Fasehastighet: Gruppehastighet:

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Fasehastighet: Gruppehastighet:"

Transkript

1 Hjelpeark, FYS4 Fra kompendiet. Fotoelektrisk eekt Lys innfallende på en metallplate, elektroner rives løs. Observeres med elektrisk krets gitt ved gur. V > : Frigjorte elektroner dratt mot anoden. Store positive V : Alle frigjorte elektroner når anoden; strømmen ater ut. V < : Elektronene bremses, dras mot katoden. Stor nok motspenning V ): Ingen elektroner når anoden. Bindingsenergi w for elektronene. Svakest bundede w : Arbeidsfunksjonen. Ett elektron absorberer ett foton. Økt lysintensitet: Samme ν gir samme V, men ere frigjorte elektroner som igjen gir større strøm. Her er θ spredningsvinkelen til fotonet. Intensiten får to topper. Den første ved λ, det spredte fotonets bølgelengde, og λ, det opprinnelige fotones bølgelengde. Det siste forklares med at et elektron kan være sterkt bundet til atomet slik at fotonet ikke har nok energi til å rive det løs. Da kan vi betrakte kollisjonen som en kollisjon mellom et foton og et atom. Den økte massen til atomet i forhold til elektronet gjør at λ C blir mye mindre. Da blir λ slik at endringen i bølgelengde ikke er observerbar..4 Materiebølger Materie har bølgeegenskaper, med bølgelengden gitt ved: λ = h p Metall e Foton Anode Fasehastighet: Gruppehastighet: v f = ω k = πν π λ = νλ v g = dω dk Fasehastigheten er materiebølgens hastighet, gruppehastigheten er partikkelens og bølgepakkens hastighet..5 Bohrs atommodell A Figur : Figur som illustrerer oppsettet ved observasjon av fotoelektrisk eekt.. Røntgenstråling Elektroner mot metallplate. Elektronene bremses ned og avgir fotoner. Minimum bølgelengde, maks frekvens, blir avgitt dersom elektronet bremses helt opp: λ min = hc ev R.3 Comptonspredning Foton kolliderer med fritt elektron neglisjerbar arbeidsfunksjon grunnet store energier). Fotoners bevegelsesmengde fåes fra følgende formel ved å sette m = : Som gir: E = p c + m c 4 p = h λ Ved å bruke bevaring av bevegelsesmengde og energi får man: λ = h m e c cos θ) = λ C cos θ) Bohrradien er denert: a = 4πɛ me =.59 Å Bølgelengden ved energioverganger er gitt ved: ) λ = ke a hc n i Fra Griths Alle ubestemte integraler går implisitt fra mins uendelig til uendelig dersom ikke annet står.. Generell teori n f.. Kvantemekanikk i en dimensjon Schrödingerligningen: i Ψ t = Ψ m x + V Ψ Tidsuavhengig Schrödingerligning: Tilhørende tidsledd: ψ + V ψ = Ĥψ = Eψ m x φt) = e ient/

2 Normalisering: Ψx, t) dx = Forventningsverdien til possisjonen: x = x Ψx, t) dx Forventningsverdien til bevegelsesmengden: p = i Ψ Ψ x dx Gitt en operator ˆQx, p), er forventningsverdien til den tilhørende fysiske størrelsen: ˆQx, p) = Ψ ˆQ x, ) Ψ dx i x Heisenbergs uskarphetsrelasjon: σ x σ p Alle interessante) løsninger kan skrives på formen: Ψx, t) = c n ψ n x)φ n t) n= Konstantene c n kan bestemmes ved hjelp av Fouriers triks: c n = ψnx)fx) dx Forventningsverdien til energien er gitt ved: H = c n E n n= En kommutator mellom to operatorer er denert ved: [Â, ˆB] = Â ˆB ˆBÂ Kommutatoren mellom possisjon og bevegelsesmengde er gitt ved: [ˆx, ˆp] = i Den kinetiske energien er gitt ved operatoren: T = ˆp m.. Kvantemekanikk i tre dimensjoner Den tidsavhengige Schrödingerligningen lyder: Her er: Ψ r, t) i = t m Ψ r, t) + V r)ψ r, t) = x + y + = r r r r z ) + r sin θ sin θ ) + θ θ Den tidsuavhengige Schrödingerligningen lyder: ] [ m + V r) ψ r) = Eψ r) r sin θ φ Vi har fortsatt kompletthet av stasjonære løsninger: Normeringintegralet blir: Ψ r, t) = c nlm ψ r)e ie nlmt/ π π ψx, y, z) dxdydz Bevegelsesmengdeoperatoren blir: ψr, φ, θ) r sin θ drdφdθ ˆ p = i Konsentrerer oss om sentralsymmetriske potensial: V r) = V r). Separerer så variabler: ψr, φ, θ) = Rr)Y φ, θ) = Rr)F φ)p θ). Det gir: F m φ) = e imφ, m Z ) m d Pl m = x ) m / P l x), x = cos θ dx = P l x) = ) l d l x ) l l! dx Dette gir begrensningene l N og m l. Oppsummert gir dette at: Y m l φ, θ) = N lm e imφ Pl m cos θ) l + )l m )! N lm = ε 4πl + m )! { ) ε = m, m >, m Funksjonene Yl m φ, θ) kalles sfærisk harmoniske og er ortogonale, det vil si: π π Y m l φ, θ) Y m l φ, θ) sin θ dθdφ = δ ll δ mm For radialdelen Rr) innfører man ofte en hjelpefunksjon ur) = rrr). Det gir: d ] u [V m dr + r) + ll + ) u = Eu mr Denne har altså samme form som Schrödingerligningen i én dimensjon; ur) er en slags pseudobølgefunksjon, eektiv radiell materiebløge. Leddet inne i klammeparantesen kalles det eektive potensialet der det siste leddet er en sentrifugalterm. Vinkeldelen er allerede normert, så normeringsintegralet reduseres nå til: r Rr) dr = ur) dr = Det gjør at vi denerer den radielle sannsynlighetstetteheten: P r) = r Rr) = ur)

3 ..3 Spinn Alle partikler har et innebygget magnetisk dipolmoment spinn). Denne egenspinn er uløselig tilknyttet partikkelen, på samme måte som dens ladning eller masse. Selv om spinnet er en rent kvantemekanisk eekt, nnes det mer matematiske analogier til angulærmoment. Noen fakta: Dipolmoment: µ s = g e e m e S, ge g e er her den gyromagnetiske faktor. Kvantisering av totalspinn: S = S = ss + ) Fermioner har halvtallig spinn halvtallig s), bosoner har heltallig spinn heltallig s). Kvantisering av spinnkomponent: S z = m s, m s = s, s +,..., s, s Spinn inkluderes i notasjonen av bølgefunksjonen på følgende måte: = ψ nlm r, φ, θ)χ ms ψ nlmms Dette er ikke et vanlig produkt, men symboliserer hva bølgefunksjonen består av. χ oppfyller: ˆ S χ = ss + ) χ Ŝ z χ = m s χ Det faktum at elektronet har spinn medfører spinn-banekobling. Elektronets spinn-angulærmoment vekselvirker med strømsløyfen satt opp av protonet og medfører ytterligere oppsplitting av energinivåene, men denne korreksjonen er liten i atomer: Ĥ LS = µ s B int = konstant L S..4 Addisjon av angulærmoment Har sett at L og S er svakt koblet. Derfor er de strengt tatt ikke kvantisert/bevart uavhengig av hverandre. Det er derimot summen J = L + S totalt angulærmoment). Reglene for å addere er de samme enten vi adderer to spinn, to angulærmoment eller en av hver. Vi har følgende regler: J = jj + ), J z = m j, j = l s, l s +,..., l + s m j = j, j +,..., j Vi har tre spinnkombinasjoner som er symmetriske, og utgjør tripleten for spinn /-partikler: {, }, {, }, {, } + {, } Den antisymmetriske kombinasjonen kalles singlet, og lyder: {, } {, } Dette er summen av spinn for to spinn /-partikler...5 Flerpartikkelsystemer Felles bølgefunksjon Ψx, x, t). Sannsynlighetstettheten er gitt ved Ψx, x ). Schrödingerligningen er en energiligning, så for to partikler inngår summen av de to partiklers kinetiske energi: m x ) m x ψx, x )+ Ux, x )ψx, x ) = Eψx, x ) Potensiell energi kan være både eksternt potensiale og vekselvirkning mellom partiklene. To muligheter: Bare eksternt potensiale: Ux, x ) = Ux ) + Ux ). Vekselvirkning mellom partiklene: Ux, x ) Ux ) + Ux ). For to ikkevekselvirkende ikke identiske) partikler har vi: ψx, x ) = ψ a x )ψ b x ) E = E a + E b I kvantemekanikken kan vi ikke skille mellom identiske partikler, for eksempel to elektroner. Det betyr at vi må ha: ψx, x ) = ψx, x ) ψx, x ) = αψx, x ), α = I 3D er kun α ± tillatt. α = + gir bosoner med heltallig spinn, α = gir fermioner med halvtallig spinn. Skal bølgefunksjonen beskrive fermioner må vi derfor konstruere en antisymmetrisk bølgefunksjon det er dette som kalles α = ). Da må enten romdelen være symmetrisk og spinndelen være antisymmetrisk, eller romdelen være antisymmetrisk og spinndelen symmetrisk. Symmetrisk romdel: Antisymmetrisk: ψ S = ψ a x )ψ b x ) + ψ a x )ψ b x ) ψ A = ψ a x )ψ b x ) ψ a x )ψ b x ) For spinndelen, se seksjonen om spinn. Paulis eksklusjonsprinsipp Dersom a = b blir ψ A =. Det gjør at eneste mulighet for fermioner er symmetrisk romdel og antisymmetrisk spinndel. Altså kan to identiske fermioner aldri ha samme sett kvantetall, dvs kan aldri være i samme en-partikkeltilstand. Bosoner har ingen slik begrensning. Hunds regel Ved fylling av underskall dvs en gitt verdi på l, for eksempel en p-orbital), foretrekker spinnene å være i en symmetrisk tilstand; fyller opp ulike m l først. Dette minimerer Coulombenergien ved hjelp av exchange. Exchange-vekselvirkning En ren kvanteeekt som gjør at identiske partikler med symmetrisk romlig bølgefunksjon har en tendens til å være litt nærmere hverandre enn de med antisymmetrisk romlig bølgefunksjon. Anta at vi har to partikler i tilstand ψ a og ψ b. Denerer så avstanden x) = x x ). Får da: x) S = x) ii x ab 3

