Alle Teller. Tall og tallforståelse Alistair McIntosh. 3-Oct-08

Alle Teller Tall og tallforståelse Alistair McIntosh 3-Oct-08

Alle Teller Av professor Alistair McIntosh University of Tasmania Alistair McIntosh har arbeidet med tallforståelse og talloppfatning gjennom et langt liv som forsker og lærer. Han har arbeidet både i England, USA, Sverige og Norge. Denne boka er resultatet av hans arbeid. 3-Oct-08 2

Hva er boka Alle teller? Tall og tallforståelse 1. Lærerveiledning for innføring av nøkkelbegreper 2. Forklaring på hvordan og hvorfor misforståelser og misoppfatninger oppstår. Masse konkrete eksempler for alle begrepene 3. Forslag til hvordan undervisningen bør legges opp ved innføring av nye begreper 4. Kartleggingsmateriale for å avdekke misforståelser og misoppfatninger (inklusive vurderingsskjema, temaoversikt, målformuleringer etter nivå, veiledning til oppfølgende intervju) 5. Lærerveiledning for hvordan undervisningen kan legges opp for elever og elevgrupper som har utviklet misforståelser og misoppfatninger. 3-Oct-08 3

Elevsyn, læringssyn og fagsyn En overbevisning om at elever kan og vil lære! Dyp respekt for de som skal lære, og det de har å bidra med! Undervisningen må bygge på elevenes erfaringer fra skole og egne liv. Lærerens rolle er å tilrettelegge for at elevene skal bygge opp egne erfaringsreferanser. Det har liten verdi å kunne bruke regnereglene mekanisk hvis en ikke forstår hva som ligger bak! 3-Oct-08 4

Matematisk kompetanse 3-Oct-08 5

Hvorfor gå og huske på, de ting en heller kan forstå! 3-Oct-08 6

Bruk av håndboka For å kunne bruke håndboka er det en forutsetning at læreren: setter seg godt inn i, og studerer håndboka. er bevisst på hvordan nye begreper innføres og hvilke misoppfatninger som kan forekomme. bruker håndboka når de planlegger undervisningen, ikke bare kartleggingstestene i etterkant for å avdekke eventuelle misforståelser og misoppfatninger. legger til rette og veileder vurderer om eleven er klar for å gå videre. Hvis eleven ikke har forutsetninger for å forstå, skal heller ikke han/hun lære det på dette tidspunktet. 3-Oct-08 7

Bruk av håndboka Håndboka er organisert slik at: Tallforståelse er kapittel 1 8 Forstå regneoperasjoner kapittel 9 13 Regning (ferdigheter) kapittel 14-22 3-Oct-08 8

Generelle læringsprosessen i håndboka er: 1. Elevene gjør utforskende aktiviteter med konkreter og beskriver hva de gjør, hva de erfarer og hva de tenker. Læreren har fokus på hva som er matematikken i oppgavene 2. Aktiviteten med konkretene leder til danning av indre bilder som kan erstatte konkretene senere. 3. Elever og lærere bygger sammen broer mellom de indre bildene til den formelle matematikken. 4. Læreren planlegger aktiviteter som bygger opp forståelse, anvendelse og ferdigheter. Forslag fra kapittel 4 på lærerveiledningens struktur 3-Oct-08 9

Prinsipp for oppbygging av matematisk innsikt og ferdigheter En vei mot god begrepsforståelse 1. Konkret nivå 2. Halvkonkret nivå 3. Halvabstrakt nivå 4. Abstrakt nivå 3-Oct-08 10

4. Desimaltall 4.1 Desimalnotasjon inkludert penger og måling (5,6,7) Introduksjon Barn møter desimaltall for første gang før de lærer om det på skolen. Enn så lenge har vi desimaltall i forhold til priser og penger, selv om elevenes erfaringer på dette området er langt fattigere i dag enn den gang vi hadde ettøringer, toøringer, femøringer, tiøringer og tjuefemøringer. Elevene kan se en pris som er skrevet som 6,50 kr og høre at det blir uttalt som seks kroner og femti øre. De hører det sjelden uttalt som seks komma fem, eller seks komma fem null kroner. Seinere kan de høre at 6,70 meter blir uttalt som seks meter og sytti (centimeter). Kommaet mellom heltallene og desimalene blir skrevet, men det blir sjelden brukt i dagligtalen, med unntak av enkelte sportsresultater (poeng, tider i sekunder, tideler og hundredeler etc). Det kan oppleves forvirrende når eleven taster inn 6,50 på lommeregneren, og det kommer opp i vinduet som 6,5. 3-Oct-08 11

