FYSMEK1110 Eksamensverksted 23. Mai 2018 14:15-18:00 Oppgave 1 (maks. 45 minutt) Page 1 of 9
Svar, eksempler, diskusjon og gode råd fra studenter (30 min) Hva får dere poeng for? Gode råd fra forelesere (15 min) Page 2 of 9
Oppgave 2 (30 minutt) Eksv13.pdf, N2L, dekomponering, arbeids-energi teorem, En kiste med masse settes ned på et skråplan som har en helningsvinkel. Den statiske friksjonskoeffisienten mellom kisten og overflaten til skråplanet er, den dynamiske friksjonskoeffisienten er, hvor. Vi antar først at kisten forblir i ro. a) Tegn et frilegemediagram for kisten og uttrykk alle kreftene som virker på kisten ved hjelp av,, og. (4 poeng) Gravitasjonskraft Normalkraft Friksjonskraft ( Kisten beveger seg ikke i y retning: Kisten beveger seg ikke i x retning: Page 3 of 9
b) Finn betingelsen for at kisten begynner å skli ned skråplanet. (4 poeng) Den statiske friksjonskraften har maksimalverdien: Kisten begynner å skli når. Vi antar at betingelsen fra b) er oppfylt og kisten sklir ned skråplanet. Du kan se bort fra luftmotstanden. c) Finn arbeidet som er gjort av friksjonskraften på kisten når den har sklidd ned en strekning (målt langs skråplanet). (3 poeng) Kisten beveger seg i positiv x retning mens kraften virker i negativ x retning. Nå må vi bruke den dynamiske friksjonskoeffisienten: Friksjonskraften gjør negativ arbeid på kisten. d) Finn den kinetiske energien og hastigheten til kisten når den har kommet til bunnen av skråplanet etter den har sklidd ned en strekning. (5 poeng) Arbeidet gjort av friksjonskraften er lik forskjellen i den mekaniske energien: Page 4 of 9
Oppgave 3 (20 min). (fysmek1110mev2015no.pdf), potensiel The force acting on a particle with mass m is characterized by the potential U(x) = U 0 ( b x + x b ), where U 0 and b are positive constants and the position x can only take positive values. a. Determine the force acting on the particle in the position x. (3 points) F = du dx = U 0 ( b x 2 + 1 b ) = U 0 ( b x 2 1 b ) b. Describe the motion of the particle. How can you characterize the position x = b? (3 points) Since the force has a potential it is conservative and the mechanical energy is conserved. The particle will oscillate around the stable equilibrium point x = b. If the particle is located in the position x = b without kinetic energy it will remain there. The position x = b is therefore a stable equilibrium point. If it starts from a position x 0 < b it is accelerated in positive x direction. It will reach its maximum energy in x = b, then slow down and finally turn around at the position x = 1 x 0. The motion is then reversed and the particle moves back and forth between the same positions. c. The particle is located at the position x 0 = 1 b and released without initial velocity. Find the 2 velocity of the particle at the position x = b. (3 points) Since the force is conservative we can use energy conservation: U(x 0 ) + K(x 0 ) = U(x) + K(x) 5 2 U 0 + 0 = 2U 0 + 1 2 mv2 v = U 0 m d. How far does the particle move? (3 points) We use again energy conservation to find the position where all energy is in the form of potential energy with the same value as in x 0. U 0 ( b x + x b ) = 5 2 U 0 x 2 5 2 bx + b2 = 0 x = 5 4 b ± 25 16 b2 b 2 = 5 4 b ± 3 4 b The particle moves back and forth between the points x = 1 b and x = 2b. 2 e. In three dimensions the potential can be written as U(r ) = U 0 ( b + r ), where r = r. r b Determine the force acting on the particle in the position r. (3 points) In spherical coordinates: F = U F = U r u r = U 0 ( b r 2 1 b ) u r Page 5 of 9
Oppgave 4 (35 minutt) eksv13.pdf, program, vektorer, krefter, N2L En liten stein med masse synker i havet. Du kan anta at det virker en konstant oppdriftskraft og en motstandskraft av type, hvor er en konstant. a) Tegn et frilegemediagram for steinen og navngi kreftene. (2 poeng) Gravitasjonskraft Motstandskraft Oppdriftskraft Steinen synker i negativ y retning, motstandskraften virker derfor i positiv y retning. b) Finn et uttrykk for akselerasjonen til steinen. (2 poeng) Newtons andre lov: c) Finn terminalhastigheten til steinen. (3 poeng) Steinen rekker terminalhastigheten når Page 6 of 9
Ved tiden er steinen i ro og begynner å synke fra høyden over havbunnen. d) Skriv et program som finner den vertikale posisjonen til steinen som funksjon av tiden. Det er tilstrekkelig å ta med integrasjonsløkken. (5 poeng) På stedet hvor steinen synker er det en havstrøm. Vannet beveger seg med konstant hastighet. e) Hvordan påvirker vannbevegelsen motstandskraften? Modifiser kraftmodellen for å ta hensyn til vannets hastighet. (3 poeng) Motstandskraften er avhengig av relativhastigheten mellom steinen og vannet. f) Tegn et frilegemediagram for steinen i den nye situasjonen i havstrømmen. Angi også hastigheten til steinen og til vannet rundt steinen. (3 poeng) Page 7 of 9
g) Modifiser programmet ditt for å beregne posisjonen til steinen når vannet beveger seg med konstant hastighet. Det er igjen tilstrekkelig å ta med integrasjonsløkken. (6 poeng) Page 8 of 9
Oppgave 5 (20 min). (fysmek1110mev2015no.pdf), energi, fri legeme diagram, kontaktkraft A small block is resting on the top of a large sphere. There is no friction between the block and the surface of the sphere. The block starts sliding with an infinitesimally small velocity from the top of the sphere to one side. a. Draw a free-body diagram of the block and name the forces while it is at a finite angle θ from the top. (3 points) b. Determine the speed of the block as a function of the angle θ. (4 points) The normal force is orthogonal to the direction of motion and does not do any work. Gravitation is a conservative force. We can therefore use energy conservation. If we define U = 0 in the center of the sphere: mgr = 1 2 mv2 + mgr cos θ v = 2gR(1 cos θ) c. Find the angle at which the block loses contact with the surface of the sphere. (5 points) The net force in radial direction must provide the centripetal acceleration: N mg cos θ = m v2 2gR(1 cos θ) = m R R N = mg cos θ 2mg(1 cos θ) = 3mg cos θ 2mg The block loses contact when the normal force becomes zero: θ = cos 1 ( 2 3 ) Page 9 of 9