4 x) A = x) ii + x ab x ab = ψaxψ b dx ii indikerer ikke-identiske partikler. Korreksjonen x ab forsvinner dersom overlappet mellom ψ a og ψ b er null, så det er ikke nødvendig å ta hensyn til anti)symmetrisering hvis partiklene er langt fra hverandre. 3 Molekyler Bindingstyper: Ionebinding sterkest): Coulombtiltrekning mellom motsatt ladde ioner. Eks.: NaCl. Kovalent binding: Atomer deler elektroner. Eks: H. To elektroner i singlettilstand i felles s-orbital. Hydrogenbinding: H + mellom to negative ioner; for eksempel HF. Van der Waals-binding: Dipol-dipol-vekselvirkning mellom molekyler. Molekylers vibrasjon og rotasjon: Bidrag til molekylers indre energi er elektronisk orbitalene i enkeltatomer, modi- sert - er komplisert), rotasjon og vibrasjon. Har da E = E el + E rot + E vib. 3. Rotasjon Ser på et diatomisk molekyl, rotasjon rundt massesenteret. Klassisk utledning av rotasjonsenergien gir: E rot = I kvantemekanikken får vi da: E rot = L I cm I cm ll + ) l =,,... kalles rotasjonskvantetallet. For to identiske atomer er l partall eller. Et diatomisk molekyl har to ikke tre) uavhengige rotasjonsakser. Rotasjon rundt molekylets akse bidrar ikke til spekteret fordi atomene har så liten utstreknig av treghetsmomentet er tilnærmet. 3. Vibrasjon Eektivt potensiale mellom atomene i molekylet tilnærmes med harmonisk oscillatorpotensialet. Et gir: E vib = n + ) ω, n N n kalles rotasjonskvantetallet, og E kalles nullpunktsenergien og denne vibrasjonen er alltid tilstede. Energinivåene øker lineært, der E vib E rot typisk. I tillegg er E vib kt som gjør at termisk eksitasjon av vibrasjon ikke skjer. Rotasjon eksiteres mye lettere. 3.3 Molekylspektra Ikke alle overganger i rot-vib-spekteret er tillat. har følgende føringer: l l = n n = Kan altså ikke ha rene vibrasjons- og rotasjonsoverganger Nyttige bemerkninger Et sett av egenverdier {λ n } til en operator kalles operatorens spektrum. Dersom to eller ere egenfunksjoner har samme egenverdi sier vi at tilstanden er degenerert. To operatorer som kommuterer med hverandre kan bestemmes skarpt samtidig, det vil si ha felles egenfunksjoner. Kalles kompatible variable. To operatorer som ikke kommuterer kan ikke bestemmes skarpt samtidig. Kalles ikke-kompatible. Det nnes en uskarphetsrelasjon for hvert par av ikke-kompatible variable. Har nemlig den nære sammenhengen: σ Aσ B [Â, ˆB] ) i Vi stiller følgende matematiske krav til ψ: Når man skal skjøte sammen bølgefunksjoner, det vil si løsninger av Schrödingerligningen for forskjellige potensial, må ψx) være kontinuerlig i skjøtepunktet. Tilsvarende som over må dψ/dx være kontinuerlig i dette punktet. Dette kravet gjelder ikke dersom det ene potensialet i skjøten går mot uendelig. Bølgefunksjonen må være normerbar, det vil si at den må gå mot i grensene når x ±. 3.4 Løste problemer 3.4. Uendelig brønn Har denert potensialet: {, dersom x a V x) =, ellers Dette gir løsningene: ψ n x) = a sin nπ a x ) E n = n π ma, n N De har følgende egenskaper: De er vekslende odde og like med hensyn på senteret av brønnen: ψ er lik, ψ er odde og så videre. Når man går opp i energi har hver tilstand en mer node: ψ har ingen, ψ har og så videre. 4

5 De er ortogonale, det vil si: ψ mx)ψ n x) dx = δ mn δ mn = 3.4. Harmonisk oscillator Har denert potensialet: Grunntilstanden er gitt ved: ψ x) = {, dersom m n, dersom m = n V x) = mω x mω ) /4 e mω x π De resterende er gitt ved heve- og senkeoperatorer denert ved: a ± = ip + mωx) mω Slik at: ψ n = n! a + ) n ψ De tilhørende energinivåene er gitt ved: E n = n + ) ω, n N Fri partikkel Ved innsetting V x) = i Schrödingerligningen fåes en planbølge med skarp k: ψx) = Ae ikx + Be ikx Denne er slik den står ikke normaliserbar. Triks: Putt partikkelen på en sirkel slik at ψ) = ψa). Den er da normaliserbar og vi kan la a Partikkel i endelig boks Har nå denert potensialet: { V, dersom a x a V x) =, dersom x > a V er her en denert positiv størrelse. Deler så inn området i 3 suksessivt, Det gir: ψ I x) = Ae κx, x a ψ II x) = C sinlx) + D coslx) ψ III x) = Be κx, x a Her er: m En κ = Må så ta hensyn til kontinuitetskravene både at ψx) og dψ/dx skal være kontinuerlig). For like symmetriske) løsninger: C =, D. Dette gir ligningen: κ = l tanla) Her er: mv E n ) l = De odde antisymmetriske) løsningen gir tilsvarende betingelsen: l cotla) = κ Dette er trancedentale ligninger og må løses numerisk eller grask. Ut fra disse ligningene kommer de tillatte energinivåene Potensialbarriere tunnelering) Denerer potensialet: { V, dersom x L område I og III) V x) =, ellers område II) Antar så < E < V. Schrödingerligningen gir da: ψ I x) = Ae ikx + Be ikx ψ II x) = Ce κx + De κx ψ III x) = F e ikx + Ge ikx me k = mv E) κ = Antar ingen innkommende bølge fra høyre G = ). Denerer så reeksjonskoesienten R og transmisjonskoesienten T: R = B A T = F A Ved kontinuitetskrav får man: T = [cosh κl) + k κ ) 4κ k ] sinh κl) Det betyr at T > for E < V, som betyr at tunnelering forekommer Hydrogenatomet Har nå Coulombpotensialet: V r) = e 4πɛ r Setter denne inn i radialligningen. Løsningene klassiseres av et tredje kvantetall, n, hovedkvantetallet, med føringene n N, l < n. Energispekteret får følgende form: E n = m ee 4 4πɛ ) n 5