Misforståelser og misoppfatninger Barns misoppfatninger knyttet til desimaltall (og de favner vidt og kan vare livet ut) skyldes ofte to ting: 1) elevers kunnskap om og erfaringer med hele tall blir generalisert og brukt feil i forhold til desimaltall. 2) erfaringer fra dagliglivet, inkludert bruk av penger og måling gir en overfladisk fornemmelse av hva desimaltall handler om med en eller to desimaler. Det første forholdet vil bli nærmere omtalt i det neste avnittet, mens vi tar for oss de misforståelsene som skyldes desimaltall i forhold til penger og måling av ymse slag i dette kapitlet. Se for deg de problemene som kan oppstå som en følge av at vi leser 6,50 kr og hører det uttalt som seks kroner og femti(øre). 3-Oct-08 12

1) Vi leser 6,50 (og tenker på det) som om det var satt sammen av ikke ett, men to separate tall, seks og femti. 2) Vi leser desimaldelen som femti ikke som fem null. Denne fremgangsmåten (som er riktig når det gjelder penger) kan forårsake misoppfatninger for elever. Mange elever tror at sifrene på hver side av kommaet ikke har noe med hverandre å gjøre. Det er en fare at elever tror at tallene til høyre for kommaet er et annet sett av hele tall. Disse misoppfatningene forårsaker ingen problemer og kommer ikke til overflaten når man holder på med penger og ulike typer måling. Det er viktig at læreren er klar over at å bruke penger og måling til å forstå desimaltall er nyttig i noen sammenhenger, mens det i andre sammenhenger blir en kilde til misoppfatninger. Læreren må være oppmerksom på dette og understreke likhetene og ulikhetene mellom desimaltall og penger/måling. 3-Oct-08 13

Eksempler Eleven sier Veggen er ni meter og førti høy, ikke ni meter og førti centimeter Lommeregneren sier fire komma fem: det betyr fire kroner og fem øre. 3-Oct-08 14

Bakgrunn Vi vil ikke si at å lese 6,50 kr som seks (kroner) og femti er galt. Det er naturligvis en helt dagligdags forkortelse for seks kroner og femti øre og å lese det som seks komma fem null kroner høres ganske kunstig ut. Det som egentlig har skjedd er at vi har oversatt et beløp, uttrykt som kroner til to beløp uttrykt som kroner og øre. På den måten kan vi si femti i stedet for fem null. Dette kan imidlertid lett føre til misoppfatning slik at tallene 6,54 og 6,504 begge kan bli uttalt seks komma femtifire. Vi må være tydelige på om vi uttaler et beløp eller et mål som to ulike enheter (sju meter og førti centimeter) eller som en enkelt enhet sju komma fire meter eller sju hundre og førti centimeter. For å rydde opp i misforståelsene, må elevene få forståelse for at kommaet er en indikator på hvor man kan finne det hele sifferet, og at desimalene har mindre verdi enn enerne. 3-Oct-08 15

Generelle anbefalinger Det er nyttig å bruke enhver anledning en har til å bruke desimaltall fra barnets omgivelser: pris på varer i butikken og i aviser, bensin, lengdemål, vekt og hulmål, tidtaking i forhold til sportsøvelser eller sport på TV. Hensikten med å gjøre det slik vil være at barnet forstår at desimaltall er en del av deres og familiens liv. Den nøyaktige notasjonen av desimaltall kan være av mindre betydning på dette stadiet. Vær litt forsiktig med bare å bruke penger når du skal introdusere og forklare desimaltall, og vær oppmerksom på både likheter og forskjeller mellom penger og andre typer desimaltall. Hvis hensikten er å lære om desimaltall er det nødvendig å bruke ulike fysiske og visuelle modeller med desimaltall og også eksempler som operer med ulikt antall siffer bak kommaet. Derfor er Base 10-materiell, papir- og plastikkpenger, linjaler og målbånd, tidtaking på TV (friidrett, svømming, dykking...), som alle legger vekt på litt ulike aspekt ved desimaltallene og strukturen, godt egnet til å gi et reelt bilde. Når et desimalmål leses som to hele tall i en klassesituasjon, må læreren insistere på at begge enhetene er uttrykt: fire kroner og femti øre, eller sju liter og fire desiliter,; eller fire komma fem null kroner og sju komma fire liter. 3-Oct-08 16

