spesifisere z yv³. For hydrogenatomet brukes Coulombpotensialet. Bohrs energiformel reproduseres for egenenergiene

96 ª '& Repetisjon fra 4. og 5. april Generalisering av kvantemekanikken fra en til tre dimensjoner: Bruker enten kartesiske koordinater (x,y,z) eller sfæriske koordinater, avhengig av formen på potensialet. Tre kvantetall. S.L. for et sentralsymmetrisk potensial i 3D løses enklest i sfæriske koordinater ved separasjon av variable. Løsningene av vinkeldelen er uavhengige av potensialet. De er gitt ved de s.k. sfæriske harmoniske. For å løse radialdelen, må man spesifisere z yv³. For hydrogenatomet brukes Coulombpotensialet. Bohrs energiformel reproduseres for egenenergiene. Bølgefunksjonene i radiell retning avhenger av kvantetallene mens vinkelløsningene er gitt ved kvantetallene og. og

97 ª ª ª ª '& Repetisjon fra 4. og 5. april Generalisering av kvantemekanikken fra en til tre dimensjoner: Bruker enten kartesiske koordinater (x,y,z) eller sfæriske koordinater, avhengig av formen på potensialet. Tre kvantetall. S.L. for et sentralsymmetrisk potensial i 3D løses enklest i sfæriske koordinater ved separasjon av variable. Løsningene av vinkeldelen er uavhengige av potensialet. De er gitt ved de s.k. sfæriske harmoniske. For å løse radialdelen, må man spesifisere z yv³. For hydrogenatomet brukes Coulombpotensialet. Bohrs energiformel reproduseres for egenenergiene. Bølgefunksjonene i radiell retning avhenger av kvantetallene mens vinkelløsningene er gitt ved kvantetallene og. Kvantetallene, og oppfyller ; Av dette følger at degenerasjonsgraden til energinivå T U[ U [[; ª er og U[ [[ Z U..? ª z yvª

98 Tolvte uke, april Mandag 18: Kort repetisjon fra forrige uke Mandag 18: Spinn forts.: LSkobling, addisjon av angulær moment. (Forelesningsnotat) Identiske partikler. (5.1) Tirsdag 19 Identiske partikler og kvantestatistikk (5.1) Onsdag 20: Gjennomgang av oblig 10, gjennomgang av hjemmeeksamen Torsdag og fredag: Jobbing med Oblig 11 78;

99 ? µ '& Repetisjon fra 11. og 12. april Ved å uttrykke og i kulekoordinater, så vi at det faktisk var egenverdiligningene for disse vi hadde løst ifm. vinkeldelen av den 3dimensjonale S.L. µ 78<

100 ? µ? S z y? µ S '& Repetisjon fra 11. og 12. april Ved å uttrykke og i kulekoordinater, så vi at det faktisk var egenverdiligningene for disse vi hadde løst ifm. vinkeldelen av den 3dimensjonale S.L. µ De sfærisk harmoniske og, med egenverdier? š µ š µ½ z¼ U y» º¹ µ er dermed felles egenfunksjoner for og 78<

101 ? µ? S z y? µ S '& Repetisjon fra 11. og 12. april Ved å uttrykke og i kulekoordinater, så vi at det faktisk var egenverdiligningene for disse vi hadde løst ifm. vinkeldelen av den 3dimensjonale S.L. µ De sfærisk harmoniske og, med egenverdier? š µ š µ½ z¼ U y» º¹ µ er dermed felles egenfunksjoner for og SPINN: Elektronet (og andre elementærpartikler) har et innebygd magnetisk moment og tilsvarende et EGENSPINN. Denne egenskapen ble oppdaget ifm SternGerlach eksperimentet som var ment å bekrefte kvantiserngen av angulærmoment. 78<

