Regneoppgaver AST 1010, vår 2017

Regneoppgaver AST 1010, vår 2017 (Sist oppdatert: 09.03.2017) OBS: Ikke få panikk om du ikke får til oppgavene med en gang, eller om du står helt fast: I forelesningsnotatene 1 finner du regneeksempler. Du kan også få hjelp med eller sjekke svarene på oppgaver i gruppetimene (onsdag/torsdag fra og med 26./27. januar). Etter gruppetimene legges løsningsforslag til gamle oppgaver inn bakerst i dette dokumentet 2 sammen med nye oppgaver. PS: Alle oppgavene skal løses uten hjelpemidler, slik at det blir realistisk øvelse til eksamen. Oppgave 1 Planeten Lars går i bane rundt stjernen sin med store halvakse lik 2 AU. Finn omløpstiden til denne planeten med Keplers 3. lov. Stjernen til planeten Lars har det dobbelte av Solens masse, så k = 0.5 i dette solsystemet. Vis tydelig hvordan du tenker/regner for å finne svaret, og husk riktige enheter. Oppgave 2 Planeten Sara går i bane rundt stjernen sin med store halvakse lik 4 AU. Finn omløpstiden til denne planeten med Keplers 3. lov. Du kan anta at stjernen til planeten Sara har nøyaktig samme masse som solen (og mye større masse enn planeten). Vis også her hvordan du tenker/regner for å finne svaret, og husk riktige enheter. Oppgave 3 Kometen C/2016 U1 NEOWISE går i bane rundt Solen med en omløpsperiode lik 1 000 år. Finn store halvakse i banen til denne kometen med Keplers 3. lov. Vis nok en gang hvordan du tenker/regner for å finne svaret, og husk riktige enheter. 1 https://www.uio.no/studier/emner/matnat/astro/ast1010/v17/timeplan/index.html#for 2 Oppdatert versjon: http://www.uio.no/studier/emner/matnat/astro/ast1010/v17/undervisningsmateriale/regneoppgaver-ast- 1010.pdf

Oppgave 4 Planeten Lars viser seg å ha en masse på 3 jordmasser. Planetens radius er det dobbelte av jordens. Vis tydelig hvordan du regner ut tyngdeakselerasjonen på overflaten av planeten Lars med Newtons gravitasjonslov. Hint: Når vi oppgir svaret i jord-gravitasjoner (g), kan du sette gravitasjonskonstanten G = 1. Oppgave 5 Den noe mindre planeten Lerkur har en masse på 3/4 jordmasser. Planetens radius er nøyaktig den samme som jordens. Vis tydelig hvordan du regner ut tyngdeakselerasjonen på overflaten av planeten Lerkur med Newtons gravitasjonslov. Husk riktig enhet i svaret. Oppgave 6 I vårt eget solsystem har Mars en masse som er nesten dobbelt av Merkurs masse. Hvordan kan det ha seg at tyngdeakselerasjonen på Mars overflate er den samme som på Merkurs overflate? Hint: Se på svarene i oppgave 4 og 5. Det kan også lønne seg å se på denne tabellen: http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/ Oppgave 7 (utfordring) Med litt avrunding kan vi si at månens radius er ca. 1/4 av jordens 3. Forklar hvorfor en måne som veier 1/16 jordmasse vil ha 1 g tyngdeakselerasjon på overflaten (Hint: Sett inn tallene i Newtons gravitasjonslov og sjekk 4 at svaret blir 1). Når den virkelige tyngdeakselerasjonen på månens overflate viser seg å være 1/6 g, er månens masse da mindre eller større enn 1/16 jordmasse? 5 3 Egentlig 0.2724 jord-radier (27,24 % av jordens radius). 4 Hjelpsom brøkregel til denne oppgaven som du ikke trenger å pugge til eksamen: & & = & 5 ' ) ' ) Frivillig ekstraoppgave for de som ikke får nok utfordringer: Hva veier månen i jordmasser (når vi bruker tilnærmingen på 1/4 jord-radius som i oppgave 7)?

