Balanserte binære søketrær

Transkript

1 Balanserte trær

2 Balanserte binære søketrær

3 Balanserte binære søketrær høyden (l treet er O(log 2 n)

4 AVL trær rød-svarte trær svake AVL trær splaytrær heaps

5 AVL trær rød-svarte trær svake AVL trær splaytrær heaps

6 Balanserte binære søketrær Det finnes ulike mekanismer for å sikre mest mulige balanserte trær. Felles er at de er basert på en invariant. AVL-trær: For alle indre noder er høydeforskjellen mellom venstre og høyre subtre max. UIordringen er å opprejholde søke- og balanseinvarianten under innsekng og slekng. Generell metode: Gjør innsekng/slekng som vanlig. GjenoppreJ balansen ved rotasjoner som restrukturerer treet. Vi skal se på rød-svarte trær.

7 null null null null null null null null null null null

8 Et rød-svart tre er et binært søketre der hver node er farget enten rød eller svart slik at: null null null null null null null null null null. Roten er svart. 2. Hvis en node er rød, må barna være svarte. 3. Enhver s( fra en node (l en null-peker må inneholde samme antall svarte noder. Disse reglene sikrer at høyden på et rødsvart tre er maksimalt 2 log 2 (n+)

9 Høyden på et rød-svart tre er maksimalt 2 log 2 (n+)

10 Farg nodene i treet slik at det blir et rød-svart tre.

11 Farg nodene i treet slik at det blir et rød-svart tre.

12 SeJ inn tallet 4

13 SeJ inn tallet 4

14 SeJ inn tallet 4 InnseKng er ikke noe problem hvis foreldrenoden (her 49) er svart: Den nye noden kan sejes inn som rød, og antall svarte noder på s(en (l nullpekerne blir som før.

15 SeJ inn tallet 2

16

17 Hvis foreldrenoden er rød (her noden med verdien ): Den nye noden kan ikke være rød (krav 2). Den nye noden kan ikke være svart (krav 3). Treet må endres ved hjelp av rotasjoner og omfarging.

18 Hvis foreldrenoden er rød (her noden med verdien ): Den nye noden kan ikke være rød (krav 2). Den nye noden kan ikke være svart (krav 3). Treet må endres ved hjelp av rotasjoner og omfarging.

19 Hvis foreldrenoden er rød (her noden med verdien ): Den nye noden kan ikke være rød (krav 2). Den nye noden kan ikke være svart (krav 3). Treet må endres ved hjelp av rotasjoner og omfarging.

20 G P S InnseKng i rød-svart tre X. Gjør innsekng som i vanlig binært søketre, der den nye noden X farges rød. 2. La P og G være forelder og besteforelder (l X, og S søsken (l P. 3. Hvis P er svart: Alt ok, innsekng ferdig. 4. Hvis P er rød: a. Hvis X og P begge er venstre (høyre) barn: Gjør enkel rotasjon med nødvendige fargeendringer. b. Hvis X er venstre og P høyre barn eller motsaj: Gjør dobbel rotasjon med nødvendige fargeendringer. c. SeJ X (l å være den nye roten i det roterte subtreet. d. Hvis X nå er roten i selve treet: Farg denne svart. Ellers: Gjenta fra steg 2.

21 G P S InnseKng i rød-svart tre X. Gjør innsekng som i vanlig binært søketre, der den nye noden X farges rød. 2. La P og G være forelder og besteforelder (l X, og S søsken (l P. 3. Hvis P er svart: Alt ok, innsekng ferdig. 4. Hvis P er rød Hvis X og P begge er venstre (høyre) barn: Gjør enkel rotasjon, eller hvis X er venstre og P høyre barn eller motsaj: Gjør dobbel rotasjon. Hvis S er svart, ferdig ellers hvis S er rød, ski` farge på X, P og G og sej X (l å være roten i det roterte subtreet (som er rød). Hvis X nå er roten i selve treet: Farg denne svart, ferdig. Ellers: Gjenta fra steg 2.