Løsningsforslag Eksamen M Våren Oppgave f(x) = (x )e x Bruker produktregelen i derivasjonen f (x) = e x + (x ) (e x ) For å derivere e x velges kjernen u = x, og vi får (e x ) = e u. f (x) = e x + (x ) e x = e x (x ) Setter f (x) = e x (x ) = og får x = Figur : Oppg. Fortegnsskjema for f (x). f er minkende for x (, og voksende for x, ). f (x) = e x (x ) f (x) = e x (x ) + e x = 4e x x e x + e x = 4e x x Har brukt produktregel og deretter kjerneregel (i derivasjon av e x ) slik som i oppg.. For å ha et vendepunkt må f (x) skifte fortegn. f (x) = 4e x x = x = Har og at f (x) < for x < og at f (x) > for x > f har et vendepunkt for x = (f() = ). Grafen krummer nedover (er konkav) for x < og den krummer oppover (er konveks) for x >.
LøsningsforslagEksamen M Våren Horisontale asymptoter finnes ved å se på verdien av f når x eller x. lim f(x) = lim (x (x ) x x )ex = lim = lim x e x x e = x Har her brukt l Hopitals regel (derivert teller og nevner hver for seg) i siste overgangen før innsetting. lim x f(x) = lim (x )ex x Denne grensen eksisterer ikke (den går mot uendelig), og gir derfor ingen horisontal asymptote. f har en horisontal asymptote for x =. d) Noen punkter som brukes for å tegne f(x). Se fig. f( ) = ( )e ( ) = e,7 f() = ( )e = f() = ( )e = f() = ( )e = e 4 4,6 f( ) = ( )e( ) = e,3 Figur : Oppg. d) Skisse av grafen. e) Ser at arealet avgrenset av x-aksen, x =, x = og grafen til f er lik minus integralet av f fra til. (Det negative fortegnet er med fordi grafen ligger under x-aksen.) A = f(x) dx = (x )e x dx = xe x dx + e x dx Siste delen løses ved å substituere u = x. Deriverer og får du = dx dx = du x= e x dx = e u du x= = x= eu = x= ex = e e = e
LøsningsforslagEksamen M Våren 3 For å løse den første delen kan vi bruke delvis integrasjon. u v = u v u v Velger u = x u = og v = e x v = e x dx = ex (løst over) og får: xe x dx = x ex ex dx = e ( ) ex = ( e 4 e ) 4 e = 4 e + 4 e = 4 e + 4 Legger sammen igjen ( A = 4 e + ) ( + 4 e ) = 4 e 3 4 = 4 (e 3) Arealet er lik 4 (e 3). Oppgave I = x cos(ax 3 ) dx Substituerer u = ax 3 du = 3ax dx du 3ax = dx I = x du cos(u) 3ax = cosudu = 3a 3a sinu + c = 3a sinax3 + c der c er en konstant. e t cos(t) dt Bruker delvis integrasjon: u v = u v u v, ved å velge u = cost u = sint og v = e t v = e t e t cos(t) dt = cost e t ( sint)e t dt = e t cost + e t sintdt Bruker delvis integrasjon på siste ledd en gang til. Velger u = sint u = cost og v = e t v = e t ( ) e t cos(t) dt = e t cost+ sint e t cost e t dt +c = e t cost+e t sint 4 e t cos(t) dt+c
LøsningsforslagEksamen M Våren 4 Har nå fått tilbake et uttrykk som inneholder det opprinnelige integralet. Dette leddet kan flyttes over på venstre side og deretter kan man dele ligningen på fem e t cos(t) dt = e t cost + e t sint + c e t cos(t) dt = et (cost + sint) + c der c er en konstant (c er i dette tilfellet lik c, og c er den opprinnelige integrasjonskonstanten.) G = lim x e x x x Får her et null på null uttrykk og vi kan bruke l Hopitals regel (deriverer teller og nevner hver for seg) G = lim x e x x = lim x e x = e = bruker l Hopitals regel en gang til d) 3 + i i = 3 + i i + i 6 + 3i + i = + i 4 + i i + + 3i = + 3 i Figur 3: Oppg. d) + 3 i avmerket i det komplekse planet. e) 3 + i = re iθ r = 3 + i = ( 3) + = 9 + = 34 En måte å finne vinkelen θ på er å først finne vinkelen θ (se fig 4) og deretter legge til π. θ = tan ( 3 )
LøsningsforslagEksamen M Våren θ er nå gitt ved θ = π + θ = π + tan ( 3 ) =, Det komplekre tallet 3 + i kan skrives som 34e,i Figur 4: Oppg. e) 3 + i avmerket i det komplekse planet. Oppgave 3 dx = 3x + y = px + qy dt dy = x + y = rx + sy dt p q For å finne løsningen trenger vi egenverdiene og egenvektorene til matrisen = r s 3 λ Egenverdiene finnes ved å sette determinanten til matrisen lik null. λ 3 λ λ = (3 λ)( λ) = 6 3λ λ + λ = λ λ + 4 = λ, = ( ) ± ( ) 4 4 Egenvektorer: λ = : 3 a a + b = a + b = b = } b = a λ = 4: 3 4 a = 4 b = ± 9 = ± 3 { 4 x λ = = a 3
