Fasehastighet: Gruppehastighet:

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Fasehastighet: Gruppehastighet:"

Transkript

1 Hjelpeark, FYS4 Fra kompendiet. Fotoelektrisk eekt Lys innfallende på en metallplate, elektroner rives løs. Observeres med elektrisk krets gitt ved gur. V > : Frigjorte elektroner dratt mot anoden. Store positive V : Alle frigjorte elektroner når anoden; strømmen ater ut. V < : Elektronene bremses, dras mot katoden. Stor nok motspenning V ): Ingen elektroner når anoden. Bindingsenergi w for elektronene. Svakest bundede w : Arbeidsfunksjonen. Ett elektron absorberer ett foton. Økt lysintensitet: Samme ν gir samme V, men ere frigjorte elektroner som igjen gir større strøm. Her er θ spredningsvinkelen til fotonet. Intensiten får to topper. Den første ved λ, det spredte fotonets bølgelengde, og λ, det opprinnelige fotones bølgelengde. Det siste forklares med at et elektron kan være sterkt bundet til atomet slik at fotonet ikke har nok energi til å rive det løs. Da kan vi betrakte kollisjonen som en kollisjon mellom et foton og et atom. Den økte massen til atomet i forhold til elektronet gjør at λ C blir mye mindre. Da blir λ slik at endringen i bølgelengde ikke er observerbar..4 Materiebølger Materie har bølgeegenskaper, med bølgelengden gitt ved: λ = h p Metall e Foton Anode Fasehastighet: Gruppehastighet: v f = ω k = πν π λ = νλ v g = dω dk Fasehastigheten er materiebølgens hastighet, gruppehastigheten er partikkelens og bølgepakkens hastighet..5 Bohrs atommodell A Figur : Figur som illustrerer oppsettet ved observasjon av fotoelektrisk eekt.. Røntgenstråling Elektroner mot metallplate. Elektronene bremses ned og avgir fotoner. Minimum bølgelengde, maks frekvens, blir avgitt dersom elektronet bremses helt opp: λ min = hc ev R.3 Comptonspredning Foton kolliderer med fritt elektron neglisjerbar arbeidsfunksjon grunnet store energier). Fotoners bevegelsesmengde fåes fra følgende formel ved å sette m = : Som gir: E = p c + m c 4 p = h λ Ved å bruke bevaring av bevegelsesmengde og energi får man: λ = h m e c cos θ) = λ C cos θ) Bohrradien er denert: a = 4πɛ me =.59 Å Bølgelengden ved energioverganger er gitt ved: ) λ = ke a hc n i Fra Griths Alle ubestemte integraler går implisitt fra mins uendelig til uendelig dersom ikke annet står.. Generell teori n f.. Kvantemekanikk i en dimensjon Schrödingerligningen: i Ψ t = Ψ m x + V Ψ Tidsuavhengig Schrödingerligning: Tilhørende tidsledd: ψ + V ψ = Ĥψ = Eψ m x φt) = e ient/

2 Normalisering: Ψx, t) dx = Forventningsverdien til possisjonen: x = x Ψx, t) dx Forventningsverdien til bevegelsesmengden: p = i Ψ Ψ x dx Gitt en operator ˆQx, p), er forventningsverdien til den tilhørende fysiske størrelsen: ˆQx, p) = Ψ ˆQ x, ) Ψ dx i x Heisenbergs uskarphetsrelasjon: σ x σ p Alle interessante) løsninger kan skrives på formen: Ψx, t) = c n ψ n x)φ n t) n= Konstantene c n kan bestemmes ved hjelp av Fouriers triks: c n = ψnx)fx) dx Forventningsverdien til energien er gitt ved: H = c n E n n= En kommutator mellom to operatorer er denert ved: [Â, ˆB] = Â ˆB ˆBÂ Kommutatoren mellom possisjon og bevegelsesmengde er gitt ved: [ˆx, ˆp] = i Den kinetiske energien er gitt ved operatoren: T = ˆp m.. Kvantemekanikk i tre dimensjoner Den tidsavhengige Schrödingerligningen lyder: Her er: Ψ r, t) i = t m Ψ r, t) + V r)ψ r, t) = x + y + = r r r r z ) + r sin θ sin θ ) + θ θ Den tidsuavhengige Schrödingerligningen lyder: ] [ m + V r) ψ r) = Eψ r) r sin θ φ Vi har fortsatt kompletthet av stasjonære løsninger: Normeringintegralet blir: Ψ r, t) = c nlm ψ r)e ie nlmt/ π π ψx, y, z) dxdydz Bevegelsesmengdeoperatoren blir: ψr, φ, θ) r sin θ drdφdθ ˆ p = i Konsentrerer oss om sentralsymmetriske potensial: V r) = V r). Separerer så variabler: ψr, φ, θ) = Rr)Y φ, θ) = Rr)F φ)p θ). Det gir: F m φ) = e imφ, m Z ) m d Pl m = x ) m / P l x), x = cos θ dx = P l x) = ) l d l x ) l l! dx Dette gir begrensningene l N og m l. Oppsummert gir dette at: Y m l φ, θ) = N lm e imφ Pl m cos θ) l + )l m )! N lm = ε 4πl + m )! { ) ε = m, m >, m Funksjonene Yl m φ, θ) kalles sfærisk harmoniske og er ortogonale, det vil si: π π Y m l φ, θ) Y m l φ, θ) sin θ dθdφ = δ ll δ mm For radialdelen Rr) innfører man ofte en hjelpefunksjon ur) = rrr). Det gir: d ] u [V m dr + r) + ll + ) u = Eu mr Denne har altså samme form som Schrödingerligningen i én dimensjon; ur) er en slags pseudobølgefunksjon, eektiv radiell materiebløge. Leddet inne i klammeparantesen kalles det eektive potensialet der det siste leddet er en sentrifugalterm. Vinkeldelen er allerede normert, så normeringsintegralet reduseres nå til: r Rr) dr = ur) dr = Det gjør at vi denerer den radielle sannsynlighetstetteheten: P r) = r Rr) = ur)

3 ..3 Spinn Alle partikler har et innebygget magnetisk dipolmoment spinn). Denne egenspinn er uløselig tilknyttet partikkelen, på samme måte som dens ladning eller masse. Selv om spinnet er en rent kvantemekanisk eekt, nnes det mer matematiske analogier til angulærmoment. Noen fakta: Dipolmoment: µ s = g e e m e S, ge g e er her den gyromagnetiske faktor. Kvantisering av totalspinn: S = S = ss + ) Fermioner har halvtallig spinn halvtallig s), bosoner har heltallig spinn heltallig s). Kvantisering av spinnkomponent: S z = m s, m s = s, s +,..., s, s Spinn inkluderes i notasjonen av bølgefunksjonen på følgende måte: = ψ nlm r, φ, θ)χ ms ψ nlmms Dette er ikke et vanlig produkt, men symboliserer hva bølgefunksjonen består av. χ oppfyller: ˆ S χ = ss + ) χ Ŝ z χ = m s χ Det faktum at elektronet har spinn medfører spinn-banekobling. Elektronets spinn-angulærmoment vekselvirker med strømsløyfen satt opp av protonet og medfører ytterligere oppsplitting av energinivåene, men denne korreksjonen er liten i atomer: Ĥ LS = µ s B int = konstant L S..4 Addisjon av angulærmoment Har sett at L og S er svakt koblet. Derfor er de strengt tatt ikke kvantisert/bevart uavhengig av hverandre. Det er derimot summen J = L + S totalt angulærmoment). Reglene for å addere er de samme enten vi adderer to spinn, to angulærmoment eller en av hver. Vi har følgende regler: J = jj + ), J z = m j, j = l s, l s +,..., l + s m j = j, j +,..., j Vi har tre spinnkombinasjoner som er symmetriske, og utgjør tripleten for spinn /-partikler: {, }, {, }, {, } + {, } Den antisymmetriske kombinasjonen kalles singlet, og lyder: {, } {, } Dette er summen av spinn for to spinn /-partikler...5 Flerpartikkelsystemer Felles bølgefunksjon Ψx, x, t). Sannsynlighetstettheten er gitt ved Ψx, x ). Schrödingerligningen er en energiligning, så for to partikler inngår summen av de to partiklers kinetiske energi: m x ) m x ψx, x )+ Ux, x )ψx, x ) = Eψx, x ) Potensiell energi kan være både eksternt potensiale og vekselvirkning mellom partiklene. To muligheter: Bare eksternt potensiale: Ux, x ) = Ux ) + Ux ). Vekselvirkning mellom partiklene: Ux, x ) Ux ) + Ux ). For to ikkevekselvirkende ikke identiske) partikler har vi: ψx, x ) = ψ a x )ψ b x ) E = E a + E b I kvantemekanikken kan vi ikke skille mellom identiske partikler, for eksempel to elektroner. Det betyr at vi må ha: ψx, x ) = ψx, x ) ψx, x ) = αψx, x ), α = I 3D er kun α ± tillatt. α = + gir bosoner med heltallig spinn, α = gir fermioner med halvtallig spinn. Skal bølgefunksjonen beskrive fermioner må vi derfor konstruere en antisymmetrisk bølgefunksjon det er dette som kalles α = ). Da må enten romdelen være symmetrisk og spinndelen være antisymmetrisk, eller romdelen være antisymmetrisk og spinndelen symmetrisk. Symmetrisk romdel: Antisymmetrisk: ψ S = ψ a x )ψ b x ) + ψ a x )ψ b x ) ψ A = ψ a x )ψ b x ) ψ a x )ψ b x ) For spinndelen, se seksjonen om spinn. Paulis eksklusjonsprinsipp Dersom a = b blir ψ A =. Det gjør at eneste mulighet for fermioner er symmetrisk romdel og antisymmetrisk spinndel. Altså kan to identiske fermioner aldri ha samme sett kvantetall, dvs kan aldri være i samme en-partikkeltilstand. Bosoner har ingen slik begrensning. Hunds regel Ved fylling av underskall dvs en gitt verdi på l, for eksempel en p-orbital), foretrekker spinnene å være i en symmetrisk tilstand; fyller opp ulike m l først. Dette minimerer Coulombenergien ved hjelp av exchange. Exchange-vekselvirkning En ren kvanteeekt som gjør at identiske partikler med symmetrisk romlig bølgefunksjon har en tendens til å være litt nærmere hverandre enn de med antisymmetrisk romlig bølgefunksjon. Anta at vi har to partikler i tilstand ψ a og ψ b. Denerer så avstanden x) = x x ). Får da: x) S = x) ii x ab 3

