6 x P (X = x) = x=1 = P (X 2 = 6)P (X 2 = 6)P (X 3 = 6) =

Like dokumenter
TMA4245 Statistikk Høst 2016

TMA4240 Statistikk Høst 2008

Togforsinkelsen (Eksamen Des2003.1a) I denne oppgaven kan du bruke uten å vise det at

Tyngdepunkt. Togforsinkelsen (Eksamen Des2003.1a) I denne oppgaven kan du bruke uten å vise det at. Kapittel 4

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK Mandag 12. desember 2011

To-dimensjonale kontinuerlige fordelinger

ØVINGER 2017 Løsninger til oppgaver. Lineærkombinasjonen Z = 5X + 8Y har forventningsverdi

FORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110

TMA4240 Statistikk H2010

3.1 Stokastisk variabel (repetisjon)

TMA4240 Statistikk Høst 2015

Oppgave 1 Vi lar X være antall tankskip som ankommer havnen i løpet av en dag. Vi har fått oppgitt at X poisson(λ) med

Kapittel 4: Matematisk forventning

3.4: Simultanfordelinger (siste rest) 4.1,4.2,4.3: Multivariat del (ferdig med kapittel 3 og 4 etter denne forelesningen)

TMA4240 Statistikk H2015

TMA4240 Statistikk Høst 2016

A) B) 400 C) 120 D) 60 E) 10. Rett svar: C. Fasit: ( 5 6 = 60. Hvis A, B, C er en partisjon av utfallsrommet S, så er P (A B) lik.

Løsningsforslag, eksamen statistikk, juni 2015

Forelesning 13. mars, 2017

Bernoulli forsøksrekke og binomisk fordeling

TMA4245 Statistikk Vår 2015

Oppfriskning av blokk 1 i TMA4240

TMA4240 Statistikk Høst 2015

TMA4245 Statistikk Vår 2007

TMA4240 Statistikk 2014

Statistikk 1 kapittel 4

FORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110

TMA4240 Statistikk Høst 2009

TMA4240 Statistikk Høst 2015

Kapittel 2: Hendelser

Foreleses onsdag 8. september 2010

TMA4240 Statistikk Høst 2015

TMA4240 Statistikk Høst 2009

Høgskolen i Telemark. Institutt for økonomi og informatikk FORMELSAMLING Statistikk I. Til bruk ved eksamen. Per Chr. Hagen

Følgelig vil sannsynligheten for at begge hendelsene inntreffer være null,

TMA4245 Statistikk Høst 2016

TMA4240 Statistikk Høst 2007

statistikk, våren 2011

Formelsamling V-2014 MAT110. Statistikk 1. Per Kristian Rekdal

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010

Oppgave 1 a) La X være massen til et tilfeldig valgt egg, målt i gram. Sannsynligheten for at et tilfeldig valgt egg veier mer enn 60 g er

UNIVERSITETET I OSLO

TMA4240 Statistikk Høst 2015

1.1.1 Rekke med konstante ledd. En rekke med konstante ledd er gitt som. a n (1) n=m

Forventning og varians.

Statistikk 1 kapittel 4

STK1100 våren Kontinuerlige stokastiske variabler Forventning og varians Momentgenererende funksjoner

Kapittel 3: Stokastiske variable og sannsynlighetsfordelinger

TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016

Eksamensoppgave i Løsningsskisse TMA4240 Statistikk

Forventning og varians.

TMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015

Forelesning 7. mars, 2017

Litt om forventet nytte og risikoaversjon. Eksempler på økonomisk anvendelse av forventning og varians.

