REPETISJON FYS2140. Susanne Viefers. Fysisk Institutt, Teorigruppa. REPETISJON FYS2140 p.1/31

Transkript

1 REPETISJON FYS2140 Susanne Viefers Fysisk Institutt, Teorigruppa REPETISJON FYS2140 p.1/31

2 Teoretisk pensum I Første del, Forelesningsnotater Enheter og størrelser i Fys2140 Sort legeme-stråling og Plancks kvantiseringshypotese Fotoelektrisk effekt Röntgenstråling Comptonspredning Bohrs atommodell Materiebølger og partikkel-bølge dualitet REPETISJON FYS2140 p.2/31

3 Teoretisk pensum II Andre del, det meste av kap. 1-4 i Griffiths + notater (se websiden for detaljer!!) Introduksjon til kvantemekanikk: Schrödingerligningen, sannsynlighetstolkning av bølgefunksjonen. Normering, forventningsverdier. Heisenbergs uskarphetsrelasjon Stasjonære / ikke-stasjonære tilstander Løsning av enkle kvantemekaniske systemer (Potensialbrønn, Harm. oscillator, tunnelering) Kvantemekanikkens matematiske formalisme (forenklet!) Sentralsymmetriske potensial og kvantisering av angulærmoment Hydrogenatomet Spinn (forelesningsnotat) REPETISJON FYS2140 p.3/31

4 Teoretisk pensum III Tredje del, deler av kap. 5 i Griffiths, forelesningsnotater Identiske partikler og kvantestatistikk. Fermioner, bosoner, to-partikkel-bølgefunksjoner. Atomfysikk. Det periodiske system. Molekyler (forelesningsnotat) Kjernefysikk. REPETISJON FYS2140 p.4/31

5 Teoretisk (praktisk) pensum IV Pensum defineres også ved regneferdigheter/oppgaver... Så et bra tips for eksamenslesingen er å repetere Obliger Tilleggsoppgaver Eksempler REPETISJON FYS2140 p.5/31

6 Ny fysikk, nye enheter... Kvantefysikken har en del egenskaper som skiller seg fundamentalt fra klassisk fysikk. Vi nevnte energikvantisering, bølge-partikkel-dualitet, Heisenbergs uskarphetsrelasjon og Pauliprinsippet. Siden vi skal beskrive fysikken på mikroskala, er det ofte hensiktsmessig å bruke enheten ev (MeV) for energi, nm (Å) for lengde, ev/c 2 (MeV/c 2 ) for masse, og ev/c (MeV/c) for bevegelsesmengde. REPETISJON FYS2140 p.6/31

7 Bruddet med klassisk fysikk Sort stråling: Termisk stråling fra et legeme som har null refleksjon. Frekvensfordelingen (Stefan-Boltzmanns lov, Wiens forskyvningslov) var kjent eksperimentelt men kunne ikke forklares fra klassisk fysikk. Den ultrafiolette katastrofen Spekteret kunne forklares vha Planck s kvantiseringshypotese: Hulromsstrålingen består av kvantiserte energipakker (fotoner) med energi hν. Kvantiseringshypotesen utgjorde det avgjørende bruddet med klassisk fysikk. Kvantemekanikkens unnfangelse. REPETISJON FYS2140 p.7/31

8 Sort stråling Mν(hν) [ev/nm 2 ] 2e e-06 1e-06 5e-07 k B T = 0.6 ev k B T = 0.5 ev k B T = 0.4 ev Klassisk k B T = 0.6 ev Energi hν [ev] 4 5 REPETISJON FYS2140 p.8/31

9 Lys som partikler I Elektromagnetisk stråling (lys) har - i tillegg til de velkjente bølgeegenskapene - også partikkelegenskaper. Den består av kvantiserte energipakker (fotoner) som kan delta i støt med f.eks. elektroner. Fotoner kan tilordnes både energi (E = hν) og bevegelsemengde (p = h/λ). REPETISJON FYS2140 p.9/31