4 x) A = x) ii + x ab x ab = ψaxψ b dx ii indikerer ikke-identiske partikler. Korreksjonen x ab forsvinner dersom overlappet mellom ψ a og ψ b er null, så det er ikke nødvendig å ta hensyn til anti)symmetrisering hvis partiklene er langt fra hverandre. 3 Molekyler Bindingstyper: Ionebinding sterkest): Coulombtiltrekning mellom motsatt ladde ioner. Eks.: NaCl. Kovalent binding: Atomer deler elektroner. Eks: H. To elektroner i singlettilstand i felles s-orbital. Hydrogenbinding: H + mellom to negative ioner; for eksempel HF. Van der Waals-binding: Dipol-dipol-vekselvirkning mellom molekyler. Molekylers vibrasjon og rotasjon: Bidrag til molekylers indre energi er elektronisk orbitalene i enkeltatomer, modi- sert - er komplisert), rotasjon og vibrasjon. Har da E = E el + E rot + E vib. 3. Rotasjon Ser på et diatomisk molekyl, rotasjon rundt massesenteret. Klassisk utledning av rotasjonsenergien gir: E rot = I kvantemekanikken får vi da: E rot = L I cm I cm ll + ) l =,,... kalles rotasjonskvantetallet. For to identiske atomer er l partall eller. Et diatomisk molekyl har to ikke tre) uavhengige rotasjonsakser. Rotasjon rundt molekylets akse bidrar ikke til spekteret fordi atomene har så liten utstreknig av treghetsmomentet er tilnærmet. 3. Vibrasjon Eektivt potensiale mellom atomene i molekylet tilnærmes med harmonisk oscillatorpotensialet. Et gir: E vib = n + ) ω, n N n kalles rotasjonskvantetallet, og E kalles nullpunktsenergien og denne vibrasjonen er alltid tilstede. Energinivåene øker lineært, der E vib E rot typisk. I tillegg er E vib kt som gjør at termisk eksitasjon av vibrasjon ikke skjer. Rotasjon eksiteres mye lettere. 3.3 Molekylspektra Ikke alle overganger i rot-vib-spekteret er tillat. har følgende føringer: l l = n n = Kan altså ikke ha rene vibrasjons- og rotasjonsoverganger Nyttige bemerkninger Et sett av egenverdier {λ n } til en operator kalles operatorens spektrum. Dersom to eller ere egenfunksjoner har samme egenverdi sier vi at tilstanden er degenerert. To operatorer som kommuterer med hverandre kan bestemmes skarpt samtidig, det vil si ha felles egenfunksjoner. Kalles kompatible variable. To operatorer som ikke kommuterer kan ikke bestemmes skarpt samtidig. Kalles ikke-kompatible. Det nnes en uskarphetsrelasjon for hvert par av ikke-kompatible variable. Har nemlig den nære sammenhengen: σ Aσ B [Â, ˆB] ) i Vi stiller følgende matematiske krav til ψ: Når man skal skjøte sammen bølgefunksjoner, det vil si løsninger av Schrödingerligningen for forskjellige potensial, må ψx) være kontinuerlig i skjøtepunktet. Tilsvarende som over må dψ/dx være kontinuerlig i dette punktet. Dette kravet gjelder ikke dersom det ene potensialet i skjøten går mot uendelig. Bølgefunksjonen må være normerbar, det vil si at den må gå mot i grensene når x ±. 3.4 Løste problemer 3.4. Uendelig brønn Har denert potensialet: {, dersom x a V x) =, ellers Dette gir løsningene: ψ n x) = a sin nπ a x ) E n = n π ma, n N De har følgende egenskaper: De er vekslende odde og like med hensyn på senteret av brønnen: ψ er lik, ψ er odde og så videre. Når man går opp i energi har hver tilstand en mer node: ψ har ingen, ψ har og så videre. 4

5 De er ortogonale, det vil si: ψ mx)ψ n x) dx = δ mn δ mn = 3.4. Harmonisk oscillator Har denert potensialet: Grunntilstanden er gitt ved: ψ x) = {, dersom m n, dersom m = n V x) = mω x mω ) /4 e mω x π De resterende er gitt ved heve- og senkeoperatorer denert ved: a ± = ip + mωx) mω Slik at: ψ n = n! a + ) n ψ De tilhørende energinivåene er gitt ved: E n = n + ) ω, n N Fri partikkel Ved innsetting V x) = i Schrödingerligningen fåes en planbølge med skarp k: ψx) = Ae ikx + Be ikx Denne er slik den står ikke normaliserbar. Triks: Putt partikkelen på en sirkel slik at ψ) = ψa). Den er da normaliserbar og vi kan la a Partikkel i endelig boks Har nå denert potensialet: { V, dersom a x a V x) =, dersom x > a V er her en denert positiv størrelse. Deler så inn området i 3 suksessivt, Det gir: ψ I x) = Ae κx, x a ψ II x) = C sinlx) + D coslx) ψ III x) = Be κx, x a Her er: m En κ = Må så ta hensyn til kontinuitetskravene både at ψx) og dψ/dx skal være kontinuerlig). For like symmetriske) løsninger: C =, D. Dette gir ligningen: κ = l tanla) Her er: mv E n ) l = De odde antisymmetriske) løsningen gir tilsvarende betingelsen: l cotla) = κ Dette er trancedentale ligninger og må løses numerisk eller grask. Ut fra disse ligningene kommer de tillatte energinivåene Potensialbarriere tunnelering) Denerer potensialet: { V, dersom x L område I og III) V x) =, ellers område II) Antar så < E < V. Schrödingerligningen gir da: ψ I x) = Ae ikx + Be ikx ψ II x) = Ce κx + De κx ψ III x) = F e ikx + Ge ikx me k = mv E) κ = Antar ingen innkommende bølge fra høyre G = ). Denerer så reeksjonskoesienten R og transmisjonskoesienten T: R = B A T = F A Ved kontinuitetskrav får man: T = [cosh κl) + k κ ) 4κ k ] sinh κl) Det betyr at T > for E < V, som betyr at tunnelering forekommer Hydrogenatomet Har nå Coulombpotensialet: V r) = e 4πɛ r Setter denne inn i radialligningen. Løsningene klassiseres av et tredje kvantetall, n, hovedkvantetallet, med føringene n N, l < n. Energispekteret får følgende form: E n = m ee 4 4πɛ ) n 5

