Et eksempel: Åtterspillet
|
|
- Per-Arne Solberg
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Trær
2 Et eksempel: Åtterspillet To spillere som «trekker» annenhver gang I hvert trekk velges et av tallene 1, 2, 3, men ikke tallet som motspiller valgte i forrige trekk Valgte tall summeres fortløpende Hvis en spiller får summen til å bli lik 8, vinner han/hun spillet Hvis en spiller får summen til å bli over 8, taper han/hun spillet
3 Åtterspillet: Eksempel F: Spiller 1 (First) S: Spiller 2 (Second) F Sum S Sum Spiller 1 vinner
4 Åtterspillet kan tegnes som et tre Nodene inneholder summen så langt i spillet Forbindelser mellom nodene er mulige trekk
5 Et spilltre for hele åtterspillet
6 Trær og hierarkiske data Trestrukturer er velegnet for å representere data som er ordnet innbyrdes i et nivå- eller verdi-system Dataene i treet ligger i lag eller nivåer, som tilsvarer en hierarkisk ordning Nodene kan bare ha én direkte forgjenger på nivået over i treet, men flere direkte etterfølgere på nivået under På øverste nivå er det bare én node, roten i treet, som er den eneste som ikke har noen direkte forgjenger Maksimalt antall direkte etterfølgere som hver node kan ha, bestemmer typen av tre
7 Eksempel: Katalogtrær i filsystemer
8 Eksempel: Turneringstrær
9 Eksempel: Familietre
10 Eksempel: Foreldretre (binært) Cashmere Cat Mette Solveig Anna Peder Jan Arnt Maren Aksel Randi Margit Arnold Arne Borghild Olaf
11 Trær av orden n Trær klassifiseres etter hvor mange etterfølgere en node maksimalt kan ha Et tre der nodene har maksimalt n etterfølgere kalles for et tre av orden n, eller et n-ært tre Trær av orden 2, binære trær, er vanlig å bruke i algoritmer for effektiv datahåndtering Store databasesystemer bruker ofte trær av svært høy orden Trær som ikke har et begrenset antall etterfølgere til hver node kalles generelle trær
12 Rekursiv definisjon av tre av orden n Et tre av orden n er en datastruktur som enten er: Tom (inneholder 0 noder), eller Består av en rotnode med maksimalt n etterfølgere som alle er trær av orden n
13 Betegnelser på nodene i et tre Rot (root): Barn (child/children): Noder som er direkte etterfølgere til en node på nivået over, er barn av denne noden Forelder (parent): Den ene noden på øverste nivå som ikke har noen forgjenger inngangen til hele treet Noden på nivået over, som er direkte forgjenger til en node (barnet), er forelder til denne noden Søsken (siblings) Noder som har samme forelder er søsken
14 Betegnelser på nodene i et tre (forts.) Blad (leaf /leaves): Indre node (internal node): Node som ikke har noen barn, terminalnoder Alle noder, unntatt rotnoden, som har minst ett barn, er indre noder Kant (edge): Et nodepar som angir en forbindelse mellom to noder, fra forelder til barn
15 Rot: A Blader: E, I, J, K, G, H, D Indre noder: B, F, C Barn/forelder/søsken: A B, C, D B E, F F I, J, K C G, H Alle kanter i treet: (A,B), (A,C), (A,D), (B,E), (B,F), (C,G), (C,H), (F,I), (F,J), (F,K)
16 Vei, nivå, lengde og høyde Trær aksesseres fra roten og nedover i treet, ved hele tiden å gå fra foreldre til barn Rotnoden er på nivå 0, barna til roten på nivå 1, etc. En vei i treet er listen av noder som vi går gjennom for å komme fra en bestemt node til annen node lenger ned i treet, nodene på veien er etterfølgere Lengden av en vei er antall kanter på veien Høyden av et tre er lengden av den lengste veien som finnes i hele treet fra roten til et blad
17 Nivå 0 Nivå 1 Nivå 2 Nivå 3 Vei: A, D, lengde 1 Lengste vei: A, B, F, I, lengde 3 Høyde: 3
18 Binære trær Hver node har enten 0, 1 eller 2 barn Rekursiv definisjon: Et binært tre er enten tomt, eller: Består av en rotnode og to binære trær som kalles venstre subtre og høyre subtre til roten
19 Venstre-høyre ordning i binære trær
20 Alle binære trær med n = 1, 2 og 3 noder n=1 n=2 n=3 Oppgave: Tegn alle de 14 forskjellige binære trærne som kan lages med n = 4 noder
21 Fulle binære trær Et binært tre er fullt hvis det har maksimalt antall noder alle nivåene i treet er helt fylt opp med noder Fullt binært tre med høyde h = 4 :
22 Hvor mange noder er det i et fullt binært tre med høyde h? Nivå 0: 1 = 20 node Nivå 1: 2 = 21 noder, totalt = 3 Nivå 2: 4 = 22 noder, totalt = 7 Nivå 3: 8 = 23 noder, totalt = Nivå h: 2h noder Totalt: h = 2h+1 1 noder
23 Hva er høyden til et fullt binært tre, uttrykt som funksjon av antall noder? n : Antall noder i et fullt binært tre h : Høyden av treet h som funksjon av n: n = 2h+1 1 n + 1 = 2h+1 log2(n + 1) = h + 1 h = log2(n + 1) 1 = log 2 n Høyden h til et fullt binært tre med n noder er lik største heltall mindre eller lik log2 n
24 Komplette binære trær Et binært tre er komplett hvis: Alle nivåene, unntatt muligens det nederste, er helt fulle med noder (2k noder på hvert nivå k) På det nederste nivået skal alle nodene ligge så langt til venstre i treet som mulig Kan enkelt bevises at høyden h for et komplett binært tre med n noder også er: h = log 2 n
25 Et komplett binært tre
26 Balanserte binære trær Hvis binære trær skal være effektive, må de ikke bli skjeve og ubalanserte Definisjon av et balansert binært tre: For alle noder i treet er forskjellen i høyde på nodens venstre og høyre subtre maksimalt lik 1 Kan vises at høyden av et balansert binært tre med n noder er O(log n)
