Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 5, blokk I Løsningsskisse Oppgave 1 X og Y er uavhengige Poisson-fordelte stokastiske variable, X p(x;5 og Y p(y;1. Fra tabell A.2 finner vi P (X 5 = 5 x= p(x; 5 =.616 og P (X 3 X 5 = P (X 3 X 5 P (X 5 = P (X 3 P (X 5 =.43. La Z = X + Y. X og Y er Poisson-fordelt og dermed vil variabelen Z være Poisson-fordelt med parameter λ = 5 + 1 = 15, dvs. Z Poisson(15. Ved bruk av tabell A.2 finner vi P (X + Y > 1 = P (Z > 1 = 1 P (Z 1 = 1 1 x= = 1.1185 =.882. Oppgave 2 Vi ser på en tilfeldig valgt natt og definerer følgende hendelser: A = Anne er på vakt, B = Bernt er på vakt, C = Cecilie er på vakt, D = det skjer et dødsfall. Og antar at alle dødsfall skjer naturlig. a Venndiagram for de fire hendelsene: Siden det bare er Anne, Bernt og Cecilie som jobber på sykehjemmet om natten vil hendelsene A, B og C utgjøre en partisjon av utfallsrommet, og vi må ha at P (A + P (B + P (C = 1. Dette ser vi også av venndiagrammet. Siden Bernt og Cecilie jobber like ofte må P (B = P (C. Siden Anne jobber dobbelt så ofte som hver av Bernt og Cecilie må P (A = 2 P (B = 2 P (C. Vi utrykker alt ved P (B. ov5-lsf-b 3. september Side 1
C B A D P (A + P (B + P (C = 1 2 P (B + P (B + P (B = 1 P (B =.25 Dermed har vi at P (A =.5 P (B =.25 P (C =.25 For å regne ut P (D kan vi bruke setningen om total sannsynlighet. Vi vet at A, B, C er en partisjon av utfallsrommet. P (D = P (D A + P (D B + P (D C = P (D A P (A + P (D B P (B + P (D C P (C =.6 (.5 +.25 +.25 =.6 Definisjonen av uavhengighet sier at C og D er to uavhengige hendelser hvis og bare hvis P (D C = P (D, dvs. at tilleggsinformasjon ikke endrer bildet. Vi ser fra utregningene over at P (D C = P (D =.6, og C og D er dermed uavhengige hendelser. Intuitivt vil uavhengighet av C og D følge av antagelsen om naturlig død. b X er en stokastisk variabel som beskriver antall av n = 1 naturlige dødsfall som skjer på Cecilies vakter. Betingelser for at X er binomisk fordelt: Vi ser på n = 1 dødsfall. For hver dødsfall sjekker vi om Cecilie var på vakt eller ikke. Sannsynligheten for at Cecilie er på vakt gitt at det har skjedd et dødsfall er P (C D = P (C =.25, og denne sannsynligheten er det samme for alle de n dødsfallene. De n dødsfallene er uavhengige siden de er naturlige (og vi antar dermed at det ikke er snakk om smittsomme sykdommer eller epidemier. ov5-lsf-b 3. september Side 2
Under disse 4 betingelsene er X= antall naturlig dødsfall på Cecilies vakter binomisk fordelt med parametere n = 1 og p =.25. Dermed er sannsynlighetsfordelingen til X gitt ved punktsannsynligheten f(x, ( n f(x = p x (1 p n x, x =, 1,..., n x Sannsynligheten for at eller flere av 1 dødsfall om natten skjer på Cecilies vakter finner vi enklest ved tabelloppslag (s 13 i formelsamlingen, P (X = = 1 P (X 6 = 1.996 =.4 La Y være en stokastisk variabel som angir antall sykepleiere blant 3 sykepleiere som opplever flere enn dødsfall på sine vakter av totalt 1 dødsfall. Y vil dermed være binomisk