102 ? µ? S z y? µ S '& Repetisjon fra 11. og 12. april Ved å uttrykke og i kulekoordinater, så vi at det faktisk var egenverdiligningene for disse vi hadde løst ifm. vinkeldelen av den 3dimensjonale S.L. µ De sfærisk harmoniske og, med egenverdier? š µ š µ½ z¼ U y» º¹ µ er dermed felles egenfunksjoner for og SPINN: Elektronet (og andre elementærpartikler) har et innebygd magnetisk moment og tilsvarende et EGENSPINN. Denne egenskapen ble oppdaget ifm SternGerlach eksperimentet som var ment å bekrefte kvantiserngen av angulærmoment. Utsettes f.eks. et Hatom for et ytre magnetfelt, får man en oppsplitting av energinivåene som skyldes både elektronets angulærmoment og dets egenspinn. Dette kalles Zeemaneffekten. 78<

103 T À '& Repetisjon fra 11. og 12. april Spinnet er en fysisk egenskap som er ULØSELIG knyttet til en partikkel, på samme måte som dens ladning eller masse. Det tilsvarende magnetiske dipolmomentet har samme form som for angulærmoment, bortsett fra en ekstra faktor, den gyromagnetiske faktor. ¾ƒ 78=

104 T À? S z y à Ã? Á S  Œ  '& Repetisjon fra 11. og 12. april Spinnet er en fysisk egenskap som er ULØSELIG knyttet til en partikkel, på samme måte som dens ladning eller masse. Det tilsvarende magnetiske dipolmomentet har samme form som for angulærmoment, bortsett fra en ekstra faktor, den gyromagnetiske faktor. ¾ƒ Kvantiseringen av spinn er analog med tilsvarende uttrykk for angulærmoment: og der. Á à U Œ à U[ [[ U à Œ à U 78=

105 T À? S z y à Ã? Á S  Œ  à à T t à '& Repetisjon fra 11. og 12. april Spinnet er en fysisk egenskap som er ULØSELIG knyttet til en partikkel, på samme måte som dens ladning eller masse. Det tilsvarende magnetiske dipolmomentet har samme form som for angulærmoment, bortsett fra en ekstra faktor, den gyromagnetiske faktor. ¾ƒ Kvantiseringen av spinn er analog med tilsvarende uttrykk for angulærmoment: og der. Á à U Œ à U[ [[ U à Œ à U Forskjellen er at er FAST for en gitt partikkeltype. Elektroner har ( spinn en halv ), fotoner har ( spinn én ) osv 78=

106 Trettende uke, april Påmelding til eksperimentelt prosjekt. Mandag 25: Kort repetisjon fra forrige uke Mandag 25: Identiske partikler, Pauliprinsippet (5.1). Tirsdag 26 Atomer (5.2). Molekyler. Onsdag 27: Gjennomgang av oblig 11 Torsdag og fredag: Jobbing med Oblig 12 78,

107 Å '& Repetisjon fra 18. og 19. april LSkobling: Elektronets egenspinn og angulærmoment vekselvirker med hverandre og gir opphav til en liten energikorreksjon. Finstruktur (liten oppsplitting av energinivåer)) Ä Á Ä µçæ Ä Á Ä µ *8 465

108 Å Ê Œ Ë S z y Ê Ê? È Ê '& Repetisjon fra 18. og 19. april LSkobling: Elektronets egenspinn og angulærmoment vekselvirker med hverandre og gir opphav til en liten energikorreksjon. Finstruktur (liten oppsplitting av energinivåer)) Ä Á Ä µçæ Addisjon av angulærmoment: : Har som vanlig at og. Tillatte verdier er. Gjelder addisjon av to spinn, to angulærmoment eller en av hver. > Œ U[ [[? Œ > U? Ê U[ [[ ÄÉÈ? > Ä Á Ä µ? Ä µ > Ä µ *8 465

