4. Viktige kvantemekaniske teoremer

FY1006/TFY4215 Tillegg 4 1 TILLEGG 4 4. Viktige kvantemekaniske teoremer Før vi i neste kapittel går løs på treimensjonale potensialer, skal vi i kapittel 4 i ette kurset gå gjennom noen viktige kvantemekaniske teoremer. Dette kapitlet ekkes av avsnittene 4.1 4.4 i Hemmers bok, sammen me ette tillegget. Innholet er 4.1 Kompatible observable, simultane egenfunksjoner og kommuterene operatorer [Hemmer 4.1] 4.2 Paritet [Hemmer 4.2] 4.3 Tisutvikling av forventningsverier [Hemmer 4.3] 4.4 Ehrenfests teorem [Hemmer 4.4] 4.1 Kompatible observable, simultane egenfunksjoner og kommuterene operatorer I en tilstan hvor en observabel F er skarp, har vi sett at systemets bølgefunksjon må være en egenfunksjon til en tilhørene operatoren F. Når to observable for et system kan ha skarpe verier samtiig, sier vi at e to observablene er kompatible. Ser vi f.eks på en fri partikkel me masse m, så er impulsen og en kinetiske energien kompatible observable: I tilstanen ψ p (x) = (2π h) 1/2 e ipx/ h er båe impulsen p x og en kinetiske energien K x = p 2 x/2m skarpe, me veriene p og p 2 /2m: p x ψ p = p ψ p, K x ψ p = p2 2m ψ p. ( K x = p2 x 2m = h2 2m Vi sier a at ψ p (x) er en simultan egenfunksjon til e to operatorene; en er samtiig en egenfunksjon til båe p x og K x. For at ette skal være mulig, må e to operatorene kommutere; [ p x, K x ] = 0. Det er selvsagt lett å kontrollere en siste relasjonen irekte, men et er mer interessant å vise at en faktisk følger som en konsekvens av at e to obsevablene er kompatible, som vi nå skal vise: Anta at observablene F og G er kompatible, vs at et finnes et fullstenig sett av fysiske tilstaner er F og G er skarpe samtiig. Disse fysiske tilstanene er beskrevet av et bølgefunksjonssett n som a må være simultane egenfunksjoner til e tilhørene operatorene F og Ĝ: F n = f n n, Ĝ n = g n n. (T4.1) Det er a lett å vise følgene regel: A. For at observablene F og G skal være kompatible, vs for at et skal eksistere et simultant egenfunksjonssett til operatorene F og Ĝ, må isse kommutere; (T4.2) [ F, Ĝ] = 0. 2 x 2 )

FY1006/TFY4215 Tillegg 4 2 Den motsatte regelen gjeler også: B. Dersom operatorene F og egenfunksjonssett. Ĝ kommuterer, kan en finne et simultant (T4.3) Fra regel A følger et irekte at C. Dersom operatorene F og Ĝ ikke kommuterer, vs ersom [ F, Ĝ] 0, eksisterer et ikke et felles egenfunksjonssett til e to operatorene. De tilhørene observablene kan a ikke ha skarpe verier samtiig, vs e er ikke kompatible. (T4.4) Bevis av regel A: Når e to observablene F og G er kompatible, har vi som nevnt et simultant egenfunksjonssett (T4.1). Ve hjelp av isse egenveriligningene har vi a ( F Ĝ Ĝ F ) n = (f n g n g n f n ) n = 0 (for alle n). Sien operatorene er hermiteske, er settet n fullstenig. Da har vi for en vilkårlig funksjon = n c n n : ( F Ĝ Ĝ F ) = c n ( F Ĝ Ĝ F ) n = 0. n Derme har vi vist følgene operator-ientitet: F Ĝ Ĝ F [ F, Ĝ] = 0, q.e.. Bevis av regel B: La n være en av egenfunksjonene til operatoren F, me egenverien f: F n = f n. Sien e to operatorene F og Ĝ forutsettes å kommutere, har vi a F (Ĝ n) = Ĝ F n = f(ĝ n). Denne ligningen forteller at funksjonen Ĝ n, i likhet me funksjonen n, er en egenfunksjon til operatoren F me egenverien f. I resten av ette beviset må vi skille mellom to muligheter: (i) Den ene muligheten er at egenverien f til operatoren F er ikke-egenerert, slik at et eksisterer bare én egenfunksjon me enne egenverien. I så fall kan funksjonen Ĝ n bare atskille seg fra funksjonen n me en konstant faktor g: Ĝ n = g n. Denne ligningen uttrykker at n er en egenfunksjon også til Ĝ, og et var et vi skulle vise. (ii) Den anre muligheten er at egenverien f er egenerert, slik at et finnes flere egenfunksjoner til F me enne egenverien. Beviset av regel B er a mer komplisert, som u kan se i avsnitt 4.1 hos Hemmer.