27 Balanserte binære trær og effektivitet Algoritmer som opererer på binære trær følger ofte en vei gjennom treet fra roten ut til et blad Effektivitet og kjøretid for algoritmene blir da proporsjonal med treets høyde h Hvis treet blir ubalansert og degenererer til «nesten lenket liste», er h = O(n) og treet blir ineffektivt Hvis vi klarer å holde det binære treet balansert er alltid h = O(log n), og algoritmene blir svært effektive Det finnes flere teknikker for holde et binært tre balansert under innsetting og fjerning av noder
28 Implementasjoner av binære trær Med en array: Rotnoden ligger først i arrayen, på indeks 0 Vi beregner hvor barna til en node ligger lagret i arrayen, ut i fra foreldernodens indeks Med referanser/pekere: Hele treet representeres med en peker til rotnoden Hver node inneholder en peker til venstre barn og en peker til høyre barn
29 Standard arrayimplementasjon Rotnoden lagres på indeks 0 Venstre og høyre barn til noden på indeks i lagres på indeksene: 2 i+1 og 2 i+2 Effektivt for (nesten) komplette binære trær Ineffektivt for ubalanserte trær som mangler mye på å være komplette medfører lange arraysegmenter som blir stående ubrukte
30 Arrayimplementasjon, komplett tre Treet pakkes effektivt inn i arrayen, fra venstre mot høyre og fra roten og nedover
31 Arrayimplementasjon, ubalansert tre Sløser mye med plass fordi nivåene nesten er tomme
32 Implementasjon av binære trær med pekere/referanser Tilgang til hele treet gjennom en peker til rotnoden Hver node inneholder: (Referanse til) dataene som skal lagres Peker til venstre subtre/barn Peker til høyre subtre/barn Evt. andre ting som måtte trengs (peker til foreldernode, antall noder i subtrærne, høyde, nivå...)
33 Binære trær med pekere/referanser: Fordeler og ulemper Fordeler: «Naturlig» løsning, enkel å forstå Egner seg godt for rekursive algoritmer Allokerer bare plass til de nodene i treet som faktisk brukes Ulemper: Ikke like raskt som array, hvis trærne er komplette Mer overhead til dynamisk memoryhåndtering
34 Forenklinger i forhold til læreboken Læreboken implementerer binære trær med: Generisk ADT som kan lagre 'alt' Java-iteratorer For å holde fokus på prinsippene og algoritmene, og ikke på Java, forenkler vi til: Bare implementasjon med pekere Ingen ADT, «skreddersyr» i stedet noder og algoritmer for hvert enkelt eksempel Noder som bare inneholder enkle data (heltall, tegn, strenger) i tillegg til pekere til venstre og høyre barn
35 Søking i et usortert binært tre Hvis treet ikke er sortert/ordnet, må vi sjekke en og en node inntil: Verdien vi leter etter er funnet, eller Vi har vært innom alle nodene i treet uten å finne søkt verdi Programmeres relativt elegant med to rekursive kall Eksempel med binært tre der dataene er enkle tegn: searchbintree.java
36 Søking i usortert tre: Effektivitet Søking er O(n) for et usortert tre med n noder, fordi worst-case er at alle nodene må oppsøkes Men: Hvis vi klarer å holde et binært tre sortert (søketre) og også balansert (AVL-tre), vil søking i treet bli O(log n) I tillegg blir også både innsetting og fjerning av verdier O(log n) Søketrær og AVL-trær: Kapittel 11 i læreboken
37 Traversering av binære trær Traversering: Oppsøk hver node i treet én (og bare en) gang, på en eller annen systematisk måte Fire ulike standard traverseringer av binære trær: Preorder Inorder Postorder Bredde-først (level order)
38 Preorder traversering Rekkefølge: 1. Roten 2. Venstre subtre 3. Høyre subtre ABDHIEJKCFLMGNO
39 Inorder traversering Rekkefølge: 1. Venstre subtre 2. Roten 3. Høyre subtre HDIBJEKALFMCNGO
40 Postorder traversering Rekkefølge: 1. Venstre subtre 2. Høyre subtre 3. Roten HIDJKEBLMFNOGCA
41 Bredde-først traversering Rekkefølge: Nivå for nivå Venstre mot høyre Ovenfra og ned ABCDEFGHIJKLMNO
42 Implementasjon av traverseringer Pre-, in- og postorder er alle 'dybde-først' traverseringer: Programmeres enkelt med to rekursive kall Men: Hvis det skal lages en standard Java-iterator må vi enten kopiere hele treet over i en liste (læreboka) eller simulere rekursjonen med en stack Bredde-først traversering: Kan ikke implementeres rekursivt Er mer fiklete fordi vi må lagre unna barna til en node samtidig som vi oppsøker noden Bruker en kø til å lagre barn som ikke er oppsøkt Enkel demo: treetraversals.java
43 En anvendelse: Uttrykkstrær Binære trær passer utmerket til lagre regneuttrykk med binære operatorer: + * / Trenger ikke paranteser eller presedensregler Uttrykkene lagres slik: Alle bladene i treet er operander (tall eller variabler) Alle indre noder er binære operatorer Venstre operand ligger i operatorens venstre subtre Høyre operand ligger i operatorens høyre subtre
44 Uttrykkstrær: Eksempler ab ab/c (a b) * c
45 Uttrykkstrær: Eksempel Læreboka implementerer en evaluator for å beregne verdien av regneuttrykk i uttrykkstrær der operandene er heltall, se avsnitt 10.5 og Java-koden
46 Traversering av uttrykkstrær Inorder traversering av treet skriver ut regne-uttrykkene i infix (vanlig) form: ab/c Postorder traversering skriver ut regneuttrykkene i postfix form: abc/
47 En klassiker: «Guess the Animal» Tidlig eksempel på maskinlæring og «kunstig intelligens», fra ca Programmet forsøker å gjette hvilket dyr brukeren tenker på, ved å stille spørsmål som alltid har svar «ja» eller «nei» Hvis programmet gjetter på feil dyr, bes brukeren om å skrive inn: Hvilket dyr han/hun tenkte på Et ja/nei spørsmål som kan brukes til å skille de to dyrene (det vi gjettet og det riktige) fra hverandre
48 «Maskinlæring» i GtA Programmet starter med et lite antall dyr som det kjenner til, og noen spørsmål som kan brukes til å skille dem fra hverandre Hver gang programmet gjetter feil, legges det inn et nytt dyr i «kunnskapsbasen» til programmet Det legges også inn et spørsmål som kan brukes til å skille det nye dyret fra et annet dyr Programmet blir derfor «smartere» jo mer det brukes hvis bruker legger inn riktige data
49 Lagring av kunnskapen i GtA Bruker et binært tre: Alle bladnodene lagrer navnet på et dyr Alle indre noder lagrer et ja/nei spørsmål
50 Oppdatering av kunnskapen i GtA Når vi gjetter feil: Legger inn en ny bladnode med nytt dyr Legger inn ny indre node med nytt spørsmål
51 Implementasjon Spiller GtA ved å gå gjennom kunnskapstreet fra roten og langs en vei helt ut til en bladnode I hver indre node vi er innom skriver vi ut spørsmålet og leser ja/nei fra bruker Går videre til venstre (nei) eller høyre (ja) barn Når vi kommer til en bladnode, gjetter vi på dyret som er lagret i bladnoden Hvis vi gjetter feil, leser vi riktig svar og nytt spørsmål fra bruker, og legger dette inn i treet Java-kode: guesstheanimal.java
Et eksempel: Åtterspillet
Trær Et eksempel: Åtterspillet To spillere som «trekker» annenhver gang I hvert trekk velges et av tallene 1, 2, 3, men ikke tallet som motspiller valgte i forrige trekk Valgte tall summeres fortløpende
DetaljerEt eksempel: Åtterspillet
Trær Et eksempel: Åtterspillet To spillere som «trekker» annenhver gang I hvert trekk velges et av tallene 1, 2, 3, men ikke tallet som motspiller valgte i forrige trekk Valgte tall summeres fortløpende
DetaljerBinære trær: Noen algoritmer og anvendelser
Binære trær: Noen algoritmer og anvendelser Algoritmer / anvendelser: Søking i usortert binært tre Telling av antall noder og nivåer i treet Traversering av binære trær Binære uttrykkstrær Kunstig intelligens(?):
DetaljerDefinisjon. I et binært tre har hver node enten 0, 1 eller 2 barn
Binære trær Definisjon I et binært tre har hver node enten 0, 1 eller 2 barn Rekursiv definisjon: Et binært tre er enten tomt, eller: Består av en rotnode og to binære trær som kalles venstre subtre og
DetaljerDefinisjon av binært søketre
Binære søketrær Definisjon av binært søketre For alle nodene i et binært søketre gjelder: Alle verdiene i nodens venstre subtre er mindre enn verdien i noden Alle verdiene i nodens høyre subtre er større
DetaljerDefinisjon: Et sortert tre
Binære søketrær Definisjon: Et sortert tre For alle nodene i et binært søketre gjelder: Alle verdiene i nodens venstre subtre er mindre enn verdien i noden Alle verdiene i nodens høyre subtre er større
DetaljerHeap og prioritetskø. Marjory the Trash Heap fra Fraggle Rock
Heap og prioritetskø Marjory the Trash Heap fra Fraggle Rock Binær heap En heap er et komplett binært tre: Alle nivåene i treet, unntatt (muligens) det nederste, er alltid helt fylt opp med noder Alle
DetaljerHeap* En heap er et komplett binært tre: En heap er også et monotont binært tre:
Heap Heap* En heap er et komplett binært tre: Alle nivåene i treet, unntatt (muligens) det nederste, er alltid helt fylt opp med noder Alle noder på nederste nivå ligger til venstre En heap er også et
DetaljerFlerveis søketrær og B-trær
Flerveis søketrær og B-trær Flerveis (multi-way, n-ært) søketre Generalisering av binært søketre Binært søketre: Hver node har maksimalt 2 barn og 1 nøkkelverdi. Barna ligger sortert på verdi i forhold
DetaljerBinær heap. En heap er et komplett binært tre:
Heap Binær heap En heap er et komplett binært tre: Alle nivåene i treet, unntatt (muligens) det nederste, er alltid helt fylt opp med noder Alle noder på nederste nivå ligger så langt til venstre som mulig
DetaljerINF2220: Forelesning 2
INF2220: Forelesning 2 Mer om analyse av algoritmer Analyse av binære søketrær Balanserte søketrær Rød-svarte trær (kapittel12.2) B-trær (kapittel 4.7) ANALYSE AV ALGORITMER 2 Analyse av tidsforbruk Hvor
DetaljerINF2220: Forelesning 1. Praktisk informasjon Analyse av algoritmer (kapittel 2) (Binær)trær (kapittel )
INF2220: Forelesning 1 Praktisk informasjon Analyse av algoritmer (kapittel 2) (Binær)trær (kapittel 4.1-4.3 + 4.6) PRAKTISK INFORMASJON 2 Praktisk informasjon Kursansvarlige Ragnhild Kobro Runde (ragnhilk@ifi.uio.no)
DetaljerLars Vidar Magnusson
Binære Søketrær Lars Vidar Magnusson 14.2.2014 Kapittel 12 Binære Søketrær Søking Insetting Sletting Søketrær Søketrær er datastrukturer som støtter mange dynamiske sett operasjoner. Kan bli brukt både
DetaljerNy/utsatt EKSAMEN. Dato: 5. januar 2018 Eksamenstid: 09:00 13:00
Ny/utsatt EKSAMEN Emnekode: ITF20006 Emne: Algoritmer og datastrukturer Dato: 5. januar 2018 Eksamenstid: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Alle trykte og skrevne Faglærer: Jan Høiberg Om eksamensoppgavene: Oppgavesettet
DetaljerEKSAMEN. Dato: 28. mai 2018 Eksamenstid: 09:00 13:00
EKSAMEN Emnekode: ITF20006 Emne: Algoritmer og datastrukturer Dato: 28. mai 2018 Eksamenstid: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Alle trykte og skrevne Faglærer: Jan Høiberg Om eksamensoppgavene: Oppgavesettet
DetaljerTrær. Består av sammenkoblede noder Hver node har 0 eller flere barne-noder. Må være asyklisk. Et tre med n noder har n-1 kanter.
