Emne 11 Differensiallikninger Differensiallikninger er en dynamisk beskrivelse av et system eller en prosess, basert på de balanselikningene vi har satt opp for prosessen. (Matematisk modellering). Vi skal nøye oss med å finne en matematisk løsning på lineære differensiallikninger med konstante koeffisienter. Et klassisk eksempel: 0 En kloss med masse er festet til en masseløs fjær med fjærstivhet og dempefaktor. Klossen beveger seg langs et friksjonsløst underlag under påvirkning av en ytre kraft. Kraftbalanse: Som gir differensiallikningen (ODE) : Dette er en 2.ordens, lineær, inhomogen differensiallikning med konstante koeffisienter, og det er slike vi i hovedsak skal konsentrere oss om. Løsningen av differensiallikningen, under gitte initialbetingelser, gir posisjonen ethvert tidspunkt. ved
Homogen, lineær 2.ordens differensiallikning med konstante koeffisienter Hvor:,, Homogene likninger har ingen pådragsfunksjon, og vil derfor heller ikke gi noen respons mindre initialbetingelsene er forskjellige fra null. Men den generelle løsningen forteller mye om systemets egenskaper. med Den homogene likningen vil alltid ha en løsning på formen Da får vi videre og, som innsatt i differensiallikningen gir: for alle, og derfor må: Dette kalles systemets karakteristiske likning Den karakteristiske likningen har 2 røtter som gir 3 mulige svaralternativer Dersom 2 reelle og forskjellige røtter og 2 reelle, men sammenfallende røtter 2 komplekskonjugerte røtter
Case 1. Reelle og forskjellige røtter ( > 0 ) Eksempel 1 Diff.likning:, med initialbetingelser Karakteristisk likning (K.L.): Derivert: : Innsatt init.bet.: Spesiell løsning: Case 2. Reelle, sammenfallende røtter ( = 0 ). Eksempel 2 Kommentar: En 2. ordens likning har alltid 2 røtter, og må derfor gi opphav til 2 lineært uavhengige løsninger. Vi kan derfor ikke sette. Men og er lineært uavhengige, og det er lett å vise at også er en løsning av diff.likningen.
Case 3. Kompleks-konjugerte røtter ( < 0 ). Generell løsning på kompleks form: Generell løsning på naturlig form ( anbefales! ) : komplekskonjugerte konstanter, dvs reelle konstanter Hvor: og er reelle tall Eksempel 3 K.L. : Kommentar: Metodikken er slett ikke begrenset til 2.ordens diff.likningen. Eksempler: 1.ordens: K.L.:
Inhomogen, 2.ordens lineær diff.likning med konstante koeffisienter Hvor: Ubestemte koeffisienters metode ("Prøve/feile-metode") Vi kan skrive den generelle løsningen som: Hvor: er løsningen av den homogene likningen er partikulær løsning, dvs en løsning som gir Trinn 1 Finn ved å løse Trinn 2 Finn ved "kvalifisert gjetting". Nærmere bestemt: Prøv en løsning som har samme form som, men med ukjente koeffisienter (A,B,C, ). Sett inn i differensiallikningen og bestem koeffisientene. NB! Metoden forutsetter at pådraget er et polynom, en eksponentialfunksjon, en sinus/cosinus-funksjon eller kombinasjoner av disse, dvs. funksjoner som beholder sin form ved derivasjon. Hvis ikke er det umulig å få venstre side = høyre side i likningen Noen eksempler: Prøv: (Obs! Bruk fullstendig polynom) Prøv: Prøv: (Obs! Bruk både sinus og cosinus), men Prøv: Trinn 3 Skriv opp den generelle løsningen (Trinn 4) Utføres bare dersom initialbetingelsene er gitt, dvs.. Sett disse initialbetingelsene inn i den generelle løsningen (trinn 3), og bestem dermed konstantene. Det gir en spesiell løsning.
Eksempel 4, med initialbetingelser Trinn 1: Trinn 2: Siden prøver vi Som videre gir: Innsatt i diff.likningen: Betyr at: Trinn 3: Derivert: Trinn 4: Innsatt initialbetingelsene: Spesiell løsning:
Eksempel 5, med init.bet. Trinn 1: Trinn 2: Siden skulle vi i utgangspunktet prøvd Men denne løsningen dekkes allerede av, neste forsøk vil derfor være, men også denne dekkes av. Vi ender opp med å måtte prøve Som videre gir: Innsatt i diff.likningen: Trinn 3: Derivert: Trinn 4: Innsatt initialbetingelsene:, Spesiell løsning:
Lagranges metode ( Kortversjon basert på likningene i Haugans formelsamling ) Dette er en annen metode for å løse lineære, inhomogene 2.ordens difflikninger på formen: Trinn 1 Finn den homogene løsningen som før, dvs: Trinn 2 Bytt ut konstantene med funksjonene Det gir den generelle løsningen Hvor: (Trinn 3) Helt tilsvarende som trinn 4 i Ubestemte koeffisienters metode. Brukes bare hvis initialbetingelsene er gitt. Kommentar: Lagranges metode er litt mer generell enn Ubestemte koeffisienters metode. Det er ikke de samme strenge restriksjonene til formen på, men til gjengjeld kan det fort bli grisete integraler under trinn 2.
Eksempel 6 Merk! Her kan vi ikke bruke ubestemte koeffisienters metode fordi Trinn 1 Trinn 2 (*) Fra Haugans formelsamling, side 17, nr. 12:
System av koplete, 1. ordens lineære differensiallikninger. Dette har vi sett et eksempel på tidligere (Emne 9 Egenverdier og egenvektorer), men da bare med homogene likninger. Generelt, inhomogent likningssett på matriseform Én mulig løsningsmetode 1. Finn egenverdiene og egenvektorene til A vha. likningene og 2. Foreta en substitusjon (slik vi gjorde i emne 9) med Det gir: Vi får altså et dekoplet likningssett 3. Løs hver av likningene i 2. mhp. z, f.eks. med ubestemte koeff. metode (eller andre metoder dere har lært i Matematikk 10 ) 4. Substituere tilbake med. Det gir den generelle løsningen 5. Sett inn eventuelle initialbetingelser
Eksempel 7, Initialbetingelser: 1. Med tilhørende egenvektorer: Det vil si 2. 3. Med ubestemte koeffisienters metode : Homogen (mhp. z): Partikulær : Prøver Dermed: Generell løsning mhp. z:
4. Tilbakesubstituert: Det vil si generell løsning: 5. Innsatt initialbetingelsene Løsning: