Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 6, blokk I Løsningsskisse Oppgave 1 Vi antar X er normalfordelt, X N(3315, 55 2. Ved bruk av formelheftet finner vi a 1 2 3 P (X > 3000 1 P (X < 3000 3000 3315 1 P (Z < 55 1 P (Z < 0.55 1 0.2912 0.09. 3000 3315 P (3000 < X < 3500 P ( < Z < 55 P ( 0.55 < Z < 0.32 P (Z < 0.32 P (Z < 0.55 0.6255 0.2912 0.335. 3500 3315 55 P (X > 3500 X > 3000 P (X > 3500 X > 3000 P (X > 3000 P (X > 3500 P (X > 3000 P (Z > 0.32 P (Z > 0.55 1 P (Z < 0.32 1 P (Z < 0.55 1 0.6255 1 0.2912 0.528. ov6-lsf-b 24. september 2015 Side 1
b Vi kan se på de n fødslene som n repeterte Bernouilli-forsøk med utfallene undervektig (suksess og normalvektig (ikke-suksess med konstant sannsynlighet p 0.01 for suksess. Vi må anta at utfallet av hver fødsel er uavhengig av de andre fødslene. Da vil antall undervektige, Y, være binomisk fordelt med parametere n 100, p 0.01, Y b(y; 100, 0.01. P (Y > 0 1 P (Y 0 1 0.99 100 0.6340 P (Y > 1 Y > 0 P (Y > 1, Y > 0 P (Y > 0 1 P (Y 0 P (Y 1 1 P (Y 0 1 P (Y 1 1 P (Y 0 0.4168 Oppgave 2 X og Y er uavhengige Poisson-fordelte stokastiske variable, X p(x;5 og Y p(y;10. Ved bruk av formelheftet finner vi P (X 5 0.616 og P (X 3 X 5 P (X 3 X 5 P (X 5 P (X 3 P (X 5 0.430. La Z X + Y. X og Y er Poisson-fordelt og dermed vil variabelen Z være Poisson-fordelt med parameter λ 5 + 10 15, dvs. Z Poisson(15. P (X + Y > 10 P (Z > 10 1 P (Z 10 1 0.1185 0.882. Oppgave 3 Definer der X : antall tankskip som ankommer havnen i løpet av en dag X poisson (λ, med λ E (X 2. Havnen kan maksimalt betjene 3 tankskip per dag. ov6-lsf-b 24. september 2015 Side 2
a Da X er poissonfordelt har vi at Med innsatte verdier for x har vi P (X x λx x! e λ 2x x! e 2, x 0, 1, 2,.... x 0 1 2 3 4 5 P (X x 0.1353 0.20 0.20 0.1804 0.0902 0.0361 Vi ser dermed at det er størst sannsynlighet for at det ankommer ett eller to tankskip en bestemt dag. Tankskip må dirigeres til andre havner dersom det ankommer mer enn tre tankskip en dag. Vi har dermed P (Ett eller flere tankskip må omdirigeres P (X > 3 1 P (X 3 tabell 1 0.851 0.1429 b Definer Y : antall skip som betjenes en dag. Da Y 3 har vi at P (Y y P (X x, y 0, 1, 2 P (Y 3 P (X 3 1 P (X 2. Vi får dermed 3 E [Y ] y P (Y y y0 0 P (X 0 + 1 P (X 1 + 2 P (X 2 + 3 (1 P (X 2 0.20 + 2 0.20 + 3 (1 0.66 1.82. c Definer k : kapasitet. Vi ønsker å finne k slik at P (X k 0.90. Med innsatte verdier for k får vi Vi har dermed at k 0 1 2 3 4 5 P (X k 0.1353 0.4060 0.66 0.851 0.944 0.9834 P (X 4 0.944 > 0.90, og vi må dermed bygge ut havnen til kapasitet på fire skip for med minst 90% sannsynlighet å kunne betjene samtlige skip som ankommer en gitt dag. ov6-lsf-b 24. september 2015 Side 3
Oppgave 4 TMA4240 Statistikk En lottorekke kan oppfattes som et ikke-ordnet utvalg på elementer blant tallene 1 til 34, der utvelgingen skjer uten tilbakelegging. a Det finnes forskjellige lotto-rekker. ( 34 539616 Skal finne sannsynligheten for at lottorekka inneholder tallet 34. Denne kan beregnes som P ( lottorekka inneholder tallet 34 1 P ( lottorekka inneholder IKKE tallet 34 ( 34 der antallet mulige lottorekker er og antallet mulige lottorekker uten tallet 34 ( 33 er slik at ( 33 P ( lottorekka inneholder tallet 34 1 ( 34 1 2 34 34. Eventuelt kan vi se på antall gunstige som antall rekker som inneholder tallet 34 som vi kan telle ved å telle antall mulige rekker av seks tall mellom 1 og 33, slik at ( 33 P ( lottorekka inneholder tallet 34 6 ( 34 34. Sannsynligheten for at en lottorekke vil oppnå rette er gitt ved antall gunstige (1 riktig rekke over antall mulige, som gir P ( rette 1 ( 34 Eventuelt kan vi løse oppgaven ved å definere 1.859 10. X : antall rette i lottorekken, der X følger hypergeometrisk fordeling h(x; N, n, k ( k x ( N k n x ( N n ov6-lsf-b 24. september 2015 Side 4