FY1006/TFY4215 Tillegg 4 3 Eksempel 1 Impulsoperatorene p x, p y og p z kommuterer innbyres, og a skal et ifølge regel B eksistere et simultant egenfunksjonssett. Dette er impulsbølgefunksjonene ψ px (x)ψ py (y)ψ pz (z) = (2π h) 1/2 e ipxx/ h (2π h) 1/2 e ipyy/ h (2π h) 1/2 e ipzz/ h = (2π h) 3/2 e ip r/ h. I en slik tilstan er alle e tre komponentene av impulsvektoren p skarpe; komponentene er kompatible. Eksempel 2 Operatorene x = x (multiplikasjon me x) og p y = ( h/i) / y kommuterer. Det simultane egenfunksjonssettet er ψ x (x)ψ py (y) = δ(x x )(2π h) 1/2 e ipyy/ h ( < x < ; < p y < ). Eksempel 3 Fra en sentrale kommutatoren [x, p x ] = i h og regel C følger et at observablene x og p x ikke kan ha skarpe verier samtiig; e er ikke kompatible. Det er ette som også kommer til uttrykk i Heisenbergs uskarphetsrelasjon, x p x 1 2 h. (T4.5) Eksempel 4 Vi har tiligere sett at e kartesiske komponentene av reieimpulsoperatoren L = r p ikke kommuterer; e oppfyller en såkalte reieimpulsalgebraen, som utgjøres av kommutatorrelasjonen [ L x, L y ] = i h L z, (T4.6) og to tilsvarene relasjoner som finnes fra enne ve syklisk ombytte av ineksene. Dette betyr at komponentene av observabelen L ikke er kompatible. Konsekvensen er at selv om størrelsen L av reieimpulsen har en skarp veri, så kan ikke komponentene være skarpe samtiig. Derfor kan ikke retningen til L være skarpt efinert, ifølge kvantemekanisk teori. Vi har også sett at hver av e kartesiske komponentene L x osv kommuterer me kvaratet L 2 av reieimpulsoperatoren, [ L 2, L x ] = [ L 2, L y ] = [ L 2, L z ] = 0. (T4.7) Ifølge reglene ovenfor betyr ette at L 2 er kompatibel me f.eks L z. Det går altså an å finne simultane egenfunksjoner til isse to operatorene, som vi skal se i neste kapittel. 4.2 Paritet I avsnittene 4.2.1 og 4.2.2 innfører Hemmer paritetsoperatoren P og begrepet paritet. Dette er enkle og velige nyttige hjelpemiler i kvantemekanikk.

FY1006/TFY4215 Tillegg 4 4 Paritetsoperatoren og ens egenverier: Når paritetsoperatoren P virker på en funksjon ψ(r), er virkningen pr efinisjon: Pψ(r) = ψ( r). Paritetsoperatoren svarer altså til refleksjon me hensyn på origo, som vi også kaller rominversjon. Vi har tiligere sett eksempler på bølgefunksjoner som er symmetriske eller antisymmetriske me hensyn på origo, bl.a for en harmoniske oscillatoren; ψ( x) = ±ψ(x). Slike eksempler finnes også i tre imensjoner: ψ( r) = ±ψ(r). For en slik funksjon er Pψ(r) = ψ( r) = ±ψ(r). En funksjon som er symmetrisk (antisymmetrisk) me hensyn på rominversjon er altså en egenfunksjon til paritetsoperatoren me egenveri (paritet) +1 ( 1). Det viser seg at egenveriene ±1 er e eneste mulige, vs utgjør hele spektret til paritetsoperatoren. Bevis: La ψ være en egenfunksjon til P me egenverien p, Pψ(r) = pψ(r). Da er P 2 ψ(r) = P( Pψ(r)) = p Pψ(r) = p 2 ψ(r). Nå er et jo slik at operatoren P 2 svarer til to rominversjoner; vi har at Vi har altså at P 2 ψ(r) = Pψ( r) = ψ(r). ψ(r) = p 2 ψ(r), vs p 2 = 1. De to eneste mulige egenveriene til P er erfor { +1 (like paritet) p = 1 (oe paritet). Etter å ha lest gjennom isse avsnittene kan u merke eg at når potensialet V (r) og erme Hamilton-operatoren er refleksjonsinvariant, så kommuterer paritetsoperatoren me Hamilton-operatoren: V ( r) = V (r) = PĤ(r) = Ĥ( r) = Ĥ(r) = [ P, Ĥ] = 0. Bevis: For en vilkårlig funksjon ψ(r) har vi [ P, Ĥ(r)]ψ(r) = PĤ(r)ψ(r) Ĥ(r) Pψ(r) = Ĥ( r)ψ( r) Ĥ(r)ψ( r) = 0, q.e.. Ifølge regel B ovenfor er et a mulig å finne simultane egentilstaner til P og Ĥ, vs energiegenfunksjoner ψ E (r) som har velefinert paritet (symmetriske eller antisymmetriske): I trå me beviset av regel B har vi Ĥ( Pψ E ) = PĤψ E = E( Pψ E ). Pψ E er altså i likhet me ψ E en energiegenfunksjon me energi E: (i) Er enne energien ikke-egenerert, må Pψ E være proporsjonal me ψ E, Pψ E = pψ E. Her er p enten +1 eller 1, sien ette er e eneste mulige egenveriene til P. For en ikkeegenererte energien E har altså energiegenfunksjonen ψ E nøvenigvis velefinert paritet; en er enten symmetrisk eller antisymmetrisk.

