x 1 x 3 = 0 4x 1 2x 4 = 0 2x 2 2x 3 x 4 = 0

1 Redoksligninger Balansering av redoksligninger kan utføres på flere måter. Mer kompliserte redokssystemer kan balanseres ved hjelp av en algebraisk metode. Ved å flytte koeffsientene for hvert molekyl fra reaksjonsligningen over i en matrise, kan vi gjøre operasjoner på matrisen i MATLAB som gir oss koeffsientene sine verdier. For å vise hvordan dette gjøres skal vi bruke et enkelt eksempel. I reaksjonen der metan reagerer med oksygen (en del av forbrenningen av metan i luft) er vi interessert i å finne koeffsientene x 1-4 for hvert av molekylene. x 1 CH 4 + x 2 O 2 x 3 CO 2 + x 4 H 2 O Når vi løser lineære ligninger med flere ukjente, trenger vi å ha like mange ligninger som vi har ukjente. Vi skaffer oss 3 av 4 ligninger ved å sette opp nettoligningen for de tre elementene som er med i reaksjonen; C, H og O: Karbon(C) : 1 x 1 + 0 x 2 = 1 x 3 + 0 x 4 Hydrogen(H) : 4 x 1 + 0 x 2 = 0 x 3 + 2 x 4 Oksygen(O) : 0 x 1 + 2 x 2 = 2 x 3 + 1 x 4 Tallene foran x n over er de samme tallene som står foran molekylene i reaksjonsligningen. Vi fjerner koeffsienter som blir null og flytter de resterende over på venstre side, slik at vi får null på høyre side. Dette gir ligningene: x 1 x 3 = 0 4x 1 2x 4 = 0 2x 2 2x 3 x 4 = 0 Den siste ligningen får vi ved å sette en tilfeldig verdi for en av koeffsientene, for eksempel x 4 = 1. Dette kan vi gjøre fordi det ikke finnes én unik numerisk løsning på ligningssystemet, men en serie løsninger som er lineært relaterte til hverandre. Sagt med andre ord, betyr dette at du kan blande 1 mol av et stoff A og 3 mol av et stoff B og få samme resultat hvis du blander 2 mol A og 6 mol B. Dette gir oss fire ligninger: x 1 x 3 = 0 4x 1 2x 4 = 0 2x 2 2x 3 x 4 = 0 x 4 = 1 Nå kan vi sette koeffsientene inn i en 4 4-matrise som vi kaller A, én ligning per rad. Vi setter null for koeffsienter som ikke er nevnt i en gitt ligning. Hele 1

ligningssystemet kan uttrykkes Ax = b, der matrisen b er tallene som står til høyre for likhetstegnet i ligningene våre: 1 0 1 0 x 1 0 A = 4 0 0 2 0 2 2 1, x = x 2 x 3, b = 0 0 0 0 0 1 x 4 1 Etter å ha ført matrisene A og b inn i MATLAB, kan vi nå løse ligningssystemet med en matrisedivisjonsoperasjon som heter left-division. Legg merke til at det brukes \ og ikke /: >> x= 0.5000 0.5000 Vi trenger nå å skalere vektoren x slik at vi får heltallige koeffsienter. Dette kan vi gjør ved å dele alle elementene på det laveste tallet i vektoren x og skrive svarene til vektoren S. Hadde vi ikke fått heltallige elementer i S, ville det vært nødvendig å gange med en faktor (f.eks. 2 eller 10): >> S=x. / min ( x ) >> S= 2.0000 2.0000 Dette gir oss hele tall for koeffsientene og den balanserte reaksjonsligningen blir: CH 4 + 2 O 2 CO 2 + 2 H 2 O 2