Generelle trær: Trær Består av sammenkoblede noder Hver node har 0 eller flere barne-noder. Må være asyklisk. Et tre med n noder har n-1 kanter. løvnoder kant rotnode sub-tre 1 Generelle trær: Oppbygging
DetaljerPG4200 Algoritmer og datastrukturer Forelesning 7
PG4200 Algoritmer og datastrukturer Forelesning 7 Lars Sydnes, NITH 19. mars 2014 I. TERMINOLOGI FOR TRÆR TRÆR Lister: Lineære Trær: Hierarkiske Modell / Språk: Bestanddeler: Noder, forbindelser. Forbindelse
DetaljerFra Kap.10 Binære søketre (BS-tre) Sist oppdatert 20.03.10 Definere en abstrakt datastruktur binært søketre. Vise hvordan binær søketre kan brukes
Fra Kap.10 Binære søketre (BS-tre) Sist oppdatert 20.03.10 Definere en abstrakt datastruktur binært søketre. Vise hvordan binær søketre kan brukes til å løse problemer. Undersøke ulike implementasjoner
DetaljerDatastrukturer for rask søking
Søking Søkeproblemet Gitt en datastruktur med n elementer: Finnes et bestemt element (eller en bestemt verdi) x lagret i datastrukturen eller ikke? Effektiviteten til søkealgoritmer avhenger av: Om datastrukturen
DetaljerKap 9 Tre Sist oppdatert 15.03
Kap 9 Tre Sist oppdatert 15.03 Definere et tre som en datastruktur. Definere begreper knyttet til tre. Diskutere mulige implementasjoner av tre Analysere implementasjoner av tre som samlinger. Diskutere
DetaljerINF2220: Gruppe me 2. Mathias Lohne Høsten 2017
INF0: Gruppe me Mathias Lohne Høsten 0 1 Rød-svarte trær Vanlige binære søketrær blir fort veldig ubalanserte. røv å sett inn 1,,, 4, 5,, 7,... (i den rekkefølgen) i et binært søketre. Da vil vi i praksis
DetaljerINF2220: Forelesning 2
INF2220: Forelesning 2 Balanserte søketrær Rød-svarte trær (kapittel12.2) B-trær (kapittel 4.7) REPETISJON: BINÆRE SØKETRÆR 2 Binære søketrær 8 4 12 2 7 9 15 6 11 13 16 For enhver node i et binært søketre
DetaljerINF2220: Forelesning 2. Balanserte søketrær Rød-svarte trær (kapittel12.2) B-trær (kapittel 4.7)
INF2220: Forelesning 2 Balanserte søketrær Rød-svarte trær (kapittel12.2) B-trær (kapittel 4.7) REPETISJON: BINÆRE SØKETRÆR 2 Binære søketrær 8 4 12 2 7 9 15 6 11 13 16 For enhver node i et binært søketre
DetaljerSelv-balanserende søketrær
Selv-balanserende søketrær Georgy Maksimovich Adelson-Velsky Evgenii Mikhailovich Landis Søketrær og effektivitet O(log n) effektivitet av binære søketrær kan ikke garanteres Treet til venstre har høyde
DetaljerRepetisjon: Binære. Dagens plan: Rød-svarte trær. Oppgave (N + 1)!
Repetisjon: Binære søketrær Dagens plan: Rød-svarte trær (kap. 12.2) B-trær (kap. 4.7) bstrakte datatyper (kap. 3.1) takker (kap. 3.3) For enhver node i et binært søketre gjelder: lle verdiene i venstre
DetaljerINF Algoritmer og datastrukturer. Hva er INF2220? Algoritmer og datastrukturer
Praktiske opplysninger INF2220 - Algoritmer og datastrukturer HØSTEN 2007 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Tid og sted: Mandag kl. 12:15-14:00 Store auditorium, Informatikkbygningen Kursansvarlige
Detaljer... Når internminnet blir for lite. Dagens plan: Løsning: Utvidbar hashing. hash(x) katalog. O modellen er ikke lenger gyldig ved
Dagens plan: Utvidbar hashing (kapittel 5.6) B-trær (kap. 4.7) Abstrakte datatyper (kap. 3.1) Stakker (kap. 3.3) Når internminnet blir for lite En lese-/skriveoperasjon på en harddisk (aksesstid 7-12 millisekunder)
DetaljerSøkeproblemet. Gitt en datastruktur med n elementer: Finnes et bestemt element (eller en bestemt verdi) x lagret i datastrukturen eller ikke?