Oppgave 8 Den dominerende bølgelengden i Solens spekter er ca. 500 nm (grønt lys). Bruk Wiens forskyvningslov til å regne ut den dominerende bølgelengden dersom vi tidobler Solens temperatur. Vis tydelig hvordan du tenker/regner og husk riktig enhet i svaret. Oppgave 9 Bruk Wiens forskyvningslov til å regne ut den dominerende bølgelengden dersom vi halverer Solens temperatur. Vis tydelig hvordan du tenker/regner og husk riktig enhet i svaret. Oppgave 10 Solens temperatur er 5 770 K (et tall du bør huske). For å gjøre regningen enklere, runder vi av temperaturen til 6 000 K i resten av denne oppgaven. Bruk Wiens forskyvningslov til å regne ut hva Solens temperatur ville vært dersom den dominerende bølgelengden hadde vært 250 nm (ultrafiolett stråling). Vis tydelig hvordan du tenker/regner og husk riktig enhet i svaret. Hvordan ville en sol med denne temperaturen sett ut for oss mennesker? Ville fargen på himmelen vært annerledes om Solen hadde hatt denne temperaturen?

Oppgave 11 Bruk Stefan-Boltzmanns lov til å regne ut fluksen til et sort legeme med en temperatur på 1 K. Vis tydelig utregning. Hvis du ikke er komfortabel med å ha med en ukjent konstant (σ) i svaret, kan du i denne og resten av oppgavene sette σ = 1. Hvis du gjør dette, kan du få lov til å droppe enheter i svarene på oppgaver som bruker denne konstanten, men da må du her og nå, i denne oppgaven, svare på hvilken måleenhet vi måler fluks i. Ikke bare er det viktig i seg selv, men du vil også ha bruk for å vite dette i oppgave 14. (Hvis du derimot ikke gjør dette, bruk denne måleenheten i alle svarene dine som normalt.) Oppgave 12 Bruk Stefan-Boltzmanns lov til å regne ut fluksen til et sort legeme med en temperatur på 3 K. Vis tydelig utregning. Oppgave 13 Bruk Stefan-Boltzmanns lov til å regne ut fluksen til et sort legeme med en temperatur på 10 K. Vis tydelig utregning. Oppgave 14 Hvilket sort legeme stråler ut mest effekt (måles i watt) av disse? Temperatur (K) Overflate (m 2 ) Legeme 1 1 81 Legeme 2 3 1 Begrunn svaret forklar tankegangen din.

Oppgave 15 (frivillig utfordring ikke pensum) Utled denne formelen for en planets temperatur som vi viste i forelesningene 6 (heller ikke pensum): T -.'/01 = T 23. R 23. 2a der a er avstanden mellom solen og planeten (egentlig store halvakse, men her tenker vi en planetbane som er helt sirkulær, slik at store halvakse = radius) og R 23. er solens radius. Bruk Stefan-Boltzmanns lov og følgende ikke-pensum-formler: Solens totale utstrålte effekt (fluks ganger areal) er: Fluksen man får i en viss avstand (a) fra solen: E 23. = F 23. 4πR 23. ; F <// = E 23. 4πa ; (dvs. at fluksen spres utover på overflaten av en kule med radius a). Total effekt som planeten tar inn: E <// = F <// πr ; (vi tenker her at delen av planeten som vender mot sola er en sirkel med radius R). Vi antar perfekt strålingsbalanse like mange watt inn som ut: E =1 = E <// og planetens utstrålte sort legeme-fluks er (for en kuleformet planet): F -.'/01 = E =1 4πR ; OBS: Du må bruke Stefans-Boltzmanns lov både på solen og planeten. Denne oppgaven er her kun for å gi en større utfordring til studenter som har erfaring med matematikk og manipulering av formler. Jeg ville aldri finne på å gi dette til eksamen, men håpet er at de som har forkunnskaper til det vil få noe interessant å bryne seg på. (Jeg vil også lage løsningsforslag til denne oppgaven, selv om den er helt frivillig.) 6 I den opprinnelige forelesningen (våren 2017) hadde jeg glemt faktoren 2 i nevneren, men dette er nå blitt oppdatert.

Oppgave 16 Hva er parallaksen til en stjerne som er 2 pc unna jorden? Vis tydelig utregning og bruk riktig enhet i svaret. Oppgave 17 Hva er parallaksen til en stjerne som er 4 pc unna jorden? Vis tydelig utregning og bruk riktig enhet i svaret. Oppgave 18 Hvor langt unna jorden er en stjerne som har parallakse på 2 buesekunder? Vis tydelig utregning og bruk riktig enhet i svaret. Oppgave 19 Hvor langt unna jorden er en stjerne som har parallakse på 10 buesekunder? Vis tydelig utregning og bruk riktig enhet i svaret. Oppgave 20 (frivillig utfordring) Ifølge formelen, hvor stor parallaksevinkel vil en stjerne ha hvis den er 1 AU unna oss? Vis tydelig utregning og oppgi svaret i grader. (Hint: For å gjøre regningen overkommelig uten hjelpemidler, anbefales det å bruke radianer til å begynne med. Du vil også få bruk for at >?@ ;A 57,3.) Hvorfor har ikke Solen denne parallaksen når Solen er 1 AU unna oss? (Hint 1: Her kan det hjelpe å tegne en figur. Pass på at du ikke plasserer Solen to forskjellige steder. To av sidene i det som generelt ble en rettvinklet trekant vil her ha samme lengde.) (Hint 2: Når vi utledet parallakseformelen i forelesning, gjorde vi en antakelse som bare gjelder en type vinkler. Er denne matematiske antakelsen gyldig her?)