Spesielle anbefalinger Lag snutter fra sportsbegivenheter på video som viser tidtaking, og diskuter hva tidene betyr. Bruk Base 10-materiell eller annet konkretiseringsmateriell til å oversette tallsymboler til mer visuelle bilder. Synliggjør begge formene for penge- og målingsrepresentasjoner (desimaltall og ikke desimaltall) side om side. 3-Oct-08 17

Eksempel på aktivitet knyttet til desimaltall Se oppgaver på utdelte ark 3-Oct-08 18

Bruk av testene Viktig å vite for lærere Testene skal kartlegge forståelse (i liten grad ferdigheter). Kartleggingstestene er på elevnivå, for å finne ut mer om hver enkelt elevs forståelse. Testene skal brukes over tid for å kartlegge enkeltelevers utvikling og framgang. Testene skal ikke brukes for å sammenligne elever eller klasser med hverandre. Testresultatene skal gi læreren grunnlagg for å tilpasse undervisningen til den enkelte elev og til elevgrupper. For at testresultatene skal gi læreren ytterligere informasjon om elevens forståelse, skal testene følges av elevintervju. 3-Oct-08 19

Hvordan skal testene gjennomføres? Testene kan brukes på ulike måter av ulike elever og lærere. Det er viktig å ha som utgangspunkt at dette er tester som er laget for at læreren skal kunne legge opp en undervisning som gir flest mulig elever størst mulig utbytte av læringsarbeidet. Anbefalinger: - Testene gjennomføres årlig ved begynnelsen av skoleåret - Elevene får bruke den tiden de trenger - Elevene skal svare så godt de kan, og ikke la oppgaver stå ubesvart (se flere anbefalinger s 121 122 i håndboka) 3-Oct-08 20

3-Oct-08 21

3-Oct-08 22

3-Oct-08 23

3-Oct-08 24

3-Oct-08 25

3-Oct-08 26

Sp m Underkapittel Kommentarer. Spørsmålet tester om eleven: 1 2.6 Kan bruke posisjonssystemet til å addere eller telle med 1 med hundrerovergang for store tall. 2 2.9 Kan telle nedover med 10 om gangen med tusenoverganger. (1000) 3 2.9 Kan telle oppover med 0,3 med heltallsovergang (1). 4 3.3, 3.6 Kan bruke posisjonssystemet til å legge til 100. Elevene kan bli fortalt årstallet i år hvis de er usikre, men det bør bli gitt til dem muntlig (for eksempel to tusen og seks ), de bør ikke se det skrevet med tall. 5 3.6 Kan bruke posisjonssystemet til å subtrahere 100. Dette er mye vanskeligere enn oppgave 4 fordi det går ned med en tusenovergang (2000). Elevene kan bli fortalt årstallet i år hvis de er usikre, men det bør bli gitt dem muntlig (for eksempel to tusen og seks ), de bør ikke se det skrevet med tallsymboler. 6 3.4, 8.3 Kan anslå et tall mellom 0 og 10 000 på ei tall-linje. Tallet som er vist er ca 1570 og svaret behøver ikke være veldig nært. Et hvert svar mellom 1000 og 2000 er rimelig og indikerer at eleven har en forståelse av tallstørrelsen. 7 4.1 Forstår posisjonssystemet for desimaltall knyttet til lengde. (Vil eleven skrive 3,05 m eller 3,5 m?) 3-Oct-08 27

8 4.2, 4.4 Kan relatere desimaltall til et skravert område. Det skraverte området er akkurat mindre enn en halv eller 0,5, slik at bare svar C er et rimelig svar. Undersøk elevens tenkemåte hvis han/hun svarer noe annet. 9 4.2 Kan se sammenhengen mellom litt vanskeligere desimaltall og det skraverte området. Det skraverte området er mindre enn en firedel eller 0,25. Derfor er bare A et rimelig svar. Undersøk elevens tenkemåte hvis han/hun svarer noe annet. 10 4.2 Kan gjenkjenne om et desimaltall eller en brøk er nærmest null, en halv eller en hel. Dette er en god indikasjon på tallforståelse. Undersøk elevens tenkemåte hvis han/hun svarer feil. 11 4.3 Kan ordne desimaltall i rekkefølge. Dette forutsetter god forståelse for desimaltall. Misoppfatninger gjør at noen tror at de i A sammenlikner 6 med 3, og 7 med 52 i B. 12 4.3 Kan ordne desimaltall etter størrelse. 13 5.1 Forstår betydningen av halve og kvarte. Elevene har ofte god forståelse av en halv og en kvart før de forstår andre brøker. Undersøk elevens tenkemåte hvis han/hun svarer feil. 14 5.2, 5.3, 5.4 Forstår brøk som del av en mengde. 3-Oct-08 28

