Eksamen 2P, Våren 2011 Del 1 Tid: 2 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (20 poeng) a) Skriv på standardform 1) 36 200 36200 3,62 10 2) 0,000 642 0,000642 6,42 10 3) 53 millioner 4 4 53 millioner 5,3 10 7 4) 0,034 10 2 2 4 0,034 10 0,00034 3,4 10 b) Tegn av tabellen nedenfor i besvarelsen din og fyll inn det som mangler. Prosentvis endring Vekstfaktor 2 + 2 % 1 1,02 100 68 32-68 % 1 0,32 100 100-75 % 0,25 + 100 % 2 1
c) Regn ut 4 2 3 0 1) a a a 3 4 2 0 4 6 0 2 1 2 a a a a a a 2) 3 3 2 4 8 2 3 2 3 3 3 3 2 4 2 2 3 6 6 3 1 2 2 2 2 8 2 8 d) Nedenfor ser du hvor mange mål som ble scoret i fotballkampene mellom Rosenborg og Brann i Eliteserien i årene fra 2005 til 2009: 5 5 0 4 3 5 2 0 2 2 1) Finn gjennomsnittet og medianen for dette datamaterialet. Gjennomsnitt: 5 5 0 4 3 5 2 0 2 2 28 2,8 10 10 Median: 0 0 2 2 2 3 4 5 5 5 2 3 2,5 2 2
2) Sett opp resultatene i en tabell. Tabellen skal vise frekvens og kumulativ frekvens. Antall mål Frekvens Kumulativ frekvens 0 2 2 1 0 0 2 3 5 3 1 6 4 1 7 5 3 10 3) Hva er den kumulative frekvensen for to mål, og hva betyr dette? Den kumulative frekvensen for to mål er fem. Det betyr at i fem av kampene er det scoret to eller færre mål. e) Ved en skole er det 120 elever. Elevrådet skal arrangere aktivitetsdag, og elevene kan melde seg på én av fire turer. Elevene fordeler seg slik: Tur Antall elever Tur 1 (Robåt) 15 Tur 2 (Sykkel) 30 Tur 3 (Høgfjell, kort løype) 40 Tur 4 (Høgfjell, lang løype) 35 Gjør beregninger og lag et sektordiagram som viser fordelingen. Det skal gå klart fram hvor mange grader hver av sektorene i diagrammet er på. 3
120 elever 360 3 120 Tur 1: 15 3 45 Tur 2: 30 3 90 Tur 3: 40 3 120 Tur 2: 35 3 105 f) En vare selges i to forskjellige butikker. Prisen er den samme i begge butikkene. I butikk A settes prisen opp med 20 %. I butikk B settes prisen først opp med 10 % og så etter noen dager med 10 % til. Marit påstår at prisen da fremdeles er den samme i begge butikkene. Forklar Marit hvorfor dette ikke er riktig. Bruk gjerne et eksempel når du forklarer. Prisen blir ikke den samme fordi det ikke blir regnet prosent av samme grunnlag. I butikk A blir det beregnet 20 % av opprinnelig pris. I butikk B blir det beregnet 10 % av opprinnelig pris, og så 10 % av den prisen en da får. Den nye prisen blir derfor høyere i butikk B enn i butikk A. Anta at opprinnelig pris på varen var 100 kroner. I butikk A blir da ny pris100 kroner 1,20 120 kroner. I butikk B blir ny pris 100 kroner 1,1 1,1 121 kroner. 4
g) I en 2P-gruppe er det 10 elever. Læreren har undersøkt hvor mye tid elevene bruker på matematikkleksene i løpet av en uke. Resultatene er gitt i tabellen nedenfor. Antall minutter Antall elever 0,30 1 30,60 3 60,120 5 120,240 1 Finn gjennomsnittet for dette grupperte datamaterialet. Gjennomsnitt: 1 15 3 45 5 90 1 180 15 135 450 180 78 10 10 h) I tallsystemet som vi vanligvis bruker, er grunntallet 10. I totallsystemet er grunntallet 2. Det finnes også tallsystemer med andre grunntall. Tegn av tabellen nedenfor i besvarelsen din, gjør beregninger og fyll inn det som mangler. Tallsystem med grunntall 10 Tallsystem med grunntall 2 Tallsystem med grunntall 4 27 110112 1234 42 1010102 2224 4 3 1 0 27 16 8 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 11011 2 101010 32 8 2 42 2 2 1 0 42 32 8 2 2 4 2 4 2 4 222 4 5