med N 34, n og k. Sannsynligheten for at en lottorekke vil oppnå rette er gitt ved ( ( 2 p P ( rette h(; 34,, 0 ( 34 1 ( 34 b Det leveres hver uke inn n 19 000 000 rekker i lotto. Definer 1.859 10. X : antall av de n innleverte rekkene som oppnår rette i ukens trekning X er binomisk fordelt, men kan med god tilnærmelse regnes å være poissonfordelt da poissonfordelingen er grensefordelingen til binomisk fordeling når n og p 0. Ifølge teorem 5.6 har vi at n p µ for n slik at parameteren i poissonfordelingen er gitt ved µ n p 19 000 000 1.859 10 3.53. Vi ser i figurene at fordelingene er tilnærmet like. c Sannsynlighetstettheten til X er nå gitt ved og vi har f X (x µx x! e µ P ( ingen av de innleverte rekkene har rette P (X 0 3.530 e 3.53 e 3.53 0.029. 0! Legg merke til at vi oppnår samme svar uten poissontilnærmingen, dvs dersom X er binomisk fordelt med parametre n 19 000 000 og p 1.859 10 gitt ved Vi har da f X (x ( n x p x (1 p n x. P ( ingen av de innleverte rekkene har rette ( n P (X 0 p 0 (1 p n 0 (1 p n (1 1.859 10 19 000 000 0.029. 0 Definer Y : antall Gull-lotto omganger pr. år ov6-lsf-b 24. september 2015 Side 5
der vi antar at det er 52 uker pr. år. Y følger her en binomisk fordeling med n 52 og p 0.029. Vi har dermed at og E(Y n p 52 0.029 1.5 P (Y 0 f Y (0 ( 52 0 p 0 (1 p 52 0 (1 0.029 52 0.22. d Vi skal nå øke antall valgbare tall fra 34 til m, der m > 34 slik at det med sannsynlighet minst 0.1 ikke finnes rekker med riktige i en uke der det innleveres n 19 000 000 rekker. Vi må i denne oppgaven bruke de tidligere definerte ligningene. Vi har at P ( ingen av de innleverte rekkene har rette P (X 0 (1 p 19 000 000 0.1 Vi har videre at p er sannsynligheten for at en lottorekke vil oppnå rette, og denne er gitt ved (se forslag for utregning fra oppgave a p P ( rette h(; m,, ( ( m k 0 ( m 1 ( m slik at 1 1 ( m Prøver med innsatte verdier av m: 19 000 000 0.1 m 35 36 1 1 m 19 000 000 0.059 0.103 Vi ser av tabellen at ulikheten er oppfylt for m 36, og har dermed at m 36 dersom det med sannsynlighet minst 0.1 ikke skal finnes rekker med riktige i en uke der det innleveres n 19 000 000 rekker. ov6-lsf-b 24. september 2015 Side 6
Oppgave 5 a Vi har at en gjennomlesing av teksten tilsvarer n repeterte forsøk, ett forsøk for hver skrivefeil i teksten. Hvert forsøk resulteterer i suksess (feilen oppdages eller ikke-suksess (feilen oppdages ikke. Sannsynligheten for suksess er p, og denne er konstant for alle forsøkene. Vi må i tillegg anta at hvert ord leses uavhengig av alle andre ord i teksten, slik at forsøkene er uavhengige. Vi har λ 2 og s 8 og ønsker å finne sannsynligheten for at antall trykkfeil, N, er større enn 10. Vi har µ λs 2 8 16 P (N > 10 1 P (N 10 10 1 P (N i i1 1 0.04 0.923. Vi har nå gitt N 12 og p 0.6 og ønsker å finne sannsynligheten for at korrekturleseren oppdager alle trykkfeilene. P (X 12 N 12 ( 12 0.6 12 0.4 0 12 0.6 12 0.0022. b Y k antall trykkfeil som gjenstår etter k uavhengige gjennomlesninger. Vi finner først simultanfordelingen til Y 1 og N. Vi har ( n P (X x N n p x (1 p n x, x 0, 1,..., n x Simultanfordelingen til Y 1 og N er da gitt ved P (Y 1 u, N n P (Y 1 u N n P (N n for u 0, 1,... og n u, u + 1,.... Vi finner deretter marginalfordelingen til Y 1. P (N X u N n P (N n P (X n u N n P (N n ( n p n u (1 p u P (N n n u ov6-lsf-b 24. september 2015 Side
P (Y 1 u P (Y 1 u, N n nu ( n p n u (1 p u e λs (λsn n u n! ( n + u p n (1 p u e λs (λsn+u n (n + u! 1 n!u! pn (1 p u e λs (λs n+u nu n0 n0 (λsu e λs (1 p u (λps n u! n! n0 (λsu e λs (1 p u e λps u! (λs(1 pu e λs(1 p. u! Vi ser at marginalfordelingen til Y 1 er Y 1 Poisson(λs(1 p. Siden fordelingen for Y 1 er den samme som for N bortsett fra at parameteren er endret, vil mønsteret gjenta seg slik at også Y 2 blir poissonfordelt, og parameteren i fordelinga til Y 2 blir λs(1 p(1 p λs(1 p 2. Tilsvarende blir Y 3 Poisson(λs(1 p 3 og generelt Y k Poisson(λs(1 p k. ov6-lsf-b 24. september 2015 Side 8