FY1006/TFY4215 Tillegg 4 5 (ii) Er energinivået E egenerert, me flere energiegenfunksjoner ψ Ei (i = 1,, g), trenger ikke isse å ha velefinert paritet, men regel B forteller at e kan lineærkombineres til paritetsegentilstaner. For å huske innholet i enne røftingen er et nok å tenke på et par velkjente eksempler: (1) Den harmoniske oscillatoren har ikke-egenererte energinivåer, og energiegenfunksjonene har ganske riktig velefinert paritet. (2) Den frie partikkelen. I ette tilfellet kan vi velge å arbeie me symmetriske eller antisymmetriske løsninger (cos kx og sin kx), men vi kan også bruke asymmetriske løsninger (e ±ikx ). Et treje eksempel er en enelige brønnen { 0 for x < l, V (x) = V 0 for x > l. For 0 < E < V 0 er energinivåene iskrete og ikke-egenererte, og energiegenfunksjonene har velefinert paritet. For E > V 0 har vi to løsninger me samme energi. Her går et ifølge regel B an å finne én symmetrisk og én antisymmetrisk løsning for hver E, men et er mye mer interessant å jobbe me asymmetriske løsninger av typen Ae ikx + Be ikx for x < l, ψ E (x) = De iqx + F e iqx for l < x < l, (T4.8) Ce ikx for x > l. Dette kalles en spreningsløsning, fori en inneholer en innkommene og en reflektert bølge til venstre for brønnen og en transmittert bølge til høyre for brønnen. (Det kan vises at sannsynligheten for transmisjon er T = C/A 2 ; se avsnitt 3.6 i Hemmer, og avsnitt 4.6 i B&J.) 4.3 Tisutviklingen av forventningsverier Tisutviklingen av en tilstan (r, t) bestemmes av Schröingerligningen, og et samme gjeler a selvsagt også alle forventningsverier av observable, F = F τ F. Som vist i avsnitt 4.3 i Hemmer, kan visse trekk ve tisutviklingen av slike forventningsverier klarlegges uten at vi behøver å løse Schröingerligningen eksplisitt. Dette vises ve å regne ut en tiseriverte (/t) av venstre og høyre sie i ligningen ovenfor. På høyre sie kan erivasjonen flyttes inn uner integralet, når vi eriverer partielt me hensyn på t, vs holer anre variable fast. Den partielleriverte av integranen er a t [ ( F )] = t F + ( F ). t Hvis F ikke avhenger eksplisitt av t, kan en trekkes utenfor en siste erivasjonen ( / t og F kommuterer). I motsatt fall gir en siste erivasjonen to le, slik at resultatet blir t F = t F τ + F t τ + F t τ.