Oppgave 2 (4 poeng) Stig har fått en kakeoppskrift fra tante Mathilde i Amerika. I oppskriften står det at kaken skal stekes på 350 F. Han lurer på hvor mange grader celsius dette tilsvarer. Stig har en gradestokk utenfor kjøkkenvinduet som viser både celsiusgrader og fahrenheitgrader. Se bildet til høyre. a) Tegn av tabellen nedenfor i besvarelsen din. Bruk gradestokken til høyre og fyll ut tabellen. F 0 50 100 C 18 10 38 b) Tegn et koordinatsystem med grader fahrenheit langs x - aksen og grader celsius langs y - aksen. Marker verdiene fra tabellen i a) som punkter i koordinatsystemet. c) Tegn en rett linje som går gjennom punktene. Bruk linjen til å finne ut hvor mange grader celsius Stig skal steke kaken på. Stig bør steke kaken på ca. 180 C. (Se koordinatsystemet ovenfor.) 6
Del 2 Tid: 3 timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave 3 (6 poeng) Vibeke har fått en bakterieinfeksjon og tar tabletter med antibiotika. En tablett inneholder 220 mg antibiotika. Antall milligram antibiotika i kroppen reduseres med 11 % hver time. a) Vibeke tar en tablett. Hvor mange milligram antibiotika er det igjen i kroppen hennes 1) etter én time? Vekstfaktor: Det er ca. 196 mg antibiotika igjen én time etterpå. 7
2) etter åtte timer? Det er ca. 87 mg antibiotika igjen åtte timer etterpå. Vibeke tar en tablett hver åttende time. b) Hvor mange milligram antibiotika har hun i kroppen rett etter at hun har tatt sin a) andre tablett? Hun har ca. 307 mg i kroppen like etter at hun har tatt sin andre tablett. b) tredje tablett? Hun har ca. 340 mg i kroppen like etter at hun har tatt sin tredje tablett. 8
c) Skisser grafen som viser hvor mange milligram antibiotika Vibeke til enhver tid har i kroppen det første døgnet etter at hun begynte å ta tablettene. x f x 220 0,89 x 0,8 x 8 g x f x 220 0,89 x 8,16 x 16 h x f x g x 220 0,89 x 16,24 9
Oppgave 4 (9 poeng) Politiet har gjennomført fartskontroller på to veistrekninger. Den ene veistrekningen har fartsgrense 50 km/h og den andre 80 km/h. Nedenfor ser du resultatene fra hver av de to kontrollene. Fartsgrense 50 km/h Fartsgrense 80 km/h Fart Antall biler Fart Antall biler 45,50 25 50,55 26 55,60 23 60,65 3 65,70 2 70,75 1 70,75 7 75,80 43 80,85 17 85,90 8 90,95 0 95,125 5 a) Presenter dataene fra tabellene ovenfor i hvert sitt stolpediagram. 10
b) Hvor mange prosent av bilførerne kjører 10 % eller mer over fartsgrensen i hver av de to kontrollene? 50-sonen: Ca. 36 % av bilførerne kjører 10 % eller mer over fartsgrensen i 50-sonen. 80-sonen: Vi regner at de åtte bilene er jevnt fordelt i intervallet 85,90. Ca. 10 % av bilførerne kjører 10 % eller mer over fartsgrensen i 80-sonen. 11
c) Finn gjennomsnittsfarten til bilene i hver av de to kontrollene. 50-sonen: Vi bruker regneark Gjennomsnittsfarten var 53,4 km/h. Formler som er brukt i regnearket 12
80-sonen: Vi bruker regneark Gjennomsnittsfarten var 81,2 km/h. Formler som er brukt i regnearket d) Hvor mange prosent over fartsgrensen er gjennomsnittsfarten til bilene i hver av de to kontrollene? 50-sonen: I 50-sonen var gjennomsnittsfarten 6,8 % over fartsgrensen. 13
80-sonen: I 80-sonen var gjennomsnittsfarten 1,5 % over fartsgrensen. e) Bruk svarene i a), b), c) og d) til å vurdere om bilførerne kjører mest lovlydig på veistrekningen med fartsgrense 50 km/h eller på veistrekningen med fartsgrense 80 km/h. Ca. 36 % av bilførerne kjører mer enn 10 % over fartsgrensen i 50 sonen, mens bare 10 % kjører mer enn 10 % over fartsgrensen i 80-sonen. Gjennomsnittsfarten er 53,4 og 81,2. Dette er 6,8 % og 1,5 % over fartsgrensen. Av diagrammene ser vi: 50-sonen 25 bilførere kjører rett under fartsgrensen. Ingen kjører mer enn 5 km under fartsgrensen. 26 bilførere kjører etter fartsgrensen eller rett over. 23 bilførere kjører 5 km -10 km for fort. 6 bilførere kjører 10 km - 25 km for fort. Ingen kjører mer enn 25 km for fort. 80-sonen 50 bilførere kjører under fartsgrensen. 7 av disse kjører mere enn 5 km under fartsgrensen. 17 bilførere kjører etter fartsgrensen eller rett over. 13 bilførere kjører 5 km -10 km for fort. 5 bilførere kjører 15 km - 45 km for fort. Tallene viser at bilførerne i 80-sonen kjører mest lovlydig, men her er noen få som kjører alt for fort eller alt for seint. I 50-sonen er det ikke mange som utmerker seg med å ligge langt over eller langt under fartsgrensen, men det er færre som kjører under fartsgrensen og flere som kjører litt for fort. 14
Oppgave 5 (9 poeng) Rebecca er på ferie i Kina. Hun vil kjøpe sko til kjæresten, Isak, hjemme i Oslo. Kinesiske skostørrelser er annerledes enn det hun er vant med fra Norge. Nedenfor ser du hva Rebecca finner ut om kinesiske herresko. Den minste størrelsen er 20. Sko i størrelse 20 er 21,5 cm lange. Når størrelsen øker med 1, øker skolengden med 5 mm. Kineserne bruker halvstørrelser, slik at for eksempel 37,5 er en mulig skostørrelse. Rebecca vil sammenlikne norske og kinesiske skostørrelser. Hun setter opp tabellen nedenfor. Minste skostørrelse Økning i lengde per størrelse Halvstørrelser Kina 20 (lengde 21,5 cm) 5 mm Ja Norge 32 (lengde 21,75 cm) 6,6 mm Nei a) Hvor lang er en sko som har norsk skostørrelse 40? En sko som har norsk skostørrelse 40 er 27 cm lang. b) 1) Forklar at y ( x 20) 0,5 21,5 er en formel for å regne ut skolengden, y, når du kjenner den kinesiske skostørrelsen, x. y x 20 0,5 21,5 Minste skostørrelse er 20. Denne skoen er 21,5 cm. Når størrelsen øker med 1, øker skolengden med 5 mm. Vi må derfor trekke fra 20 og så multiplisere med 0,5. 15
2) Sett opp en tilsvarende formel for å regne ut skolengden når du kjenner den norske skostørrelsen. y x 32 0,66 21,75 Minste skostørrelse er 32. Denne skoen er 21,75 cm. Når størrelsen øker med 1, øker skolengden med 6,6 mm. Vi må derfor trekke fra 32 og så multiplisere med 0,66. c) Isak bruker norsk skostørrelse 43. Hvilken kinesisk skostørrelse tilsvarer dette? Vi finner først skolengden Så regner vi om til kinesisk skostørrelse Norsk skostørrelse 43 tilsvarer kinesisk skostørrelse 35. Det er en lineær sammenheng mellom norske og kinesiske skostørrelser. d) Tegn av tabellen til høyre i besvarelsen din. Fyll ut tabellen og finn den lineære sammenhengen. 32 er den minste norske størrelsen. Denne har lengde 21,75 cm. Vi regner om til kinesisk størrelse Norsk størrelse 32 tilsvarer kinesisk størrelse 20,5. Norsk størrelse 43 tilsvarer kinesisk størrelse 35. Se c). 16
Vi finner lengden av en kinesisk sko i størrelse 39 Vi regner så om til norsk størrelse Kinesisk størrelse 39 tilsvarer norsk størrelse 46. Norsk skostørrelse Kinesisk skostørrelse 32 20,5 43 35 46 39 For å finne den lineære sammenhengen, bruker vi lineær regresjon. Vi lager en liste med punkter i GeoGebra og velger RegLin[liste1]. 17
Vi får den lineære sammenhengen y 1,3x 21,8 18
Oppgave 6 (5 poeng) Når egypterne i oldtiden skulle multiplisere to tall (for eksempel 26 og 33), skrev de det første tallet 4 3 1 som en sum av toerpotenser ( 26 2 2 2 16 8 2 ). Så laget de en tabell med to kolonner, én med toerpotenser (1, 2, 4, ) og én med det andre tallet og fordoblinger av dette (33, 66, 132 ). De satte * ved de toerpotensene som til sammen blir lik det første tallet. Til slutt summerte de tallene i andre kolonne fra radene i tabellen merket med * 66 264 528 858. 26 33 blir altså 858. 1 33 *2 66 4 132 *8 264 *16 528 = 858 a) Skriv 29 som en sum av toerpotenser. 4 3 2 0 29 16 8 4 1 2 2 2 2 19
b) Utfør multiplikasjonen 29 25 slik egypterne i oldtiden ville gjort det. *1 25 2 50 *4 100 *8 200 *16 400 = 725 c) Forklar hvorfor egypternes metode kan brukes til å multiplisere to tall. 29 25 (1 4 8 16) 25 1 25 4 25 8 25 16 25 25 100 200 400 725 Vi skriver det første tallet som en sum av flere ledd og multipliserer ved å multiplisere hvert ledd med det andre tallet. (Siden vi bruker toerpotenser, blir resultatene av hver multiplikasjon (høyre kolonne i tabellen) fordoblinger av det andre tallet.) 20
Oppgave 7 (7 poeng) Per prøver å finne en sammenheng mellom diameteren og volumet til kuler. Han måler diameter og volum for noen kuler av ulik størrelse. Se tabellen nedenfor. Diameter (cm) 3,0 6,0 10,0 16,0 26,0 3 Volum ( cm ml ) 14 113 525 2 145 9 200 a) 1) Bruk regresjon til å vise at funksjonen f gitt ved f( x) 0,52 x er en god modell for sammenhengen mellom diameteren, x, og volumet, fx, ( ) til kuler. 3,0 Vi lager en liste med punkter i GeoGebra og velger potensregresjon, RegPot[liste1]. Vi ser at f( x) 0,52 x 3,0 21
2) Tegn grafen til funksjonen f. b) Finn diameteren til en kule med volum 1000 ml. Diameteren til en kule med volum 1000 ml er ca. 12,4 cm. 4 3 Per lærte allerede i grunnskolen at formelen for volumet av en kule er V r, 3 der r er radius i kulen. c) Stemmer resultatet fra a) med denne formelen? Forklar. 3,0 4 0,52 x 0,52 2r 0,52 8r 4,16 r 1,32r r 3 3,0 3 3 3 3 Resultatet fra a) stemmer tilnærmet med formelen. Bildeliste Gradestokk Foto: Utdanningsdirektoratet 22