MEK4510 p. 3 Kap. 5: Numeriske løsningsmetoder Tidsintegrasjon for problemer med én frihetsgrad Analytisk løsning av differensiallikningen for enkle problemer Fourier-analyse for generelle, periodiske laster Duhamelintegralet (analytisk eller numerisk evaluering) Numerisk løsning av differensiallikningen for generelle laster og ikke-lineære problemer Egenverdianalyse og/eller tidsintegrasjon av systemer med mange frihetsgrader
MEK4510 p. 4 Numeriske løsningsmetoder, forts. Likningssystemer kan ofte dekomponeres til sett av ukoblete likninger Skal nå studere numerisk tidsintegrasjon av problemer på formen mü + c u + ku = p(t), der u og u kjent ved t = 0 Mange av metodene fungerer også for systemer
Kriterier og karakterisering Stabilitet Hva skjer med feil/perturbasjoner i løsningen Forskjell på løsninger der inngangsparametere varieres Avhenger (ofte) av t/t n (betinget/ubetinget stabile metoder) Konvergens Hva skjer med løsningen når t/t n blir stadig mindre Nøyaktighet Avvik mellom eksakt og approksimert løsning Kunstig, numerisk dempning og avvik i periode/fase Avhenger av t/t n Eksplisitte/implisitte metoder MEK4510 p. 4
Evaluering av Duhamelintegralet Responsen u kan uttrykkes ved u(t) = 1 mω D t 0 p(τ)e ζω n(t τ) sin ω D (t τ)dτ Uttrykket omskrives til u(t) = A(t) sin ω D t B(t) cos ω D t der A(t) = 1 mω D B(t) = 1 mω D t 0 t 0 p(τ) eζω nτ e ζω nt cos ω Dτdτ p(τ) eζω nτ e ζω nt sin ω Dτdτ A og B velegnet for skrittvis numerisk integrasjon MEK4510 p. 4
MEK4510 p. 4 Duhamelintegralet, forts. Tidsskritt definert ved t = t i+1 t i ( t konst) Innfører notasjonen A i = A(t i ) Benytter trapesregelen A i+1 = A i e ζω n t + t 2mω D (y i e ζω n t + y i+1 ) der B i+1 = B i e ζω n t + t 2mω D (z i e ζω n t + z i+1 ) y i = p i cos ω D t i z i = p i sin ω D t i
MEK4510 p. 4 Differansemetoder Tar utgangspunkt i differensiallikningen Diskretiserer tidsderiverte ledd Nøyaktighet og stabilitet avhenger av diskretiseringen
MEK4510 p. 4 Den sentrale differansemetode Benytter følgende approksimasjoner: u i u i+1 u i 1 2 t ü i u i+1 2u i + u i 1 ( t) 2 Innsatt i differensiallikningen får vi ( m ( t) 2 + c ) ( ) 2m u i+1 = 2 t ( t) 2 k u i ( m ( t) 2 c ) 2 t u i 1 + p i Tilfellet i = 0 behandles separat
MEK4510 p. 4 Egenskaper for metoden Annen-ordens metode Betinget stabil, t T n < 1 π Eksplisitt for problemer med én frihetsgrad Generelt implisitt for systemer, men eksplisitt dersom masse- og dempningsmatrisen er diagonal
MEK4510 p. 4 Metoder basert på numerisk integrasjon Relasjoner mellom forskyvning, hastighet og akselerasjon d u = üdt du = udt Antar ü gitt over tidsskrittet t Relasjonen over kan da integreres u(τ) = u i + τ 0 ü( τ)d τ u(τ) = u i + τ 0 u( τ)d τ Valget av ü(τ) avgjør metodenes egenskaper
MEK4510 p. 4 Konstant initiell akselerasjon Enkel metode - ikke gjennomgått i læreboken (orienteringsstoff) Antar ü(τ) = ü i Vi får da u i+1 = u i + tü i u i+1 = u i + t u i + ( t)2 2 Fra likevektslikningen har vi nå ü i mü i+1 = p i+1 c u i+1 ku i+1