Løsningsforslag til regneoppgavene (oppdateres etter gruppetimen hvor oppgavene blir gjennomgått) Oppgave 1 Keplers 3. lov: P ; = k a > P P = k a a a Setter inn opplysningene gitt i oppgaven: P P = 0.5 2 2 2 P P = 0.5 8 P P = 4 Prøver meg fram med P = 1: Hva med P = 2? 1 1 4 2 2 = 4 Ser dermed at svaret må være P = 2 år (husk enhetene J). Oppgave 2 Viktig: Stjernen her har samme masse som Solen. Siden verdien av konstanten k er bestemt av stjernens masse (når stjernen er mye større enn planeten, i alle fall), må vi her ha samme verdi av k som i vårt eget solsystem: k = 1. P ; = k a > P ; = 1 4 > P ; = 1 4 4 4 P ; = 4 16 P ; = 64 Denne oppgaven kan løses videre akkurat som oppgave 1, med prøving og feiling. Men hvis du behersker kvadratrøtter og tredjerøtter godt, kan du våge deg ut på en mer avansert fremgangsmåte:

P ; = 64 Partallsrøtter har både positive og negative løsninger: P ; = ± 64 P = ±8 Hva skal vi mene med en omløpsperiode på -8 år? Den beste tolkningen jeg kan tenke meg på dette, er at planeten går motsatt vei av det jorden gjør rundt Solen. Men omløpsperioden målt på en klokke er akkurat den samme også i dette tilfellet i begge tilfeller blir den P = 8 år (Kommentar: Vi kunne selvsagt funnet en negativ løsning også med prøving og feiling, ( 8) ( 8) = 64, men fordi vi det at omløpsperioden skal være positiv er dette en veldig unaturlig løsning å prøve. Når du tar roten av hver side på en likning, skal imidlertid begge fortegn med, og du bør derfor argumentere hvorfor den negative er ufysisk/uten betydning. Om du derimot prøver og feiler som vi gjorde i oppgave 1, trenger du ikke tenke på å utelukke negative løsninger til eksamen det er ingen grunn til å prøve med negativ tid i dette tilfellet.) Oppgave 3 Er det snakk om Solen, er k = 1 (i alle fall så lenge enhetene er AU og år, og det vil de være på eksamen): P ; = k a > 1 000 ; = 1 a > 1 000 1 000 = a a a 1 000 000 = a a a Prøver med a = 10: Prøver med a = 100: 1 000 000 1 000 = 10 10 10 1 000 000 = 100 100 100 Ser dermed at svaret må være a = 100 AU (husk enhetene J).

Oppgave 4 Newtons gravitasjonslov: g = G M r ; Setter G = 1: g = 1 M r r Setter inn tallene (i jordmasser og jord-radier) for planeten Lars: g = 1 3 2 2 = 3 4 På overflaten av planeten Lars er tyngdeakselerasjonen 0,75 g (75 % av jordens). Oppgave 5 Fra forrige oppgave: g = 1 M r r Setter inn tallene (i jordmasser og jord-radier) for planeten Lerkur: g = 1 3 4 1 1 = 1 0,75 1 1 = 0,75 På overflaten av planeten Lerkur er tyngdeakselerasjonen 0,75 g (75 % av jordens). Oppgave 6 Som oppgave 4 og 5 viser, har planetene Lars og Lerkur akkurat samme tyngdeakselerasjon på overflaten, selv om de har forskjellig masse. Dette skyldes at radien til planeten også spiller en rolle det finnes (uendelig) mange kombinasjoner av radius og masse som gir samme tyngdeakselerasjon. For en utregning med realistiske tall for Merkur og Mars, se notatene til forelesning 8 (jorda, månen og Mars). Forholdet mellom masse og r ; er det samme for begge planetene, noe vi kan sjekke ved å se på data fra NASA-tabellen og gjøre en utregning. At vi isteden brukte eksempel-planetene Lerkur og Lars var for å få enklere tall, som det vi ville fått på en eventuell eksamensoppgave.