6 Her er det mange tilstander med samme energi ulike l og m for gitt n). Finner så degenerasjonsgraden: For hver l er det l + muligheter for hva kvantetallet m kan være. Det gir: n dn) = = l= n l + = nn ) l= + n = n n l + l = gir kulesymmetrisk elektronsky, l > gir ikke en kulesymmetrisk elektronsky. Vi har også operatorer for angulærmoment: ˆL = [ sin θ ˆL z = i φ = m ˆL = ˆL x + ˆL y + ˆL z Hva kan kvantetallene være? sin θ ) + θ θ sin θ l= n N, l {N l < n}, l m l Stern-Gerlach-eksperimentet ] φ = ll + ) Et hydrogenatom i et inhomogent B-felt forventer man avbøyning grunnet hydrogenatomets dipolmoment: µ = e m e ˆ L Dette fordi en dipol vil påvirkes av en kraft som er proposjonal med L z = m. Forventer da én linje på skjermen ved l = m =. Det ble derimot observert to linjer. Forklaring: Elektronets egenspinn Zeemaneekt Dersom et hydrogenatom beveger seg i et homogent B-felt får Hamiltonoperatoren et tilleggsled grunnet hydrogenets dipolmoment. Velger B-feltet til å være i z-retningen. Da blir den nye Hamiltonoperatoren: Ĥ = Ĥ µ B = m + V r) + eb m e L z Det gir at energispekteret endres: E ny = E gammel + eb m e L z = E gammel + eb m e m Den normale Zeemaneekten er nettopp at energien ikke lenger bare er avhengig av n, men også av m slik at degenerasjonen splittes opp i B-feltet. Dette fører igjen til oppsplitting av spektrallinjene. Ved l = er m =, så her skal det ikke bli noen oppsplitting av spektrallinjene. I praksis er oppsplittingen enda litt mer komplisert på grunn av spinn. 4 Faste stoers fysikk Ser på krystaller, noe som ofte er tilfelle. Bindingsmekanismene er de samme som i molekyler. Det er kvantemekanikken som avgjør om et sto er en leder, halvleder eller isolator. Har mange forskjellige krystallstrukturer, i 3D er det et begrenset antall. Eksempler: Kubisk, BCC body-centered cubic) og FCC face-centered cubic). Karakterisering av krystallstruktur skjer ved Braggspredning. Bindigstypene: Kovalent krystall: Hvert atom har sterke kovalente bindinger med sine naboer. Harde, dårlig ledningsevne valenselektronene er låst i bindingene. Eks.: Diamant. Ionekrystall: For eksempel NaCl. Ingen frie valenselektroner fører til dårlig ledningsevne. Molekylkrystall H, N, osv): Holdes sammen av permanente eller induserte dipolkrefter. Fluktuasjonsindusert dipolbinding er meget svak, som fører til lavt smeltepunkt. Metaller: Antall valenselektroner matcher ikke i forhold til rent kovalente bindinger. Valenselektroner til overs, dvs kan bevege seg relativt fritt gjennom krystallen. Ledningselektroner: Deltar i elektrisk ledning siden de relativt lett kan reagere på et ytre elektrisk felt. Man kommer relativt langt med fri-elektron-modellen som beskriver ledningselektronene som en fri elelktrongass. 4. Ledningsevne Må ta hensyn til elektronenes bølgenatur. Ohms lov gjelder fortsatt, men større midlere tid mellom hver kollisjon bølger kan gå uforstyrret gjennom periodisk krystall). Elektrosik motstand skyldes primært gittersvingninger avhengig av temperaturen) og uregelmessigheter i krystallen urenhenter). 4. Båndteori Hva er energinivåene for elektronene i en krystall? a) Se på hva som skjer med enkeltatomers energinivåer når de kombineres til en krystall, b) Begynne med frie elektroner - hva er konsekvensen av ionegitteret. a Hva skjer når enkeltatomer kommer sammen? Konkret: Ved to Na-atomer i stor avstand overlapper ikke bølgefunksjonene og det blir ingen tunnelering mellom atomene. Dersom de er litt nærme hverandre overlapper bølgefunksjonene, og vi får to uavhengige lineærkombinasjoner av bølgefunksjonene symmetrisk og antisymmetrisk omkring midtpunkt tunneleringsbariæren). Disse to har ulik energi, som gjør at degenerasjonen splittes. ψ + ψ har lavest energi tettest bundet, høy sannsynlighetstetthet mellom kjernene). N atomer gir N uavhengige lineærkombinasjoner med hver sin energi. De danner da et bånd dersom N er stor, energibånd. Dette båndet kalles et 3s-bånd. Bredden på dette båndet avhenger av avstanden mellom atomene, ikke antall atomer. Vi får da et kontinum av tillatte egentilstander i båndet i en krystall bestående av mange atomer. En orbital i et atom med gitt l har plass til l + ) elektroner på grunn av spinn). Et bånd i en N-atomkrystall består av N slike tilstander som gjør at det er plas til Nl+) elektroner i båndet. 6

7 Båndstrukturen om det øverste båndet er fylt) og gapet opp til neste tomme bånd avgjør ledningsegenskapene til et sto. For metaller er øverste bånd delvis fylt. Det krever lite energi å eksitere de øverste elektronene til nærmeste ledige tilstand. Kan derfor lett reagere på et elektrisk felt og delta i ladningstransport strøm). Eks: Natrium: Øverste skall halvfylt - mange ledige tilstander i nærheten av de besatte. Isolatorer: Ledningsbåndet tomt, valensbåndet fylt, gjør at gapet blir stort så nesten ingen termisk eksiterte elektroner ved normale temperaturer fører til dårlig ledningsevne. Halvledere: Som isolator, men mye mindre gap. Det gir dårlig ledningsevne ved lave temperaturer, men ved moderate/høye T vil en del elektroner være termisk eksitert til neste bånd og kan delta i ladningstransport. Det gir ledningsevnen øker med økende temperatur i motsetning til metaller). b Båndstruktur utledet fra nesten frie elektroner. Elektroner beskrives som materiebølger; Braggspredning mot ionene i krystallen. Ser på D. Frie elektroner palnbølger): Ψx, t) = e ikx ωt), E = ω = k. Braggspredning: a sin θ = nλ. I vårt tilfelle er θ = 9, som gir m a = nλ = πn k. For a = nλ er innkommende og reektert bølge i fase, som gir stående bølger. To kombinasjoner: ψ + = e ikx + e ikx = coskx) ψ = e ikx e ikx = i sinkx) Transistorer: Forsterker. pnp eller npn overganger. Basestrøm: Positivt ladningsoverskuddfra de rekombinerte hullene, dras ut. Liten endring i basestrømmen gir da en stor endring i kollektorstrømmen. 5 Nyttige matematiske relasjoner Sfæriske koordinater: Naturlige tall: x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ dxdydz = r sin θ drdφdθ N = {,, 3,...} N = {,,, 3,...} 6 Nyttige fysiske konstanter hc = 4 evnm c = 97.3 evnm m e =.5 MeV/c Det gir k = nπ a. Ved andre verdier på k midles reeksjonen fra krystallen til. Hvorfor gap? Første reeksjonsmaksimum: k = ± π a. Ser på denne: ψ + cos πx ) max ved x =, a,.... a ψ sin πx ) min ved samme a ψ + har lavest elektrostatisk energi. 4.3 Halvledere Termisk eksitasjon: Elektroner i ledningsbåndet. Hull i valensbåndet. Med E-felt: Elektronene i ledningsbåndet går mot feltretningen, hullene beveger seg med feltet. Det gir strøm. Like mange elektroner som hull. Intrinsic halvleder. Typisk Ge, Si. Kovalente, tetravalente, dvs re valenselektroner. Doping: n-type: Erstatter en liten del av atomene med pentavalente atomer, dvs fem valenselektroner. Valenselektroner blir da til overs. p-type: Doper med trivalente atomer, dvs tre valenselektroner, som gir hull til overs. Dopede halvlederehar mye større ledningsevne enn ikkedopede. Dioder: Leder strøm bare en vei likeretter). p-n-overgang. Elektroner i lednigsbånd faller ned i hull i valnes. Tømmes for ledningselektroner på et øyeblikk - ikke strøm. 7

Fasehastighet: Gruppehastighet:

Fasehastighet: Gruppehastighet: Hjelpeark, FYS4 Fra kompendiet. Fotoelektrisk eekt Lys innfallende på en metallplate, elektroner rives løs. Observeres med elektrisk krets gitt ved gur. V > : Frigjorte elektroner dratt mot anoden. Store