109 Å Ê Œ Ë S z y Ê Ê? È Ê T t Ã Ê Ê Z '& Repetisjon fra 18. og 19. april LSkobling: Elektronets egenspinn og angulærmoment vekselvirker med hverandre og gir opphav til en liten energikorreksjon. Finstruktur (liten oppsplitting av energinivåer)) Ä Á Ä µçæ Addisjon av angulærmoment: : Har som vanlig at og. Tillatte verdier er. Gjelder addisjon av to spinn, to angulærmoment eller en av hver. > Œ U[ [[? Œ > U? Ê U[ [[ ÄÉÈ? > Ä Á Ä µ? Ä µ > Singlet og tripletkombinasjon av to spinn: Summen av to spinn er enten gitt ved eller. Disse to svarer til hhv den antisymmetriske singletkombinasjonen og den symmetriske triplet en. Ä µ *8 465

110 Ì Ì '& Repetisjon fra 18. og 19. april Kvantemekanikk for partikler: Bølgefunksjonen er en funksjon av sett variable, ett for hver partikkel. Potensialtermen i S.L.kan bestå av både det vanlige ytre potensialet (boks, harmonisk oscillator...) og vekselvirkning mellom partikene (f.eks. Coulomb). S.L. er separabel hvis det ikke er vekselvirkning mellom partiklene. )8465

111 Ì Ì '& Repetisjon fra 18. og 19. april Kvantemekanikk for partikler: Bølgefunksjonen er en funksjon av sett variable, ett for hver partikkel. Potensialtermen i S.L.kan bestå av både det vanlige ytre potensialet (boks, harmonisk oscillator...) og vekselvirkning mellom partikene (f.eks. Coulomb). S.L. er separabel hvis det ikke er vekselvirkning mellom partiklene. IDENTISKE PARTIKLER er partikler som har helt identiske fysiske egenskaper (masse, ladning...), f. eks. to elektroner. )8465

112 Ì Ì '& Repetisjon fra 18. og 19. april Kvantemekanikk for partikler: Bølgefunksjonen er en funksjon av sett variable, ett for hver partikkel. Potensialtermen i S.L.kan bestå av både det vanlige ytre potensialet (boks, harmonisk oscillator...) og vekselvirkning mellom partikene (f.eks. Coulomb). S.L. er separabel hvis det ikke er vekselvirkning mellom partiklene. IDENTISKE PARTIKLER er partikler som har helt identiske fysiske egenskaper (masse, ladning...), f. eks. to elektroner. I kvantemekanikken er identiske partikler USKILLBARE (indistinguishable). )8465

113 Ì Ì '& Repetisjon fra 18. og 19. april Kvantemekanikk for partikler: Bølgefunksjonen er en funksjon av sett variable, ett for hver partikkel. Potensialtermen i S.L.kan bestå av både det vanlige ytre potensialet (boks, harmonisk oscillator...) og vekselvirkning mellom partikene (f.eks. Coulomb). S.L. er separabel hvis det ikke er vekselvirkning mellom partiklene. IDENTISKE PARTIKLER er partikler som har helt identiske fysiske egenskaper (masse, ladning...), f. eks. to elektroner. I kvantemekanikken er identiske partikler USKILLBARE (indistinguishable). Derfor må to bølgefunksjoner som bare skiller seg ved ombytte av koordinater beskrive samme tilstand, dvs ha samme sannsynlighetstetthet. Dette gir to muligheter (i 3D): Symmetriske eller antisymmetriske bølgefunksjoner (under ombytte av koordinater). )8465

114 Repetisjon fra 18. og 19. april Symmetrisk bølgefunksjon: BOSONER. Antisymmetrisk: FERMIONER. Alle partikler i 3D er enten fermioner (eks. elektroner) eller bosoner (eks. fotoner). 78:

115 Repetisjon fra 18. og 19. april Symmetrisk bølgefunksjon: BOSONER. Antisymmetrisk: FERMIONER. Alle partikler i 3D er enten fermioner (eks. elektroner) eller bosoner (eks. fotoner). Fermioner har halvtallig spinn, bosoner har heltallig spinn. 78:

116 u A '& Repetisjon fra 18. og 19. april Symmetrisk bølgefunksjon: BOSONER. Antisymmetrisk: FERMIONER. Alle partikler i 3D er enten fermioner (eks. elektroner) eller bosoner (eks. fotoner). Fermioner har halvtallig spinn, bosoner har heltallig spinn. I TO dimensjoner finnes det uendelig mange typer av kvantestatistikk, med en faktor under ombytte. Kalles anyoner. Bosoner og fermioner er da bare to spesialtilfeller. z¼ y 78:

117 u A '& Repetisjon fra 18. og 19. april Symmetrisk bølgefunksjon: BOSONER. Antisymmetrisk: FERMIONER. Alle partikler i 3D er enten fermioner (eks. elektroner) eller bosoner (eks. fotoner). Fermioner har halvtallig spinn, bosoner har heltallig spinn. I TO dimensjoner finnes det uendelig mange typer av kvantestatistikk, med en faktor under ombytte. Kalles anyoner. Bosoner og fermioner er da bare to spesialtilfeller. z¼ y Anyoner ble forutsagt av Leinaas og Myrheim i De forekommer i den såkalte kvantehalleffekten. 78:

118 Fjortende uke, mai Mandag 2: Kort repetisjon fra forrige uke Mandag 2: Molekyler Tirsdag 3: Kjernefysikk, innføring i labprosjekt (Guttormsen) Onsdag 4, fredag 6: Eksperimentelt prosjekt

119 Repetisjon fra 25. og 26. april Antisymmetriske bølgefunksjoner for to (eller flere) partikler konstrueres ved å sette sammen symmetrisk romdel og antisymmetrisk spinndel, eller omvendt. Symmetriske bølgefunksjoner for to (eller flere) partikler: Rom og spinndel er begge symmetriske eller begge antisymmetriske

120 Repetisjon fra 25. og 26. april Antisymmetriske bølgefunksjoner for to (eller flere) partikler konstrueres ved å sette sammen symmetrisk romdel og antisymmetrisk spinndel, eller omvendt. Symmetriske bølgefunksjoner for to (eller flere) partikler: Rom og spinndel er begge symmetriske eller begge antisymmetriske. Paulis eksklusjonsprinsipp: To identiske fermioner kan aldri ha samme sett med kvantetall, dvs de kan aldri befinne seg i samme énpartikkeltilstand

121 Repetisjon fra 25. og 26. april Antisymmetriske bølgefunksjoner for to (eller flere) partikler konstrueres ved å sette sammen symmetrisk romdel og antisymmetrisk spinndel, eller omvendt. Symmetriske bølgefunksjoner for to (eller flere) partikler: Rom og spinndel er begge symmetriske eller begge antisymmetriske. Paulis eksklusjonsprinsipp: To identiske fermioner kan aldri ha samme sett med kvantetall, dvs de kan aldri befinne seg i samme énpartikkeltilstand. Exchange : Identiske partikler med symmetrisk rombølgefunksjon har en tendens til å være nærmere hverandre enn de med antisymmetrisk rombølgefunksjon. Dette er en ren kvanteeffekt

122 Repetisjon fra 25. og 26. april Pga vekselvirkning mellom elektronene finnes det ingen enkel (analytisk) løsning av S.L. for flerelektronatomer

123 Repetisjon fra 25. og 26. april Pga vekselvirkning mellom elektronene finnes det ingen enkel (analytisk) løsning av S.L. for flerelektronatomer. Elektronene fordeler seg likevel i skall som kvalitativt ligner på hydrogenatomet. Denne fordelingen følger Pauliprinsippet (maks ett elektron per tilstand) og Hund s regel (parallelle spinn foretrukket ved fylling av underskall)

124 Repetisjon fra 25. og 26. april Pga vekselvirkning mellom elektronene finnes det ingen enkel (analytisk) løsning av S.L. for flerelektronatomer. Elektronene fordeler seg likevel i skall som kvalitativt ligner på hydrogenatomet. Denne fordelingen følger Pauliprinsippet (maks ett elektron per tilstand) og Hund s regel (parallelle spinn foretrukket ved fylling av underskall). Elektronfordelingen, og spesielt de ytterste elektronene, avgjør stoffets kjemiske egenskaper. (Eks. edelgasser) 98465