10 Lys som partikler II Fotoelektrisk effekt: Lys sendt mot en metallplate slår ut elektroner. Eksperimentelle resultater (bl.a. eksistensen av en minstefrekvens og stoppespenningens uavhengighet av intensiteten) kunne ikke forklares klassisk. Kunne forklares ved å innføre fotonbegrepet (energikvantisering). På samme måte kunne eksistensen av en minste bølgelengde i Röntgenstråling forklares vha fotonbegrepet. Comptonspredning: Fotoner spres mot (effektivt) frie elektroner. Resultatene kan forklares ved å tilordne fotonene en bevegelsesmengde. REPETISJON FYS2140 p.10/31

11 Bohrs atommodell To dilemmaer i klassisk atomfysikk: Materiens stabilitet og spektroskopidata. Bohr løste disse med sin modell for hydrogenatomet. Bohrs atommodell har mange svakheter, men var av avgjørende betydning for kvantefysikkens utvikling. De viktigste egenskapene den forutsa var kvantisering av elektronets angulærmoment og dermed kvantiserte energinivåer for elektronet. REPETISJON FYS2140 p.11/31

12 Materiens bølgeegenskaper I Dobbeltspalte-eksperimentet viser at materie (f.eks. elektroner) også kan oppføre seg som bølger. (Interferens, diffraksjon). Hvert enkelt elektron går gjennom begge spaltene samtidig og interfererer med seg selv. Kvadratet av bølgens amplitude bestemmer sannsynligheten for at partikkelen skal observeres et gitt sted. Materiebølger tilordnes en bølgelengde (de Broglie bølgelengden) λ = h/p og frekvens ν = E/h. Uttrykt ved bølgetallet k og vinkelfrekvensen ω blir de fundamentale relasjonene p = k og E = ω. REPETISJON FYS2140 p.12/31

13 Materiens bølgeegenskaper II Siden materien har bølgeegenskaper, må den beskrives vha en bølgefunksjon som er løsning av en bølgeligning Schrödingerligningen. En lokalisert partikkel beskrives som en sum av flere planbølger. Partikkelens energi ω er en funksjon av bevegelsesmengden k. Funksjonen ω(k) kalles dispersjonsrelasjon. Det vi er vant til som bølgens hastighet er fasehastigheten v f = ω/k. Men det som identifiseres med partikkelens hastighet er omhyllingskurvens hastighet, dvs gruppehastigheten, v g = dω/dk. REPETISJON FYS2140 p.13/31

14 Schrödingerligningen og bølgefunksjonen Bølgeligningen som beskriver ikke-relativistiske materiebølger er Schrödingerligningen (SL). Den er en partiell differensialligning i x og t. Dens løsning er bølgefunksjonen. SL er essensielt en energiligning. Bølgefunksjonen er en kompleks funksjon som koder all informasjon som er mulig å få om partikkelens posisjon, bevegelsesmengde osv. SL kan bare gi statistisk informasjon dvs informasjon om sannsynligheten for å få et visst måleresultat. (eller den fordelingen av måleresultater en ville få med mange identiske forsøk). ψ(x, t) 2 er en sannsynlighetstetthet for å finne partikkelen nær posisjon x ved tiden t. Kan brukes til å beregne forventningsverdier og spredning/uskarphet (standardavviket) for ulike fysiske størrelser. En fysisk akseptabel bølgefunksjon må være normerbar, cfr sannsylighetstolkningen. En bølgefunksjon er normert når ψ 2 REPETISJON FYS2140 p.14/31 dx = 1. Normeringen er ikke tidsavhengig.

15 Forventningsverdier, uskarphet... Operatoren i / x representerer bevegelsesmengden. Settes inn for p når en beregner forventningsverdier av fysiske variable. Heisenbergs uskarphetsrelasjon: σ x σ p /2 sier at posisjon og bevegelsesmengde ikke kan bestemmes skarpt samtidig. Uskarphetsrelasjonen er en egenskap ved fysiske fenomen som har bølgenatur. Uskarpheten for makroskopiske objekter er så liten at vi ikke merker noe til den i hverdagen (ikke observerbar) REPETISJON FYS2140 p.15/31