Søking Søkeproblemet Gitt en datastruktur med n elementer: Finnes et bestemt element (eller en bestemt verdi) x lagret i datastrukturen eller ikke? Effektiviteten til søkealgoritmer avhenger av: Om datastrukturen
DetaljerINF110 Algoritmer og datastrukturer TRÆR. Vi skal i denne forelesningen se litt på ulike typer trær:
TRÆR Vi skal i denne forelesningen se litt på ulike typer trær: Generelle trær (kap. 4.1) Binærtrær (kap. 4.2) Binære søketrær (kap. 4.3) Den siste typen trær vi skal behandle, B-trær (kap. 4.7) kommer
DetaljerHva er en algoritme? INF HØSTEN 2006 INF1020. Kursansvarlige Ragnar Normann E-post: Dagens tema
va er en algoritme? Vanlig sammenligning: Oppskrift. nput lgoritme NF1020 - ØSTEN 2006 Kursansvarlige Ragnar Normann E-post: ragnarn@ifi.uio.no Output Knuth : tillegg til å være et endelig sett med regler
DetaljerBinære søketrær. Et notat for INF1010 Stein Michael Storleer 16. mai 2013
Binære søketrær Et notat for INF Stein Michael Storleer 6. mai 3 Dette notatet er nyskrevet og inneholder sikkert feil. Disse vil bli fortløpende rettet og datoen over blir oppdatert samtidig. Hvis du
DetaljerTrær. En datastruktur (og abstrakt datatype ADT)
Trær Trær En datastruktur (og abstrakt datatype ADT) Trær En datastruktur (og abstrakt datatype ADT) En graf som 8lfredss8ller bestemte krav Object [] int [] tall array element 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5
DetaljerBinære søketrær. En ordnet datastruktur med raske oppslag. Sigmund Hansen
Binære søketrær En ordnet datastruktur med raske oppslag Sigmund Hansen Lister og trær Rekke (array): 1 2 3 4 Lenket liste (dobbelt-lenket): 1 2 3 4 Binært søketre: 3 1 4 2 Binære
DetaljerVi skal se på grafalgoritmer for:
Grafalgoritmer Vi skal se på grafalgoritmer for: Traversering: Oppsøk alle nodene i grafen en og bare en gang, på en eller annen systematisk måte Nåbarhet: Finnes det en vei fra en node til en annen node?
DetaljerEnkle datastrukturer. Lars Greger Nordland Hagen. Introduksjon til øvingsopplegget og gjennomgang av python
1 Enkle datastrukturer Lars Greger Nordland Hagen algdat@idi.ntnu.no Introduksjon til øvingsopplegget og gjennomgang av python 2 I dag Stack Kø (queue) Lenkede lister (linked list) Trær Binære søketrær
DetaljerObject [] element. array. int [] tall
Datastrukturer Object [] int [] tall array element 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 40 55 63 17 22 68 89 97 89 graf lenkeliste graf Object data Node neste Node neste Node neste Node neste Node Node neste
DetaljerStack. En enkel, lineær datastruktur
Stack En enkel, lineær datastruktur Hva er en stack? En datastruktur der vi til enhver tid kun har tilgang til elementet som ble lagt inn sist Et nytt element legges alltid på toppen av stakken Skal vi
DetaljerDagens plan: INF2220 - Algoritmer og datastrukturer. Repetisjon: Binære søketrær. Repetisjon: Binære søketrær
Dagens plan: INF2220 - lgoritmer og datastrukturer HØTEN 2007 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo (kap. 4.7) (kap. 12.2) Interface ollection og Iterator (kap. 3.3) et og maps (kap. 4.8) INF2220,
DetaljerHva er en liste? Hvert element har en forgjenger, unntatt første element i listen. Hvert element har en etterfølger, unntatt siste element i listen
Lister Hva er en liste? Listen er en lineær datastruktur Hvert element har en forgjenger, unntatt første element i listen Hvert element har en etterfølger, unntatt siste element i listen I motsetning til
DetaljerRekursiv programmering
Rekursiv programmering Babushka-dukker En russisk Babushkadukke er en sekvens av like dukker inne i hverandre, som kan åpnes Hver gang en dukke åpnes er det en mindre utgave av dukken inni, inntil man
DetaljerINF Algoritmer og datastrukturer
INF2220 - Algoritmer og datastrukturer HØSTEN 2015 Ingrid Chieh Yu Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 4: Prioritetskø og Heap Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2015, forelesning
DetaljerEKSAMEN. Dato: 18. mai 2017 Eksamenstid: 09:00 13:00
EKSAMEN Emnekode: ITF20006 Emne: Algoritmer og datastrukturer Dato: 18. mai 2017 Eksamenstid: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Alle trykte og skrevne Kalkulator Faglærer: Jan Høiberg Om eksamensoppgavene: Oppgavesettet
DetaljerINF Algoritmer og datastrukturer
INF2220 - Algoritmer og datastrukturer HØSTEN 2015 Ingrid Chieh Yu Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 4: Prioritetskø og Heap Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2015, forelesning
DetaljerListe som abstrakt konsept/datatype
Lister Liste som abstrakt konsept/datatype Listen er en lineær struktur (men kan allikevel implementeres ikke-lineært bak kulissene ) Hvert element har en forgjenger, unntatt første element i listen Hvert
DetaljerINF Algoritmer og datastrukturer
INF2220 - Algoritmer og datastrukturer HØSTEN 2009 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo INF2220, forelesning 5: Prioritetskø og Heap Bjarne Holen (Ifi, UiO) INF2220 H2009, forelesning 5 1 /
DetaljerVi skal se på grafalgoritmer for:
Grafalgoritmer Vi skal se på grafalgoritmer for: raversering: Nåbarhet: Oppsøk alle nodene i grafen en og bare en gang, på en eller annen systematisk måte innes det en vei fra en node til en annen node?