Oppgave 7 (utfordring) g = 1 M r r Setter inn tallene gitt i oppgaven: g = 1 1 16 1 4 1 4 Brøkregel: g = 1 1 16 1 1 4 4 = 1 1 16 1 16 = 1 16 1 16 = 1 Det stemmer at en slik måne ville hatt samme overflatetyngdekraft som jorden: 1 g Månens egentlige tyngdekraft er 6 ganger mindre enn dette ( & g), så hvis vi skal bruke den? samme radien, må månens egentlige masse være tilsvarende (6 ganger) mindre. Helt nøyaktig (ekstrautfordringen i fotnoten) er månens egentlige masse da: M = 1 16 6 = 1 16 6 = 1 96 jordmasse her brukte vi enda en brøkregel som du ikke trenger å huske til eksamen. Dette er ikke langt unna månens egentlige masse (du kan selv sjekke det i NASA-tabellen, om du insisterer) en mer nøyaktig måneradius i stedet for 1/4 av jordens ville gitt et enda mer nøyaktig resultat.

Oppgave 8 Wiens forskyvningslov: λ U'V = b T For Solen: Tidobler temperaturen: λ U'V = λ U'V = b = 500 nm 5 770 K b 500 nm = = 50 nm 10 5 770 K 10 Forklaring: Siden temperaturen er i nevneren, deler vi på 10 når temperaturen tidobles. Da blir den dominerende bølgelengden 50 nm. Oppgave 9 Hvis vi i stedet halverer temperaturen: λ U'V = b 500 nm = = 1000 nm 0,5 5 770 K 0,5 Forklaring: Når vi deler på en halv, er det det samme som å doble. Hvorfor? Fordi hvis en halv person skal få 500 nm, må en hel få 1000 nm. Oppgave 10 Runder av solens temperatur (ikke helt nøyaktig): λ U'V = b = 500 nm 6 000 K Hva slags temperatur ville gitt oss 250 nm (halvparten av 500 nm) som svar? For å få halvert svaret, må nevneren være dobbelt så stor (å halvere er å dele på 2): λ U'V = b 12 000 K = b 500 nm = = 250 nm 2 6 000 K 2 Om solens temperatur hadde vært 12 000 K, ville ultrafiolett stråling dominert. Mennesker kan ikke se ultrafiolett stråling, men i det synlige spekteret ville fiolett og blått lys dominert. Imidlertid ser menneskeøyet blått bedre enn fiolett, så en slik stjerne ville sett blå ut for mennesker. En slik sol ville sendt ut mer fiolett enn blått lys, og korte bølgelengder spres mest i det synlige spekteret. Vi kan derfor anta at himmelen ville hatt et sterkere innslag av fiolett enn det vi ser i dag, men om menneskeøyet ville klart å se tydelig forskjell er et åpent spørsmål. (I tillegg ville himmelen vært mye lysere, fordi en varmere stjerne stråler mer.)

Oppgave 11 Stefan-Boltzmanns lov: Setter inn T = 1 K: F = σ T \ = σ T T T T F = σ 1 1 1 1 = σ Fluksen blir altså lik konstanten σ W/m 2. Alternativt, om du setter σ = 1, blir fluksen lik 1. Måleenheten for fluks er watt per kvadratmeter. Oppgave 12 Setter inn T = 3 K: F = σ 3 3 3 3 F = σ 9 9 F = σ 81 Her blir altså fluksen hele 81 ganger større: 81 σ W/ m 2 (eller 81 om du satte σ = 1). Oppgave 13 Setter inn T = 10 K: F = σ 10 10 10 10 F = σ 100 100 F = σ 10 000 Her blir fluksen ti tusen ganger større: 10 000 σ W/m 2 (eller 10 000 om du satte σ = 1). Oppgave 14 Dette er legemene i oppgave 11 og 12, som vi allerede har regnet ut fluksen for: Temperatur (K) Overflate (m 2 ) Fluks (W/m 2 ) Effekt (W) Legeme 1 1 81 1 81 Legeme 2 3 1 81 81 Vi finner den totale effekten (W) ved å gange sammen fluks (W/m 2 ) med areal (m 2 ). Det viser seg at det lille, litt varmere legemet stråler ut like mye effekt som det svære, litt kaldere legemet (det må mye areal til for å kompensere for en liten temperaturendring).

