13.03.2017 MATEMATIKK (MAT1005) Funksjoner og vekst DEL 1 (UTEN HJELPEMIDLER) 40 minutter DEL 2 (MED HJELPEMIDLER) 50 minutter (Del 1 leveres inn etter nøyaktig 40 minutter og før hjelpemidlene kan benyttes) Alt arbeid i regneark (Excel) og i graftegner (GeoGebra) skal limes inn i et tekstdokument (Word) og leveres på Itslearning med filnavn lik elevens navn. I tekstdokumentets topptekst skal elevens navn, klasse og dato skrives inn. Total poengsum: 37 poeng Karakter 2: 10p Karakter 3: 16p Karakter 4: 22p Karakter 5: 28p Karakter 6: 34p Poeng i oppgaven er bare veiledende i vurderingen. Karakteren blir fastsatt etter en samlet vurdering. Det betyr at lærer vurderer i hvilken grad du viser regneferdigheter og matematisk forståelse gjennomfører logiske resonnementer ser sammenhenger i faget, er oppfinnsom og kan ta i bruk fagkunnskap i nye situasjoner kan bruke hensiktsmessige hjelpemidler forklarer fremgangsmåter og begrunner svar skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske fremstillinger vurderer om svar er rimelige Læreplanmål Utforske matematiske modeller, sammenligne ulike modeller som beskriver samme praktiske situasjon, og vurdere hvilken informasjon modellene kan gi, og hvilket gyldighetsområde og hvilke begrensninger de har Bruke digitale verktøy i utforsking, modellbygging og presentasjon Bruke digitale verktøy til å undersøke kombinasjoner av polynomfunksjoner, rotfunksjoner, potensfunksjoner og eksponentialfunksjoner som beskriver praktiske situasjoner, ved å bestemme nullpunkter, ekstremalpunkter og skjæringspunkter og finne gjennomsnittlig vekstfart og tilnærmingsverdier for momentan vekstfart Bruke funksjoner til å modellere, drøfte og analysere praktiske sammenhenger
KJENNETEGN PÅ GRAD AV MÅLOPPNÅELSE Lav grad Karakter 2 Middels grad Karakter 3/4 Høy grad Karakter 5/6 Begreper, forståelse og ferdigheter: Eleven forstår en del grunnleggende begreper. Eleven behersker en del enkle, standardiserte framgangsmåter. Eleven forstår de fleste grunnleggende begreper og viser eksempler på forståelse av sammenhenger i faget. Eleven behersker de fleste enkle, standardiserte framgangsmåter, har middels god regneteknikk og bruk av matematisk formspråk, viser eksempler på logiske resonnementer og bruk av ulike matematiske representasjoner. Eleven forstår alle grunnleggende begreper, kombinerer begreper fra ulike områder med sikkerhet og har god forståelse av dypere sammenhenger i faget. Eleven viser sikkerhet i regneteknikk, logiske resonnementer, bruk av matematisk formspråk og bruk av ulike matematiske representasjoner. Problemløsning: Eleven viser eksempler på å kunne løse enkle problemstillinger med utgangspunkt i tekster, figurer og praktiske og enkle situasjoner. Eleven klarer iblant å planlegge enkle løsningsmetoder eller utsnitt av mer kompliserte metoder. Eleven løser de fleste enkle og en del middels kompliserte problemstillinger med utgangspunkt i tekster, figurer og praktiske situasjoner, og viser eksempler på bruk av fagkunnskap i nye situasjoner. Eleven klarer delvis å planlegge løsningsmetoder i flere steg og å gjøre fornuftige antakelser. Eleven utforsker problemstillinger, stiller opp matematiske modeller og løser oppgaver med utgangspunkt i tekster, figurer og nye og komplekse situasjoner. Eleven viser sikkerhet i planlegging av løsningsmetoder i flere steg og formulering av antakelser knyttet til løsningen, viser kreativitet og originalitet. Eleven kan avgjøre om svar er rimelige i en del enkle situasjoner. Eleven viser eksempler på bruk av hjelpemidler knyttet til enkle problemstillinger. Eleven kan ofte vurdere om svar er rimelige. Eleven bruker hjelpemidler på en hensiktsmessig måte i en del ulike sammenhenger. Eleven viser sikkerhet i vurdering av svar, kan reflektere over om metoder er hensiktsmessige. Eleven viser sikkerhet i vurdering av hjelpemidlenes muligheter og begrensninger, og i valg mellom hjelpemidler. Eleven kan bruke hjelpemidler til å se en del enkle mønstre. Eleven klarer delvis å bruke digitale verktøy til å finne matematiske sammenhenger. Eleven kan bruke digitale verktøy til å finne matematiske sammenhenger, og kan sette opp hypoteser ut fra dette. Kommunikasjon: Eleven presenterer løsninger på en enkel måte, for det meste med uformelle uttrykksformer. Eleven presenterer løsninger på en forholdsvis sammenhengende måte med forklarende tekst i et delvis matematisk formspråk. Eleven presenterer løsninger på en oversiktlig, systematisk og overbevisende måte med forklarende tekst i matematisk formspråk. Karakteren 1 uttrykker svært lav kompetanse i faget.