15 5.2, 5.3 Forstår forholdet mellom en brøk uttrykt med tallsymboler og et skravert område. I dette tilfellet er brøken (tre firedeler) en kjent størrelse. Derfor bør elever som gjør feil på denne oppgaven følges nøye opp. 16 5.7 Vet at jo større nevnerne er, jo mindre blir brøken hvis tellerne er like. 17 5.4, 5.5, 5.8 Forstår den relative størrelsen på brøker og deres plassering på en tall- linje. Spesielt at en tidel er en liten brøk og at fire femdeler er nært 1. 18 5.7, 5.8 Kan vurdere sammenhengen mellom brøk uttrykt med symboler og som et punkt på en linje, og det at enhetsbrøken en tredel er større enn enhetsbrøken en firedel. 19 10.2 Kan lage et godt multiplikasjonsstykke som passer til et gitt bilde. Et addisjonsstykke (som f.eks.5+5+5+5=20) viser ikke en forståelse av sammenhengen mellom mønsteret og multiplikasjon. 20 10.3,10.4 Kan lage et godt divisjonsstykke som passer til et gitt bilde. Dette viser en god forståelse av operasjonene. Denne oppgaven er vanskeligere enn oppgave 19 som spør etter et multiplikasjonsstykke til samme bilde. 3-Oct-08 29

21 10.3, 10.8 Har forståelse av den distributive lov i multiplikasjon. I dette tilfelle på den måten at 3 98 kan reknes ut som (3 100) (3 2) Noen elever rekner ut 3 98 i hodet og ser hvilket svar som passer til utrekninga. 22 15.2 Kan den lille multiplikasjonstabellen i hodet. 23 15.3 Kan den lille multiplikasjonstabellen i hodet. 24 16.1 Kan summere to ulike titall i hodet. 25 16.2 Kan subtrahere et tosifret titall fra et tresifret titall med tierovergang, i hodet. 26 16.3 Kan summere to desimaltall med tierovergang, i hodet. 27 17.1 Kan multiplisere et tosifret tall med 10, i hodet. 28 17.1 Kan multiplisere to titall med hverandre, i hodet. 29 17.1 Kan multiplisere et titall med et ensifret tall, i hodet. 30 18.1 Kan finne differens mellom et tosifret og et ensifret tall med tierovergang, i hodet. 31 18.1,18. 3 Kan finne differens mellom to tosifrede tall med tierovergang, i hodet. 3-Oct-08 30

32 19.1 Kan multiplisere et tosifret tall med et ensifret tall, i hodet. 33 19.1 Kan multiplisere et tosifret tall med et ensifret tall, i hodet. 34 19.1 Kan multiplisere et ensifret tall med et tosifret tall, i hodet. 35 19.1 Vet hva dobbelt betyr og kan rekne det dobbelte av 18 i hodet. 36 19.2 Vet hva halvparten betyr og kan rekne halvparten av 58 i hodet. 37 20.1 Kan legge sammen tresifrede tall og tosifrede tall med tieroverganger. Elevene behøver ikke bruke standard skrivemåte/algoritme. 38 20.2 Kan subtraksjon med tosifrede tall og låning. Elevene behøver ikke bruke standard skrivemåte/algoritme. 39 21.1 Kan multiplisere tosifret tall med ensifret tall. Elevene behøver ikke bruke standard skrivemåte/algoritme. 40 22.4 Forstår forholdet mellom brøk og divisjon, og at en brøk må slåes inn på lommerekneren som et divisjonsstykke. En åttedel er valgt fordi den ikke har et tilsvarende desimaltall som eleven er godt kjent med. 3-Oct-08 31

3-Oct-08 32

3-Oct-08 33

Hva kan jeg forvente av elever på mitt klassetrinn innenfor tall og tallbehandling? Progresjonsskjema for tallforståelse Se på ditt nivå og nivåene over og under. Nivåene refererer til forventet kunnskapsnivå ved starten av skoleåret. Sammenlign skjemaet med skolens lokale læreplan og de lærebøkene dere bruker. 3-Oct-08 34

Intervju I tillegg til de skriftlige testene, skal det gjennomføres elevintervjuer av enkeltelever. Det beste er om lærer intervjuer alle elvene sine. Intervjuene går ut på å velge ut noen oppgaver fra testene (5 7 oppgaver), noen som eleven har svart rett på, og noen hun/han har svart feil på. Spør eleven Hvordan tenkte du da du løste denne oppgaven? 3-Oct-08 35