Regneøvelse 22/5, 2017

EKSAMEN I TMA4240 Statistikk

Løsningsforslag ECON 2130 Obligatorisk semesteroppgave 2017 vår

Løsningsforslag til seminar 4 Undervisningsfri uke

Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable

TMA4245 Statistikk Høst 2016

x λe λt dt = 1 e λx for x > 0 uavh = P (X 1 v)p (X 2 v) = F X (v) 2 = (1 e λv ) 2 = 1 2e λv + e 2λv = 2 1 λ 1 2λ = 3

TMA4240 Statistikk Høst 2009

Kapittel 3: Stokastiske variable og sannsynlighetsfordelinger

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008

UNIVERSITETET I OSLO Matematisk Institutt

Eksempel: kast med to terninger

HØGSKOLEN I STAVANGER

MAT4010 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2. Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem

Betinget sannsynlighet

Forelesing 27 Oppsummering. Torstein Fjeldstad Institutt for matematiske fag, NTNU

Prøvemidtveiseksamen TMA4240 Statistikk H2004

Oppgave 1 a) Antall måter å velge ut k elementer fra en populasjon på n er gitt av binomialkoeffisienten

dg = ( g P0 u)ds = ( ) = 0

TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016

Eksamensoppgåve i Løsningsskisse TMA4245 Statistikk

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren

Forelesning 5: Kontinuerlige fordelinger, normalfordelingen. Jo Thori Lind

EKSAMEN I FAG 75510/75515 STATISTIKK 1 Tirsdag 20. mai 1997 Tid: 09:00 14:00

Matematisk statistikk og stokastiske prosesser B, høsten 2006 Løsninger til oppgavesett 5, s. 1. Oppgave 1

Terningkast. Utfallsrommet S for et terningskast med en vanlig spillterning med 6 sider er veldefinert 1, 2, 3, 4, 5, 6

ST1101/ST6101 Sannsynlighetsregning og statistikk Vår 2019

Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk

Emnenavn: Grunnleggende matematikk og statistikk

TMA4240 Statistikk H2010

Utfordring. TMA4240 Statistikk H2010. Mette Langaas. Foreleses uke 40, 2010

Løsningsforslag: Eksamen i Brukerkurs for informatikere MA 0003, onsdag 30. november 2005

x n+1 = x n f(x n) f (x n ) = x n x2 n 3

Regneregler for forventning og varians

Løsningsforslag til andre sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2010

TMA4240 Statistikk 2014

a) Vi har det lineære likningssettet

Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger.

En kort innføring i sannsynlighetsregning

Denne veka. Kap 7: Funksjonar av stokastiske variable Transformasjon av variable Moment Momentgenererande funksjon

for x 0 F X (x) = 0 ellers Figur 1: Parallellsystem med to komponenter Figur 2: Seriesystem med n komponenter

Stokastisk variabel. Eksempel augefarge

Oppgavesett nr. 5. MAT110 Statistikk 1, Et transportfirma har et varemottak for lastebiler med spesialgods, se figur 1.

TMA4240 Statistikk H2010

FORMELSAMLING STATISTIKK, HiG

Løsningsskisser til oppgaver i Kapittel Integrerende faktor

Transkript:

Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalte oppgaver 4, blokk I Løsningsskisse Oppgave 1 a) Utfallsrommet til X 1 er {1, 2,, 4, 5, }. Sannsynlighetsfordelingen til X 1 er den den diskrete uniforme fordelingen på dette utfallsrommet, dvs. X har punktsannsynlighet Forventingsverdien til X 1 er P (X 1 x) 1, for x {1, 2,, 4, 5, }. E(X 1 ) x P (X x) x1 x1 x 21 7 2. b) Sannsynligheten for at Y 2 1 er lik sannsynligheten for å få seksere på første og andre kast, P (Y 2 1) P (X 1 X 2 ) P (X 1 )P (X 2 ) 1 2. Tilsvarende har vi, for Y, P (Y 1) P (X 2 X ) P (X 2 )P (X ) 1 2. Den simultane sannsynligheten for at både Y 2 1 og Y 1 er P (Y 2 1 Y 1) P (X 1 X 2 X ) P (X 2 )P (X 2 )P (X ) 1. Dette er ikke det samme som produktet av sannsynlighetene P (Y 2 1) og P (Y 1). Vi har altså P (Y 2 1 Y 1) 1 1 4 P (Y 2 1)P (Y 1), som betyr at de tilfeldige variablene Y 2 og Y ikke er uavhengige av hverandre. Sannsynligheten for at Y 4 1 er lik sannsynligheten for å få seksere i tredje og fjerde kast, P (Y 4 1) P (X X 4 ) 1 2, anb4-lsf-b 27. januar 201 Side 1

