EKSAMEN Emnekode: ITF0705 Dato:. desember 00 Emne: Matematikk for IT Eksamenstid: kl 09.00 til kl 3.00 Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider. Faglærer: Christian F Heide Eksamensoppgaven: Oppgavesettet består av 6 sider inklusiv denne forsiden og et vedlegg på én side. Kontroller at oppgaven er komplett før du begynner å besvare spørsmålene. Oppgavesettet består av 9 oppgaver med i alt deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye. Der det er mulig skal du: vise utregninger og hvordan du kommer fram til svarene begrunne dine svar, selv om dette ikke er eksplisitt sagt i hvert spørsmål Sensurdato: Mandag 7. desember Karakterene er tilgjengelige for studenter på studentweb senest virkedager etter oppgitt sensurfrist. Følg instruksjoner gitt på: www.hiof.no/studentweb
Oppgave Gitt de to komplekse tallene z 4 3i og w i. a) Tegn z og z i det komplekse planet. b) Finn w z c) Konvertér tallet (000) til det heksadesimale tallsystemet. Oppgave Gitt følgende graf: a b f c e d a) Er grafen en eulergraf? Finn i så fall en eulersyklus. b) Nedenfor er grafene G ( V, E ) og G ( V, E) tegnet. Er G og G isomorfe? Dersom de er isomorfe, angi en isomorfi f : V V. Dersom de ikke er isomorfe, forklar hvorfor de ikke er det. a h b 3 4 g c f d 8 7 6 5 e G V, ) G V, ) ( E ( E Eksamen i Matematikk for IT, desember 00 Side av 6
Oppgave 3 Gitt en grammatikk med startsymbol s, hvor mengden av ikke-avslutningssymboler er N = {s, t, u} og mengden av avslutningssymboler er T = {0, }. Gitt følgende produksjonsregler: s tut t u u 0 a) Er dette en regulær grammatikk, en kontekstfri grammatikk eller ingen av delene? Begrunn svaret. Gitt følgende tilstandsmaskin uten utgang (også kalt aksepterende automat): 0 Start s 0 s 0 s 0 b) Finn tilstandstabellen for denne tilstandsmaskinen. c) Forklar hva som er karakteristisk for strenger som tilstandsmaskinen aksepterer. Finn et uttrykk for de strenger som automaten aksepterer. Oppgave 4 Benytt induksjonsbevis til å bevise at 3 n 6 n ( n ) (n ) Oppgave 5 a) Finn en differensligning for antall bitstrenger av lengde n som ikke inneholder tre nuller rett etter hverandre. b) Løs følgende differensligning med initialbetingelsene y 0 og y 9 : y n 3y n 4yn Eksamen i Matematikk for IT, desember 00 Side 3 av 6
Oppgave 6 a) Bruk sannhetstabeller til å vise følgende: ( p ( p q)) p q b) Gitt følgende sammensatte logiske utsagn: p p ( p q) Bruk lovene for logisk ekvivalens (gitt på vedlagte ark) til å forenkle uttrykket og finne ut hvilket av følgende utsagn det er logisk ekvivalent med: (i) (ii) (iii) p p q p q Oppgave 7 Gitt mengden A a, b, d R a, a),( a, b),( a, c),( og en relasjon på denne mengden gitt ved ( b, a),( b, b),( a),( c),( d),( d, c),( d, d) a) Angi potensmengden til A. b) Er relasjonen R en ekvivalensrelasjon, en delvis ordning (partialordning) eller ingen av delene? Begrunn svaret. c) Er relasjonen R en funksjon? Begrunn svaret. Oppgave 8 Gitt et univers, U, og mengdene A, B, C og D i dette universet. Anta nå at mengdene A og B er ikke-disjunkte, og at og C = A B D = B A. a) Hva menes det med at mengdene A og B er ikke-disjunkte? b) Hva er C D? Eksamen i Matematikk for IT, desember 00 Side 4 av 6
Oppgave 9 Gitt følgende ligningssystem: x x x x 5x 8x 3 3x 3x 3 3 a) Vi kan skrive dette ligningssystemet på formen Ax = b. Hva blir da A, x og b for ligningssystemet ovenfor? b) Finn A. c) Finn løsningen på ligningssystemet ved å bruke A. Eksamen i Matematikk for IT, desember 00 Side 5 av 6
CFH,.0.0 Regneregler logikk og mengder Lov Logikk Mengder. Assosiative lover ( p q) r p ( q r) (A B) C = A (B C) ( p q) r p ( q r) (A B) C = A (B C). Kommutative lover p q q p A B = B A p q q p A B = B A 3. Distributive lover p ( q r) ( p q) ( p r) A (B C) = (A B) (A C) p ( q r) ( p q) ( p r) A (B C) = (A B) (A C) 4. De Morgans lover ( p q) p q B B ( p q) p q B B 5. Idempotenslover p p p A A = A p p p A A = A 6. Absorpsjonslover p ( p q) p A (A B) = A p ( p q) p A (A B) = A 7. Dobbel negasjon / Involusjonslov (p) p A A 8. Inverslover p p S A A U p p F A A 9. Identitetslover p S p U A p F p A 0. Dominanslover p F F A = p S S A U = U. Implikasjon p q p q. Kontrapositive p q q p utsagn Inklusjons- og eksklusjonsprinsippet A B C = A + B + C A B A C B C + A B C Eksamen i Matematikk for IT, desember 00 Side 6 av 6