DEL 1 (UTEN HJELPEMIDLER) 40 minutter Oppgave 1 (10 poeng) a) Gitt funksjonen : f(x) = x 2 + 5 Finn skjæringspunktet med y-aksen. Skjæringspunktet med y-aksen er +5 som vi ser av funksjonsuttrykket. b) Gitt funksjonen : g(x) = 2x 3 + 3x 2 definert for 2 x 1. Skriv av og fyll inn verdiene for g(x) i tabellen: x -2-1 0 1 g(x) -4 1 0 5 c) Funksjonen i oppgave b) har toppunkt x = 1 og bunnpunkt x = 0. Tegn grafen til g på et av de vedlagte rutearkene. Tegner inn de punktene vi kjenner fra tabellen: (-2, -4) (-1, 1) (0, 0) (1, 5) her som grønne sirkler Har fått opplyst at (-1, 1) er et toppunkt og at (0, 0) er et bunnpunkt. Trekker en kontinuerlig myk linje gjennom de fire punktene fra x = 2 til x = 1.
d) Finn punktet (x, y) der de to funksjonen h(x) og i(x) krysser hverandre, når : h(x) = x 2 + 1 og i(x) = x 2 x + 2 Du kan velge mellom: Beregne punktet (x, y) ved å sette h(x) = i(x). Lage en tabell for de to funksjonene der du viser når h(x) = i(x). Tegn inn de to funksjonen h(x) og i(x) på et av de vedlagte rutearkene for grafisk finne (x, y). Beregne : h(x) = i(x) x 2 + 1 = x 2 x + 2 x 2 x 2 + x = 2 1 x = 1 Finner y ved å sette x-verdien inn en av funksjonene. Velger å bruke h(x). h(x) h(1) h(x) = x 2 + 1 h(1) = 1 2 + 1 = 1 + 1 = 2 Har da x = 1 og y = 2 (x, y) = (1, 2) Lage tabell : Beregner verdiene for h(x) og i(x). x -2-1 0 1 2 3 h(x) = x 2 + 1 5 2 1 2 5 10 i(x) = x 2 x + 2 8 4 2 2 4 8 Ser at de to funksjonene h(x) og i(x) har samme verdi når x = 1. Funksjonen krysser hverandre i (1, 2). Tegner inn de punktene vi beregnet i tabellen: h(x) : (-2, 5) (-1, 2) (0, 1) (1, 2) (2, 5) (3, 10) her som grønne sirkler. i(x) : (-2, 8) (-1, 4) (0, 2) (1, 2) (2, 4) (3, 8) her som grønne sirkler. Trekker en kontinuerlig myk linje gjennom punktene for både h(x) og i(x). Ser at de to funksjonene h(x) og i(x) krysser hverandre i (1, 2)
e) Bruk ett av de vedlagte rutearkene til å lage en tegning der du e) forklarer hva nullpunkt og ekstremalpunkt er for en funksjon. Bruker her funksjonen f(x) = x 2 4 Nullpunkt er der funksjonen krysser x-aksen. Her er det to nullpunkt fordi funksjonen er av andre grad. Ekstremalpunkt er der funksjonen har ett bunn- eller toppunkt. Her har vi et bunnpunkt. Har ett ekstremalpunkt fordi funksjonen av andre grad. Oppgave 2 (5 poeng) Figuren viser fem ulike funksjoner. Tegn av tabellen og skriv inn A, B, C, D eller E i venstre kolonne. A, B, C, D eller E Funksjonsuttrykket C f(x) = 3 2 x A f(x) = 1,5 x 3 D f(x) = x 2 3 B f(x) = x 3 2x 2 3 E y = 2x 3