og den simultane sannsynligheten for at både Y 2 og Y 4 er lik 1, er P (Y 2 1 Y 4 1) P (X 1 X 2 X X 4 ) P (X 1 )P (X 2 )P (X )P (X 4 ) 1 4. I dette tilfellet er det likhet mellom den simultane sannsynligheten og produktet av de to marginale sannsynlighetene, P (Y 2 1) og P (Y 4 1). Det vil si P (Y 2 1 Y 4 1) 1 4 1 2 1 2 P (Y 2 1)P (Y 4 1), hvilket betyr at Y 2 og Y 4 er uavhengige av hverandre. Korrelasjonskoeffisienten mellom Y 2 og Y er positiv, siden P (Y 1 Y 2 1) P (Y 2 1 Y 1) P (Y 2 1) 1/ 1/ 2 1 > 1 2 P (Y 1). Med andre ord er sannsynligheten for å få poeng på tredje kast gitt at man allerede har fått poeng på andre kast, større enn den marginale sannsynligheten for å få poeng på tredje kast. Korrelasjonskoeffisienten mellom Y 2 og Y 4 blir null, siden de to er uavhengige tilfeldige variable. c) Kovariansen mellom Y 2 og Y er Cov(Y 2, Y ) E(Y 2 Y ) E(Y 2 )E(Y ) 1 1 y 2 y P (Y 2 y 2 Y y ) P (Y 2 1)P (Y 1) y 2 0 y 0 P (Y 2 1 Y 1) P (Y 2 1)P (Y 1) 1 1 2 1 2 1 1 4 0.009. Forventningsverdien til Z Y 2 + Y +... + Y 10 er 10 10 10 E(Z) E Y j E(Y j ) P (Y j 1) 9 1 2 1 4, og variansen er (siden Cov(Y k, Y k+h ) 0 for h > 1) Var(Z) Var 10 Y j hvor vi bruker at variansen til Y 2 er 10 Var(Y j ) + 2 9Var(Y 2 ) + 2 8Cov(Y 2, Y ) 9 1 2 (1 1 2 ) + 1 ( 1 1 4 ) 0.048, 9 Cov(Y j, Y j+1 ) Var(Y 2 ) E(Y 2 2 ) E(Y 2 ) 2 P (Y 2 1) P (Y 2 1) 2 1 2 (1 1 2 ). anb4-lsf-b 27. januar 201 Side 2

Oppgave 2 Antar at E(X i ) 0, i 1,..., n. Da er variansen til a 1 X 1 +a 2 X 2 +...+a n X n lik ( ) ( ( )) 2 Var a i X i E a i X i E a i X i ( E a i X i ) 2 a i E(X i ) ( ) 2 E a i X i ( E a i X i E j1 j1 j1 ) a i X i a i a j X i X j a i a j E(X i X j ) a i a j Cov(X i, X j ) a 2 i Var(X i ) + 2 a i a j Cov(X i, X j ). j<i Oppgave a) Siden P (A B) P (A) + P (B) P (A B) 0, så er hendelsene disjunkte. Siden P (A B) 0 0, 0, P (A)P (B), så er hendelsene ikke uavhengige. b) Hendelsene med sannsynligheter er tegnet inn i Venndiagrammet i Figur 1. Sannsynligheten for olje på felt 1, dvs. hendelsen A, kan beregnes fra lov om total sannsynlighet, P (A) P (A B) + P (A B C ) 0,05 + 0,15 0,20. Hendelsen olje på felt 1 gitt olje er funnet på felt 2 kan skrives A B og sannsynligheten beregnes fra Bayes lov, P (A B) P (A B) P (A B) P (B) P (B A) + P (B A C ) 0,05 0,05 + 0,1 1. anb4-lsf-b 27. januar 201 Side