Oppgave 15 (frivillig utfordring ikke pensum) Stefam-Boltzmanns lov for planeten: \ F -.'/01 = σ T -.'/01 Bruker F -.'/01 = ^_` \Aa b: T -.'/01 = F -.'/01 σ T -.'/01 = E =1 4πR ; σ = E <// 4πR ; σ (pga. strålingsbalanse). Videre utnytter vi at E <// = F <// πr ; : og siden F <// = ^cde \A' b: T -.'/01 = F <// πr ; 4πR ; σ = F <// 4σ Men E 23. = F 23. 4πR 23. ; : T -.'/01 = E 23. 4πa ; 4σ T -.'/01 = F ; 23. 4πR 23. 4πa ; 4σ Bruker nå Stefan-Boltzmanns lov for Solen (F 23. = σ T \ 23. ): = F ; 23. R 23. a ; 4σ Utnytter til slutt at x ; T -.'/01 = σ T 23. \ ; R 23. a ; = T 23. \ ; R 23. 4σ a ; = T 4 23. = x ;/\ = x &/; = x: R 23. ; a ; 2 ; T -.'/01 = T 23. R 23. 2a hvilket skulle bevises. Det vi har funnet ut er altså at en planet blir varmere jo varmere solen er, jo nærmere solen den er, og jo større solen er (en større sol med samme temperatur sender ut mer total effekt, og vil dermed gjøre planetene varmere).

Oppgave 16 Parallakseformelen: d = 1 p Setter inn d = 2 pc: 2 = 1 p Hva skal man dele 1 på for å få 2 som svar (se også oppgave 9)? 2 1 = 1 0,5 Når avstanden er oppgitt i parsec, er parallaksevinkelen i buesekunder. En stjerne 2 pc unna jorden har en parallaksevinkel på 0,5 buesekunder. Oppgave 17 Setter inn d = 4 pc: 4 = 1 p Hva skal man dele 1 på for å få 4 som svar? 4 1 = 1 0,25 En stjerne 4 pc unna jorden har en parallaksevinkel på 0,25 buesekunder. Oppgave 18 Parallakseformelen: Setter inn p = 2 buesekunder: d = 1 p d = 1 2 Når parallaksevinkelen er oppgitt i buesekunder, er avstanden i parsec. En stjerne med parallaksevinkel 2 buesekunder er 0,5 pc unna jorden.

Oppgave 19 Setter inn p = 10 buesekunder: d = 1 10 En stjerne med parallaksevinkel 10 buesekunder er 0.1 pc unna jorden. Oppgave 20 (frivillig utfordring) Setter inn d = 1 AU: 1 = 1 p Ser at 1 = 1 1 men siden avstanden var gitt i AU, må parallaksevinkelen være oppgitt i radianer. For å regne dette om til grader: 1 rad = 360 2π 57,3 Vi får en parallaksevinkel på 57,3 grader med parallakseformelen her. At Solen ikke har denne parallaksevinkelen er åpenbart, for en enkel figur vil vise at Solen flytter seg 90 grader på et kvart år. (I dette tilfellet vil TO av vinklene i trekanten bli 90 grader, og den siste blir 0 grader: Trekanten vår blir egentlig bare to linjer oppå hverandre. Jeg er for lat til å tegne det, men dere skjønner forhåpentligvis tegninga likevel.) Om vi isteden tegner en figur med TO soler, hvor jorda går i bane rundt den ene og den andre er 1 AU unna 7, får vi en parallaksevinkel på 45 grader. Selv om dette er urealistisk fysisk sett, er dette nærmere hvordan parallakseformelen er ment å brukes, men vi får fortsatt ikke riktig svar hvorfor? Den matematiske årsaken er tilnærmingen vi brukte til å utlede parallakseformelen bare fungerer når vinkelen (gitt i radianer) er svært liten: sin p p En vinkel på en hel radian (57,3 grader) er definitivt ingen liten vinkel, derfor er det ingen grunn til å forvente at formelen skal gi et fornuftig svar for gjenstander så nært jorden. 7 I alle fall til å begynne med, når Jorden og de to solene er på linje. Når Jorden og de to solene danner en likebeint trekant vil avstanden ha økt til ca. 1,42 AU (kan vises med Pytagoras formel). For fjerne stjerner med en mye mindre parallaksevinkel vil en slik endring i avstand være ubetydelig liten enda en grunn til å insistere på små vinkler.