Detaljer

REPETISJON FYS2140. Susanne Viefers. Fysisk Institutt, Teorigruppa. REPETISJON FYS2140 p.1/31

REPETISJON FYS2140. Susanne Viefers. Fysisk Institutt, Teorigruppa. REPETISJON FYS2140 p.1/31 REPETISJON FYS2140 Susanne Viefers s.f.viefers@fys.uio.no Fysisk Institutt, Teorigruppa REPETISJON FYS2140 p.1/31 Teoretisk pensum I Første del, Forelesningsnotater Enheter og størrelser i Fys2140 Sort

Detaljer

REPETISJON FYS2140. Susanne Viefers. Fysisk Institutt, Teorigruppa. REPETISJON FYS2140 p.1/31

REPETISJON FYS2140. Susanne Viefers. Fysisk Institutt, Teorigruppa. REPETISJON FYS2140 p.1/31 REPETISJON FYS2140 Susanne Viefers s.f.viefers@fys.uio.no Fysisk Institutt, Teorigruppa REPETISJON FYS2140 p.1/31 Teoretisk pensum I Første del, Forelesningsnotater Enheter og størrelser i Fys2140 Sort

Detaljer

Forelesningsnotater om spinn, FYS2140 (Erstatter kap. 4.4 i Griffiths) Susanne Viefers

Forelesningsnotater om spinn, FYS2140 (Erstatter kap. 4.4 i Griffiths) Susanne Viefers Forelesningsnotater om spinn, FYS2140 (Erstatter kap. 4.4 i Griffiths) Susanne Viefers 20. april 2005 Dette notatet sammenfatter forelesningene om elektronets egenspinn og erstatter dermed avsnitt 4.4

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 1.juni 2004 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Eksamen 1.juni 2004 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Eksamen TFY45. juni 004 - løsningsforslag Oppgave Løsningsforslag Eksamen.juni 004 TFY45 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Bundne energiegentilstander i et éndimensjonalt potensial er ikke-degenererte

Detaljer

Siste uke, mai

Siste uke, mai Siste uke, 10. - 14. mai Mandag: Repetisjon Tirsdag: Ingen forelesning Onsdag: Gjennomgang av oblig 12. Siste frist for levering av etterslengere Torsdag/fredag: Fri Pensum Kompendium Læreboka (se kursets

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE. Eksamen i: Fys-2000 Kvantemekanikk Dato: 5. juni 2013 Tid: Kl Sted: Åsgårdveien 9. og fysikk, lommekalkulator

EKSAMENSOPPGAVE. Eksamen i: Fys-2000 Kvantemekanikk Dato: 5. juni 2013 Tid: Kl Sted: Åsgårdveien 9. og fysikk, lommekalkulator FAKUTET FOR NATURVITENSKAP OG TEKNOOGI EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: Fys-2000 Kvantemekanikk Dato: 5. juni 2013 Tid: Kl 09.00-13.00 Sted: Åsgårdveien 9 Tillatte hjelpemidler: Formelsamlinger i matematikk

Detaljer

En samling av mer eller mindre relevante formler (uten nærmere forklaring) er gitt til slutt i oppgavesettet.

En samling av mer eller mindre relevante formler (uten nærmere forklaring) er gitt til slutt i oppgavesettet. Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet NTNU Institutt for fysikk Lade EKSAMEN I: MNF FY 44 KVANTEMEKANIKK I DATO: Tirsdag 4. desember 999 TID: 9.00 5.00 Antall vekttall: 4 Antall sider: 3 Sensurdato:

Detaljer

Energibånd i faste stoffer. Et prosjekt i emnet FY1303 elektrisitet og magnetisme, skrevet av Tord Hompland og Sigbjørn Vindenes Egge.

Energibånd i faste stoffer. Et prosjekt i emnet FY1303 elektrisitet og magnetisme, skrevet av Tord Hompland og Sigbjørn Vindenes Egge. Energibånd i faste stoffer. Et prosjekt i emnet FY1303 elektrisitet og magnetisme, skrevet av Tord Hompland og Sigbjørn Vindenes Egge. 1 Innholdsfortegnelse. Sammendrag...3 Innledning... 4 Hvorfor kvantemekanisk

Detaljer

FYS2140 KVANTEFYSIKK

FYS2140 KVANTEFYSIKK FYS2140 KVANTEFYSIKK Susanne Viefers s.f.viefers@fys.uio.no Fysisk Institutt, Teorigruppa FYS2140 KVANTEFYSIKK p.1/55 Første uke, 16-20 januar Mandag: Første time: Presentasjon av kurset med opplegg m.m.

Detaljer

Forelesningsnotat om molekyler, FYS2140. Susanne Viefers

Forelesningsnotat om molekyler, FYS2140. Susanne Viefers Forelesningsnotat om molekyler, FYS Susanne Viefers. mai De fleste grunnstoffer (unntatt edelgassene) deltar i formingen av molekyler. Molekyler er sammensatt av enkeltatomer som holdes sammen av kjemiske

Detaljer

Eksamen i: FYS145 - Kvantefysikk og relativitetsteori Eksamensdag: Mandag 10. mai 2004, kl. 14.00-17.00 (3 timer)

Eksamen i: FYS145 - Kvantefysikk og relativitetsteori Eksamensdag: Mandag 10. mai 2004, kl. 14.00-17.00 (3 timer) 1 NORGES LANDBRUKSHØGSKOLE Institutt for matematiske realfag og teknologi Eksamen i: FYS145 - Kvantefysikk og relativitetsteori Eksamensdag: Mandag 1. mai 24, kl. 14.-17. (3 timer) Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Energiband i krystallar. Halvleiarar (intrinsikke og ekstrinsikke) Litt om halvleiarteknologi

Energiband i krystallar. Halvleiarar (intrinsikke og ekstrinsikke) Litt om halvleiarteknologi Energiband i krystallar Halvleiarar (intrinsikke og ekstrinsikke) Litt om halvleiarteknologi Energibandstrukturen til eit material avgjer om det er ein leiar (metall), halvleiar, eller isolator Energiband

Detaljer

Oppgave 1 (Teller 34 %) BOKMÅL Side 1 av 5. NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk

Oppgave 1 (Teller 34 %) BOKMÅL Side 1 av 5. NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk BOKMÅL Side 1 av 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tel. 73 59 18 67, eller 97 01 23 55 Jon Andreas Støvneng, tel. 73 59

Detaljer

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, øving 6 1 ØVING 6. Fermi-impulser og -energier

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, øving 6 1 ØVING 6. Fermi-impulser og -energier FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, 2012 - øving 6 1 ØVING 6 Oppgave 6 1 Fermi-impulser og -energier a. Anta at en ideell gass av N (ikke-vekselvirkende) spinn- 1 -fermioner befinner seg i grunntilstanden

Detaljer

EKSAMEN I FAG SIF4065 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK Fakultet for naturvitenskap og teknologi 13. august 2002 Tid:

EKSAMEN I FAG SIF4065 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK Fakultet for naturvitenskap og teknologi 13. august 2002 Tid: Side 1 av 5 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Navn: Ola Hunderi Tlf.: 93411 EKSAMEN I FAG SIF465 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK Fakultet for naturvitenskap

Detaljer

FYS2140 Kvantefysikk, Oblig 2. Lars Kristian Henriksen Gruppe 3

FYS2140 Kvantefysikk, Oblig 2. Lars Kristian Henriksen Gruppe 3 FYS2140 Kvantefysikk, Oblig 2 Lars Kristian Henriksen Gruppe 3 6. februar 2015 Obliger i FYS2140 merkes med navn og gruppenummer! Denne obligen har oppgaver som tar for seg fotoelektrisk effekt, Comptonspredning

Detaljer

Basis dokument. 1 Solcelle teori. Jon Skarpeteig. 23. oktober 2009

Basis dokument. 1 Solcelle teori. Jon Skarpeteig. 23. oktober 2009 Basis dokument Jon Skarpeteig 23. oktober 2009 1 Solcelle teori De este solceller er krystallinske, det betyr at strukturen er ordnet, eller periodisk. I praksis vil krystallene inneholde feil av forskjellige

Detaljer

Enkel introduksjon til kvantemekanikken

Enkel introduksjon til kvantemekanikken Kapittel Enkel introduksjon til kvantemekanikken. Kort oppsummering. Elektromagnetiske bølger med bølgelengde og frekvens f opptrer også som partikler eller fotoner med energi E = hf, der h er Plancks

Detaljer

Fasit TFY4215/FY1006 Innføring i kvantefysikk Vår 2015

Fasit TFY4215/FY1006 Innføring i kvantefysikk Vår 2015 Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for Fysikk Fasit TFY4215/FY1006 Innføring i kvantefysikk Vår 2015 Faglærar: Professor Jens O. Andersen Institutt for Fysikk, NTNU Mandag 27. mai 2015 kl.