DetaljerKap.12. Flervegssøketre. Studerer 2-3 og 2-4 trær. Sist oppdatert
Kap.12 Flervegssøketre Sist oppdatert 12.04.10 Studerer 2-3 og 2-4 trær Motivasjon n maks = antall elementer i et fullt binært tre med nivåer 0 k ; (en node har ett element) n maks = 2 0 + 2 1 + + 2 k
DetaljerINF Algoritmer og datastrukturer
INF2220 - Algoritmer og datastrukturer HØSTEN 2017 Ingrid Chieh Yu Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 4: Prioritetskø og Heap Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2017, forelesning
DetaljerBalanserte binære søketrær
Balanserte trær Balanserte binære søketrær Balanserte binære søketrær høyden (l treet er O(log 2 n) AVL trær rød-svarte trær svake AVL trær splaytrær heaps AVL trær rød-svarte trær svake AVL trær splaytrær
DetaljerHva er en liste? Hvert element har en forgjenger, unntatt første element i listen. Hvert element har en etterfølger, unntatt siste element i listen
Lister Hva er en liste? Listen er en lineær datastruktur Hvert element har en forgjenger, unntatt første element i listen Hvert element har en etterfølger, unntatt siste element i listen I motsetning til
DetaljerIN Algoritmer og datastrukturer
IN2010 - Algoritmer og datastrukturer HØSTEN 2018 Ingrid Chieh Yu Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 3: Prioritetskø og Heap Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2010 H2018, forelesning
DetaljerINF Algoritmer og datastrukturer
INF2220 - Algoritmer og datastrukturer HØSTEN 2016 Ingrid Chieh Yu Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 4: Prioritetskø og Heap Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2016, forelesning
DetaljerHva er en stack? En lineær datastruktur der vi til enhver tid kun har tilgang til elementet som ble lagt inn sist
Stack Hva er en stack? En lineær datastruktur der vi til enhver tid kun har tilgang til elementet som ble lagt inn sist Et nytt element legges alltid på toppen av stakken Skal vi ta ut et element, tar
DetaljerHva er en stack? En lineær datastruktur der vi til enhver tid kun har tilgang til elementet som ble lagt inn sist
Stack Hva er en stack? En lineær datastruktur der vi til enhver tid kun har tilgang til elementet som ble lagt inn sist Et nytt element legges alltid på toppen av stakken Skal vi ta ut et element, tar
DetaljerNotater til INF2220 Eksamen
Notater til INF2220 Eksamen Lars Bjørlykke Kristiansen December 13, 2011 Stor O notasjon Funksjon Navn 1 Konstant log n Logaritmisk n Lineær n log n n 2 Kvadratisk n 3 Kubisk 2 n Eksponensiell n! Trær
DetaljerINF2220: Forelesning 1
INF2220: Forelesning 1 Praktisk informasjon Analyse av algoritmer (kapittel 2) (Binær)trær (kapittel 4.1-4.3 + 4.6) Praktisk informasjon 2 Praktisk informasjon Kursansvarlige Ingrid Chieh Yu de Vibe (ingridcy@ifi.uio.no)
DetaljerHva er en kø? En lineær datastruktur der vi til enhver tid kun har tilgang til elementet som ble lagt inn først
Køer Hva er en kø? En lineær datastruktur der vi til enhver tid kun har tilgang til elementet som ble lagt inn først Et nytt element legges alltid til sist i køen Skal vi ta ut et element, tar vi alltid
DetaljerDagens tema. INF Algoritmer og datastrukturer. Binærtrær. Generelle trær
Dagens tema INF2220 - Algoritmer og datastrukturer HØSTEN 2007 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo INF2220, forelesning 2: Binærtrær og abstrakte datatyper (ADT) Kort repetisjon Generelle trær
DetaljerEKSAMEN med løsningsforslag
EKSAMEN med løsningsforslag Emnekode: ITF20006 Emne: Algoritmer og datastrukturer Dato: Eksamenstid: 20. mai 2009 kl 09.00 til kl 13.00 Hjelpemidler: 8 A4-sider (4 ark) med egne notater Kalkulator Faglærer:
DetaljerOppsummering. MAT1030 Diskret matematikk. Oppsummering. Oppsummering. Eksempel
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 26: Trær Sist forelesning snakket vi i hovedsak om trær med rot, og om praktisk bruk av slike. rot Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo barn barn
DetaljerDisjunkte mengder ADT
Binære relasjoner A A = {(x, y) x, y A}: mengden av ordnede par over A. Disjunkte mengder ADT Weiss kap. 8.1 8.5 Løser ekvivalensproblemet Lett og rask implementasjon Vanskelig tidsforbrukanalyse Ark 1
DetaljerEKSAMEN. Dato: 9. mai 2016 Eksamenstid: 09:00 13:00
EKSAMEN Emnekode: ITF20006 Emne: Algoritmer og datastrukturer Dato: 9. mai 2016 Eksamenstid: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Alle trykte og skrevne Faglærer: Jan Høiberg Om eksamensoppgavene: Oppgavesettet består
DetaljerSorteringsproblemet. Gitt en array A med n elementer som kan sammenlignes med hverandre:
Sortering Sorteringsproblemet Gitt en array A med n elementer som kan sammenlignes med hverandre: Finn en ordning (eller permutasjon) av elementene i A slik at de står i stigende (evt. avtagende) rekkefølge
DetaljerHvor raskt klarer vi å sortere?