Oppgave 1.1: Redoksligning med kobber Fortynnet salpetersyre reagerer med elementært kobber og danner kobbernitrat, nitrogenmonoksid og vann. x 1-4 er de støkiometriske koeffsientene for hvert av spesiene i reaksjonen, altså hvor mange mol av hvert spesie som reagerer. 1. Balanser reaksjonsligningen: x 1 Cu + x 2 HNO 3 x 3 Cu(NO 3 ) 2 + x 4 NO + x 5 H 2 O Oppgave 1.2: Vanskelig redoksligning I denne oppgaven skal du løse en redoksligning der fosfor opptrer i 4 forskjellige oksidasjonstilstander (0, I, II og V). Det ville vært tidkrevende å sette opp halvreaksjoner for denne typen redoksligning. Heldigvis trenger vi ikke å ta hensyn til oksidasjonstilstander når vi bruker den algebraiske metoden og løser det lineære ligningssystemet ved hjelp av matriser. Husk også å lage en hjelpeligning, der du gir én av koeffsientene (f.eks. den siste) en verdi (f.eks 1). 1. Balanser reaksjonsligningen: x 1 P 2 I 4 + x 2 P 4 + x 3 H 2 O x 4 PH 4 I + x 5 H 3 PO 4 Oppgave 1.3: Redoksligninger med ioner I eksemplet med forbrenningen av metan, så vi på en reaksjon i gassfase med nøytrale spesier. For å balansere en redoksreaksjon med ioner må både massen (antall atomer av hver type) og ladningen (antall elektroner) bevares. Dette gjør at vi må stille opp en ligning med ladningen til de forskjellige spesiene, akkurat som vi gjorde for atomtypene (karbon, hydrogen, oksygen, etc.). I oppgaven under vil du trenge ligningen med ladning for å få like mange ligninger som antall ukjente. Husk også å lage en hjelpeligning, der du gir én av koeffsientene (f.eks. den siste) en verdi (f.eks 1). 1. Balanser redoksligningen: x 1 Cr 2 O 2 7 + x 2Fe 2+ + x 3 H + x 4 Cr 3+ + x 5 Fe 3+ + x 6 H 2 O 3

Fasit Svar Oppgave 1.1: Kobber (Cu): x 1 x 3 = 0 Hydrogen (H): x 2 2x 5 = 0 Nitrogen (N): x 2 2x 3 x 4 = 0 Oksygen (O): 3x 2 6x 3 x 4 x 5 = 0 Hjelpeligning: x 5 = 1 >> A=[1 0 1 0 0 ; 0 1 0 0 2 ; 0 1 2 1 0 ; 0 3 6 1 1 ; 0 0 0 0 1 ] >> b=[0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 1 ] >> Q=x. / min ( x ) >> S=Q. 2 3 Cu + 8 HNO 3 3 Cu(NO 3 ) 2 + 2 NO + 4 H 2 O Svar Oppgave 1.2: Fosfor (P): 2x 1 + 4x 2 x 4 x 5 = 0 Iod (I): 4x 1 x 4 = 0 Hydrogen (H): 2x 3 4x 4 3x 5 = 0 Oksygen (O): x 3 4x 5 = 0 Hjelpeligning: x 5 = 1 >> A=[2 4 0 1 1 ; 4 0 0 1 0 ; 0 0 2 4 3 ; 0 0 1 0 4 ; 0 0 0 0 1 ] >> b=[0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 1 ] >> Q=x. / min ( x ) >> S=Q. 10 4

10 P 2 I 4 + 13 P 4 + 128 H 2 O 40 PH 4 I + 32 H 3 PO 4 Svar Oppgave 1.3: Krom (Cr): 2x1 x 4 = 0 Oksygen (O): 7x 1 x 6 = 0 Jern (Fe): x 2 x 5 = 0 Hydrogen (H): x 3 2x 6 = 0 MATLAB: Ladning: 2x 1 + 2x 2 + x 3 3x 4 3x 5 = 0 Hjelpeligning: x 6 = 1 >> A=[2 0 0 1 0 0 ; 7 0 0 0 0 1 ; 0 1 0 0 1 0 ; 0 0 1 0 0 2 ; 2 2 1 3 3 0 ; 0 0 0 0 0 1 ] >> b=[0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 1 ] >> S=x. / min ( x ) Cr 2 O 2 7 + 6 Fe2+ + 14 H + 2 Cr 3+ + 6 Fe 3+ + 7 H 2 O Referanser: P.K. Anderson, G. Bjedov, Proceedings of the Frontiers in Education Conference, 1996, 2, 612-615 W. B. Jensen, Journal of Chemical Education, 2009, 86, 6, 681-682 5