EKSAMEN Emnekode: ITF75 Dato: 5. desember Emne: Matematikk for IT Eksamenstid: kl 9. til kl. Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider. Kalkulator er ikke tillatt. Faglærer: Christian F Heide Eksamensoppgaven: Oppgavesettet består av 6 sider inklusiv denne forsiden og et vedlegg på én side. Kontroller at oppgaven er komplett før du begynner å besvare spørsmålene. Oppgavesettet består av 9 oppgaver med i alt deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye. Der det er mulig skal du: vise utregninger og hvordan du kommer fram til svarene begrunne dine svar, selv om dette ikke er eksplisitt sagt i hvert spørsmål Sensurdato: Mandag 7. januar Karakterene er tilgjengelige for studenter på studentweb senest virkedager etter oppgitt sensurfrist. Følg instruksjoner gitt på: www.hiof.no/studentweb Eksamen i Matematikk for IT, desember Side av 6
Oppgave Gitt følgende mengder: og universet A = {,, 5, 7, 9} B = {, 4, 6, 8} C = {,, } U = {,,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9} a) Finn følgende mengde: [( B C) A] C. b) Finn potensmengden til C, P (C). Oppgave a) En relasjon R {( a, b) a b} er definert på mengden av alle heltall, Z. a b er vanlig «mindre enn», og betyr altså at a er mindre enn b. Angi om relasjonen er refleksiv, symmetrisk, antisymmetrisk og/eller transitiv. b) Anta så at relasjonen er definert på mengden A = {,,, 4}. Skriv relasjonen R som en matrise (binær matrise). c) En annen relasjon, S, er en ekvivalensrelasjon på en mengde M. Hvis vi vet at ( a, b) S og ( b, c) S, hvilke andre elementer kan vi da vite at S har? Oppgave a) Finn ved hjelp av sannhetstabeller om de to følgende sammensatte utsagn er logisk ekvivalente: i) ( p q) r ii) p ( q r) b) I denne oppgaven skal du bruke logikklovene på vedlagte ark til å forenkle følgende uttrykk og finne om det er en tautologi. Bruk kun en lov i hvert trinn og angi for hvert trinn nummeret på den loven du har brukt. Uttrykket du skal undersøke er: [ q ( p q)] p Eksamen i Matematikk for IT, desember Side av 6
Oppgave 4 a) Konverter tallet 57 til det binære tallsystemet. b) Utfør følgende multiplikasjon: c) En basketballtrener skal plukke ut et lag på fem personer fra spillergruppa som består av totalt personer. Hvor mange ulike lag kan treneren plukke ut? (Siden kalkulator ikke er tillatt på denne eksamen, trenger du ikke å regne ut svaret, men bare sette opp hvordan det skal regnes ut og forkorte brøken du får mest mulig.) Oppgave 5 Gitt en grammatikk med startsymbol s, hvor mengden av ikke-avslutningssymboler er N = {s, t} og mengden av avslutningssymboler er T = {, }. Gitt følgende produksjonsregler: s s s t t t t t a) i) Er denne grammatikken kontekstfri? Begrunn svaret. ii) Er denne grammatikken regulær? Begrunn svaret. b) Tilhører følgende strenger dette språket? Sagt på en annen måte: kan strengene produseres av denne grammatikken? Vis i så fall hvordan dette kan skje. i) ii) Oppgave 6 a) Bruk direkte bevis til å bevise at produktet av to påfølgende heltall er et partall. b) Bruk induksjonsbevis til å bevise at n n for n Eksamen i Matematikk for IT, desember Side av 6
Oppgave 7 I denne oppgaven kan du ha nytte av en av følgende: tan 6 tan 4 tan a) Gitt et komplekst tall z i. Tegn tallet z og tallets komplekskonjugerte i det komplekse planet. b) Skriv tallet z på eksponentialform. c) Finn den generelle (allmenne) løsningen til følgende differensligning: y n yn 4yn Oppgave 8 Nedenfor er grafene G ( V, E ) og G ( V, E) tegnet. Er G og G isomorfe? Dersom de er isomorfe, angi en isomorfi f : V V. Dersom de ikke er isomorfe, forklar hvorfor de ikke er det. a b e c 4 5 d G V, ) G V, ) ( E ( E Eksamen i Matematikk for IT, desember Side 4 av 6
Eksamen i Matematikk for IT, desember Side 5 av 6 Oppgave 9 Gitt følgende matriser: 5 4 A B a) Regn ut AB og BA dersom de eksisterer. b) Finn T A.
CFH,.. Regneregler logikk og mengder Lov Logikk Mengder. Assosiative lover ( p q) r p ( q r) (A B) C = A (B C) ( p q) r p ( q r) (A B) C = A (B C). Kommutative lover p q q p A B = B A p q q p A B = B A. Distributive lover p ( q r) ( p q) ( p r) A (B C) = (A B) (A C) p ( q r) ( p q) ( p r) A (B C) = (A B) (A C) 4. De Morgans lover ( p q) p q A B A B ( p q) p q A B A B 5. Idempotenslover p p p A A = A p p p A A = A 6. Absorpsjonslover p ( p q) p A (A B) = A p ( p q) p A (A B) = A 7. Dobbel negasjon / Involusjonslov (p) p A A 8. Inverslover p p S A A U p p F A A 9. Identitetslover p S p A U A p F p A A. Dominanslover p F F A = p S S A U = U. Implikasjon p q p q. Kontrapositive p q q p utsagn Inklusjons- og eksklusjonsprinsippet A B C = A + B + C A B A C B C + A B C Eksamen i Matematikk for IT, desember Side 6 av 6