Avdeling for ingeniørutdanning EKSAMENSOPPGAVE Fag: FYSIKK/TERMODYNAMIKK Gruppe(r): 1 KA Eksamensoppgaven består av Tillatte hjelpemidler: Oppgave 1 Antall sider inkl forside: 4 Fagnr: FO 443A Dato: 80501 Antall oppgaver: 3 Faglig veileder: Per Ola Rønning Eksamenstid, fra - til: 0900 100 Antall vedlegg: 0 Kalkulator som ikke kan kommunisere med andre NKI formelsamling Formelsamling i fysikalsk kjemi Kandidaten må selv kontrollere at oppgavesettet er fullstendig Innføring skal være med blå eller sort penn Figuren viser et lodd med masse m som henger i en masseløs snor Snora går rundt en trinse formet som en massiv sylinder, og er festet til en masseløs fjær i den andre enden Trinsa har masse m 1 og radius R Fjærkonstanten er k og tyngdens akselerasjon er g Vi antar at trinsa kan rotere uten friksjon, og at snora beveger seg sammen med trinsa uten å skli på den Snordraget som virker på trinsa på den siden som er S 1 m 1 R S festet til fjæra kalles S 1, og snordraget som virker på trinsa på den siden som er + S + festet til loddet, kalles S Snordraget på loddet er S (Størrelsene m 1, m, k, R og m g er gitt, men ikke S 1 og S Både S 1 og S er negative når positive retninger er som vist på figuren) m g 1
a) Hva er betingelsen for at loddet er i likevekt? Finn fjæras forlengelse x L når loddet henger i likevektsposisjonen Den øverste flaten på loddet, der loddet er festet til snora, vil bli kalt loddet Dette punktet angir loddets posisjon langs den loddrette x -aksen med positiv retning nedover Origo på x - aksen er i loddets likevektsposisjon Loddet trekkes en avstand x 0 nedenfor likevektsposisjonen og slippes slik at det oppstår en harmonisk svingebevegelse Svingningene antas å være så små at snora hele tiden er stram b) Sett opp Newtons lov for loddet c) Sett opp spinnlikningen for trinsa d) Hvilken sammenheng er det mellom trinsas vinkelakselerasjon og loddets akselerasjon? Bevegelseslikningen for svingesystemet er e) Finn perioden til svingebevegelsen k!! x + x 0 m + m = 1 Loddets utslag som funksjon av tiden kan skrives x = Acos( ωt+ ϕ) f) Bestem konstantene A og ϕ ut fra begynnelsesbetingelsene g) Ved hvilket tidspunkt passerer loddet likevektsposisjonen for første gang? h) Hva er rotasjonsenergien til trinsa når loddet passerer likevektsposisjonen?
Løsningsforslag Oppgave 1 a) Ved likevekt er akselerasjonen lik null Vi kan da bruke Newtons 1 lov på loddet: S + mg = 0 Spinnlikningen anvendt på trinsa tar formen ( S 1 S ) R = Iθ!! I likevektsposisjonen er!! θ = 0 som gir S = S I likevektsposisjonen er fjæra forlenget 1 mg med x L gitt ved S1 = kxl Dermed fås kxl = mg, dvs xl = k b) Newtons lov for loddet: S + mg = m!! x 1 c) Spinnlikningen for trinsa: ( S S ) R = m R!! m1 θ eller S S = Rθ!! d) Loddets akselerasjon er: x = Rθ!! e) Svingelikningen kan skrives 1 1 1 1!! der!! θ er trinsas vinkelakselerasjon k!! x + x 0 m + m =, gir vinkelfrekvensen!! x+ ω x = 0 Sammenlikning med bevegelseslikningen, ω = k Perioden er m + m 1 π m1+ m T = = π ω k f) Utslaget: x = Acos( ωt+ ϕ) ; hastigheten: x! = ωasin( ωt+ ϕ ) Begynnelsebetingelsene: x(0) = x0, x! (0) = 0 Gir: ϕ = 0, A= x0 Dvs: x = x cosωt 0 g) Første passering av likevektsposisjonen skjer ved et tidspunkt t 1 gitt ved: xt ( 1) = 0, π T π m1+ m dvs: ωt1 = π / og t1 = = = ω 4 k h) Hastigheten ved et vilkårlig tidspunkt t : x! = ωx sinωt 0 Hastigheten ved første passering av likeveksposisjonen: xt!( 1) = ωx0sin( π / ) = ωx0 Vinkelhastigheten er : θ! = x! / R = ωx0 / R Rotasjonsenergien til trinsa er da: 1 1 1 m1 Erot = Iθ! = m1x0ω = kx0 4 m + m 1 3
