UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Ny/utsatt eksamen i Eksamensdag: 9. august 2. Tid for eksamen: 9 2. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT Kalkulus og lineær algebra Formelsamling. Godkjent kalkulator, vedlagt formelsamling. Kontroller at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare spørsmålene. Du må begrunne alle svar, og vise nok mellomregninger til at man lett kan følge argumentene dine. Oppgave Sett der a er et reelt tall. a A = 2 a 2, a a Regn ut determinanten til A. For hvilke a er A invertibel? Svar: Vi regner ut langs første rad, det(a) = a ( a 2 2 ) 2a = a ( a 2 4 ). A er invertibel hvis det(a), altså for a {, ±2}. (Fortsettes på side 2.)
Ny/utsatt eksamen i MAT, 9. august 2. Side 2 b Bestem når ligningen x b A y = b 2 z b har entydig løsning, har uendelig mange løsninger, og ikke har noen løsninger. Svar: Den utvidede matrisen til ligningsystemet blir a b 2 a 2 b 2 a b a/2 b 2 /2 a b /2. 2a( a 2 /4) b b 2 a b ( a 2 /2) Vi vet allerede at for a { ± 2} har ligningsystemet entydig løsning. Vi får tre tilfelle der vi enten kan ha ingen eller mange løsninger. Hvis siste raden i matrisen blir = har vi mange løsninger, hvis ikke, har vi ingen løsninger. a =, a = 2, a = 2, Mange løsninger hvis b b =, ellers ingen, mange løsninger hvis b b 2 + b =, ellers ingen, mange løsninger hvis b + b 2 + b =, ellers ingen. c Finn egenverdiene og tilhørende egenvektorer til A. Svar: Det karakteristiske polynomet til A blir (a λ) ( (a λ) 2 4 ), som har røtter λ = a, λ 2 = a + 2 og λ = a 2. For λ blir ligningene for egenvektoren (x, y, z) T : ax + y = ax, 2x + ay + 2z = ay og y + az = az, løsinger gir (x, y, z) = (,, ). For λ 2 blir ligningene ax + y = (2 + a), 2x + ay + 2z = (2 + a)y og y + az = (2 + a)z. Disse har løsning (x, y, z) = (, 2, ). For λ blir ligningene ax + y = ( 2 + a), 2x + ay + 2z = ( 2 + a)y og y + az = ( 2 + a)z. Disse har løsning (x, y, z) = (, 2, ). (Fortsettes på side.)
Ny/utsatt eksamen i MAT, 9. august 2. Side d Sett x = z = og y =. Skriv vektoren x x = y som en lineærkombinasjon av egenvektorene du fant i forrige punkt. z Svar: Vi ser at x = 2 + 2. 2 2 e Definer en følge {x n } ved Vis at x n = z n. For a =, bestem grensen Svar: Vi har at Vi ser at x n = z n. For a = blir når n. x n x n = y n = A n x. z n y n lim. n z n x n = (a + 2) n + (a 2) n 2 ((a + 2) n (a 2) n ) 2 (a + 2) n + (a 2) n y n z n = 2 n ( ) n n + ( ) n 2 Oppgave 2 Finn den minste avstanden fra kjeglen x 2 + y 2 z 2 = til punktet (x, y, z) = (,, ). (Fortsettes på side 4.)