Detaljer

Eksamen FY1004 Innføring i kvantemekanikk Tirsdag 22. mai 2007 Løsninger

Eksamen FY1004 Innføring i kvantemekanikk Tirsdag 22. mai 2007 Løsninger Eksamen FY1004 Innføring i kvantemekanikk Tirsdag. mai 007 Løsninger 1a Et hydrogenlikt atom har ett elektron med masse m og ladning e som er bundet til en atomkjerne med ladning Ze. Siden kjernen har

Detaljer

EKSAMEN I SIF4048 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK Tirsdag 13. august 2002 kl

EKSAMEN I SIF4048 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK Tirsdag 13. august 2002 kl Side 1 av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Margareth Nupen, tel. 73 55 96 4 Ingjald Øverbø, tel. 73 59 18 67 EKSAMEN I SIF4048 KJEMISK

Detaljer

Kompendium i Kjemisk binding, spektroskopi og kinetikk (KJ1041) Einar Baumann Send en e-post til einar.baumann@gmail.com om du finner feil!

Kompendium i Kjemisk binding, spektroskopi og kinetikk (KJ1041) Einar Baumann Send en e-post til einar.baumann@gmail.com om du finner feil! Kompendium i Kjemisk binding, spektroskopi og kinetikk (KJ1041) Einar Baumann Send en e-post til einar.baumann@gmail.com om du finner feil! 13. november 2011 Innhold 0 Symboler, konstanter og operatorer

Detaljer

Kapittel 7 Atomstruktur og periodisitet Repetisjon 1 ( )

Kapittel 7 Atomstruktur og periodisitet Repetisjon 1 ( ) Kapittel 7 Atomstruktur og periodisitet Repetisjon 1 (04.11.01) 1. Generell bølgeteori - Bølgenatur (i) Bølgelengde korteste avstand mellom to topper, λ (ii) Frekvens antall bølger pr tidsenhet, ν (iii)

Detaljer

FY1006/TFY Øving 3 1 ØVING 3. Gjør unna så mye du kan av dette før veiledningstimene, slik at disse kan brukes på utfordringene i denne øvingen.

FY1006/TFY Øving 3 1 ØVING 3. Gjør unna så mye du kan av dette før veiledningstimene, slik at disse kan brukes på utfordringene i denne øvingen. FY006/TFY45 - Øving 3 ØVING 3 Gjør unna så mye du kan av dette før veiledningstimene, slik at disse kan brukes på utfordringene i denne øvingen. Oppgave 8 Ikke-stasjonær bokstilstand En partikkel med masse

Detaljer

Løysingsframlegg øving 1

Løysingsframlegg øving 1 FY6/TFY425 Innføring i kvantefysikk Løysingsframlegg øving Oppgåve Middelverdien er x = x Ω X xp (x) = 2 + 2 = 2. (.) Tilsvarande har vi x 2 = x Ω X x 2 P (x) = 2 2 + 2 2 = 2. (.2) Dette gjev variansen

Detaljer

Løysingsframlegg eksamen TFY4215/FY1006 Innføring i Kvantemekanikk vår 2013

Løysingsframlegg eksamen TFY4215/FY1006 Innføring i Kvantemekanikk vår 2013 NTNU Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for Fysikk Løysingsframlegg eksamen TFY45/FY6 Innføring i Kvantemekanikk vår 3 Oppgåve Faglærar: Professor Jens O. Andersen Institutt for Fysikk, NTNU

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 28. mai 2003 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Eksamen 28. mai 2003 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Eksamen SIF4048 8.05.03 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 8. mai 003 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Da sannsynlighetstettheten Ψ(x, 0) = β/π exp( βx ) er symmetrisk med

Detaljer

FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk Eksamen 2. juni 2016 Side 1 av 8

FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk Eksamen 2. juni 2016 Side 1 av 8 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk Eksamen 2. juni 2016 Side 1 av 8 I. FLERVALGSOPPGAVER (Teller 2.5% 30 = 75%) En fri partikkel med masse m befinner seg i det konstante potensialet V = 0 og beskrives

Detaljer

Løsningsforslag Konte-eksamen 13. august 2002 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Konte-eksamen 13. august 2002 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk ppgave Løsningsforslag Konte-eksamen 3. august SIF8 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Da sannsynlighetstettheten Ψ(x, ) mω/π h exp( mωx / h) er symmetrisk med hensyn på origo, er forventningsverdien

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE I FYS-2001

EKSAMENSOPPGAVE I FYS-2001 Side 1 of 7 EKSAMENSOPPGAVE I FYS-001 Eksamen i : Fys-001 Statistisk fysikk og termodynamikk Eksamensdato : Onsdag 5. desember 01 Tid : kl. 09.00 13.00 Sted : Adm.bygget, B154 Tillatte hjelpemidler: K.

Detaljer

FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk 26. mai 2016 Side 1 av 3

FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk 26. mai 2016 Side 1 av 3 FY16/TFY4215 Innføring i kvantefysikk 26. mai 216 Side 1 av 3 FLERVALGSOPPGAVER TRENING TIL EKSAMEN En partikkel med masse m beskrives av den stasjonære tilstanden Ψ(x,t) = ψ(x)e iωt, med e ikx + 1 3i

Detaljer

FY1006/TFY Løsning øving 3 1 LØSNING ØVING 3. Ikke-stasjonær bokstilstand

FY1006/TFY Løsning øving 3 1 LØSNING ØVING 3. Ikke-stasjonær bokstilstand FY006/TFY45 - Løsning øving 3 Løsning oppgave 8 LØSNING ØVING 3 Ikke-stasjonær bokstilstand a. For 0 < x < L er potensialet i boksen lik null, slik at Hamilton-operatoren har formen Ĥ = K + V (x) = ( h

Detaljer

Kontinuasjonseksamen TFY4215/FY1006 Innføring i kvantemekanikk august 2013

Kontinuasjonseksamen TFY4215/FY1006 Innføring i kvantemekanikk august 2013 NTNU Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for Fysikk Kontinuasjonseksamen TFY45/FY006 Innføring i kvantemekanikk august 03 Faglærar: Professor Jens O. Andersen Institutt for Fysikk, NTNU Telefon:

Detaljer

Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf , eller

Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf , eller NORSK TEKST Side 1 av 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 18 67, eller 9701355 EKSAMEN I TFY450 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK

Detaljer

5.11 Det periodiske systemet

5.11 Det periodiske systemet SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk 2003 - Tillegg 5 1 Tillegg 5, til kapittel 5: 5.11 Det periodiske systemet La oss se litt mer i detalj på 1. Oppbygningen av de enkelte grunnstoffene Helium (Z

Detaljer

NORSK TEKST Side 1 av 5

NORSK TEKST Side 1 av 5 NORSK TEKST Side av 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tel. 7 59 8 67, eller 97 0 55 Jon Andreas Støvneng, tel. 7 59 6 6,

Detaljer

+ - 2.1 ELEKTRISK STRØM 2.1 ELEKTRISK STRØM ATOMER

+ - 2.1 ELEKTRISK STRØM 2.1 ELEKTRISK STRØM ATOMER 1 2.1 ELEKTRISK STRØM ATOMER Molekyler er den minste delen av et stoff som har alt som kjennetegner det enkelte stoffet. Vannmolekylet H 2 O består av 2 hydrogenatomer og et oksygenatom. Deles molekylet,

Detaljer

Spenningskilder - batterier

Spenningskilder - batterier UKE 4 Spenningskilder, batteri, effektoverføring. Kap. 2 60-65 AC. Kap 9, s.247-279 Fysikalsk elektronikk, Kap 1, s.28-31 Ledere, isolatorer og halvledere, doping 1 Spenningskilder - batterier Ideell spenningskilde

Detaljer

Eksamen i KJ133 våren Løsningsforslag for kvantemekanikkoppgaven

Eksamen i KJ133 våren Løsningsforslag for kvantemekanikkoppgaven 1 Eksamen i KJ133 våren 1998 Løsningsforslag for kvantemekanikkoppgaven T. Helgaker Henvisningene er til Atkins' Physical Chemistry, 6th edition a) Kravet om heltallig m følger fra den sykliske grensebetingelsen