6 Her er det mange tilstander med samme energi ulike l og m for gitt n). Finner så degenerasjonsgraden: For hver l er det l + muligheter for hva kvantetallet m kan være. Det gir: n dn) = = l= n l + = nn ) l= + n = n n l + l = gir kulesymmetrisk elektronsky, l > gir ikke en kulesymmetrisk elektronsky. Vi har også operatorer for angulærmoment: ˆL = [ sin θ ˆL z = i φ = m ˆL = ˆL x + ˆL y + ˆL z Hva kan kvantetallene være? sin θ ) + θ θ sin θ l= n N, l {N l < n}, l m l Stern-Gerlach-eksperimentet ] φ = ll + ) Et hydrogenatom i et inhomogent B-felt forventer man avbøyning grunnet hydrogenatomets dipolmoment: µ = e m e ˆ L Dette fordi en dipol vil påvirkes av en kraft som er proposjonal med L z = m. Forventer da én linje på skjermen ved l = m =. Det ble derimot observert to linjer. Forklaring: Elektronets egenspinn Zeemaneekt Dersom et hydrogenatom beveger seg i et homogent B-felt får Hamiltonoperatoren et tilleggsled grunnet hydrogenets dipolmoment. Velger B-feltet til å være i z-retningen. Da blir den nye Hamiltonoperatoren: Ĥ = Ĥ µ B = m + V r) + eb m e L z Det gir at energispekteret endres: E ny = E gammel + eb m e L z = E gammel + eb m e m Den normale Zeemaneekten er nettopp at energien ikke lenger bare er avhengig av n, men også av m slik at degenerasjonen splittes opp i B-feltet. Dette fører igjen til oppsplitting av spektrallinjene. Ved l = er m =, så her skal det ikke bli noen oppsplitting av spektrallinjene. I praksis er oppsplittingen enda litt mer komplisert på grunn av spinn. 4 Faste stoers fysikk Ser på krystaller, noe som ofte er tilfelle. Bindingsmekanismene er de samme som i molekyler. Det er kvantemekanikken som avgjør om et sto er en leder, halvleder eller isolator. Har mange forskjellige krystallstrukturer, i 3D er det et begrenset antall. Eksempler: Kubisk, BCC body-centered cubic) og FCC face-centered cubic). Karakterisering av krystallstruktur skjer ved Braggspredning. Bindigstypene: Kovalent krystall: Hvert atom har sterke kovalente bindinger med sine naboer. Harde, dårlig ledningsevne valenselektronene er låst i bindingene. Eks.: Diamant. Ionekrystall: For eksempel NaCl. Ingen frie valenselektroner fører til dårlig ledningsevne. Molekylkrystall H, N, osv): Holdes sammen av permanente eller induserte dipolkrefter. Fluktuasjonsindusert dipolbinding er meget svak, som fører til lavt smeltepunkt. Metaller: Antall valenselektroner matcher ikke i forhold til rent kovalente bindinger. Valenselektroner til overs, dvs kan bevege seg relativt fritt gjennom krystallen. Ledningselektroner: Deltar i elektrisk ledning siden de relativt lett kan reagere på et ytre elektrisk felt. Man kommer relativt langt med fri-elektron-modellen som beskriver ledningselektronene som en fri elelktrongass. 4. Ledningsevne Må ta hensyn til elektronenes bølgenatur. Ohms lov gjelder fortsatt, men større midlere tid mellom hver kollisjon bølger kan gå uforstyrret gjennom periodisk krystall). Elektrosik motstand skyldes primært gittersvingninger avhengig av temperaturen) og uregelmessigheter i krystallen urenhenter). 4. Båndteori Hva er energinivåene for elektronene i en krystall? a) Se på hva som skjer med enkeltatomers energinivåer når de kombineres til en krystall, b) Begynne med frie elektroner - hva er konsekvensen av ionegitteret. a Hva skjer når enkeltatomer kommer sammen? Konkret: Ved to Na-atomer i stor avstand overlapper ikke bølgefunksjonene og det blir ingen tunnelering mellom atomene. Dersom de er litt nærme hverandre overlapper bølgefunksjonene, og vi får to uavhengige lineærkombinasjoner av bølgefunksjonene symmetrisk og antisymmetrisk omkring midtpunkt tunneleringsbariæren). Disse to har ulik energi, som gjør at degenerasjonen splittes. ψ + ψ har lavest energi tettest bundet, høy sannsynlighetstetthet mellom kjernene). N atomer gir N uavhengige lineærkombinasjoner med hver sin energi. De danner da et bånd dersom N er stor, energibånd. Dette båndet kalles et 3s-bånd. Bredden på dette båndet avhenger av avstanden mellom atomene, ikke antall atomer. Vi får da et kontinum av tillatte egentilstander i båndet i en krystall bestående av mange atomer. En orbital i et atom med gitt l har plass til l + ) elektroner på grunn av spinn). Et bånd i en N-atomkrystall består av N slike tilstander som gjør at det er plas til Nl+) elektroner i båndet. 6

7 Båndstrukturen om det øverste båndet er fylt) og gapet opp til neste tomme bånd avgjør ledningsegenskapene til et sto. For metaller er øverste bånd delvis fylt. Det krever lite energi å eksitere de øverste elektronene til nærmeste ledige tilstand. Kan derfor lett reagere på et elektrisk felt og delta i ladningstransport strøm). Eks: Natrium: Øverste skall halvfylt - mange ledige tilstander i nærheten av de besatte. Isolatorer: Ledningsbåndet tomt, valensbåndet fylt, gjør at gapet blir stort så nesten ingen termisk eksiterte elektroner ved normale temperaturer fører til dårlig ledningsevne. Halvledere: Som isolator, men mye mindre gap. Det gir dårlig ledningsevne ved lave temperaturer, men ved moderate/høye T vil en del elektroner være termisk eksitert til neste bånd og kan delta i ladningstransport. Det gir ledningsevnen øker med økende temperatur i motsetning til metaller). b Båndstruktur utledet fra nesten frie elektroner. Elektroner beskrives som materiebølger; Braggspredning mot ionene i krystallen. Ser på D. Frie elektroner palnbølger): Ψx, t) = e ikx ωt), E = ω = k. Braggspredning: a sin θ = nλ. I vårt tilfelle er θ = 9, som gir m a = nλ = πn k. For a = nλ er innkommende og reektert bølge i fase, som gir stående bølger. To kombinasjoner: ψ + = e ikx + e ikx = coskx) ψ = e ikx e ikx = i sinkx) Transistorer: Forsterker. pnp eller npn overganger. Basestrøm: Positivt ladningsoverskuddfra de rekombinerte hullene, dras ut. Liten endring i basestrømmen gir da en stor endring i kollektorstrømmen. 5 Nyttige matematiske relasjoner Sfæriske koordinater: Naturlige tall: x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ dxdydz = r sin θ drdφdθ N = {,, 3,...} N = {,,, 3,...} 6 Nyttige fysiske konstanter hc = 4 evnm c = 97.3 evnm m e =.5 MeV/c Det gir k = nπ a. Ved andre verdier på k midles reeksjonen fra krystallen til. Hvorfor gap? Første reeksjonsmaksimum: k = ± π a. Ser på denne: ψ + cos πx ) max ved x =, a,.... a ψ sin πx ) min ved samme a ψ + har lavest elektrostatisk energi. 4.3 Halvledere Termisk eksitasjon: Elektroner i ledningsbåndet. Hull i valensbåndet. Med E-felt: Elektronene i ledningsbåndet går mot feltretningen, hullene beveger seg med feltet. Det gir strøm. Like mange elektroner som hull. Intrinsic halvleder. Typisk Ge, Si. Kovalente, tetravalente, dvs re valenselektroner. Doping: n-type: Erstatter en liten del av atomene med pentavalente atomer, dvs fem valenselektroner. Valenselektroner blir da til overs. p-type: Doper med trivalente atomer, dvs tre valenselektroner, som gir hull til overs. Dopede halvlederehar mye større ledningsevne enn ikkedopede. Dioder: Leder strøm bare en vei likeretter). p-n-overgang. Elektroner i lednigsbånd faller ned i hull i valnes. Tømmes for ledningselektroner på et øyeblikk - ikke strøm. 7

Fasehastighet: Gruppehastighet:

Fasehastighet: Gruppehastighet: Hjelpeark, FYS4 Fra kompendiet. Fotoelektrisk eekt Lys innfallende på en metallplate, elektroner rives løs. Observeres med elektrisk krets gitt ved gur. V > : Frigjorte elektroner dratt mot anoden. Store