DEL 2 (MED HJELPEMIDLER) 50 minutter Oppgave 3 (10 poeng) Geir støter (kaster) en kule. Kula forlater skulderen til Geir i en høyde på 1,5 meter. Ved hjelp av et filmkamera vet Geir at kula er innom disse punktene (x, y) : Lengde (x) i meter 1 2 Høyde (y) i meter 3,5 3,5 a) Finn ved polynomregresjon andregradsfunksjonen til kulebanen. Har da disse opplysningene : Lengde (x) i meter 0 1 2 Høyde (y) i meter 1,5 3,5 3,5 I GeoGebra : I GeoGebra (andregradsregresjon) : Finner da andregradsfunksjonen som beskriver kulebanen : b) Hvor langt blir kula støtt (kastet) før den når bakken? I GeoGebra : Lager punktet D ved hjelp av. Får da. Det viser oss at kula blir støtt 3,44 meter. c) Finn det høyeste punktet til kulebanen. I GeoGebra : Det viser at det høyeste punktet oppstår etter 1,5 meter, kula er da 3,75 meter over bakken. d) Geir ønsker å støte (kaste) kula 4 meter. Hvor høyt må Geir stå over bakken for å klare dette? I GeoGebra : og lager punktet F ved hjelp av. Får da. Det betyr at bakken må være 2,5 meter lavere eller at Geir må stå 2,5 meter over bakken. e) Hvis Geir får lengre bein og kula forlater skulderen til Geir i en høyde på 2 meter, e) hvor langt blir da kula støtt (kastet)? Geir må da øke lengden på beina med 0,5 meter fordi skulderhøyden øker fra 1,5 til 2meter. I GeoGebra : og lager punktet G ved hjelp av. Får da. Kula blir da støtt (kastet) 3,56 meter.
Oppgave 4 (12 poeng) Tabellen viser markedsverdien f(x) i milliarder kroner av «Oljefondet» i Norge fra 1990 til 2016. 1990 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 x 0 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 f(x) 0 48 113 172 222 386 614 609 845 1016 1399 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 x 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 f(x) 1784 2019 2275 2640 3077 3312 3816 5038 6431 7475 7510 KILDER : NBIM.NO OG WIKIPEDIA.ORG a) Finn ved polynomregresjon fjerdegradsfunksjonen for 6 x 26. f(x) = 0, 0425x 4 1, 526x 3 + 28, 1847x 2 145, 8634x + 153, 1583 Husk å ikke ta med punktet (0, 0) da dette ikke er med i definisjonen.
b) Forklar hvorfor funksjonen fra oppgave a) ikke passer så godt for x-verdier over 23. Veksten i «oljefondet» øker kraftig og avtar «flater ut». c) Finn momentan vekstfart for polynomfunksjonen når x = 13. I GeoGebra : «Oljefondet» øker med nøyaktig 187,14 milliarder i 2013 når vi bruker polynomfunksjonen som vi fant i oppgave a). d) Bruk tabellen: Finn gjennomsnittlig vekstfart for «Oljefondet» i perioden fra 2008 til 2014. Gjennomsnittlig vekstfart = y = 6431 2275 = 4156 = 692, 67 milliarder per år x 2014 2008 6 e) Bruk tabellen: Når i perioden fra 1996 til 2016 er veksten målt i kroner av «Oljefondet» størst? Veksten er størst fra 2013 til 2014. 6431 5038 = 1393 milliarder f) Bruk tabellen: Når i perioden fra 1996 til 2016 er veksten målt i prosent av «Oljefondet» størst? Veksten er størst fra 1996 til 1997. 48 = 113 100 % x % x = 235,4 235,4 100 = 135,4%