FY1006/TFY4215 Tillegg 4 6 Ve hjelp av Schröingerligningen har vi at t = ī hĥ. Første og anre le på høyre sie av ligningen ovenfor blir a hhvis ( ī ) i F τ = hĥ Ĥ τ og ī h h F Ĥ τ. Resultatet blir som vist i Hemmer følgene formel for tisutviklingen av forventningsverier: t F = ī [Ĥ, F ] F h + t. (T4.9) Her vil F vanligvis ikke avhenge eksplisitt av t, slik at vi kan stryke et siste leet. Dersom F, i tillegg til å være tisuavhengig, kommuterer me Ĥ, vs ersom observabelen F er kompatibel me energien E, finner vi nå et interessante resultatet at t F = 0. Forventningsverien F er altså tisuavhengig, og et kan vi slå fast uten å vite hvilken tilstan systemet befinner seg i. Vi sier a at observabelen F er en kvantemekanisk bevegelseskonstant. Alle observable som er kompatible me energien er altså slike bevegelseskonstanter. (Merk at et er forventningsveriene som er tisuavhengige.) Eksempel 1: Konservativt system Et eksempel er energien selv. Me F = E finner vi at t E = ī [Ĥ, h Ĥ] = 0. Dette gjeler forutsatt at Ĥ/ t = 0, vs uner forutsetning av at vi har et konservativt system, me et tisuavhengig potensial. I et slikt system er altså energien en bevegelseskonstant for en vilkårlig, ikke-stasjonær tilstan. Eksempel 2: Ikke-konservativt system Dersom potensialet er tisavhengig, blir Hamilton-operatoren eksplisitt tisavhengig, Ĥ = K + V (r, t). Ve å gå tilbake til utleningen sie 4 og 5 ser vi a at slik at [ (Ĥ)] = Ĥ + t t Ĥ Ĥ + t t = ī h Ĥ (ĤĤ ĤĤ) + t, Ĥ V t E = = t t.

FY1006/TFY4215 Tillegg 4 7 Eksempel 3: Paritetsbevarelse For et symmetrisk potensial har vi sett at [Ĥ, P] = 0. Det følger a at pariteten er en bevegelseskonstant, i en forstan at P = P τ er tisuavhengig. Som et spesialtilfelle kan vi tenke oss at tilstanen er symmetrisk (eller antisymmetrisk) ve et begynnelsestispunkt, slik at ette integralet er lik 1 (eller 1). Paritetsbevarelsen betyr i ette tilfellet at symmetrien (eller antisymmetrien) bevares hele tien (også om tilstanen er ikke-stasjonær). Eksempel 4: Fri partikkel For en fri partikkel, me Ĥ = p 2 /2m, er [Ĥ, p] = 0, slik at (/t) p = 0. Så impulsen er en bevegelseskonstant (vs p =konstant) for en vilkårlig tisavhengig fri-partikkel-tilstan (r, t). Dette er kvantemekanikkens utgave av Newtons første lov. Hvoran vil forventningsverien r av posisjonen utvikle seg for en fri-partikkelbølge (r, t)? Svaret er, i trå me en klassiske relasjonen r/t = v = p/m, at t r = p m. Det viser seg at enne relasjonen også holer for en partikkel som beveger seg i et potensial V (r). Dette er en el av Ehrenfests teorem, som har mer å si om sammenhengen mellom kvantemekanikk og klassisk mekanikk: 4.4 Ehrenfests teorem Ehrenfests teorem er nyelig beskrevet i Hemmers avsnitt 4.4. Vi skal se at (T4.9) også kan brukes til å utlee Ehrenfests teorem. Dette teoremet har å gjøre me sammenhengen mellom kvantemekanikk og klassisk mekanikk. Vi vet at klassisk mekanikk fungerer perfekt for makroskopiske objekter (me visse unntak), men at enne teorien ikke uger for e små tingene i naturen, som f.eks atomer og molekyler. Dynamikken til isse og anre objekter i mikrokosmos beskrives på en annen sie perfekt av kvantemekanikken. Hvoran går et så om vi bruker kvantemekanikken på større objekter? Er et f.eks slik at enne teorien fungerer årligere jo større objektene blir? Svaret er at kvantemekanikken ikke har noen slik begrensning. Når skalaen økes, går en kvantemekaniske beskrivelsen gravis over i en klassiske (unntatt for spesielle systemer er e kvantemekaniske effektene faktisk er observerbare også i makroskopisk skala, jf superlening og superfluiitet). Vi kan erfor si at en kvantemekaniske teorien inneholer klassisk mekanikk som et grensetilfelle, eller spesialtilfelle. Denne overgangen illustreres av Ehrenfests teorem. La oss betrakte en partikkel som beveger seg i et potensial V (r). Klassisk beskrives bevegelsen av ligningene p t = V, r t = p. (Newton) (T4.10) m I kvantemekanikken beskriver vi enne bevegelsen vha en bølgefunksjon (r, t) en bølgepakke som følger partikkelen (eller egentlig et ensemble av partikler) på ens tur runt omkring i potensialet V (r). Det vi a må sammenligne me en klassiske posisjonen r og impulsen p er e kvantemekaniske forventningsveriene r = r 3 r og p = p 3 r. (T4.11) Dersom partikkelen er tung (makroskopisk) må vi vente oss at isse forventningsveriene oppfører seg nøyaktig som e klassiske størrelsene i (T4.10). For mikroskopiske partikler, erimot, kan vi ikke vente at (T4.10) gir noe mer enn en årlig tilnærmelse til (T4.11).