A B C 0,15 A B 0,05 A C B 0,10 A C B C 0,70 Figur 1: Venndiagram med hendelsene A B, A B C, A C B og A C B C og tilhørende sannsynligheter påtegnet. Her er lov om total sannsynlighet brukt for å beregne P (B). Sannsynligheten for hendelsen ikke olje på felt 2 kan sees fra ligningen over P (B C ) 1 P (B) 1 0,15 0,85. Dette kan settes inn i Bayes lov for å få sannsynlighet for olje på felt 1 gitt ingen olje funnet på felt 2, P (A B C ) P (A BC ) P (B C ) 0,15 0,85 0,17. Fra de tidligere beregningene ser vi at P (A B) P (A B C ), dermed er A og B ikke uavhengige. c) La F A være den stokastiske variabelen Fortjeneste fra felt 1. Da er E[F A ] 400P (A) 100P (A C ) 400 0,20 100 0,80 0. La F A B være den stokastiske variabelen Fortjeneste fra felt 1 gitt funn på felt 2. Da er E[F A B] 400P (A B) 100P (A C B) 400 1 1002 200,7. Vi begynner med de følgende to observasjonene. Forventningsverdien for hver strategi er bestemt av fortjenesten ved hver av hendelsene A B, A B C, A C B og A C B C, og den beste strategien er å ikke lete noe sted, å begynne å lete på felt 1 eller å begynne å lete på felt 2. Det er dermed tre muligheter vi må vurdere. Første mulighet. Vi leter ingen steder, dette gir umiddelbart forventningsverdi 0. anb4-lsf-b 27. januar 201 Side 4

Andre mulighet. Vi begynner med å lete på felt 1. Dette gir oss informasjon om felt 1 og vi kan velge mellom følgende strategier for felt 2. Ikke lete uansett om det er olje på felt 1 eller ikke, lete uansett om det er olje på felt 1 eller ikke, lete hvis og bare hvis vi finner olje på felt 1 eller lete hvis og bare hvis vi ikke finner olje på felt 1. Kall de stokastiske variablene som beskriver fortjenesten ved hver av disse strategiene for henholdsvis F 1, F 2, F og F 4. Da har vi E[F 1 ] E[F A ] 0 E[F 2 ] 00P (A B C ) + 1400P (A B) + 900P (A C B) 200P (A C B C ) 5, E[F ] 00P (A B C ) + 1400P (A B) 100P (A C B) 100P (A C B C ) 5, E[F 4 ] 400P (A B C ) + 400P (A B) + 900P (A C B) 200P (A C B C ) 0. Tredje mulighet. Vi begynner med å lete på felt 2. Dette gir oss informasjon om felt 2 og vi kan velge mellom følgende strategier for felt 1. Ikke lete uansett om det er olje på felt 2 eller ikke, lete uansett om det er olje på felt 2 eller ikke, lete hvis og bare hvis vi finner olje på felt 2 eller lete hvis og bare hvis vi ikke finner olje på felt 2. Kall de stokastiske variablene som beskriver fortjenesten ved hver av disse strategiene for henholdsvis F 5, F, F 7 og F 8. Da har vi E[F 5 ] 1000P (B) 100P (B C ) 5 E[F ] 00P (A B C ) + 1400P (A B) + 900P (A C B) 200P (A C B C ) 5, E[F 7 ] 100P (A B C ) + 1400P (A B) + 900P (A C B) 100P (A C B C ) 75, E[F 8 ] 00P (A B C ) + 1000P (A B) + 1000P (A C B) 200P (A C B C ) 55. Utregningene for hver av mulighetene viser at beste strategi er å lete først i felt 2 og så lete videre i felt 1 hvis og bare hvis man finner olje på felt 2. Dette gir en forventet fortjeneste på 75 millioner. Oppgave 4 La X være mengden mørtel mureren bruker i løpet av en tilfeldig valgt arbeidsdag. Da er X en tilfeldig variabel med sannsynlighetstetthet { 1/ 4 < x 7 f(x) 0 ellers a) Sannsynligheten for at det en tilfeldig dag går med mer enn hl mørtel er P (X > ) f(x)dx 1 dx 1. La m være mengden mørtel som kjøpes inn. Vi vil finne verdien m 0.05 som er slik at sannsynligheten for at forbruket X overstiger den innkjøpte mengden kontrolleres på fem prosent, altså har vi P (X > m 0.05 ) 0.05 m 0.05 f(x)dx 0.05 m 0.05 1 dx 0.05 m 0.05.85. anb4-lsf-b 27. januar 201 Side 5