Sortering Sorteringsproblemet Gitt en array med n elementer som kan sammenlignes med hverandre: Finn en ordning (eller permutasjon) av elementene slik at de står i stigende (evt. avtagende) rekkefølge
DetaljerINF2220: Forelesning 1
INF2220: Forelesning 1 Praktisk informasjon Analyse av algoritmer (kapittel 2) Rekursjon (kapittel 1.3) (Binær)trær (kapittel 4.1-4.3 + 4.6) Praktisk informasjon 2 Praktisk informasjon Kursansvarlige Ingrid
DetaljerUke 5 Disjunkte mengder
Uke 5 Disjunkte mengder MAW, kap.. 8 September 19, 2005 Page 1 Hittil Forutsetninger for og essensen i faget Metodekall, rekursjon, permutasjoner Analyse av algoritmer Introduksjon til ADT er Den første
DetaljerMagnus Moan (Undertegnede) Enkle datastrukturer, trær, traversering og rekursjon
1 Enkle datastrukturer, trær, traversering og rekursjon Magnus Moan (Undertegnede) algdat@idi.ntnu.no Enkle datastrukturer, trær, traversering og rekursjon 2 Dagens plan Praktisk Enkle datastrukturer Stack
DetaljerINF2220: Time 4 - Heap, Huffmann
INF0: Time 4 - Heap, Huffmann Mathias Lohne mathialo Heap (prioritetskø) En heap (også kalt prioritetskø) er en type binært tre med noen spesielle struktur- og ordningskrav. Vi har to typer heap: min-
DetaljerAlgoritmer og Datastrukturer
Eksamen i Algoritmer og Datastrukturer IAI 20102 Høgskolen i Østfold Avdeling for informatikk og automatisering Lødag 5. juni 2004, kl. 09.00-13.00 LØSNINGSFORSLAG 1 Del 1 60% Oppgave 1.1-10% Forklar kort
DetaljerHva er en kø? En lineær datastruktur der vi til enhver tid kun har tilgang til elementet som ble lagt inn først
Køer Hva er en kø? En lineær datastruktur der vi til enhver tid kun har tilgang til elementet som ble lagt inn først Et nytt element legges alltid til sist i køen Skal vi ta ut et element, tar vi alltid
DetaljerDatastrukturer. Stakker (Stacks) Hva er en datastruktur? Fordeler / Ulemper. Generelt om Datastrukturer. Stakker (Stacks) Elementære Datastrukturer
Hva er en datastruktur? Datastrukturer Elementære Datastrukturer En datastruktur er en systematisk måte å lagre og organisere data på, slik at det er lett å aksessere og modifisere dataene Eksempler på
DetaljerNITH PG4200 Algoritmer og datastrukturer Løsningsforslag Eksamen 4.juni 2013
NITH PG00 Algoritmer og datastrukturer Løsningsforslag Eksamen.juni 0 Dette løsningsforslaget er til tider mer detaljert enn det man vil forvente av en eksamensbesvarelse. Det er altså ikke et eksempel
DetaljerLars Vidar Magnusson Kapittel 13 Rød-Svarte (Red-Black) trær Rotasjoner Insetting Sletting
Rød-Svarte Trær Lars Vidar Magnusson 21.2.2014 Kapittel 13 Rød-Svarte (Red-Black) trær Rotasjoner Insetting Sletting Rød-Svarte Trær Rød-Svarte trær (red-black trees) er en variasjon binære søketrær som
DetaljerLenkelister, iteratorer, indre klasser. Repetisjonskurs våren 2018 kristijb
Lenkelister, iteratorer, indre klasser Repetisjonskurs våren 2018 kristijb Lenket liste av objekter Vi lager en lenke ved at objekter refererer til hverandre. Vanlige er ofte å ha Node-objekter som har
DetaljerHva er en kø? En lineær datastruktur der vi til enhver tid kun har tilgang til elementet som ble lagt inn først
Køer Hva er en kø? En lineær datastruktur der vi til enhver tid kun har tilgang til elementet som ble lagt inn først Et nytt element legges alltid til sist i køen Skal vi ta ut et element, tar vi alltid
DetaljerLøsnings forslag i java In115, Våren 1998
Løsnings forslag i java In115, Våren 1998 Oppgave 1 // Inne i en eller annen klasse private char S[]; private int pardybde; private int n; public void lagalle(int i) if (i==n) bruks(); else /* Sjekker
DetaljerFlerveis søketrær og B-trær
Flerveis søketrær og B-trær Flerveis søketre * Generalisering av binært søketre Binært søketre: Hver node har maksimalt 2 subtrær/barn og 1 verdi Barna ligger sortert på verdi i forhold til den ene verdien
DetaljerRekursiv programmering
Rekursiv programmering Babushka-dukker En russisk Babushkadukke er en sekvens av like dukker inne i hverandre, som kan åpnes Hver gang en dukke åpnes er det en mindre utgave av dukken inni, inntil man
DetaljerAlgoritmer og datastrukturer Kapittel 9 - Delkapittel 9.1
Delkapittel 9.1 Generelt om balanserte trær Side 1 av 13 Algoritmer og datastrukturer Kapittel 9 - Delkapittel 9.1 9.1 Generelt om balanserte trær 9.1.1 Hva er et balansert tre? Begrepene balansert og
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i IN 115 og IN 110 Algoritmer og datastrukturer Eksamensdag: 14. mai 1996 Tid for eksamen: 9.00 15.00 Oppgavesettet er på 8 sider.