Detaljer

REPETISJON FYS2140. Susanne Viefers. Fysisk Institutt, Teorigruppa. REPETISJON FYS2140 p.1/31

REPETISJON FYS2140. Susanne Viefers. Fysisk Institutt, Teorigruppa. REPETISJON FYS2140 p.1/31 REPETISJON FYS2140 Susanne Viefers s.f.viefers@fys.uio.no Fysisk Institutt, Teorigruppa REPETISJON FYS2140 p.1/31 Teoretisk pensum I Første del, Forelesningsnotater Enheter og størrelser i Fys2140 Sort

Detaljer

REPETISJON FYS2140. Susanne Viefers. Fysisk Institutt, Teorigruppa. REPETISJON FYS2140 p.1/31

REPETISJON FYS2140. Susanne Viefers. Fysisk Institutt, Teorigruppa. REPETISJON FYS2140 p.1/31 REPETISJON FYS2140 Susanne Viefers s.f.viefers@fys.uio.no Fysisk Institutt, Teorigruppa REPETISJON FYS2140 p.1/31 Teoretisk pensum I Første del, Forelesningsnotater Enheter og størrelser i Fys2140 Sort

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Side Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS4 Kvantefysikk Eksamensdag: 8. juni 5 Tid for eksamen: 9. (4 timer) Oppgavesettet er på fem (5) sider Vedlegg: Ingen

Detaljer

Forelesningsnotater om spinn, FYS2140 (Erstatter kap. 4.4 i Griffiths) Susanne Viefers

Forelesningsnotater om spinn, FYS2140 (Erstatter kap. 4.4 i Griffiths) Susanne Viefers Forelesningsnotater om spinn, FYS2140 (Erstatter kap. 4.4 i Griffiths) Susanne Viefers 20. april 2005 Dette notatet sammenfatter forelesningene om elektronets egenspinn og erstatter dermed avsnitt 4.4

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 1.juni 2004 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Eksamen 1.juni 2004 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Eksamen TFY45. juni 004 - løsningsforslag Oppgave Løsningsforslag Eksamen.juni 004 TFY45 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Bundne energiegentilstander i et éndimensjonalt potensial er ikke-degenererte

Detaljer

Siste uke, mai

Siste uke, mai Siste uke, 10. - 14. mai Mandag: Repetisjon Tirsdag: Ingen forelesning Onsdag: Gjennomgang av oblig 12. Siste frist for levering av etterslengere Torsdag/fredag: Fri Pensum Kompendium Læreboka (se kursets

Detaljer

FYS2140 Kvantefysikk, Oblig 11. Sindre Rannem Bilden og Gruppe 4

FYS2140 Kvantefysikk, Oblig 11. Sindre Rannem Bilden og Gruppe 4 FYS2140 Kvantefysikk, Oblig 11 Sindre Rannem Bilden og Gruppe 4 30. april 2015 Obliger i FYS2140 merkes med navn og gruppenummer! Denne obligen er satt sammen av den første delen av eksamen våren 2010

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE. Eksamen i: Fys-2000 Kvantemekanikk Dato: 5. juni 2013 Tid: Kl Sted: Åsgårdveien 9. og fysikk, lommekalkulator

EKSAMENSOPPGAVE. Eksamen i: Fys-2000 Kvantemekanikk Dato: 5. juni 2013 Tid: Kl Sted: Åsgårdveien 9. og fysikk, lommekalkulator FAKUTET FOR NATURVITENSKAP OG TEKNOOGI EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: Fys-2000 Kvantemekanikk Dato: 5. juni 2013 Tid: Kl 09.00-13.00 Sted: Åsgårdveien 9 Tillatte hjelpemidler: Formelsamlinger i matematikk

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 26. mai 2006 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Eksamen 26. mai 2006 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Eksamen TFY415 6. mai 006 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 6. mai 006 TFY415 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. For bundne tilstander i én dimensjon er degenerasjonsgraden lik 1;

Detaljer

Løsningsforslag Konte-eksamen 2. august 2003 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Konte-eksamen 2. august 2003 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Konte-eksamen SIF448.aug. 3 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 a. Hamilton-operatoren er Løsningsforslag Konte-eksamen. august 3 SIF448 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Ĥ = h m x + V (x), og den tidsuavhengige

Detaljer

Oppgave 2 Vi ser på et éndimensjonalt system hvor en av de stasjonære tilstandene ψ(x) er gitt som { 0 for x < 0, ψ(x) = Ne ax (1 e ax (1)

Oppgave 2 Vi ser på et éndimensjonalt system hvor en av de stasjonære tilstandene ψ(x) er gitt som { 0 for x < 0, ψ(x) = Ne ax (1 e ax (1) Oppgave Gjør kort rede for hva den fotoelektriske effekt er, hva slags konklusjoner man kunne trekke fra observasjoner av denne i kvantefysikkens fødsel, og beskriv et eksperiment som kan observere og

Detaljer

(θ,φ) er de sfæriske harmoniske. Disse løsningene har energiene 1. = nm, (4) x = rsinθcosφ, (6) y = rsinθsinφ, (7) z = rcosθ, (8) 1 r 2 sinθ

(θ,φ) er de sfæriske harmoniske. Disse løsningene har energiene 1. = nm, (4) x = rsinθcosφ, (6) y = rsinθsinφ, (7) z = rcosθ, (8) 1 r 2 sinθ Oppgave 1 Variasjoner over hydrogen Løsningen av den tidsuavhengige Schrødingerligningen for potensialet til hydrogenatomet Vr) = k ee r, 1) er som kjent ψ nlm r,θ,φ) = R nl r)yl m θ,φ), ) hvor R nl r)

Detaljer

A.5 Stasjonære og ikke-stasjonære tilstander

A.5 Stasjonære og ikke-stasjonære tilstander TFY4250/FY2045 Tillegg 4 - Stasjonære og ikke-stasjonære tilstander 1 Tillegg 4: A.5 Stasjonære og ikke-stasjonære tilstander a. Stasjonære tilstander (Hemmer p 26, Griffiths p 21) Vi har i TFY4215 (se

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk 2 Tirsdag 9. desember 2003

Løsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk 2 Tirsdag 9. desember 2003 NTNU Side 1av7 Institutt for fysikk Fakultet for naturvitenskap og teknologi Dette løsningsforslaget er på 7 sider. Løsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk Tirsdag 9. desember 003 Oppgave 1. a) Amplituden

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk naturvitenskapelige fakultet

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk naturvitenskapelige fakultet UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: KJM1060 Struktur og spektroskopi Eksamensdag: 14 oktober 2004 Tid for eksamen: kl. 15:00 17:00 Oppgavesettet er på 2sider.

Detaljer

En samling av mer eller mindre relevante formler (uten nærmere forklaring) er gitt til slutt i oppgavesettet.

En samling av mer eller mindre relevante formler (uten nærmere forklaring) er gitt til slutt i oppgavesettet. Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet NTNU Institutt for fysikk Lade EKSAMEN I: MNF FY 44 KVANTEMEKANIKK I DATO: Tirsdag 4. desember 999 TID: 9.00 5.00 Antall vekttall: 4 Antall sider: 3 Sensurdato:

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 7. august 2006 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Eksamen 7. august 2006 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Eksamen TFY4215 7. august 2006 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 7. august 2006 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Bundne tilstander i et symmetrisk éndimensjonalt potensial

Detaljer

Energibånd i faste stoffer. Et prosjekt i emnet FY1303 elektrisitet og magnetisme, skrevet av Tord Hompland og Sigbjørn Vindenes Egge.