16 Stasjonære og ikke-stasjonære tilstander Stasjonære tilstander er separable løsninger av SL, dvs på formen ψ i (x)exp( ie i t/ ). ψ i (x) er løsninger av den tidsuavhengige SL, Hψ = Eψ der H er Hamiltonoperatoren. Stasjonære løsninger har SKARP energi E i. Deres sannsynlighetstetthet samt forventningsverdier av fysiske størrelser er konstante i tiden. Alle andre løsninger av den fulle SL (de ikke-stasjonære) kan uttrykkes som lineærkombinasjoner av de stasjonære, dvs Ψ(x, t) = c i ψ i (x)exp( ie i t/ ) REPETISJON FYS2140 p.16/31

17 Partikkel i uendelig potensialbrønn Med partikkel i uendelig boks menes en partikkel som beveger seg i et endelig område der V (x) = 0, mens den potensielle energien er uendelig stor utenfor dette området. Tilnærmet beskrivelse av f.eks. en ladd partikkel fanget av sterke elektriske felt. SL løses ved å skrive ned løsningene for hvert enkelt område og skjøte dem sammen. Her brukes kravet om kontinuitet av bølgefunksjonen. Generelt (for ENDELIG potensial) skal også den deriverte være kontinuerlig. Man finner et uendelig sett løsninger ( egenfunksjoner ) med tilhørende energier. En generell egenskap er at egenfunksjonene er ORTOGONALE. REPETISJON FYS2140 p.17/31

18 Harmonisk oscillator I Kommutatoren mellom to operatorer er definert som: [Â, ˆB] = Â ˆB ˆBÂ. Det er underforstått at disse virker på en hjelpefunksjon. Hvis kommutatoren ikke er lik null, betyr det at det gjør en forskjell i hvilken REKKEFØLGE operatorene virker på en funksjon. Spesielt: Den kanoniske kommutator [ˆx, ˆp] = i Den harmoniske oscillator (den kvantemekaniske versjonen av en klassisk fjær) spiller en meget sentral rolle i fysikken. Den dukker opp utallige steder fordi den gir en tilnærmet beskrivelse av mange realistiske systemer (spes. små svingninger rundt et likevektspunkt). Potensialtermen i Hamiltonoperatoren for en harmonisk oscillator er gitt ved V (x) = 1/2 kx 2 = 1/2 mω 2 x 2. REPETISJON FYS2140 p.18/31

19 Harmonisk oscillator II Det finnes to måter å løse oscillatoren på. Algebraisk og ved rekkeutvikling. I den algebraiske løsningen faktoriserer vi Hamiltonoperatoren ved å innføre operatorene â og â +. Disse er essensielt kombinasjoner av x og d/dx. Får da Ĥ = (â + â + 1/2) ω. Disse operatorene kan brukes til å generere høyere/lavere bølgefunksjoner fra en gitt løsning. Spesielt finner en grunntilstanden ψ 0 (x) ved å kreve â ψ 0 = 0. Kan så generere de eksiterte ved å la â + virke på grunntilstanden gjentatte ganger. Hver gang vi anvender heveoperatoren â +, får vi en tilstand som ligger ω høyere i energi. Hele spekteret er gitt ved E n = (n+1/2) ω. REPETISJON FYS2140 p.19/31

20 Endelig brønnpotensial, tunnelering Bundne tilstander: Er mulige også når V (x) IKKE går mot uendelig for x ±. Med konvensjonen V (x) 0 i x ±, kan man ha bundne tilstander med E < 0 og ubundne tilstander med E > 0. Partikkel i endelig boks: S.L. løses ved å skrive ned løsningene for hvert av områdene x < a, a < x < a og x > a. Kontinuitetskravene leder til en transcendental ligning som bestemmer tillatte verdier for E. Det finnes to klasser med løsninger: Symmetriske (like) og antisymmetriske (odde) omkring boksens midtpunkt. Løsningene svarer til stående bølger i brønnen, annenhver like og odde. De har lavere energi enn tilsvarende løsning i uendelig brønn. Bølgefunksjonen (sannsynligheten) kan trenge inn i det klassisk forbudte område. Denne effekten danner også utgangspunktet for TUNNELERING (barrieregjennomtrenging). REPETISJON FYS2140 p.20/31