MEK4510 p. 4 Egenskaper for metoden Første-ordens metode Betinget stabil Sekvensiell algoritme Eksplisitt for problemer med én frihetsgrad Generelt implisitt for systemer, men eksplisitt hvis massematrisen er diagonal Anbefales ikke
MEK4510 p. 5 Konstant gjennomsnittsakselerasjon Antar ü(τ) = 1 2 (ü i + ü i+1 ) Ved integrasjon får vi u i+1 = u i + t 2 (ü i + ü i+1 ) u i+1 = u i + t u i + ( t)2 4 Omskriving av likningene over gir (ü i + ü i+1 ) ü i+1 = 4 ( t) 2 (u i+1 u i t u i ) ü i u i+1 = 2 t (u i+1 u i ) u i
MEK4510 p. 5 Egenskaper for metoden Innsatt i likevektslikningen (ved t i+1 ) får vi nå ( 4 ( t) 2 m + 2 ) ( 4 t c + k u i+1 = ( t) 2 m + 2 ) t c ( ) 4 + t m + c u i + mü i + p i+1 u i Annen-ordens metode Ubetinget stabil Sekvensiell algoritme Eksplisitt for problemer med én frihetsgrad Implisitt for systemer Svært mye benyttet
MEK4510 p. 5 Lineær akselerasjon Antar ü(τ) = ü i + τ t (ü i+1 ü i ) Integrert gir dette u i+1 = u i + t 2 (ü i + ü i+1 ) u i+1 = u i + t u i + ( t)2 3 Vi skriver om likningene over ü i+1 = ü i + ( t)2 6 ü i+1 6 ( t) 2 (u i+1 u i t u i ) 2ü i u i+1 = 3 t (u i+1 u i ) 2 u i t 2 üi
Egenskaper for metoden Innsatt i likevektslikningen (ved t i+1 ) får vi nå ( 6 ( t) 2 m + 3 ) ( 6 t c + k u i+1 = ( t) 2 m + 3 ) t c u i ( ) ( 6 + t m + 2c u i + 2m + t ) 2 c ü i + p i+1 Mer nøyaktig enn metoden med konstant gjennomsnittsakselerasjon (kontinuitet i akselerasjon, hastighet og forskyvning) Betinget stabil, t T n < 0.551 Sekvensiell algoritme Eksplisitt for problemer med én frihetsgrad Implisitt for systemer MEK4510 p. 5
MEK4510 p. 5 Newmarks metode Hastighet og forskyvning uttrykkes ved u i+1 = u i + (1 γ) tü i + γ tü i+1 ( ) 1 u i+1 = u i + t u i + 2 β ( t) 2 ü i + β( t) 2 ü i+1 Den siste likningen over omskrives til ü i+1 = 1 β( t) 2 (u i+1 u i t u i ) ( ) 1 2β 1 ü i
MEK4510 p. 5 Fortsettelse Innsatt i likevektslikningen (ved t i+1 ) får vi ( 1 β( t) 2 m + γ ) ( 1 β t c + k u i+1 = β( t) 2 m + γ ) β t c u i ( ( ) ) 1 γ + β t m + β 1 c u i + p i+1 (( ) ( ) ) 1 γ + 2β 1 m + 2β 1 tc ü i
Egenskaper for metoden γ kontrollerer numerisk dempning γ = 1 2 gir ingen numerisk dempning γ > 1 2 gir positiv numerisk dempning γ < 1 2 gir negativ numerisk dempning Ubetinget stabil dersom Sekvensiell algoritme γ 1 ( 2, β 4 γ + 1 ) 2 2 Eksplisitt for problemer med én frihetsgrad Implisitt for systemer Forskjellige valg av γ og β gjenskaper andre kjente metoder MEK4510 p. 5
MEK4510 p. 5 Runge-Kutta-metoder Ikke presentert i læreboken - orienteringsstoff Hastighet og forskyvning uttrykkes ved u i+1 = u i + tφ 1 (t i, u i, u i, t) u i+1 = u i + tφ 2 (t i, u i, u i, t) φ 1 og φ 2 representerer gjennomsnittsverdier for ü(τ) og u(τ) Fjerde-ordens metode gitt ved u i+1 = u i + t 6 (a 1 + 2a 2 + 2a 3 + a 4 ) u i+1 = u i + t 6 (b 1 + 2b 2 + 2b 3 + b 4 )
MEK4510 p. 5 Egenskaper for metoden 4 hastigheter (b i ) og akselerasjoner (a i ) må beregnes for hvert tidsskritt Eksplisitt for problemer med én frihetsgrad Generelt implisitt for systemer, men eksplisitt dersom massematrisen er diagonal