Detaljer

Meir om halvleiarar. Halvleiarteknologi

Meir om halvleiarar. Halvleiarteknologi Meir om halvleiarar. Halvleiarteknologi YF 42.6, 42.7 (Halvleiarar vart introduserte i fila Energiband i krystallar, som denne fila er eit framhald av.) Hol Leiingsband Valensband E g Eksitasjon av eit

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 6. juni 2007 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Eksamen 6. juni 2007 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Eksamen TFY415 6. juni 007 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 6. juni 007 TFY415 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Bundne energiegentilstander i én dimensjon er enten symmetriske eller

Detaljer

11 Harmonisk oscillator og dreieimpuls vha operatoralgebra

11 Harmonisk oscillator og dreieimpuls vha operatoralgebra TFY4250/FY2045 Tillegg 11 - Harmonisk oscillator og dreieimpuls operatoralgebra 1 TILLEGG 11 11 Harmonisk oscillator og dreieimpuls vha operatoralgebra I Tillegg 3 er den harmoniske oscillatoren gitt en

Detaljer

EKSAMEN I FY1006 INNFØRING I KVANTEFYSIKK/ TFY4215 INNFØRING I KVANTEFYSIKK Onsdag 11. august 2010 kl

EKSAMEN I FY1006 INNFØRING I KVANTEFYSIKK/ TFY4215 INNFØRING I KVANTEFYSIKK Onsdag 11. august 2010 kl NORSK TEKST Side 1 av 6 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng, tel. 73 59 36 63, eller 45 45 55 33 EKSAMEN I FY1006 INNFØRING

Detaljer

En partikkel med masse m befinner seg i et éndimensjonalt, asymmetrisk brønnpotensial

En partikkel med masse m befinner seg i et éndimensjonalt, asymmetrisk brønnpotensial NORSK TEKST Side av 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tel. 7 59 8 67, eller 9755 EKSAMEN I TFY45 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK

Detaljer

NORSK TEKST Side 1 av 4. Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf , eller

NORSK TEKST Side 1 av 4. Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf , eller NORSK TEKST Side av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 8 67, eller 972355 EKSAMEN I FY245/TFY425 KVANTEMEKANIKK

Detaljer

EKSAMEN I FY2045 KVANTEMEKANIKK I/ TFY4250 KVANTEMEKANIKK I Torsdag 20. desember 2012 kl

EKSAMEN I FY2045 KVANTEMEKANIKK I/ TFY4250 KVANTEMEKANIKK I Torsdag 20. desember 2012 kl NORSK TEKST Side av 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 8 67, eller 972355 EKSAMEN I FY245 KVANTEMEKANIKK I/ TFY425

Detaljer

EKSAMEN I FY2045/TFY4250 KVANTEMEKANIKK I Mandag 8. august 2011 kl

EKSAMEN I FY2045/TFY4250 KVANTEMEKANIKK I Mandag 8. august 2011 kl NORSK TEKST Side av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 8 67, eller 970355 EKSAMEN I FY045/TFY450 KVANTEMEKANIKK

Detaljer

EKSAMEN I FY1006 INNFØRING I KVANTEFYSIKK/ TFY4215 INNFØRING I KVANTEFYSIKK Lørdag 13. august 2011 kl

EKSAMEN I FY1006 INNFØRING I KVANTEFYSIKK/ TFY4215 INNFØRING I KVANTEFYSIKK Lørdag 13. august 2011 kl NORSK TEKST Side 1 av 6 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tel. 73 59 18 67, eller 97 01 23 55 Jon Andreas Støvneng, tel.

Detaljer

EKSAMEN I SIF4048 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK Lørdag 2. august 2003 kl. 09.00-15.00

EKSAMEN I SIF4048 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK Lørdag 2. august 2003 kl. 09.00-15.00 Side 1 av 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Margareth Nupen, tel. 73 55 96 42 Ingjald Øverbø, tel. 73 59 18 67 EKSAMEN I SIF4048 KJEMISK

Detaljer

Kjemiske bindinger. Som holder stoffene sammen

Kjemiske bindinger. Som holder stoffene sammen Kjemiske bindinger Som holder stoffene sammen Bindingstyper Atomer Bindingene tegnes med Lewis strukturer som symboliserer valenselektronene Ionebinding Kovalent binding Polar kovalent binding Elektronegativitet,

Detaljer

ØVING 2. Krumningseigenskapar for eindimensjonale energieigenfunksjonar. h2 + V (x). (0.1) 2m dx 2

ØVING 2. Krumningseigenskapar for eindimensjonale energieigenfunksjonar. h2 + V (x). (0.1) 2m dx 2 FY006/TFY45 Innføring i kvantefysikk - Øving Frist for innlevering: tirsdag 4. februar Oppgave ØVING Krumningseigenskapar for eindimensjonale energieigenfunksjonar Ein partikkel med masse m bevegar seg

Detaljer

E. MAGNETISKE MOMENTER. SPINN E.1 Energibidrag knyttet til dreieimpuls og spinn

E. MAGNETISKE MOMENTER. SPINN E.1 Energibidrag knyttet til dreieimpuls og spinn TFY4250/FY2045 2005 - Tillegg 15 - E. Magnetiske momenter. Spinn 1 Tillegg 15: E. MAGNETISKE MOMENTER. SPINN E.1 Energibidrag knyttet til dreieimpuls og spinn (Se avsnittene 1.5, 6.8 og 12.2 i B&J, 8.3

Detaljer

elementpartikler protoner(+) nøytroner elektroner(-)

elementpartikler protoner(+) nøytroner elektroner(-) All materie, alt stoff er bygd opp av: atomer elementpartikler protoner(+) nøytroner elektroner(-) ATOMMODELL (Niels Bohr, 1913) - Atomnummer = antall protoner i kjernen - antall elektroner e- = antall

Detaljer

EKSAMEN I FY1006 INNFØRING I KVANTEFYSIKK/ TFY4215 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK Lørdag 29. mai 2010 kl

EKSAMEN I FY1006 INNFØRING I KVANTEFYSIKK/ TFY4215 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK Lørdag 29. mai 2010 kl BOKMÅL Side 1 av 7 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng, tel. 73 59 36 63, eller 45 45 55 33 EKSAMEN I FY1006 INNFØRING

Detaljer

Fysikk og teknologi - Elektronikk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne

Fysikk og teknologi - Elektronikk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne 14. Jan 06 Den nye læreplanen i fysikk Fysikk og teknologi - Elektronikk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne 1. gjøre rede for forskjellen mellom ledere, halvledere og isolatorer ut fra dagens

Detaljer

FYS2140 Kvantefysikk, Obligatorisk oppgave 2. Nicolai Kristen Solheim, Gruppe 2

FYS2140 Kvantefysikk, Obligatorisk oppgave 2. Nicolai Kristen Solheim, Gruppe 2 FYS2140 Kvantefysikk, Obligatorisk oppgave 2 Nicolai Kristen Solheim, Gruppe 2 Obligatorisk oppgave 2 Oppgave 1 a) Vi antar at sola med radius 6.96 10 stråler som et sort legeme. Av denne strålingen mottar

Detaljer

Kursopplegg for TFY4250 og FY2045

Kursopplegg for TFY4250 og FY2045 TFY4250 Atom- og molekylfysikk/fy2045 Kvantefysikk, høsten 2004 - kursopplegg 1 Kursopplegg for TFY4250 og FY2045 Felles undervisning i to emner De to emnene TFY4250 Atom- og molekylfysikk for teknologistudiet,

Detaljer

Solceller og halvledere

Solceller og halvledere Prosjekt i Elektrisitet og Magnetisme. Solceller og halvledere Kristian Rød Innlevering 23.april 2004-0 - Innholdsfortegnelse: 1. Sammendrag 2. Innledning 3. Solceller, generelt 4. Halvledere 4.1. Elementært

Detaljer

Energiband i krystallar

Energiband i krystallar Energiband i krystallar YF 42.4 Energibandstrukturen avgjer om krystallen er ein leiar (metall), halvleiar, eller isolator Diskrete degenererte energinivå for individuelle atom splittar opp når atoma blir

Detaljer

Introduksjon til partikkelfysikk. Trygve Buanes

Introduksjon til partikkelfysikk. Trygve Buanes Introduksjon til partikkelfysikk Trygve Buanes Tidlighistorie Fundamentale byggestener gjennom historien De første partiklene 1897 Thomson oppdager elektronet 1919 Rutherford oppdager protonet 1929 Skobeltsyn

Detaljer

University of Oslo KJM2600. Oppsummering

University of Oslo KJM2600. Oppsummering University of Oslo KJM2600 Oppsummering Dette heftet er i tre deler, første del tar for seg grunneleggende kvantemekanikk. Andre del går igjennom oppbygingen av atomer og molekyler, og hvordan energitilstandene

Detaljer

Solceller. Josefine Helene Selj

Solceller. Josefine Helene Selj Solceller Josefine Helene Selj Silisium Solceller omdanner lys til strøm Bohrs atommodell Silisium er et grunnstoff med 14 protoner og 14 elektroner Elektronene går i bane rundt kjernen som består av protoner

Detaljer

Atomstruktur. Ein diskusjon av hovudpunkta frå YF 41.3, 41.5, 41.6.