21 Kvantemekanisk formalisme Det finnes en nær sammenheng mellom den kvantemekaniske formalismen og lineær algebra. En kvantemekanisk tilstand beskrives av en vektor ψ >. Ved valg av koordinatbasis blir denne vektoren vår vanlige bølgefunksjon ψ(x). For hver x er ψ(x) en komponent. Hver målbare størrelse representeres av en operator som beskrives ved en lineær transformasjon. I en gitt basis representeres operatoren som en matrise. Måleverdien som oppnås er en egenverdi for operatoren, og etter målingen beskrives systemet av en egenvektor/egentilstand svarende til den oppnådde egenverdien. (Vektoren / bølgefunksjonen kollapser ) Sannsynligheten for å observere en viss egenverdi er gitt ved absoluttkvadratet av tilstandens (vektorens) komponent langs tilsvarende egenvektor. REPETISJON FYS2140 p.21/31

22 S.L. i tre dimensjoner Generalisering av kvantemekanikken fra en til tre dimensjoner: Bruker enten kartesiske koordinater (x,y,z) eller sfæriske koordinater, avhengig av formen på potensialet. Tre kvantetall. S.L. for et sentralsymmetrisk potensial i 3D løses enklest i sfæriske koordinater ved separasjon av variable. Løsningene av vinkeldelen er uavhengige av potensialet. De er gitt ved de s.k. sfæriske harmoniske. For å løse radialdelen, må man spesifisere V (r). For hydrogenatomet brukes Coulombpotensialet. Bohrs energiformel reproduseres for egenenergiene. Bølgefunksjonene i radiell retning avhenger av kvantetallene n og l mens vinkel-løsningene er gitt ved kvantetallene l og m. Kvantetallene n, l og m oppfyller n = 1, 2,...; l < n; m = 0, ±1,... ± l. Av dette følger at degenerasjonsgraden til energinivå n er d(n) = n 2. REPETISJON FYS2140 p.22/31

23 Kvantisering av angulærmoment Husk: Angulærmoment = banespinn Ved å uttrykke L 2 og L z i kulekoordinater, så vi at det faktisk var egenverdiligningene for disse vi hadde løst ifm. vinkeldelen av den 3-dimensjonale S.L. De sfærisk harmoniske Yl m (φ, θ) er dermed felles egenfunksjoner for ˆL 2 og ˆL z, med egenverdier L z = m og L 2 = l(l + 1) 2 REPETISJON FYS2140 p.23/31

24 Spinn (dvs egenspinn) I Elektronet (og andre elementærpartikler) har et innebygd magnetisk moment og tilsvarende et EGENSPINN. Denne egenskapen ble oppdaget ifm Stern-Gerlach eksperimentet som var ment å bekrefte kvantiserngen av angulærmoment. Utsettes f.eks. et H-atom for et ytre magnetfelt, får man en oppsplitting av energinivåene som skyldes både elektronets angulærmoment og dets egenspinn. Dette kalles Zeeman-effekten. Spinnet er en fysisk egenskap som er ULØSELIG knyttet til en partikkel, på samme måte som dens ladning eller masse. Det tilsvarende magnetiske dipolmomentet har samme form som for angulærmoment, bortsett fra en ekstra faktor g e 2, den gyromagnetiske faktor. REPETISJON FYS2140 p.24/31

25 Spinn II Kvantiseringen av spinn er analog med tilsvarende uttrykk for angulærmoment: S z = m s og S 2 = s(s + 1) 2 der m s = s, s + 1,..., s 1, s. Forskjellen er at s er FAST for en gitt partikkeltype. Elektroner har s = 1/2 ( spinn en halv ), fotoner har s = 1 ( spinn én ) osv REPETISJON FYS2140 p.25/31

26 Spinn III LS-kobling: Elektronets egenspinn S og angulærmoment L vekselvirker med hverandre og gir opphav til en liten energikorreksjon L S. Finstruktur (liten oppsplitting av energinivåer)) Addisjon av angulærmoment: J = L 1 + L 2 : Har som vanlig at J 2 = j(j + 1) og m j = j,...j. Tillatte verdier er j = l 1 l 2, l 1 l 2 + 1,... l 1 + l 2. Gjelder addisjon av to spinn, to angulærmoment eller en av hver. Singlet- og triplet-kombinasjon av to spinn: Summen av to s = 1/2 spinn er enten gitt ved j = 0 eller j = 1. Disse to svarer til hhv den antisymmetriske singlet-kombinasjonen og den symmetriske triplet en. REPETISJON FYS2140 p.26/31