Energibånd i faste stoffer. Et prosjekt i emnet FY1303 elektrisitet og magnetisme, skrevet av Tord Hompland og Sigbjørn Vindenes Egge. Energibånd i faste stoffer. Et prosjekt i emnet FY1303 elektrisitet og magnetisme, skrevet av Tord Hompland og Sigbjørn Vindenes Egge. 1 Innholdsfortegnelse. Sammendrag...3 Innledning... 4 Hvorfor kvantemekanisk

Detaljer

Eksamen i fag FY1004 Innføring i kvantemekanikk Tirsdag 22. mai 2007 Tid:

Eksamen i fag FY1004 Innføring i kvantemekanikk Tirsdag 22. mai 2007 Tid: Side 1 av 6 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Navn: Jan Myrheim Telefon: 73 59 36 53 (mobil 90 07 51 72) Sensurfrist: Tirsdag 12. juni 2007

Detaljer

Eksamen i fag FY1004 Innføring i kvantemekanikk Fredag 30. mai 2008 Tid: a 0 = 4πǫ 0 h 2 /(e 2 m e ) = 5, m

Eksamen i fag FY1004 Innføring i kvantemekanikk Fredag 30. mai 2008 Tid: a 0 = 4πǫ 0 h 2 /(e 2 m e ) = 5, m Side av 6 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Navn: Jan Myrheim Telefon: 73 59 36 53 (mobil 90 07 5 7 Sensurfrist: Fredag 0 juni 008 Eksamen

Detaljer

FYS2140 KVANTEFYSIKK

FYS2140 KVANTEFYSIKK FYS2140 KVANTEFYSIKK Susanne Viefers s.f.viefers@fys.uio.no Fysisk Institutt, Teorigruppa FYS2140 KVANTEFYSIKK p.1/55 Første uke, 16-20 januar Mandag: Første time: Presentasjon av kurset med opplegg m.m.

Detaljer

TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Løsning øving 1 1 LØSNING ØVING 1

TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Løsning øving 1 1 LØSNING ØVING 1 TFY425 Innføring i kvantefysikk - Løsning øving Løsning oppgave a. LØSNING ØVING Vi merker oss at sannsynlighetstettheten, Ψ(x, t) 2 = A 2 e 2λ x, er symmetrisk med hensyn på origo. For normeringsintegralet

Detaljer

CMOS billedsensorer ENERGIBÅND. Orienteringsstoff AO 03V 2.1

CMOS billedsensorer ENERGIBÅND. Orienteringsstoff AO 03V 2.1 NRGIBÅND Orienteringsstoff AO 03V 2.1 nergibånd Oppsplitting av energitilstander i krystallstruktur Atom (H) Molekyl Krystallstruktur Sentrifugal potensial 0 0 0 ffektivt potensial Columb potensial a a

Detaljer

Eksamen i TFY4170 Fysikk 2 Mandag 12. desember :00 18:00

Eksamen i TFY4170 Fysikk 2 Mandag 12. desember :00 18:00 NTNU Side 1 av 5 Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Professor Arne Brataas Telefon: 73593647 Eksamen i TFY417 Fysikk Mandag 1. desember 5 15: 18: Tillatte hjelpemidler: Alternativ C Godkjent

Detaljer

Løsningsforslag FY6019 Moderne fysikk kl fredag 12. juni 2015

Løsningsforslag FY6019 Moderne fysikk kl fredag 12. juni 2015 Løsningsforslag FY6019 Moderne fysikk kl 09.00-14.00 fredag 12. juni 2015 Oppgave 1. Flervalgsoppgaver. (Poeng: 2.5 8 = 20) a) Hva er forventningsverdien av posisjonen, x, til en partikkel i grunntilstanden

Detaljer

Forelesningsnotat om molekyler, FYS2140. Susanne Viefers

Forelesningsnotat om molekyler, FYS2140. Susanne Viefers Forelesningsnotat om molekyler, FYS Susanne Viefers. mai De fleste grunnstoffer (unntatt edelgassene) deltar i formingen av molekyler. Molekyler er sammensatt av enkeltatomer som holdes sammen av kjemiske

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 16. august 2008 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Eksamen 16. august 2008 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Eksamen TFY415 16. august 008 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 (Teller 34 %) Løsningsforslag Eksamen 16. august 008 TFY415 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Siden potensialet V () er symmetrisk, er grunntilstanden

Detaljer

Eksamen i: FYS145 - Kvantefysikk og relativitetsteori Eksamensdag: Mandag 10. mai 2004, kl. 14.00-17.00 (3 timer)

Eksamen i: FYS145 - Kvantefysikk og relativitetsteori Eksamensdag: Mandag 10. mai 2004, kl. 14.00-17.00 (3 timer) 1 NORGES LANDBRUKSHØGSKOLE Institutt for matematiske realfag og teknologi Eksamen i: FYS145 - Kvantefysikk og relativitetsteori Eksamensdag: Mandag 1. mai 24, kl. 14.-17. (3 timer) Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 12. august 2004 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Eksamen 12. august 2004 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Eksamen TFY4215 12. august 2004 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 12. august 2004 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Den tidsuavhengige Schrödingerligningen, Ĥψ = Eψ, tar for

Detaljer

A.3.e: Ortogonale egenfunksjonssett

A.3.e: Ortogonale egenfunksjonssett TFY4250/FY2045 Tillegg 2 1 Tillegg 2: A.3.e: Ortogonale egenfunksjonssett Ikke-degenererte egenverdier La oss først anta at en operator ˆF har et diskret og ikke-degeneret spektrum. Det siste betyr at

Detaljer

FYS2140 Kvantefysikk, Oblig 2. Sindre Rannem Bilden, Gruppe 3

FYS2140 Kvantefysikk, Oblig 2. Sindre Rannem Bilden, Gruppe 3 FYS2140 Kvantefysikk, Oblig 2 Sindre Rannem Bilden, Gruppe 3 6. februar 2015 Obliger i FYS2140 merkes med navn og gruppenummer! Denne obligen har oppgaver som tar for seg fotoelektrisk eekt, Comptonspredning

Detaljer

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 14 1 LØSNING ØVING 14. ψ 210 z ψ 100 d 3 r a.

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 14 1 LØSNING ØVING 14. ψ 210 z ψ 100 d 3 r a. FY45/TFY45 Kvantemekanikk I, løsning øving 14 1 LØSNING ØVING 14 Løsning Oppgave 14 1 Fra oppg 3, eksamen august 1 a. Med Y = 1/ 4π og zy = ry 1 / 3 kan vi skrive matrise-elementene av z på formen (z)

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE. Tillatte hjelpemidler: K. Rottmann: Matematisk Formelsamling Lommekalkulator med tomt minne

EKSAMENSOPPGAVE. Tillatte hjelpemidler: K. Rottmann: Matematisk Formelsamling Lommekalkulator med tomt minne EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: FYS-000 Kvantemekanikk Dato: Mandag 6. september 016 Tid: Kl 09:00 1:00 Sted: Auditorium Maximum, Administrasjonsbygget Tillatte hjelpemidler: K. Rottmann: Matematisk Formelsamling

Detaljer

Energiband i krystallar. Halvleiarar (intrinsikke og ekstrinsikke) Litt om halvleiarteknologi

Energiband i krystallar. Halvleiarar (intrinsikke og ekstrinsikke) Litt om halvleiarteknologi Energiband i krystallar Halvleiarar (intrinsikke og ekstrinsikke) Litt om halvleiarteknologi Energibandstrukturen til eit material avgjer om det er ein leiar (metall), halvleiar, eller isolator Energiband

Detaljer

EKSAMEN I FAG SIF4065 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK Fakultet for naturvitenskap og teknologi 13. august 2002 Tid:

EKSAMEN I FAG SIF4065 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK Fakultet for naturvitenskap og teknologi 13. august 2002 Tid: Side 1 av 5 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Navn: Ola Hunderi Tlf.: 93411 EKSAMEN I FAG SIF465 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK Fakultet for naturvitenskap

Detaljer

VÅREN Oppgave II. b) Hamilton-operatoren for en partikkel med masse m på en ring med radius r er gitt ved

VÅREN Oppgave II. b) Hamilton-operatoren for en partikkel med masse m på en ring med radius r er gitt ved VÅREN 1998 Oppgave II a) Bølgefunksjonen for en partikkel på ring er gitt ved ml = 1 " ei ml # m l = 0, ±1, ±, Hvorfor må vi kreve at m l er et heltall? Bestem sannsynlighetstettheten for denne partikkelen.