Ny/utsatt eksamen i MAT, 9. august 2. Side 4 Svar: Vi bruker Lagranges multiplikatormetode på f(x, y, z) = (x ) 2 + (y ) 2 + z 2, med bibetingelse g(x, y, z) = x 2 + y 2 z 2 =. Vi får ligningene x = λx y = λy og z2 = x 2 + y 2. z = λz Hvis z =, så blir x = y = ved den siste ligningen, f(,, ) = 8. Hvis z blir λ =, og x = y = /2. Da blir z 2 = 9/2, og f(/2, /2, ± 9/2) = 9 < 8 = f(,, ). Altså blir minste avstand. Hvis vi ikke ville bruke Lagrange, så kunne vi sett geometrisk at minste avstand blir, (likesidet trekant). Oppgave Betrakt avbildningen F fra (u, v) planet til (x, y) planet gitt ved x = u + v, y = v u 2. a Regn ut Jacobideterminanten til F. Svar: det(f ) = 2u = 2u = 2u +. b La T være trekanten i (u, v) planet med hjørner (, ), (2, ) og (, 2). Skissér F (T ). Svar: Nedre kant blir avbildet til linjen F (u, ), u [, 2], som blir kurven (u, u 2 ). Den skrå linjen blir avbildet på kurven F (u, 2 u) = (2, 2 u u 2 ), u mellom 2 og. Den vertikale (Fortsettes på side 5.)
Ny/utsatt eksamen i MAT, 9. august 2. Side 5 linjen blir avbildet på kurven F (, v) = (v, v) for v mellom 2 og. Tilsammen gir dette bildet under. c Hva blir F (T ) dxdy (x y + ) 2 (Du kan få bruk for formelen dv v 2 5v + 7 = 2 tan ( 2v 5 ) + konstant. ) Svar: Vi har at dxdy = (x, y) (u, v) dudv = (2u + )dudv, (Fortsettes på side 6.)
Ny/utsatt eksamen i MAT, 9. august 2. Side 6 samt at x y + = u + v v + u 2 + = u 2 + u + Derfor blir integralet T 2u + (u 2 + u + ) dudv = = = 2 2 v 2 2 ( 2u + (u 2 + u + ) 2 dudv (2 v) 2 + (2 v) + v 2 5v + 7 dv = 2 2 tan ( 2v 5 ) v=2 v= ) dv = 2 + 2 ( ( ) ( )) 5 tan tan Oppgave 4 a La ( F(x, y) = x x 2 + y 2 +, ) y x 2 + y 2 + og C være den parametriserte kurven gitt ved r(t) = (t sin(t), cos(t)), t [ π, π]. Beregn F dr. Svar: Vi ser at F = φ, der φ er C φ(x, y) = 2 log ( x 2 + y 2 + ). Videre er r( π) = ( π, 2) og r(π) = (π, 2). Vi får at F dr = φ(r(π)) φ(r( π)) =. C (Fortsettes på side 7.)
Ny/utsatt eksamen i MAT, 9. august 2. Side 7 b La D være området i (x, y) planet beskrevet ved x og y x. Beregn dobbelintegralet x (x + y2 ) dxdy (Hint: Bruk koordinatskifte x = r 2 cos 2 (θ), y = r sin(θ).) D Svar: Vi regner ut at x + y 2 = r 2 og cos(θ) = x x + y 2. Videre blir Jacobideterminanten (x, y) (r, θ) = 2r2 cos(θ) = 2 x (x + y 2 ). Derfor blir D x (x + y2 ) dxdy = 2 = 5 π/2 π/2 r 4 cos 2 (θ)dθdr cos(2θ) + dθ = π. Oppgave 5 Konvergerer disse rekkene? Svarene skal begrunnes a ( n2 + n) n= Svar: Vi regner først ut at a n = n2 + + n, og sammenligner med /n, lim na n = n n n2 + + n = 2. Rekka divergerer. (Fortsettes på side 8.)
Ny/utsatt eksamen i MAT, 9. august 2. Side 8 b n=2 (log(n)) log(n) (Hint: Når du tester, kan det lønne seg å sette u = log(n).) Svar: Vi sammenligner med /n 2, Derfor blir rekka konvergent. n 2 lim n n2 a n = lim n log(n) log(n) = lim n = lim n e 2 log(n) log(n) log(n) ) log(n) ( e 2 log(n) = lim n e log(n)(2 log(n)) = e lim(log(n)(2 log(n))) = e = c n= n +/n Svar: Vi sammenligner med /n, Rekka divergerer. lim na n = lim n n n = lim n+/n n e log(n)/n =.