LøsningsforslagEksamen M Våren 6 a + b = a b = Den generelle løsningen er da gitt ved x = a e λ t + a e λ t = a e t + a e 4t } a = b x λ =4 = a y = a e λ t + a e λ t = a e t + a e 4t der a og a er konstanter. dx dt dy dt = 3x + y + = x + y + Likevekt oppstår når dx dt = dy dt = 3x + y + = x + y + = Løser disse to ligningene: (I) (II) (I) (II) : 3x + y+ x y = 6x + x = 4x = 8 x = Innsatt i (I): 3( ) + y + = y = 6 = Likevektstilstanden er gitt ved x = og y =. Innfører nye variable X = x ( ) = x + og Y = y, systemet kan nå skrives: X t = 3X + Y Y = X + Y t Den generelle løsningen til dette systemet er funnet i oppg.. X = a e t + a e 4t Y = a e t + a e 4t Substituerer så tilbake til de opprinnelige variablene x og y: x = X = a e t + a e 4t y = Y + = a e t + a e 4t + Initialkrav: x() = 3 og y() = 3 x() = a e + a e = a a = 3 a a = y() = a e + a e + = a + a + = 3 a + a =
LøsningsforslagEksamen M Våren 7 Adderer de to ligningene og får: ( )a + ( + )a = + a = Innsatt i den ligningen første gir det a = a + = ( ) + = Løsningen av systemet blir derfor x = e t og y = ( )e t + = e t +. Oppgave 4 V (t)=volum ved tiden t Proporsjonalitetskonstant α > er nega- Utsrømmingen er lik volumforandringen dv dv, med negativt fortegn (volumet blir mindre, dvs dt dt tivt, mens utstrømmingen blir sett på som en positiv størrelse.) Differensialligningen blir: dv dt = α V (t). Ligningen er separabel og kan løses på følgende måte: dv dt = α V V / dv = α dt + + V = αt + c V = c at ( c V = α ) t Hvis vi nå velger integrasjonskonstanten c = V får vi V (t) = ( V α t ), som skulle vises. Valget av integrasjonskonstant fører til at V () = ( V ) = V Altså er V det volumet som er i karet ved tiden t =. α =,cm 3/ s og V = l = dm 3 = cm 3 t s er tid før karet er tomt. ( V = cm 3,cm/3 s ) t s = cm t s = 3,cm /3 s = 3,6cm3/ s = 6,s,cm /3 Det tar 6,s (= min og 6,s) før karet er tom.
LøsningsforslagEksamen M Våren 8 Oppgave f(x,y) = x + xy + y De partielle deriverte av. orden: f f = x + y x Og av. orden: = x + y y f x = f x y = f y x = f y = Har at f(,) = + + = 4, f(,) x = + = 4 og f(,) y = + = 4 Ligningen for et tangentplan gjennom punktet (,) er gitt ved z = f(,)+ f(,) x (x )+ f(,) (y ) = 4+4(x )+4(y ) = 4+4x 4+4y 4 = 4(x+y ) y Ligningen for tangentplanet til flaten i punktet (, ) er z = 4(x + y ). Et tangentplan i punktet (,) er en lineær tilnærming til grafen rundt punktet (,). En tilnærming av verdier for funksjonen rundt dette punktet kan derfor finnes ved å regne ut F (x, y) = 4(x + y ). Oppgave 6 x n =antall gamle individer y n =antall unge individer xn+ xn = M y n+ y n der M = 3 Egenverdiene til matrisen finnes ved å sette determinanten til matrisen λ 3 λ lik null. λ ( )( ) 3 λ 3 = λ λ = 3 λ 3 λ + λ = λ 4 λ + 7 = λ, = ( 4 ) ( ) ± 4 4 7 4 ± 9 4 = = ± 3 { = 7
LøsningsforslagEksamen M Våren 9 Egenverdiene er λ = og λ = 7 Egenvektorer: λ = 3 a a + b = a + b = b = } b = a Egenvektoren korresponderende til λ er lik a, der a er en konstant. λ = 7 7 3 7 a a + b = a b = b = } a = b Egenvektoren korresponderende til λ er lik a, der a er en konstant. Enhver tilstand kan skrives som en lineær sum av egenvektorene. Anta vi har en startverdi for x og y begge større enn. Da kan vi skrive x = a y v + a v der v og v er de to egenvektorene funnet i oppgava, og a og a er konstanter. I tillegg har vi fra egenverdiligningen M v = λ v M n v = λ n v der v er en egenvektor. Benytter disse resultatene og får xn = M y n x = M n y n a v + M n a v = a λ n v + a λ n v () Fant tidligere at λ = < og λ = 7 < Et tall mellom og opphøyd i et stort positivt tall (n) vil gå mot null. Vi får derfor at både x n og y n går mot null når n går mot uendelig. Populasjonen dør altså ut.
LøsningsforslagEksamen M Våren Antar at vi kjenner startverdiene x og y. Må først finne konstantene a og a som er brukt i oppgave. x = a y + a Får ligningene: (-(: x o = a + a ( y = a + a ( ( x y = a ) a = 6 a a = 6 (x y ) Innsatt i (: a = x a = x 6 (x y ) = 6 (x + y ) Setter n = i ligning (): x y = a λ v + a λ v = ( 6 (x y ) = 6 (x y ) + 7 (x + y ) (x y ) + 7 (x + y ) ) + ( ) 7 6 (x + y ) ( + 7 )x + (7 )y = 6 (7 )x + ( + 7 )y Har nå funnet antall gamle og unge individer etter år uttrykt ved hjelp av startverdiene x o og y. Fordi disse ikke er oppgitt er det vanskelig å runde av til nærmeste hele tall slik oppgaven ber om.