Detaljer

TFY Løsning øving 4 1 LØSNING ØVING 4. Vibrerende to-partikkelsystem

TFY Løsning øving 4 1 LØSNING ØVING 4. Vibrerende to-partikkelsystem TFY45 - Løsning øving 4 Løsning oppgave 3 LØSNING ØVING 4 Vibrerende to-partikkelsystem a. Vi kontrollerer først at kreftene på de to massene kommer ut som annonsert: F V V k(x l) og F V V k(x l), som

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 14.desember 2011 FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I

Løsningsforslag Eksamen 14.desember 2011 FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I Eksamen FY2045/TFY4250 14. desember 2011 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 14.desember 2011 FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I a. For E < 3V 0 /4 er området x > a klassisk forbudt, og

Detaljer

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, øving 6 1 ØVING 6. Fermi-impulser og -energier

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, øving 6 1 ØVING 6. Fermi-impulser og -energier FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, 2012 - øving 6 1 ØVING 6 Oppgave 6 1 Fermi-impulser og -energier a. Anta at en ideell gass av N (ikke-vekselvirkende) spinn- 1 -fermioner befinner seg i grunntilstanden

Detaljer

TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Øving 2 1 ØVING 2. Krumningsegenskaper for endimensjonale energiegenfunksjoner

TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Øving 2 1 ØVING 2. Krumningsegenskaper for endimensjonale energiegenfunksjoner TFY415 Innføring i kvantefysikk - Øving 1 Oppgave 5 ØVING Krumningsegenskaper for endimensjonale energiegenfunksjoner En partikkel med masse m beveger seg i et endimensjonalt potensial V (x). Partikkelen

Detaljer

B.1 Generelle egenskaper til energiegenfunksjoner

B.1 Generelle egenskaper til energiegenfunksjoner TFY4250/FY2045 Tillegg 6 - Generelle egenskaper til energiegenfunksjoner 1 Tillegg 6: Noe av stoffet i dette Tillegget er repetisjon fra Tillegg 3 i TFY4215. B.1 Generelle egenskaper til energiegenfunksjoner

Detaljer

Oppgave 1 (Teller 34 %) BOKMÅL Side 1 av 5. NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk

Oppgave 1 (Teller 34 %) BOKMÅL Side 1 av 5. NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk BOKMÅL Side 1 av 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tel. 73 59 18 67, eller 97 01 23 55 Jon Andreas Støvneng, tel. 73 59

Detaljer

TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk - Øving 1 1 ØVING 1. En liten briefing om forventningsverdier, usikkerheter osv

TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk - Øving 1 1 ØVING 1. En liten briefing om forventningsverdier, usikkerheter osv TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk - Øving 1 1 Frist for innlevering: mandag 26. januar ØVING 1 En liten briefing om forventningsverdier, usikkerheter osv Eksempel: Terningkast Ved terningkast er

Detaljer

Løsningsforslag FYS2140 Hjemmeeksamen Vår 2015

Løsningsforslag FYS2140 Hjemmeeksamen Vår 2015 Løsningsforslag FYS2140 Hjemmeeksamen Vår 2015 12. mars 2015 Det er i alt mulig på en god dag å få 20 poeng på denne hjemmeeksamen. Noen av oppgavene skal løses numerisk. Kompendiet om programmering, samt

Detaljer

FYS2140 Kvantefysikk, Oblig 2. Lars Kristian Henriksen Gruppe 3

FYS2140 Kvantefysikk, Oblig 2. Lars Kristian Henriksen Gruppe 3 FYS2140 Kvantefysikk, Oblig 2 Lars Kristian Henriksen Gruppe 3 6. februar 2015 Obliger i FYS2140 merkes med navn og gruppenummer! Denne obligen har oppgaver som tar for seg fotoelektrisk effekt, Comptonspredning

Detaljer

EKSAMEN I FY2045 KVANTEFYSIKK Mandag 2. juni 2008 kl

EKSAMEN I FY2045 KVANTEFYSIKK Mandag 2. juni 2008 kl NORSK TEKST Side av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 8 67, eller 9702355 EKSAMEN I FY2045 KVANTEFYSIKK Mandag

Detaljer

Løsning, eksamen TFY4205 Kvantemekanikk II Mandag 13. august 2012

Løsning, eksamen TFY4205 Kvantemekanikk II Mandag 13. august 2012 Løsning, eksamen TFY4205 Kvantemekanikk II Mandag 13 august 2012 1a) Kravene at både ψ og ψ er kontinuerlige der potensialet er diskontinuerlig, følger av Schrödingerligningen 2 2m ψ x) + V x)ψx) = Eψx)

Detaljer

Enkel introduksjon til kvantemekanikken

Enkel introduksjon til kvantemekanikken Kapittel Enkel introduksjon til kvantemekanikken. Kort oppsummering. Elektromagnetiske bølger med bølgelengde og frekvens f opptrer også som partikler eller fotoner med energi E = hf, der h er Plancks

Detaljer

FY1006/TFY Øving 7 1 ØVING 7

FY1006/TFY Øving 7 1 ØVING 7 FY1006/TFY4215 - Øving 7 1 Frist for innlevering: 5. mars kl 17 ØVING 7 Den første oppgaven dreier seg om den tredimensjonale oscillatoren, som behandles i starten av Tillegg 5, og som vi skal gå gjennom

Detaljer

EKSAMEN I SIF4048 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK Tirsdag 13. august 2002 kl

EKSAMEN I SIF4048 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK Tirsdag 13. august 2002 kl Side 1 av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Margareth Nupen, tel. 73 55 96 4 Ingjald Øverbø, tel. 73 59 18 67 EKSAMEN I SIF4048 KJEMISK

Detaljer

TFY Øving 7 1 ØVING 7. 3-dimensjonal isotrop harmonisk oscillator

TFY Øving 7 1 ØVING 7. 3-dimensjonal isotrop harmonisk oscillator TFY4215 - Øving 7 1 Oppgave 20 ØVING 7 -dimensjonal isotrop harmonisk oscillator Vi har tidligere studert egenfunksjonen (orbitalen) for grunntilstanden i hydrogenlignende atomer, og skal senere sette

Detaljer

FY1006/TFY Løsning øving 9 1 LØSNING ØVING 9

FY1006/TFY Løsning øving 9 1 LØSNING ØVING 9 FY1006/TFY415 - Løsning øving 9 1 Løsning oppgave Numerisk løsning av den tidsuavhengige Schrödingerligningen LØSNING ØVING 9 a. Alle leddene i (1) har selvsagt samme dimensjon. Ved å dividere ligningen

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 4. august 2008 TFY4250 Atom- og molekylfysikk

Løsningsforslag Eksamen 4. august 2008 TFY4250 Atom- og molekylfysikk Eksamen TFY450 4. auguast 008 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 4. august 008 TFY450 Atom- og molekylfysikk a. I områdene x < a og x > a har vi (med E V 0 ) at ψ m h [V (x) E ]ψ 0.

Detaljer

Eksamen FY1006/TFY mai løsningsforslag 1

Eksamen FY1006/TFY mai løsningsforslag 1 Eksamen FY1006/TFY415 7. mai 009 - løsningsforslag 1 Løsningsforslag, Eksamen 7. mai 009 FY1006 Innføring i kvantefysikk/tfy415 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Oppgave 1 a. For E > V 0 har vi for store

Detaljer

Basis dokument. 1 Solcelle teori. Jon Skarpeteig. 23. oktober 2009

Basis dokument. 1 Solcelle teori. Jon Skarpeteig. 23. oktober 2009 Basis dokument Jon Skarpeteig 23. oktober 2009 1 Solcelle teori De este solceller er krystallinske, det betyr at strukturen er ordnet, eller periodisk. I praksis vil krystallene inneholde feil av forskjellige

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk august 2004

Løsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk august 2004 NTNU Side 1av7 Institutt for fysikk Fakultet for naturvitenskap og teknologi Dette løsningsforslaget er på 7 sider. Løsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk 1. august 004 Oppgave 1. Interferens a)

Detaljer

FYS 3710 Biofysikk og Medisinsk Fysikk, Bindingsteori - atomorbitaler

FYS 3710 Biofysikk og Medisinsk Fysikk, Bindingsteori - atomorbitaler FYS 3710 Biofysikk og Medisinsk Fysikk, 2017 3 Bindingsteori - atomorbitaler Einar Sagstuen, Fysisk institutt, UiO 28.08.2017 1 Biologiske makromolekyler DNA PROTEIN t-rna 28.08.2017 2 Biologiske makromolekyler

Detaljer

TFY Løsning øving 5 1 LØSNING ØVING 5. Krumning og stykkevis konstante potensialer

TFY Løsning øving 5 1 LØSNING ØVING 5. Krumning og stykkevis konstante potensialer TFY4215 - Løsning øving 5 1 Løsning oppgave 16 LØSNING ØVING 5 Krumning og stykkevis konstante potensialer a. I et område hvor V er konstant (lik V 1 ), og E V 1 er positiv (slik at området er klassisk

Detaljer

FYS 3710 Biofysikk og Medisinsk Fysikk, Bindingsteori - atomorbitaler

FYS 3710 Biofysikk og Medisinsk Fysikk, Bindingsteori - atomorbitaler FYS 3710 Biofysikk og Medisinsk Fysikk, 2016 3 Bindingsteori - atomorbitaler Einar Sagstuen, Fysisk institutt, UiO 26.08.2016 1 Biologiske makromolekyler DNA PROTEIN t-rna 26.08.2016 2 Biologiske makromolekyler

Detaljer

Fasit TFY4215/FY1006 Innføring i kvantefysikk Vår 2015

Fasit TFY4215/FY1006 Innføring i kvantefysikk Vår 2015 Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for Fysikk Fasit TFY4215/FY1006 Innføring i kvantefysikk Vår 2015 Faglærar: Professor Jens O. Andersen Institutt for Fysikk, NTNU Mandag 27. mai 2015 kl.

