Modellrisiko i porteføljeforvaltning Hans Gunnar Vøien 12. mai 2011 1/25
Innhold Problem og introduksjon Problem og introduksjon Lévyprosesser Sammenlikning GBM og eksponentiell NIG Oppsummering 2/25
Problem og innledning Porteføljeforvaltning Harry Markowitz (1952) Robert C. Merton (1969) Ulike modeller for en aksjes utvikling Geometrisk Brownsk bevegelse - standard Black & Scholes-marked Mer fleksible modeller med hopp - eksponentielle Lévyprosesser Hvordan påvirkes risikoen av valgt modell? 3/25
Definisjon av en Lévyprosess Definisjoner og egenskaper Normal invers Gaussisk prosess En tilpasset stokastisk prosess {L t } t 0 er en Lévyprosess hvis den tilfredstiller at: {L t } har uavhengige inkrementer {L t } har stasjonære inkrementer, dvs fordelingen til L s+t L s hvor s,t 0, avhenger ikke av s. {L t } er stokastisk kontinuerlig, dvs for enhver ǫ > 0 er P( L s+t L s > ǫ) 0 når t går mot s. L 0 = 0 n.s. {L t } har en modifikasjon der banene er høyre-kontinuerlige og har venstre-grenser n.s. (càdlàg). 4/25
Lévy-Itô dekomposisjonen Definisjoner og egenskaper Normal invers Gaussisk prosess En Lévyprosess L t kan dekomponeres slik: L t = bt + t t cw t + zñ(ds,dz)+ zn(ds, dz) 0 z <1 0 z 1 der W t er en standard Brownsk bevegelse, N(ds,dz) er et Poisson-tilfeldig mål med intensitet ds ν(dz) og Ñ(ds, dz) er det kompenserte Poisson-tilfeldige målet N(ds, dz) ds ν(dz). W t og N(t, ) er uavhengige. (b, c, ν) kalles Lévy-trippelen. 5/25
N og ν Problem og introduksjon Definisjoner og egenskaper Normal invers Gaussisk prosess Det Poisson-tilfeldige målet N defineres som N(t,A,ω) = 1 A ( L s ) 0<s t der L s er hoppstørrelsen på tid s og A er en Borel-mengde av R som ikke inneholder 0. Antall hopp av en slik størrelse er Poissonfordelt. ν kalles Lévy-målet. For enhver mengde A som beskrevet over er ν(a) det forventede antall hopp L A som skjer i et tidsintervall av lengde 1. 6/25
Definisjoner og egenskaper Normal invers Gaussisk prosess Figur: Slik kan en Lévyprosess utvikle seg. 7/25
Definisjoner og egenskaper Normal invers Gaussisk prosess Normal invers Gaussisk Lévyprosess (NIG) Inkrementene følger normal invers Gaussisk fordeling med 4 parametere: α, β, µ og δ. α er en bratthetsparameter som måler haletyngde, β er en asymmetriparameter, µ er en sentreringsparameter og δ er en skalaparameter. Sannsynlighetsfordelingen til log-avkastning over en kort tidsperiode tilpasses bedre med normal invers Gaussisk fordeling enn med normalfordelingen. 8/25
Forutsetninger Løsning Markedet har to investeringsmuligheter: Risikofri obligasjon med konstant renteintensitet r: B t = B 0 e rt t 0 Aksje som følger en eksponentiell Lévyprosess: S t = S 0 e Lt t 0 Der er ingen friksjoner/transaksjonskostnader. 9/25
Forutsetninger Løsning Investorens startformue er x 0, hans konsumrate er c = (c t ) og hans andel av formuen i aksjer er π = (π t ). De tilatte valg av (c,π) for investoren danner en mengde A x. Kravet er blant annet at π [0,1], dvs at ingen lånefinansiering eller shorting av aksjer er tillatt. 10/25
Problemet Problem og introduksjon Forutsetninger Løsning Investorens problem er for en startformue x 0 å maksimere forventet nytte av konsum over en uendelig tidshorisont. Nytten bestemmes av en HARA-nyttefunksjon av type konstant relativ risikoavers (CRRA). Problemet er: Finn tillatte c og π slik at V(x) = sup (c,π) A x E [ 0 ] e ηtcγ t γ dt [ = E e ηt(c t) γ ] 0 γ dt der η er en diskonteringsfaktor og γ bestemmer investorens risikovillighet. 11/25
Forutsetninger Løsning Optimal løsning for geometrisk Brownsk bevegelse Hvis aksjen følger en geometrisk Brownsk bevegelse med parametre µ og σ så er den optimale allokeringen gitt ved: π GBM = µ+ 1 2 σ2 r σ 2 (1 γ) Også optimalt konsum c er da gitt eksplisitt: c (x) = η k(γ) 1 γ x der k(γ) = γ [ r + (µ+ 1 2 σ2 r) 2 2σ 2 (1 γ) ]. 12/25
Value-at-Risk Problem og introduksjon Risikomål Problem og fremgangsmåte Eksempler Mer om optimal aksjeallokering Definisjon Hvis X t er en stokastisk variabel som representerer verdien av en portefølje på tid t så er porteføljens Value-at-Risk på nivå q lik: VaR q (X t ) = inf{x R : P(X 0 X t > x) q} der X 0 er porteføljens startverdi. Sannsynligheten for et større tap enn VaR q er lik q. 13/25
Conditional Value-at-Risk Risikomål Problem og fremgangsmåte Eksempler Mer om optimal aksjeallokering Definisjon Hvis X t er en stokastisk variabel som representerer verdien av en portefølje på tid t så er porteføljens conditional Value-at-Risk på nivå q lik: cvar q (X t ) = E[X 0 X t X t x q ] der x q er q-kvantilen i fordelingen til X t. cvar er forventingen til tapene som er større enn VaR. Det er derfor mer sensitivt til ekstreme verdier i halen av tapsfordelingen. 14/25