fordelt med n = 3 og p =.4. Sannsynligheten for at minst en av de 3 sykepleierne opplever at eller flere av 1 naturlige dødsfall skjer på sine vakter er gitt som P (Y 1. ( 3 P (Y 1 = 1 P (Y = = 1.4 (1.4 3 = 1.996 3 = 1.3 =. Selv om det er lite sannsynlig (bare 4 promille at det skjer av 1 naturlige dødsfall på Cecilies vakter, er det svært sannsynlig ( prosent at minst av 1 dødsfall kan skje på vakten til en av sykepleierne i Norge som jobber i samme stillingstype som Cecilie. Disse observasjonene styrker ikke mistanken mot Cecilie. Analogi: Hver uke er det (som regel noen som får rette i Lotto, selv om dette har en forsvinnende lav sannsynlighet for hver Lotto-spiller. Oppgave 3 Definer der X : antall tankskip som ankommer havnen i løpet av en dag X poisson (λ, med λ = E (X = 2. Havnen kan maksimalt betjene 3 tankskip per dag. a Da X er poissonfordelt har vi at P (X = x = λx x! e λ = 2x x! e 2, x =, 1, 2,.... ov5-lsf-b 3. september Side 3
Med innsatte verdier for x har vi x 1 2 3 4 5 P (X = x.1353.2.2.184.92.361 Vi ser dermed at det er størst sannsynlighet for at det ankommer ett eller to tankskip en bestemt dag. Tankskip må dirigeres til andre havner dersom det ankommer mer enn tre tankskip en dag. Vi har dermed P (Ett eller flere tankskip må omdirigeres = P (X > 3 = 1 P (X 3 tabell = 1.851 =.1429 b Definer Y : antall skip som betjenes en dag. Da Y 3 har vi at P (Y = y = P (X = x, y =, 1, 2 P (Y = 3 = P (X 3 = 1 P (X 2. Vi får dermed 3 E [Y ] = y P (Y = y y= = P (X = + 1 P (X = 1 + 2 P (X = 2 + 3 (1 P (X 2 =.2 + 2.2 + 3 (1.66 = 1.82. c Definer k : kapasitet. Vi ønsker å finne k slik at P (X k.9. Med innsatte verdier for k får vi Vi har dermed at k 1 2 3 4 5 P (X k.1353.46.66.851.944.9834 P (X 4 =.944 >.9, og vi må dermed bygge ut havnen til kapasitet på fire skip for med minst 9% sannsynlighet å kunne betjene samtlige skip som ankommer en gitt dag. ov5-lsf-b 3. september Side 4
Oppgave 4 TMA424 Statistikk En lottorekke kan oppfattes som et ikke-ordnet utvalg på elementer blant tallene 1 til 34, der utvelgingen skjer uten tilbakelegging. a Det finnes forskjellige lotto-rekker. ( 34 = 539616 Skal finne sannsynligheten for at lottorekka inneholder tallet 34. Denne kan beregnes som P ( lottorekka inneholder tallet 34 = 1 P ( lottorekka inneholder IKKE tallet 34 der antallet mulige lottorekker er ( 33 er slik at ( 34 og antallet mulige lottorekker uten tallet 34 ( 33 P ( lottorekka inneholder tallet 34 = 1 ( 34 = 1 2 34 = 34. Definer X : antall rette i lottorekken, der X følger hypergeometrisk fordeling h(x; N, n, k = ( k x ( N k n x ( N n med N = 34, n = og k =. Sannsynligheten for at en lottorekke vil oppnå rette er gitt ved ( ( 2 p = P ( rette = h(; 34,, = ( 34 = 1 ( 34 = 1.859 1. ov5-lsf-b 3. september Side 5