b) Fra a) vet vi at P (X > ) 1. La nå Z være antall dager han får for lite mørtel om han kjøper inn hl. Sannsynligheten for at han får for lite mørtel minst én av dagene er { } 2 4 P (Z 1) 1 P (Z 0) 1 {P (X < )} 4 1 0.8. c) Mureren taper 20 kr per hl for mye mørtel og 50 kr per hl for lite mørtel. Vi definerer en funksjon g(x) for å representere tap ved x hl mørtel. Hvis mureren har for mye mørtel (4 < x ), vil det være igjen ( x) hl mørtel som gir 20 ( x) kr tap. Hvis mureren har for lite mørtel ( < x 7) vil tapet være på 50 (x ) kr. For alle andre verdier av x er tapet 0 kr. Vi skriver dermed tapsfunksjonen 20( x) 4 < x g(x) 50(x ) < x 7 0 ellers Siden X er en tilfeldig variabel, vil også tapet T g(x) være en tilfeldig variabel. Med forventet tap menes forventningsverdien til T. Denne er definert som E(T ) E(g(X)) Forventet tap ved kjøp av hl blir E(T ; kjøper hl) 20 4 20 21.7. 4 g(x)f(x)dx. ( x)f(x)dx + 50 ( x)dx + 50 (x )f(x)dx (x )dx La igjen m være mengden mørtel som kjøpes inn. Murerens faktiske tap T en tilfeldig dag er en funksjon av både mørtelforbruket X denne dagen, og av mengden innkjøpt mørtel m. Det forventede tapet E(T ) vil imidlertid kun være en funksjon av m, siden den tilfeldige variabelen X integreres ut når forventningsverdien beregnes. Vi vil først finne denne funksjonen, og deretter finne den verdien av m som minimerer den. Forventet tap når det kjøpes inn m hl mørtel er E(T ; kjøper m hl) 20 m 4 (m x)f(x)dx + 50 20 [mx 1 2 x2 ] m 4 + 50 [1 2 x2 mx] 7 m m (x m)f(x)dx 20 [m2 1 2 m2 4m + 8] + 50 [49 2 7m 1 2 m2 + m 2 ] 70 m2 40 m + 185. Kall denne funksjonen u(m). Figur 2 viser grafen til u(m) for verdier av m mellom 4 og 7. Siden u er et kvadratisk polynom med positiv koeffisient i det første leddet, har den anb4-lsf-b 27. januar 201 Side

Figur 2: Grafen til u(m), forventet tap når det kjøpes inn m hl mørtel, for 4 m 7. et globalt minimumspunkt som vi finner ved å derivere, og sette u (m) 0, u (m) 70 m 40 u (m ) 0 70 m 40 m 40 70.1429. Siden 4 m 7 kan mureren minimere sitt forventede tap ved å kjøpe inn m.14 hl mørtel. anb4-lsf-b 27. januar 201 Side 7