27 Identiske/uskillbare partikler Kvantemekanikk for N partikler: Bølgefunksjonen er en funksjon av N sett variable, ett for hver partikkel. Potensialtermen i S.L.kan bestå av både det vanlige ytre potensialet (boks, harmonisk oscillator...) og vekselvirkning mellom partikene (f.eks. Coulomb). S.L. er separabel hvis det ikke er vekselvirkning mellom partiklene. IDENTISKE PARTIKLER er partikler som har helt identiske fysiske egenskaper (masse, ladning...), f. eks. to elektroner. I kvantemekanikken er identiske partikler USKILLBARE (indistinguishable). Derfor må to bølgefunksjoner som bare skiller seg ved ombytte av koordinater beskrive samme tilstand, dvs ha samme sannsynlighetstetthet. Dette gir to muligheter (i 3D): Symmetriske eller antisymmetriske bølgefunksjoner (under ombytte av koordinater). REPETISJON FYS2140 p.27/31

28 Kvantestatistikk I Symmetrisk bølgefunksjon: BOSONER. Antisymmetrisk: FERMIONER. Alle partikler i 3D er enten fermioner (eks. elektroner) eller bosoner (eks. fotoner). Fermioner har halvtallig spinn, bosoner har heltallig spinn. I TO dimensjoner finnes det uendelig mange typer av kvantestatistikk, med en faktor exp(iθ) under ombytte. Kalles anyoner. Bosoner og fermioner er da bare to spesialtilfeller. Anyoner ble forutsagt av Leinaas og Myrheim i De forekommer i den såkalte kvante-halleffekten. REPETISJON FYS2140 p.28/31

29 Kvantestatistikk II Antisymmetriske bølgefunksjoner for to (eller flere) partikler konstrueres ved å sette sammen symmetrisk romdel og antisymmetrisk spinndel, eller omvendt. Symmetriske bølgefunksjoner for to (eller flere) partikler: Rom- og spinndel er begge symmetriske eller begge antisymmetriske. Paulis eksklusjonsprinsipp: To identiske fermioner kan aldri ha samme sett med kvantetall, dvs de kan aldri befinne seg i samme én-partikkel-tilstand. Exchange : Identiske partikler med symmetrisk rom-bølgefunksjon har en tendens til å være nærmere hverandre enn de med antisymmetrisk rom-bølgefunksjon. Dette er en ren kvanteeffekt. REPETISJON FYS2140 p.29/31

30 Atomer, periodisk system Pga vekselvirkning mellom elektronene finnes det ingen enkel (analytisk) løsning av S.L. for flerelektron-atomer. Elektronene fordeler seg likevel i skall som kvalitativt ligner på hydrogenatomet. Denne fordelingen følger Pauliprinsippet (maks ett elektron per tilstand) og Hund s regel (parallelle spinn foretrukket ved fylling av underskall). Elektronfordelingen, og spesielt de ytterste elektronene, avgjør stoffets kjemiske egenskaper. (Eks. edelgasser) REPETISJON FYS2140 p.30/31

31 Molekyler Molekyler formes vha ulike typer bindinger, f.eks. ionebinding, kovalent binding. Alle skyldes elektrostatisk tiltrekning. Molekyler kjennetegnes ved sine rotasjons- og vibrasjonsspektre. Rotasjonsenergiene for diatomiske molekyler er gitt ved E rot = L 2 /2I cm med kvantisert L 2 = l(l + 1) 2 (bare like l for identiske atomer!). Vibrasjonsspektret er E vib = (n + 1/2) ω (harmonisk oscillator). Strålingsoverganger forekommer mellom disse energinivåene, med utvalgsreglene l = 1 og n = 1. Spektrallinjene kan brukes til å bestemme noen av molekylets fysiske egenskaper. REPETISJON FYS2140 p.31/31