Detaljer

FY juni 2015 Side 1 av 6

FY juni 2015 Side 1 av 6 FY6019 12. juni 2015 Side 1 av 6 Oppgave 1. Flervalgsoppgaver. (Poeng: 2.5 8 = 20) a) Hva er forventningsverdien av posisjonen, x, til en partikkel i grunntilstanden i en endimensjonal potensialboks mellom

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 20. desember 2012 FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I

Løsningsforslag Eksamen 20. desember 2012 FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I Eksamen FY045/TFY450 0. desember 0 - løsningsforslag Oppgave Løsningsforslag Eksamen 0. desember 0 FY045/TFY450 Kvantemekanikk I a. For x < 0 er potensialet lik null. (i) For E > 0 er da ψ E = (m e E/

Detaljer

Eksamen FY1004 Innføring i kvantemekanikk Tirsdag 22. mai 2007 Løsninger

Eksamen FY1004 Innføring i kvantemekanikk Tirsdag 22. mai 2007 Løsninger Eksamen FY1004 Innføring i kvantemekanikk Tirsdag. mai 007 Løsninger 1a Et hydrogenlikt atom har ett elektron med masse m og ladning e som er bundet til en atomkjerne med ladning Ze. Siden kjernen har

Detaljer

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, øving 5 1 LØSNING ØVING 5. Kvantekraft. L x. L 2 x. = A sin n xπx. sin n yπy. 2 y + 2.

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, øving 5 1 LØSNING ØVING 5. Kvantekraft. L x. L 2 x. = A sin n xπx. sin n yπy. 2 y + 2. FY045/TFY450 Kvantemekanikk I, øving 5 1 øsning oppgave 5 1 a Med finner vi energien til egenfunksjonen ØSNING ØVING 5 Kvantekraft nπx sin = n xπ x x x ψ nx,n y,n z = A sin n xπx x sin nπx x, sin n yπy

Detaljer

Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf , eller

Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf , eller NORSK TEKST Side av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 8 67, eller 9702355 EKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK

Detaljer

FYS2140 KVANTEFYSIKK

FYS2140 KVANTEFYSIKK % % * FS2140 KVANTEFSIKK $#! " 465 '& Første uke, 1014 januar Mandag: Første time: Presentasjon av kurset med opplegg m.m. Mandag: Andre time, enheter og størrelser i FS2140 Tirsdag: Sort legemestråling

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 29. mai 2010 FY1006 Innføring i kvantefysikk/tfy4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Eksamen 29. mai 2010 FY1006 Innføring i kvantefysikk/tfy4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Eksamen FY1006/TFY4215, 29. mai 2010 - løsningsforslag 1 Løsningsforslag Eksamen 29. mai 2010 FY1006 Innføring i kvantefysikk/tfy4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Oppgave 1 a. I punktene x = 0 og x

Detaljer

FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Øving 1 1 ØVING 1. En liten briefing om forventningsverdier, usikkerheter osv

FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Øving 1 1 ØVING 1. En liten briefing om forventningsverdier, usikkerheter osv FY16/TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Øving 1 1 Frist for innlevering: mandag 28. januar (jf Åre) ØVING 1 En liten briefing om forventningsverdier, usikkerheter osv Eksempel: Terningkast Ved terningkast

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 13. august 2011 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk

Løsningsforslag Eksamen 13. august 2011 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk Eksamen FY1006/TFY415 13. august 011 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 13. august 011 FY1006/TFY415 Innføring i kvantefysikk a. Fra den tidsuavhengige Schrödingerligningen har vi for

Detaljer

EKSAMEN I TFY4215 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK Torsdag 12. august 2004 kl

EKSAMEN I TFY4215 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK Torsdag 12. august 2004 kl NORSK TEKST Side 1 av 6 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Margareth Nupen, tel. 7 55 96 4 Ingjald Øverbø, tel. 7 59 18 67, eller 970155 EKSAMEN

Detaljer

FY1006/TFY Øving 3 1 ØVING 3. Gjør unna så mye du kan av dette før veiledningstimene, slik at disse kan brukes på utfordringene i denne øvingen.

FY1006/TFY Øving 3 1 ØVING 3. Gjør unna så mye du kan av dette før veiledningstimene, slik at disse kan brukes på utfordringene i denne øvingen. FY006/TFY45 - Øving 3 ØVING 3 Gjør unna så mye du kan av dette før veiledningstimene, slik at disse kan brukes på utfordringene i denne øvingen. Oppgave 8 Ikke-stasjonær bokstilstand En partikkel med masse

Detaljer

Kapittel 7 Atomstruktur og periodisitet Repetisjon 1 ( )

Kapittel 7 Atomstruktur og periodisitet Repetisjon 1 ( ) Kapittel 7 Atomstruktur og periodisitet Repetisjon 1 (04.11.01) 1. Generell bølgeteori - Bølgenatur (i) Bølgelengde korteste avstand mellom to topper, λ (ii) Frekvens antall bølger pr tidsenhet, ν (iii)

Detaljer

LØSNING ØVING 2. Løsning oppgave 5. TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Løsning øving 2 1

LØSNING ØVING 2. Løsning oppgave 5. TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Løsning øving 2 1 TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Løsning øving 2 1 Løsning oppgave 5 LØSNING ØVING 2 Krumningsegenskaper for endimensjonale energiegenfunksjoner a. For oscillator-grunntilstanden i oppgave 3b har vi

Detaljer

NTNU Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for Fysikk Løysingsframlegg prøveeksamen TFY4215/FY1006 Innføring i Kvantemekanikk

NTNU Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for Fysikk Løysingsframlegg prøveeksamen TFY4215/FY1006 Innføring i Kvantemekanikk NTNU Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for Fysikk øysingsframlegg prøveeksamen TFY4215/FY1006 Innføring i Kvantemekanikk Faglærar: Professor Jens O. Andersen Institutt for Fysikk, NTNU Telefon:

Detaljer

TFY4215/FY1006 Innføring i kvantefysikk Eksamen 10. juni 2017 Side 1 av 8

TFY4215/FY1006 Innføring i kvantefysikk Eksamen 10. juni 2017 Side 1 av 8 TFY4215/FY1006 Innføring i kvantefysikk Eksamen 10. juni 2017 Side 1 av 8 1) Hva er energien til fotoner med bølgelengde 1.0 m? A) 1.2 pev B) 1.2 nev C) 1.2 µev D) 1.2 mev E) 1.2 ev 2) Hva er energien

Detaljer

Løysingsframlegg eksamen TFY4215/FY1006 Innføring i Kvantemekanikk vår 2013

Løysingsframlegg eksamen TFY4215/FY1006 Innføring i Kvantemekanikk vår 2013 NTNU Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for Fysikk Løysingsframlegg eksamen TFY45/FY6 Innføring i Kvantemekanikk vår 3 Oppgåve Faglærar: Professor Jens O. Andersen Institutt for Fysikk, NTNU

Detaljer

TFY Løsning øving 6 1 LØSNING ØVING 6. Grunntilstanden i hydrogenlignende atom

TFY Løsning øving 6 1 LØSNING ØVING 6. Grunntilstanden i hydrogenlignende atom TFY45 - Løsning øving 6 Løsning oppgave 8 LØSNING ØVING 6 Grunntilstanden i hydrogenlignende atom a. Vi merker oss først at vinkelderivasjonene i Laplace-operatoren gir null bidrag til ψ, siden ψ(r) ikke

Detaljer

Løysingsframlegg øving 1

Løysingsframlegg øving 1 FY6/TFY425 Innføring i kvantefysikk Løysingsframlegg øving Oppgåve Middelverdien er x = x Ω X xp (x) = 2 + 2 = 2. (.) Tilsvarande har vi x 2 = x Ω X x 2 P (x) = 2 2 + 2 2 = 2. (.2) Dette gjev variansen

Detaljer

FYS2140 Kvantefysikk, Hjemmeeksamen V Leveringsfrist fredag 20. mars kl.14:45 (før ekspedisjonen stenger!!!)