Huskeregler for elevintervju Et intervju er ikke en undervisningssituasjon. Hovedhensikten er å finne ut hvordan eleven har tenkt. Eleven skal stå for snakkingen fordi intervjuet skal avsløre hvordan eleven tenker. Oppmuntre eleven til å forklare og beskrive, selv om det går tregt Læreren bryter bare inn for å forsikre seg om at hun/han har forstått hva eleven mener. Kan gjerne ha konkretiseringsmateriell tilgjengelig. 3-Oct-08 36

Under intervjuet skal ikke læreren prøve å hjelpe eleven til å finne riktig svar, passende strategier eller korrekt måte å tenke på. Prøver læreren å hjelpe, vil hun/han ikke lære noe om elevens tenkemåte. Lærerens rolle er å lytte! 9 sek regeln I intervjusituasjonen må læreren oppføre seg som en vitenskapsmann: hvert svar er ikke først å fremst å bli betraktet som riktig eller galt, godt eller dårlig, men som interessant eller informativt. Gale svar er med på å gi informasjon om hva eleven har misforstått eller har problemer med og er derfor like nyttige for læreren som et rett svar. 3-Oct-08 37

Hvordan kan jeg hjelpe elevene? Kodene bak spm i testen refererer til kapitler i håndboka. Les gjennom og se hvilke anbefalinger som er foreslått for å øke forståelsen. Se på ulike tilnærmingsmåter og aktiviteter og vurder hvordan du eventuelt vil endre noe i din måte å undervise på. 3-Oct-08 38

Progresjon innfor området tall og algebra 1. Sortering og telling 2. Gjenkjenning av små mengder 3. Tallene fra 1 til 20 4. Posisjonssystemet og flersifrede tall 5. Addisjon subtraksjon av naturlige tall 6. Multiplikasjon divisjon av naturlige tall 7. Brøk som begrep 8. Regning med brøk, faktorisering, fellesnevner 9. Desimaltall summer av spesielle brøker 10. Regning med desimaltall brøker med enkle nevnere 11. Prosent del av en hel, forholdstall 12. Praktiske oppgaver forløper til likninger 13. Likninger 14. Bokstavregning (algebra) og formelregning 15. Algebraiske bevis 3-Oct-08 39

Hva så? Gjennomfør kartleggingstestene ved et senere tidspunkt for å vurdere både klassen og enkeltelever. Forandre på testen ved å fjerne eller legge til punkter som passer bedre for din klasse. Ta for deg bestemte områder du har erfart som problematisk i din egen undervisning og på den måten utvikle deg faglig og reflektere over egen praksis. Diskuter materialet med lærere du samarbeider med og utveksle erfaringer, tips og ideer. BRUK HÅNDBOKA NÅR DU PLANLEGGER UNDERVISNINGEN OG SPESIELT I FORBINDELSE MED INNFØRING AV NYE BEGREPER! 3-Oct-08 40

Matematikkurs? Lese- og matematikkurs Dette er et tiltak for de elevene som trenger en andre sjanse for å komme videre i sin lese- og matematikkutvikling slik at de kan nå målene. Hovedmål Å forebygge tapsopplevelser. Elever som ikke lykkes godt nok i den tidlige opplæringen får ofte sekundærvansker som dårlig selvbilde og usikkerhet. Dette fører igjen til svakere innsats og prestasjon videre i skolearbeidet. Gjennom å gripe fatt i problem ved et tidlig tidspunkt kan vi sørge for at et stort flertall elever opplever å lykkes i den første lese- og matematikkopplæringen. Mål: Målet er at elevene skal kunne lese og regne på gjennomsnittsnivået for sitt klassetrinn. Innen en periode på 3 år ønsker vi primært at dette tilbudet bare skal gjelde elever fra 2. -4. trinn. 3-Oct-08 41

Hva er matematikkurset? Et individuelt eller klasse treningsprogram for elever som trenger en andre sjanse for å oppnå forventet tallforståelse og tallbehandling på sitt trinn. Det består av en 70 minutters økt tre dager per uke sammen med en lærer. Økten inneholder noen faste aktiviteter og følger en oppsatt mal. Programmet varer fra 3-6 uker. Det kan være aktuelt for noen elever å få delta på et nytt kurs. Programmet forutsetter et forpliktende samarbeid med hjemmet. Der foreldrene må underskrive et kontrakt. Etter avsluttet kurs skrives det en evaluering som legges i elevens mappe. 3-Oct-08 42