Atomstruktur. Ein diskusjon av hovudpunkta frå YF 41.3, 41.5, 41.6. Atomstruktur Ein diskusjon av hovudpunkta frå YF 41.3, 41.5, 41.6. Hydrogenatomet Det enklaste atomet 1 elektron bunde til atomkjernen, som har 1 proton Bindinga er pga. den elektriske tiltrekningskrafta

Detaljer

Fasit TFY4215/FY1006 Innføring i kvantemekanikk august 2014

Fasit TFY4215/FY1006 Innføring i kvantemekanikk august 2014 NTNU Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for Fysikk Fasit TFY4215/FY1006 Innføring i kvantemekanikk august 2014 Faglærar: Professor Jens O. Andersen Institutt for Fysikk, NTNU Telefon: 73593131

Detaljer

F F. Intramolekylære bindinger Kovalent binding. Kjemiske bindinger. Hver H opplever nå å ha to valenselektroner og med det er

F F. Intramolekylære bindinger Kovalent binding. Kjemiske bindinger. Hver H opplever nå å ha to valenselektroner og med det er Kjemiske bindinger Atomer kan bli knyttet sammen til molekyler for å oppnå lavest mulig energi. Dette skjer normalt ved at atomer danner kjemiske bindinger sammen for å få sitt ytterste skall fylt med

Detaljer

Atomets oppbygging og periodesystemet

Atomets oppbygging og periodesystemet Atomets oppbygging og periodesystemet Solvay-kongressen, 1927 Atomets oppbygging Elektroner: 1897. Partikler som kretser rundt kjernen. Ladning -1. Mindre masse (1836 ganger) enn protoner og nøytroner.

Detaljer

Kursopplegg for FY2045 og TFY4250 KVANTEMEKANIKK I

Kursopplegg for FY2045 og TFY4250 KVANTEMEKANIKK I FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, kursopplegg 1 Kursopplegg for FY2045 og TFY4250 KVANTEMEKANIKK I Pensum-litteratur PC Hemmers Kvantemekanikk er et must. En annen god bok er Quantum Mechanics, av B.H.

Detaljer

AST1010 En kosmisk reise. Forelesning 5: Fysikken i astrofysikk, del 2

AST1010 En kosmisk reise. Forelesning 5: Fysikken i astrofysikk, del 2 AST1010 En kosmisk reise Forelesning 5: Fysikken i astrofysikk, del 2 Innhold Synkrotronstråling Bohrs atommodell og Kirchhoffs lover Optikk: Refleksjon, brytning og diffraksjon Relativitetsteori, spesiell

Detaljer

FYS2140 Kvantefysikk, Oblig 3. Sindre Rannem Bilden,Gruppe 4

FYS2140 Kvantefysikk, Oblig 3. Sindre Rannem Bilden,Gruppe 4 FYS40 Kvantefysikk, Oblig 3 Sindre Rannem Bilden,Gruppe 4. februar 05 Obliger i FYS40 merkes med navn og gruppenummer! Dette oppgavesettet sveiper innom siste rest av Del I av pensum, med tre oppgaver

Detaljer

Kollokvium 4 Grunnlaget for Schrödingerligningen

Kollokvium 4 Grunnlaget for Schrödingerligningen Kollokvium 4 Grunnlaget for Scrödingerligningen 10. februar 2016 I dette kollokviet skal vi se litt på grunnlaget for Scrödingerligningen, og på når den er relevant. Den første oppgaven er en diskusjonsoppgave

Detaljer

Fasit for besvarelse til eksamen i A-112 høst 2001

Fasit for besvarelse til eksamen i A-112 høst 2001 Fasit for besvarelse til eksamen i A-112 høst 21 Oppgave I a Anta at hvert elektron beveger seg i et midlere, sfærisk symmetrisk felt =sentralfelt V r fra kjernen og alle de andre elektronene Ved å velge

Detaljer

Eksamen FY0001 Brukerkurs i fysikk Torsdag 3. juni 2010

Eksamen FY0001 Brukerkurs i fysikk Torsdag 3. juni 2010 NTNU Institutt for Fysikk Eksamen FY0001 Brukerkurs i fysikk Torsdag 3. juni 2010 Kontakt under eksamen: Tor Nordam Telefon: 47022879 / 73593648 Eksamenstid: 4 timer (09.00-13.00) Hjelpemidler: Tabeller

Detaljer

0.1 Kort introduksjon til komplekse tall

0.1 Kort introduksjon til komplekse tall Enkel introduksjon til matnyttig matematikk Vi vil i denne innledningen introdusere litt matematikk som kan være til nytte i kurset. I noen tilfeller vil vi bare skrive opp uttrykk uten å komme inn på

Detaljer

EKSAMEN. Emne: Fysikk og datateknikk

EKSAMEN. Emne: Fysikk og datateknikk EKSAMEN Emnekode: ITD006 Emne: Fysikk og datateknikk Dato: 04. Mai 20 Eksamenstid: kl 9:00 til kl 3:00 Hjelpemidler: 4 sider (A4) (2 ark) med egne notater. Ikke-kummuniserende kalkulator. Gruppebesvarelse,

Detaljer

UKE 4. Thevenin Spenningskilde og effektoverføring Fysikalsk elektronikk Ledere, isolatorer og halvledere, doping Litt om AC

UKE 4. Thevenin Spenningskilde og effektoverføring Fysikalsk elektronikk Ledere, isolatorer og halvledere, doping Litt om AC UKE 4 Thevenin Spenningskilde og effektoverføring Fysikalsk elektronikk Ledere, isolatorer og halvledere, doping Litt om AC 1 Thévenin s teorem Helmholtz 1853 Léon Charles Thévenin 1883 Ethvert lineært,

Detaljer

Atommodeller i et historisk perspektiv

Atommodeller i et historisk perspektiv Demokrit -470 til -360 Dalton 1776-1844 Rutherford 1871-1937 Bohr 1885-1962 Schrödinger 1887-1961 Atommodeller i et historisk perspektiv Bjørn Pedersen Kjemisk institutt, UiO 31 mai 2007 1 Eleven skal

Detaljer

Ein par(kkel i 3 dimensjonar

Ein par(kkel i 3 dimensjonar Ein par(kkel i 3 dimensjonar Kvantemekanisk beskrivelse av ein par0kkel som kan bevege seg i 3 dimensjonar Bølgjefunksjon: Ψ(x, y, z, t) =Ψ(r, t) Ψ(x, y, z, t) dx dy dz Tolking: er sannsynlegheiten for,

Detaljer

FY1006/TFY Løysing øving 5 1 LØYSING ØVING 5. Krumning og stykkevis konstante potensial

FY1006/TFY Løysing øving 5 1 LØYSING ØVING 5. Krumning og stykkevis konstante potensial FY006/TFY45 - Løysing øving 5 Løysing oppgåve LØYSING ØVING 5 Krumning og stykkevis konstante potensial a) I eit område der V er konstant (lik V ), og E V er positiv, er området klassisk tillate og vi

Detaljer

LABORATORIERAPPORT. Halvlederdioden AC-beregninger. Christian Egebakken

LABORATORIERAPPORT. Halvlederdioden AC-beregninger. Christian Egebakken LABORATORIERAPPORT Halvlederdioden AC-beregninger AV Christian Egebakken Sammendrag I dette prosjektet har vi forklart den grunnleggende teorien bak dioden. Vi har undersøkt noen av bruksområdene til vanlige

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVEITETET I OLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Midtveisksamen i: FY1000 Eksamensdag: 17. mars 2016 Tid for eksamen: 15.00-18.00, 3 timer Oppgavesettet er på 6 sider Vedlegg: Formelark (2