Oppgave En kloss står på et skråplan Ofte tegnes normalkraften som virker fra underlaget på klossen, som en kraftpil vinkelrett på underlaget Denne pilen representerer en kraft som virker på hele kontaktflaten mellom klossen og underlaget Vi skal her se at kraftpilen ikke bør tegnes gjennom kraftens massesenter La oss representere normalkraften ved en pil i avstand s fra massesenteret som vist på figuren Klossen har form som en terning der alle sidekantene har lengde l Den befinner seg på et skråplan med helningsvinkel θ a) Finn normalkraften fra underlaget på klossen b) Sett opp spinnlikningen med akse A langs klossens nederste sidekant og finn s c) Skråplanets helningsvinkel økes Friksjonen er så stor at klossen ikke begynner å skli Ved hvilken vinkel θ 0 er skråplanet så bratt at klossen begynner å velte? d) Hvor stor må friksjonsfaktoren µ være for at klossen ikke skal skli? 4
Løsningsforslag Oppgave a) Ved å bruke Newtons 1 lov på klossen i normalretningen finnes N = mgcosθ b) Spinnlikningen med akse gjennom klossens nedre sidekant: l N s + ( mg sin θ) l ( mg cos θ) l = 0 Ved å sette inn for N fra punkt a) finnes at første og siste ledd går mot hverandre, og l l vi får: mgs cosθ + mg sinθ = 0 eller s = tanθ c) Den største verdien s kan ha er l π 0 s maks = Da er tanθ 0 = 1 Dvs θ 0 = = 45 4 d) Friksjonskraften er F = µ N = µ mgcosθ Tyngdens komponent langs skråplanet er R mg sinθ Ved å bruke Newtons 1 lov på klossen langs skråplanet fås: µ mg cosθ mg sinθ = 0 Dvs µ = tanθ 5
Oppgave 3 a) mol ideell gass ekspanderer isotermt ved 5,0 C Starttrykket i systemet er 5,0 bar, sluttrykket er,0 bar Beregn arbeidet (w) som utføres på systemet og den varmen (q) som tilføres systemet hvis ekspansjonen skjer ersibelt b) 50 gram is med en temperatur på 0 C blandes med 00 gram varmt vann Sluttemperaturen i systemet blir 0 C Den molare smelteentalpien for is ( fus H m ) ved 0 C er lik 6,01 kj/mol, mens den molare varmekapasiteten (C p,m ) til flytende vann er 75,3 J K -1 mol -1 Hvilken temperatur hadde det varme vannet i utgangspunktet? c) 1 mol nitrogengass gjennomgår en prosess der temperaturen i gassen senkes fra 7,0 C til 173,0 C samtidig som trykket i gassen økes fra 1,0 bar til 5,0 bar Varmekapasiteten til nitrogengassen (C p,m ) er lik 9,1 J K -1 mol -1 og kan betraktes som uavhengig av temperaturen Del prosessen opp i reversible trinn og beregn entropiendringen for systemet 6
Fasit - oppgave 3: 3a) Isoterm ersibel ekspansjon: Hele ekspansjon skjer mot sluttrykket P V P -1-1 bar w = - PdV= - P (V -V 1) = - nrt 1 - = - mol 8,314 JK mol 98 K 1 - = -973 J V P 1 1 5 bar nrt nrt siden V 1= og V = P1 P Isoterm prosess: U = q + w = 0 q = - w = 973 J 3b) Energibalanse: Vi setter opp energibalansen for systemet: q is + q kv + q vv = 0 q is : varme tilført for å smelte is q kv : oppvarming av smeltevann fra 0 C til 0 C q vv : varme avgitt fra varmt vann til smelting av is og oppvarming av kaldt vann Innsatt for de ulike ledd i energibalansen: Vi setter inn tallverdiene: nis fush+ nkvcp,m T+ nvvc p,m(tslutt T start ) = 0 50 g 50 g 18,0g/mol 18,0g/mol 00 g 18,0g/mol 3-1 -1 6,01 10 J/mol + 75,3 JK mol 0K -1-1 + 75,3 JK mol (93K - T start ) = 0 Løser med hensyn på T start : T = 318 K start 7
3C) Entropiendring Prosessen må inneholde to reversible trinn Flere kombinasjoner er mulige Alternativ 1: 1 Reversibel temperaturendring ved konstant trykk etterfulgt av reversibel trykkendring ved konstant temperatur T P S = C ln + Rln m p,m 1 T1 P 100 K 1 bar = 9,1 JK mol ln +8,314 JK mol ln = - 45,37 JK mol 300 K 5 bar -1-1 -1-1 -1-1 Alternativ : 1 Reversibel temperaturendring ved konstant volum etterfulgt av reversibel volumendring ved konstant temperatur T V T T P 1 S m = Cv,mln + Rln = Cv,mln + Rln T1 V1 T1 T1 P 100 K 100 K 1 bar = (9,1-8,314) JK mol ln +8,314 JK mol ln = - 45,37 JK mol 300 K 300 K 5 bar -1-1 -1-1 -1-1 8