DetaljerINF Algoritmer og datastrukturer
INF2220 - Algoritmer og datastrukturer HØSTEN 2009 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo INF2220, forelesning 10: Disjunkte Mengder Bjarne Holen (Ifi, UiO) INF2220 H2009, forelesning 10 1 / 27
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
Eksamen i UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamensdag: 13. desember 2011 Tid for eksamen: 14.30 18.30 Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: INF2220 lgoritmer og datastrukturer
DetaljerDagens plan: INF Algoritmer og datastrukturer. Eksempel. Binære Relasjoner
Dagens plan: INF2220 - Algoritmer og datastrukturer HØSTEN 2009 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo INF2220, forelesning 10: Disjunkte Mengder Definisjon av binær relasjon Definisjon av ekvivalens
DetaljerE K S A M E N. Algoritmiske metoder I. EKSAMENSDATO: 11. desember HINDA / 00HINDB / 00HINEA ( 2DA / 2DB / 2EA ) TID:
Høgskolen i Gjøvik Avdeling for Teknologi E K S A M E N FAGNAVN: FAGNUMMER: Algoritmiske metoder I L 189 A EKSAMENSDATO: 11. desember 2001 KLASSE: 00HINDA / 00HINDB / 00HINEA ( 2DA / 2DB / 2EA ) TID: 09.00-14.00
DetaljerLars Vidar Magnusson
B-Trær Lars Vidar Magnusson 5.3.2014 Kapittel 18 B-trær Standard operasjoner Sletting B-Trær B-trær er balanserte trær som er designet for å fungere bra på sekundære lagringsmedium e.g. harddisk. Ligner
DetaljerEksamen i IN 110, 18. mai 1993 Side 2 Del 1 (15%) Vi skal se på prioritetskøer av heltall, der vi hele tiden er interessert i å få ut den minste verdi
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 18. mai 1993 Tid for eksamen: 9.00 15.00 Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: IN 110 Algoritmer
DetaljerINF2220: Time 12 - Sortering
INF0: Time 1 - Sortering Mathias Lohne mathialo Noen algoritmer Vi skal nå se på noen konkrete sorteringsalgoritmer. Gjennomgående i alle eksempler vil vi sortere tall etter tallverdi, men som diskutert
DetaljerOppgavesettet består av 7 sider, inkludert denne forsiden. Kontroll& at oppgaven er komplett før du begynner å besvare spørsmålene.
Høgskoleni Østfold EKSAMEN Emnekode: Emnenavn: ITF20006 Algoritmer og datastrukturer Dato: Eksamenstid: 9. mai 2016 9.00 13.00 Hjelpemidler: Faglærer: Alle trykte og skrevne Jan Høiberg Om eksamensoppgaven
DetaljerEKSAMEN. Algoritmer og datastrukturer
EKSAMEN Emnekode: ITF20006 Emne: Algoritmer og datastrukturer Dato: Eksamenstid: 20. mai 2009 kl 09.00 til kl 13.00 Hjelpemidler: 8 A4-sider (4 ark) med egne notater Kalkulator Faglærer: Gunnar Misund
DetaljerAlgoritmer og datastrukturer Kapittel 9 - Delkapittel 9.2
Delkapittel 9.2 Rød-svarte og 2-3-4 trær side 1 av 21 Algoritmer og datastrukturer Kapittel 9 - Delkapittel 9.2 9.2 Rød-svarte og 2-3-4 trær 9.2.1 B-tre av orden 4 eller 2-3-4 tre Et rød-svart tre og et
DetaljerLogaritmiske sorteringsalgoritmer
Logaritmiske sorteringsalgoritmer Logaritmisk sortering Rekursive og splitt og hersk metoder: Deler verdiene i arrayen i to (helst) omtrent like store deler i henhold til et eller annet delingskriterium
DetaljerSist forelesning snakket vi i hovedsak om trær med rot, og om praktisk bruk av slike. rot. barn
Forelesning 26 Trær Dag Normann - 28. april 2008 Oppsummering Sist forelesning snakket vi i hovedsak om trær med rot, og om praktisk bruk av slike. rot barn barn barnebarn barnebarn barn blad Her er noen
DetaljerAlgoritmer og datastrukturer Eksamen
Eksamen - Algoritmer og datastrukturer - Høgskolen i Oslo og Akershus - 27.11.2012 Side 1 av 6 Algoritmer og datastrukturer Eksamen 27.11.2012 Eksamensoppgaver Råd og tips: Bruk ikke for lang tid på et
DetaljerBinære Søketre. Egenskap. Egenskap : Grafisk. Egenskap : Kjøretid. Egenskap : Kjøretid. Egenskap : Oppsumering. Binære Søketre
genskap inære Søketre inære Søketre t binært søketre er organisert som et binærtre, og har følgende egenskap a x være en node i et binært søketre. vis y er en node i x s venstre subtre, vil verdi[y] verdi[x]
DetaljerEksamen iin115 og IN110, 15. mai 1997 Side 2 Oppgave 1 Trær 55 % Vi skal i denne oppgaven se på en form for søkestrukturer som er spesielt godt egnet
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i IN 115 og IN110 Algoritmer og datastrukturer Eksamensdag: 15. mai 1997 Tid for eksamen: 9.00 15.00 Oppgavesettet er på 8 sider.
DetaljerHeapsort. Lars Vidar Magnusson Kapittel 6 Heaps Heapsort Prioritetskøer
Heapsort Lars Vidar Magnusson 24.1.2014 Kapittel 6 Heaps Heapsort Prioritetskøer Sorterings Problemet Sorterings problemet er et av de mest fundementalske problemene innen informatikken. Vi sorterer typisk
DetaljerLøsningsforslag. Oppgave 1.1. Oppgave 1.2
Løsningsforslag Oppgave 1.1 7 4 10 2 5 9 12 1 3 6 8 11 14 13 Oppgave 1.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 Oppgave 1.3 Rekursiv løsning: public Node settinn(person ny, Node rot) if (rot == null) return
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 26: Trær Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 28. april 2008 Oppsummering Sist forelesning snakket vi i hovedsak om trær med rot, og om praktisk
DetaljerHashing: Håndtering av kollisjoner
Hashing: Håndtering av kollisjoner Innsetting av dataelement i hashtabell Algoritme: 1. Bruk en hashfunksjon til å beregne hashverdi basert på dataelementets nøkkelverdi 2. Sett inn dataelementet i hashtabellen
DetaljerPensum: fra boken (H-03)+ forelesninger
Pensum: fra boken (H-03)+ forelesninger unntatt kursorisk tema KAP. 1 KAP. 2 KAP. 3 JAVA I-110 (ikke gjennomgått) OO + ABSTRAKSJON /GENERISK PROGRAMMERING REKURSJON ALGORITME-TIDSANALYSE; O-NOTASJON KAP.
Detaljer