Detaljer

LØYSING ØVING 6. Grunntilstanden i hydrogenliknande atom

LØYSING ØVING 6. Grunntilstanden i hydrogenliknande atom FY6/TFY45 - Løysing øving 6 Løysing oppgåve LØYSING ØVING 6 Grunntilstanden i hydrogenliknande atom a) Vi merkar oss fyrst at vinkelderivasjonane i Laplace-operatoren gjev null bidrag til r, sidan (r)

Detaljer

Nano, mikro og makro. Frey Publishing

Nano, mikro og makro. Frey Publishing Nano, mikro og makro Frey Publishing 1 Nivåer og skalaer På ångstrømnivået studere vi hvordan atomer er bygd opp med protoner, nøytroner og elektroner, og ser på hvordan atomene er bundet samen i de forskjellige

Detaljer

FYS-MEK 1110 Løsningsforslag Eksamen Vår 2014

FYS-MEK 1110 Løsningsforslag Eksamen Vår 2014 FYS-MEK 1110 Løsningsforslag Eksamen Vår 2014 Oppgave 1 (4 poeng) Forklar hvorfor Charles Blondin tok med seg en lang og fleksibel stang når han balanserte på stram line over Niagara fossen i 1859. Han

Detaljer

FY1006/TFY Løysing øving 7 1 LØYSING ØVING 7

FY1006/TFY Løysing øving 7 1 LØYSING ØVING 7 FY1006/TFY415 - Løysing øving 7 1 Løysing oppgåve 1 LØYSING ØVING 7 Numerisk løysing av den tidsuavhengige Schrödingerlikninga a) Alle ledda i (1) har sjølvsagt same dimensjon. Ved å dividere likninga

Detaljer

Fasit TFY4215/FY1006 Innføring i kvantefysikk Vår 2014

Fasit TFY4215/FY1006 Innføring i kvantefysikk Vår 2014 NTNU Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for Fysikk Fasit TFY45/FY6 Innføring i kvantefysikk Vår 4 Faglærar: Professor Jens O. Andersen Institutt for Fysikk, NTNU Mandag 6. mai 4 kl. 9.-3.

Detaljer

Forelesning nr.8 INF 1411 Elektroniske systemer

Forelesning nr.8 INF 1411 Elektroniske systemer Forelesning nr.8 INF 1411 Elektroniske systemer Dioder Praktiske anvendelser 1 Dagens temaer Dioder Halvlederfysikk Diodekarakteristikker Ulike typer halvledere og ladningsbærere Likerettere Spesialdioder

Detaljer

Svakt vekselvirkende Bosegasser ved lave temperaturer

Svakt vekselvirkende Bosegasser ved lave temperaturer Svakt vekselvirkende Bosegasser ved lave temperaturer Et studium av Bose-Einstein kondensasjon ved bruk av effektiv feltteori. Morten Ingvaldsen Master i lærerutdanning med realfag Oppgaven levert: November

Detaljer

Kjemien stemmer KJEMI 1. Figurer kapittel 1: Verden som kjemikere ser den

Kjemien stemmer KJEMI 1. Figurer kapittel 1: Verden som kjemikere ser den Figur s. 9 Figur s. 10 Makronivå Kjemiske stoffer Beskrivelser Mikronivå Atomer, molekyler, ioner Forklaringer Kjemispråk Formler, ligninger Beregninger Figur s. 11 Cl H O C Kulepinnemodeller (øverst)

Detaljer

FY1006/TFY Øving 12 1 ØVING 12. Vinkelfunksjonar, radialfunksjonar og orbitalar for hydrogenliknande. Y lm ; l = 0, 1, ; m = l,, l.

FY1006/TFY Øving 12 1 ØVING 12. Vinkelfunksjonar, radialfunksjonar og orbitalar for hydrogenliknande. Y lm ; l = 0, 1, ; m = l,, l. FY1006/TFY4215 - Øving 12 1 Frist for innlevering: Tirsdag 28. april kl.1700 Oppgåve 1 system ØVING 12 Vinkelfunksjonar, radialfunksjonar og orbitalar for hydrogenliknande For ein partikkel som bevegar

Detaljer

Kjemiske bindinger. La oss demonstrere ved hjelp av eksempler

Kjemiske bindinger. La oss demonstrere ved hjelp av eksempler Kjemiske bindinger Atomer kan bli knyttet sammen til molekyler for å oppnå lavest mulig energi. Dette skjer normalt ved at atomer danner kjemiske bindinger sammen for å få sitt ytterste skall fylt med

Detaljer

EKSAMEN I TFY4215 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK Lørdag 16. august 2008 kl

EKSAMEN I TFY4215 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK Lørdag 16. august 2008 kl NORSK TEKST Side 1 av 6 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tel. 73 59 18 67, eller 97 01 3 55 Jon Andreas Støvneng, tel. 73

Detaljer

Teoretisk kjemi. Trygve Helgaker. Centre for Theoretical and Computational Chemistry. Kjemisk institutt, Universitetet i Oslo. Onsdag 13.

Teoretisk kjemi. Trygve Helgaker. Centre for Theoretical and Computational Chemistry. Kjemisk institutt, Universitetet i Oslo. Onsdag 13. 1 Teoretisk kjemi Trygve Helgaker Centre for Theoretical and Computational Chemistry Kjemisk institutt, Universitetet i Oslo Onsdag 13. august 2008 2 Kjemi er komplisert! Kjemi er utrolig variert og utrolig

Detaljer

Kan vi lære litt kvantefysikk ved å lytte til noen lydprøver? Arnt Inge Vistnes Fysisk institutt, UiO

Kan vi lære litt kvantefysikk ved å lytte til noen lydprøver? Arnt Inge Vistnes Fysisk institutt, UiO Kan vi lære litt kvantefysikk ved å lytte til noen lydprøver? Arnt Inge Vistnes Fysisk institutt, UiO La oss starte med lyttingen... Vi spiller fire ulike lydprøver. Oppgaven er å bestemme tonehøyden.

Detaljer

FYS1120 Elektromagnetisme - Ukesoppgavesett 2

FYS1120 Elektromagnetisme - Ukesoppgavesett 2 FYS1120 Elektromagnetisme - Ukesoppgavesett 2 7. september 2016 I FYS1120-undervisningen legger vi mer vekt på matematikk og numeriske metoder enn det oppgavene i læreboka gjør. Det gjelder også oppgavene

Detaljer

Pensum og kursopplegg for FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk

Pensum og kursopplegg for FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk FY1006/TFY4215 våren 2012 - pensum og kursopplegg 1 Pensum og kursopplegg for FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk våren 2012 Litt om de to emnene De to emnene FY1006 og TFY4215 er identiske både når

Detaljer

Tidsuavhengig perturbasjonsteori

Tidsuavhengig perturbasjonsteori TFY425/FY245 Tillegg 15 1 TILLEGG 15 Tidsuavhengig perturbasjonsteori Innledning Som vi også var inne på i Tillegg 14, er det relativt få problemstillinger i kvantemekanikk som er eksakt løsbare. Tidsuavhengig

Detaljer

Kosmos SF. Figur 3.2b. Figurer kapittel 5: Elektroner på vandring Figur s. 128 + + Modell av et heliumatom. Protoner

Kosmos SF. Figur 3.2b. Figurer kapittel 5: Elektroner på vandring Figur s. 128 + + Modell av et heliumatom. Protoner Figurer kapittel 5: Elektroner på vandring Figur s. 128 Elektron e p Nøytron n e Proton Modell av et heliumatom. Figur 3.2b Protoner Nøytroner Elektroner Nukleoner Elementærladning Elementærpartikler er

Detaljer

Kompendium i Kjemisk binding, spektroskopi og kinetikk (KJ1041) Einar Baumann Send en e-post til om du nner feil!

Kompendium i Kjemisk binding, spektroskopi og kinetikk (KJ1041) Einar Baumann Send en e-post til om du nner feil! Kompendium i Kjemisk binding, spektroskopi og kinetikk (KJ1041) Einar Baumann Send en e-post til einar.baumann@gmail.com om du nner feil! 13. mars 2011 Innhold 0 Symboler, konstanter og operatorer ii 0.1

Detaljer

Kjemi 1. Figur s. 43. Figurer kapittel 3: Bindinger, oppbygning og egenskaper

Kjemi 1. Figur s. 43. Figurer kapittel 3: Bindinger, oppbygning og egenskaper Figur s. 43 + + + + + + Metallion Ytterelektron «Elektronsjø» + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Et metall kan vi tenke på som positive ioner i en «sjø» av ytterelektroner. 9 8 7 6 5 4 1

Detaljer