FYS2140 Kvantefysikk, Hjemmeeksamen V Leveringsfrist fredag 20. mars kl.14:45 (før ekspedisjonen stenger!!!) FYS2140 Kvantefysikk, Hjemmeeksamen V-2009 Leveringsfrist fredag 20. mars kl.14:45 (før ekspedisjonen stenger!!!) 9. mars 2009 Viktig info les: Merk besvarelsen med kandidatnummer, ikke navn! Lever og

Detaljer

NTNU Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for Fysikk Løysingsframlegg prøveeksamen TFY4215/FY1006 Innføring i Kvantemekanikk

NTNU Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for Fysikk Løysingsframlegg prøveeksamen TFY4215/FY1006 Innføring i Kvantemekanikk NTNU Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for Fysikk øysingsframlegg prøveeksamen TFY4215/FY1006 Innføring i Kvantemekanikk Faglærar: Professor Jens O. Andersen Institutt for Fysikk, NTNU Telefon:

Detaljer

Kompendium i Kjemisk binding, spektroskopi og kinetikk (KJ1041) Einar Baumann Send en e-post til einar.baumann@gmail.com om du finner feil!

Kompendium i Kjemisk binding, spektroskopi og kinetikk (KJ1041) Einar Baumann Send en e-post til einar.baumann@gmail.com om du finner feil! Kompendium i Kjemisk binding, spektroskopi og kinetikk (KJ1041) Einar Baumann Send en e-post til einar.baumann@gmail.com om du finner feil! 13. november 2011 Innhold 0 Symboler, konstanter og operatorer

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 28. mai 2003 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Eksamen 28. mai 2003 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Eksamen SIF4048 8.05.03 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 8. mai 003 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Da sannsynlighetstettheten Ψ(x, 0) = β/π exp( βx ) er symmetrisk med

Detaljer

FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk Eksamen 2. juni 2016 Side 1 av 8

FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk Eksamen 2. juni 2016 Side 1 av 8 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk Eksamen 2. juni 2016 Side 1 av 8 I. FLERVALGSOPPGAVER (Teller 2.5% 30 = 75%) En fri partikkel med masse m befinner seg i det konstante potensialet V = 0 og beskrives

Detaljer

Løsningsforslag Konte-eksamen 13. august 2002 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Konte-eksamen 13. august 2002 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk ppgave Løsningsforslag Konte-eksamen 3. august SIF8 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Da sannsynlighetstettheten Ψ(x, ) mω/π h exp( mωx / h) er symmetrisk med hensyn på origo, er forventningsverdien

Detaljer

FY1006/TFY Øving 9 1 ØVING 9

FY1006/TFY Øving 9 1 ØVING 9 FY1006/TFY4215 - Øving 9 1 Frist for innlevering: 2. mars, kl 16 ØVING 9 Opgave 22 Om radialfunksjoner Figuren viser de effektive potensialene Veff(r) l for l = 0, 1, 2, for et hydrogenlignende atom, samt

Detaljer

TFY Løsning øving 7 1 LØSNING ØVING 7. 3-dimensjonal isotrop harmonisk oscillator

TFY Løsning øving 7 1 LØSNING ØVING 7. 3-dimensjonal isotrop harmonisk oscillator TFY415 - Løsning øving 7 1 Løsning oppgave a. Med z = r cos θ har vi at LØSNING ØVING 7 3-dimensjonal isotrop harmonisk oscillator ψ 1 = C C 1 e mωr / h r cos θ, som er uavhengig av asimutvinkelen φ, dvs

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Side Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS240 Kvantefysikk Eksamensdag: 3. juni 206 Tid for eksamen: 09.00 4 timer) Oppgavesettet er på fem 5) sider Vedlegg: Ingen

Detaljer

EKSAMEN I FY2045 KVANTEFYSIKK Onsdag 30. mai 2007 kl

EKSAMEN I FY2045 KVANTEFYSIKK Onsdag 30. mai 2007 kl NORSK TEKST Side av 3 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 8 67, eller 97355 EKSAMEN I FY45 KVANTEFYSIKK Onsdag 3.

Detaljer

Kontinuasjonseksamen TFY4215/FY1006 Innføring i kvantemekanikk august 2013

Kontinuasjonseksamen TFY4215/FY1006 Innføring i kvantemekanikk august 2013 NTNU Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for Fysikk Kontinuasjonseksamen TFY45/FY006 Innføring i kvantemekanikk august 03 Faglærar: Professor Jens O. Andersen Institutt for Fysikk, NTNU Telefon:

Detaljer

EKSAMEN I FY2045 KVANTEMEKANIKK I/ TFY4250 KVANTEMEKANIKK I Tirsdag 10. august 2010 kl

EKSAMEN I FY2045 KVANTEMEKANIKK I/ TFY4250 KVANTEMEKANIKK I Tirsdag 10. august 2010 kl NORSK TEKST Side 1 av 6 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk EKSAMEN I FY2045 KVANTEMEKANIKK I/ TFY4250 KVANTEMEKANIKK I Tirsdag 10. august 2010 kl. 09.00-13.00 Tillatte

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE I FYS-2001

EKSAMENSOPPGAVE I FYS-2001 Side 1 of 7 EKSAMENSOPPGAVE I FYS-001 Eksamen i : Fys-001 Statistisk fysikk og termodynamikk Eksamensdato : Onsdag 5. desember 01 Tid : kl. 09.00 13.00 Sted : Adm.bygget, B154 Tillatte hjelpemidler: K.

Detaljer

BOKMÅL Side 1 av 6. En partikkel med masse m beveger seg i det endimensjonale brønnpotensialet V 1 = h 2 /(2ma 2 0) for x < 0,

BOKMÅL Side 1 av 6. En partikkel med masse m beveger seg i det endimensjonale brønnpotensialet V 1 = h 2 /(2ma 2 0) for x < 0, BOKMÅL Side 1 av 6 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng, tel. 73 59 36 63, eller 45 45 55 33 EKSAMEN I FY1006 INNFØRING

Detaljer

FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk Eksamen 9. august 2016 Side 1 av 9

FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk Eksamen 9. august 2016 Side 1 av 9 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk Eksamen 9. august 2016 Side 1 av 9 Hver oppgave teller 2.5% 1) Hva er bølgelengden til et foton med energi 100 ev? A) 0.12 nm B) 12 nm C) 0.12 µm D) 12 µm E) 0.12

Detaljer

Meir om halvleiarar. Halvleiarteknologi

Meir om halvleiarar. Halvleiarteknologi Meir om halvleiarar. Halvleiarteknologi YF 42.6, 42.7 (Halvleiarar vart introduserte i fila Energiband i krystallar, som denne fila er eit framhald av.) Hol Leiingsband Valensband E g Eksitasjon av eit

Detaljer

FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk 26. mai 2016 Side 1 av 3

FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk 26. mai 2016 Side 1 av 3 FY16/TFY4215 Innføring i kvantefysikk 26. mai 216 Side 1 av 3 FLERVALGSOPPGAVER TRENING TIL EKSAMEN En partikkel med masse m beskrives av den stasjonære tilstanden Ψ(x,t) = ψ(x)e iωt, med e ikx + 1 3i

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i KJM600 Fysikalisk kjemi II kvantekjemi og spektroskopi Eksamensdag: Torsdag 9. juni, 016 Tid for eksamen: 09:00 13:00 Oppgavesettet

Detaljer

TFY løsning øving 9 1 LØSNING ØVING 9

TFY løsning øving 9 1 LØSNING ØVING 9 TFY4215 - løsning øving 9 1 LØSNING ØVING 9 Løsning oppgave 25 Om radialfunksjoner for hydrogenlignende system a. (a1): De effektive potensialene Veff(r) l for l = 0, 1, 2, 3 er gitt av kurvene 1,2,3,4,

Detaljer

FY1006/TFY Løsning øving 3 1 LØSNING ØVING 3. Ikke-stasjonær bokstilstand

FY1006/TFY Løsning øving 3 1 LØSNING ØVING 3. Ikke-stasjonær bokstilstand FY006/TFY45 - Løsning øving 3 Løsning oppgave 8 LØSNING ØVING 3 Ikke-stasjonær bokstilstand a. For 0 < x < L er potensialet i boksen lik null, slik at Hamilton-operatoren har formen Ĥ = K + V (x) = ( h

Detaljer