Problemstillinger Problem og introduksjon Risikomål Problem og fremgangsmåte Eksempler Mer om optimal aksjeallokering 1 Hva er forskjellen i VaR og cvar når vi sammenlikner porteføljer med samme (c,π ), men med forskjellige underliggende modeller for aksjen? 2 Hva er forskjellen i VaR og cvar når vi sammenlikner porteføljer med forskjellige optimale kontroller (cgbm,π GBM ) og (cnig,π NIG ), men med én fast underliggende modell? 15/25
Fremgangsmåte Problem og introduksjon Risikomål Problem og fremgangsmåte Eksempler Mer om optimal aksjeallokering Tilpasser parameterne i modellen med geometrisk Brownsk bevegelse slik at logavkastningen der har Lik forventning: µ GBM = µ+ βδ α 2 β 2 Lik varians: σ 2 = δα 2 (α 2 β 2 ) 3/2 16/25
Aksjer Problem og introduksjon Risikomål Problem og fremgangsmåte Eksempler Mer om optimal aksjeallokering α β µ δ Aksje 1 56.16 2.641-0.0006 0.0150 Aksje 2 32.50 3.560-0.0015 0.0125 Aksje 3 49.07-10.10 0.0060 0.0250 Aksje 4 25.85-6.262 0.0030 0.0100 Tabell: Parametre til NIG Lévy prosesser som driver aksjeprisen. 17/25
Risikomål Problem og fremgangsmåte Eksempler Mer om optimal aksjeallokering Forventning Std. avv. (årlig) Skjevhet Kurtose Aksje 1 0.00011 0.0164 (25.9%) 0.15 3.60 Aksje 2-0.00012 0.0198 (31.3%) 0.52 7.79 Aksje 3 0.00074 0.0233 (36.9%) -0.56 2.92 Aksje 4 0.00050 0.0206 (32.5%) -1.45 14.77 Tabell: Forventning, standardavvik, skjevhet og kurtose. 18/25
Risikomål Problem og fremgangsmåte Eksempler Mer om optimal aksjeallokering NIG shape triangle xi 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 4 3 1 2 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 chi Figur: NIG formtrekant med aksjene 1-4. 19/25
Aksje 1 (Norsk Hydro) Risikomål Problem og fremgangsmåte Eksempler Mer om optimal aksjeallokering 1% VaR and cvar 1% VaR and cvar 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 NIG GBM 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 NIG GBM 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 gamma gamma Figur: Samme vekter, men forskjellige underliggende modeller. Venstre: VaR 0.01 og cvar 0.01 etter 5 dager. Høyre: VaR 0.01 og cvar 0.01 etter 60 dager. Eksponentiell NIG er den heltrukne linjen og GBM er den stiplede linjen. 20/ 25
Risikomål Problem og fremgangsmåte Eksempler Mer om optimal aksjeallokering 1% VaR and cvar 1% VaR and cvar 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 NIG GBM 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 NIG GBM 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 gamma gamma Figur: Resultater med ulike vekter, men samme underliggende modell. Venstre: VaR 0.01 og cvar 0.01 over 5 dager. Høyre: VaR 0.01 og cvar 0.01 over 60 dager. 21/25
Risikomål Problem og fremgangsmåte Eksempler Mer om optimal aksjeallokering VaR and cvar at t= 5 VaR and cvar at t= 60 NIG NIG VaR 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 GBM VaR 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 GBM 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 Quantiles Quantiles VaR and cvar at t= 5 VaR and cvar at t= 60 VaR 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 NIG GBM VaR 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 NIG GBM 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 Quantiles Quantiles Figur: VaR q og cvar q for q [0,0.20]. Øverst: Aksje 1, nederst: Aksje 4. 22/25
Risikomål Problem og fremgangsmåte Eksempler Mer om optimal aksjeallokering 1 day 5 days Density 0 5 10 15 20 25 30 NIG NOR Density 0 2 4 6 8 10 12 NIG NOR 0.05 0.00 0.05 0.15 0.10 0.05 0.00 0.05 0.10 0.15 Log return Log return 20 days 60 days Density 0 1 2 3 4 5 NIG NOR Density 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 NIG NOR 0.2 0.1 0.0 0.1 0.2 0.4 0.2 0.0 0.2 0.4 Log return Log return Figur: Fordelingen til Norsk Hydros logavkastning under eksponentiell NIG og GBM. 23/25
Forsøk med GM Problem og introduksjon Risikomål Problem og fremgangsmåte Eksempler Mer om optimal aksjeallokering Tilpasset en NIG modell til 11 327 daglige logavkastninger av General Motors på NYSE 1962-2006 ved maximum likelihood estimering. Simulerte 100 datasett á 1000 logavkastninger Tilpasset en GBM og en NIG til hvert av datasettene Estimerte parametere varierte stort Både GBM og eksponetiell NIG kunne ha størst forventet avkastning ˆµ 24/25
Problem og introduksjon Små forskjeller i VaR og cvar når tidshorisonten øker Positiv/negativ skjevhet påvirker på kort sikt Valg av aksjeallokering gir størst bidrag til risiko Kan gi betydelige forskjeller når renten r er nær ˆµ Forsøk viser at parameterusikkerheten er stor 25/25