UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT Brukerkurs i matematikk Mandag 4. desember 9, kl. 9-4 BOKMÅL Tillatte hjelpemidler: Lærebok og kalkulator i samsvar med fakultetet sine regler Oppgave En funksjon f er definert ved: f ( ) e ;. a) Finn f ( ). Avgjør hvor funksjonen er stigende og hvor funksjonen er avtagende. f ( ) e e ( ) e f ( ) ( ) e f( ) 5 5 Fortegnsskjema: X f ( ) ( ) e + + + + + + ++ + + + + + + + + + + + + + f( ) Funksjonen s stiger Funksjonen snker Funksjonen stiger avtagende: voksende: b) Bestem funksjonens eventuelle lokale og globale maksimums- og minimumspunkt. = : Lokalt minimumspunkt = : Lokalt maksimumspunkt = : Global minimumspunkt = : Global maksimumspunkt Oppgave Bestem grenseverdiene: ln( ) ( ) a) lim lim b) lim lim e e Grenseverdi eksisterer ikke. Ark /6
c) Finn Talor-polnomet F ( ) av tredje grad til funksjonen f ( ) e om. f () f () F ( ) f () f ()( ) ( ) ( )!! f ( ) e f () f ( ) e f () f ( ) 4e f () 4 f ( ) 8e f () 8 4( ) 8( ) 4 F ( ) ( )!! d) Funksjonen: g t 5cost sint kan skrives på formen g t C cost t Bestem C og t.. acost bsint C cos ( t t) der C a b og tan( t) f t 5cost sin t C cos( t t ) b a C ( 5) () 5 5 tan( t) t (tan ( ) ),655 Oppgave Løs integralene: cos a) d ln( sin ) C sin b) 4 ( )sin( ) d ( ) cos( ) sin 4 c) En verdi er femdoblet i løpet av år. Anta at veksten var eksponensiell. Sett opp et uttrkk for som funksjon av tiden t i tidsperioden t. Når var verdien fordoblet etter denne modellen? ( t) 5 t eller () t e ln5 t ln5 t ln 5 ln e t ln t, år. ln 5 Ark /6
Oppgave 4 Ligningen til et plan P er gitt ved : z 6 a) Angi normalvektoren til planet P : 5z 7 og bestem dens lengde. For hvilken verdi av er planet P loddrett på planet P? Normalvektoren n [,, 5] n ( ) 5 8 n n [,,][,,5] b) Bestem slik at vinkelen mellom planet P og planet z er 6. cos6 n n 6 6 6( ) ( ) 6( ) 4 4( ) ( ) ( ) 4 4 n n [,,][,, ] c) Finn likningen for tangentplanet til flaten gitt ved i punktet (,, z ) = (,, f (,)). f (, ) f 4 f 6 Tangentplanet i punktet der (,, z ) er (,, f (,) 5). z f ( a, b) f ( a, b) ( a) f ( a, b) ( b) z 5 ( ) 6 ( ) z 6 4 Ark /6
Oppgave 5 En bedrift skal prøve ut markedet med å gi gratisprøver til personer i en b med. innbggere som antas å være konstant i løpet av prøveperioden. Det antas videre at vekstraten for antall individer som kommer til å kjøpe varen er proporsjonal med produktet av antall individer som har varen og antall individer som ikke har det. La t () være antall individer som har varen, t uker etter at gratisprøvene ble delt t. Ut ifra disse opplsningene kan man sette opp differensialligningen: d k (, ) dt ; k der vekstraten d er positiv (siden antallet til individer som har varen øker). dt a) Løs differensialligningen når man vet % av populasjoen har varen ved utgangspunktet (de som fikk gratisprøver). b) Det tar 7 uker har 5% av populasjonen varen. Hvor lang tid tar det før % av populasjonen har varen? d i) k(, ) k(, ) dt d B A a( A)( b) ( t) A dt Ce, a k, A, B D ( t), Ce a( BA) t kt,, ii) () ( C) C 99 ( t),kt Ce 99e t, 99e 9 9 ln( ) 99 7 99 k 7, ( ) 5 99e k,*7 7,k e k iii) ln( 9 ) n( 9, t 7 99 7 99 ) t 9 ( t), 99e e 9 ln( ) t 99 7 99 99e ln(/) t 7, uker ln(9 / 99) Ark 4/6
Oppgave 6 a) Vi ønsker å lage en kasse som har form som et rett prisme med et rektangel grunnflate slik at den rommer m. Sideflater og lokk har samme tpe materiale. Bunnen lages av et materiale som koster kr pr. m, mens sideflater og lokk lages av et materiale som koster kr pr. m. i) Vis at Kostnaden K for å lage en boks med side lengder,, og høde z med de opplsningene nevnt i oppgaven: ii) K ( ) Bestem sidelengdene og høden slik at den koster minst mulig. z K Pris (bunn) pr. m arealet til bunn + Pris (lokk) pr. m arealet til lokk + Pris (sideflater med sidelengder og z ) pr. Pris (sideflater med sidelengder og z ) pr. m arealet til sideflater + m arealet til sideflater + Dermed er: K z z 4z 4z Volumet er gitt ved V z z K 4 4 K ( ) For å bestemme minste mulig kostnad, setter vi K K K ( ) K ( ) 4 4 4 4 4 og dermed er 4 4 4 z d b) Løs differensialligningen: gitt (). dt cos t d tant dt ln tan t C Ce C e cos t der C () Ce C dermed: ( t) e tant Ark 5/6
Oppgave 7 En bonde skal lage en hønsegård bestående av en halvsirkel og et rektangel. Omkretsen av hele hønsegården skal være 8 m. En av sidene til rektangelet faller langs diameteren til halvsirkelen. Anta radien til sirkelen er og den siden av rektangelet som ikke faller lags diameteren til sirkelen er. Finn de verdiene av og som gir største areal. Hva er dette arealet lik da? Omkretsen: O 8 (8 ) Areal: A A (8 ) ( ) 8 8 A ( ) 8 4 8 8 8 4 8 (8 ) (8 ) ( ) 4 4 4 4 8 8 8 A ( ) ( ) ( ) ( 4) 4 4 4 4 Lkke til! Aina Berg Gunnar Fløstad Amir M. Hashemi Ark 6/6