FY1006/TFY4215 Tillegg 4 8 er 1 Vi skal nå unersøke om ette holer stikk. Fra (T4.9) har vi: t r = ī h [Ĥ, r] og t p = ī h [Ĥ, p] = [Ĥ, ] = [V, ], (T4.12) Ĥ = p2 + V (r, t). 2m Vi noterer oss at r kommuterer me potensial-leet, og at p kommuterer me et kinetiske leet p 2 /2m. Vi trenger erfor kommutatorene [ p 2, r] og [V, p]. Ve utregningen av isse (og anre) kommutatorer kan vi bruke e generelle regnereglene (T2.24) for kommutatorer: [Â, BĈ] = [Â, B]Ĉ + B[Â, Ĉ] [Â B, Ĉ] = Â[ B, Ĉ] + [Â, Ĉ] B. Vi finner a slik at og Viere er slik at Innsetting i (T4.12) gir nå [ p 2 x, x] = p x [ p x, x] + [ p x, x] p x = 2i h p x, p2 [Ĥ, x] = [ 2m, x] = 1 2m [ p2 x, x] = i h p x m, [Ĥ, r] = i h p m. [V, ] = V (V ) = ( V ), [Ĥ, p] = [V, p] = i h V. (T4.17) (T4.13) (T4.14) (T4.15) (T4.16) Disse ligningene utgjør tilsammen Ehrenfests teorem: t r = p m, (T4.18) t p = V. (T4.19) De kvantemekaniske bevegelses-ligningene for r og p (og anre mielverier) framkommer ve at en erstatter alle størrelsene i e klassiske ligningene (T4.10) me sine mielverier. Her kan et jo nesten se ut som om forventningsveriene følger e samme klassiske banene som r og p, men fullt så enkelt er et ikke. For at et skulle være tilfelle, måtte høyresien i (T4.19), som er forventningsverien av kraften F = V, være lik kraften akkurat i mielposisjonen r. I alminnelighet er ette selvsagt ikke oppfylt. Ve å Taylor-utvikle omkring mielposisjonen har vi nemlig (i én imensjon): F (x) = F ( x ) + (x x )F ( x ) + 1 2 (x x )2 F ( x ) +, slik at høyresien i (T4.19) svarer til F (x) = F ( x ) + 1 2 (x x ) 2 F ( x ) + = F ( x ) + 1 2 ( x)2 F ( x ) +. (T4.20) Vi kan erme summere opp slik: (i) For makroskopiske partikler vil x og p x være neglisjerbare i forhol til x og p x. Samtiig vil kraften F variere ubetyelig over bølgepakkens utstrekning, slik at F (x) = F ( x ). Dvs. forventningsveriene x og p x oppfyller Newtons ligning (T4.10); klassisk mekanikk er et grensetilfelle av kvantemekanikken. 1 Vi kan tillate et tisavhengig potensial.

FY1006/TFY4215 Tillegg 4 9 (ii) Selv for mikroskopiske partikler kan et i enkelte tilfeller være tillatt å sette F (x) = F ( x ) og bruke e klassiske ligningene. Dette krever at potensialet varierer lite over bølgepakkens utstrekning, og er f.eks. oppfylt me go margin i partikkel-akseleratorer. (iii) Betingelsen F (x) = F ( x ) kan være oppfylt også for partikler som beveger seg i potensialer me sub-mikroskopisk imensjon. Dette krever at F (x) = 0, vs. kraften må enten være konstant (som i et tyngefelt) eller variere lineært (harmonisk oscillator). For isse spesielle potensialene kan vi altså konkluere me at x og p x følger klassiske baner. I en oscillator vil f.eks. x oscillere harmonisk (som cos ωt).