b Det leveres hver uke inn n = 19 rekker i lotto. Definer X : antall av de n innleverte rekkene som oppnår rette i ukens trekning X er binomisk fordelt, men kan med god tinærmelse regnes å være poissonfordelt da poissonfordelingen er grensefordelingen til binomisk fordeling når n og p. Ifølge teorem 5.6 har vi at n p µ for n slik at parameteren i poissonfordelingen er gitt ved µ = n p = 19 1.859 1 = 3.53. Sannsynlighetstettheten til X er nå gitt ved og vi har f X (x = µx x! e µ P ( ingen av de innleverte rekkene har rette = P (X = = 3.53 e 3.53 = e 3.53 =.29.! Legg merke til at vi oppnår samme svar uten poissontilnærmingen, dvs dersom X er binomisk fordelt med parametre n = 19 og p = 1.859 1 gitt ved Vi har da f X (x = ( n x p x (1 p n x. P ( ingen av de innleverte rekkene har rette ( n = P (X = = p (1 p n = (1 p n = (1 1.859 1 19 =.29. Definer Y : antall Gull-lotto omganger pr. år der vi antar at det er 52 uker pr. år. Y følger her en binomisk fordeling med n = 52 og p =.29. Vi har dermed at E(Y = n p = 52.29 = 1.5 og P (Y = = f Y ( = ( 52 p (1 p 52 = (1.29 52 =.22. ov5-lsf-b 3. september Side 6
c Eksempel på en mulig kode for Poisson sannsynlighetstetthetsfunksjon: function funcval = poisson(x,mean funcval = ((meanˆx/(factorial(x*(exp( mean; TMA424 Statistikk Et plot av verdiene fra Poissontetthetsfunksjonen for x-verdier fra til 12 er vist i Fig 1. Her har vi brukt µ = np = 3.53 som vi fant i Oppgave 5b. Vi bruker heltall ettersom Poisson tetthetsfunksjonen er en diskret sannsynlighetsfordeling som bare er definert for heltallsverdier av x. Figur 1: Poissontetthetsfunksjonen, f X (x = µx x! e µ for heltallsverdier av x fra til 12 med µ = 3.53. d Eksempel på en mulig kode for den binomiske sannsynlighetstetthetsfunksjonen: function funcval = binomial(n,x,p funcval = nchoosek(n, x (pˆx ((1 pˆ(n x; Et plot av verdiene fra den binomiske tetthetsfunksjonen for x-verdier fra til 12 er vist i Fig 2. Her har vi brukt n = 19 og p = 1.859 1 som vi fant i Oppgave 5b. Figur 2: Binomisk tetthetsfunksjon, f X (x = ( n x p x (1 p n x for heltallsverdier av x fra til 12 med n = 19 og p = 1.859 1. I Fig 3 har vi plottet de to tetthetsfunksjonene, Poisson og binomisk, mot hverandre. Vi ser at tetthetsfunksjonene er tilnærmet identiske ettersom de overlapper hverandre ov5-lsf-b 3. september Side
nesten perfekt. Figur 3: Poissontetthetsfunksjonen av b plottet mot den binomiske tetthetsfunksjonen. e Vi skal nå øke antall valgbare tall fra 34 til m, der m > 34 slik at det med sannsynlighet minst.1 ikke finnes rekker med riktige i en uke der det innleveres n = 19 rekker. Vi må i denne oppgaven bruke de tidligere definerte ligningene. Vi har at P ( ingen av de innleverte rekkene har rette = P (X = = (1 p 19.1 Vi har videre at p er sannsynligheten for at en lottorekke vil oppnå rette, og denne er gitt ved p = P ( rette = h(; m,, = ( ( m k ( = m 1 ( m slik at 1 1 ( m Prøver med innsatte verdier av m: 19.1 m 35 36 1 1 m 19.59.13 ov5-lsf-b 3. september Side 8
Vi ser av tabellen at ulikheten er oppfylt for m = 36, og har dermed at m 36 dersom det med sannsynlighet minst.1 ikke skal finnes rekker med riktige i en uke der det innleveres n = 19 rekker. ov5-lsf-b 3. september Side 9