Obligatorisk oppgave nr 1 FYS-2130 Lars Kristian Henriksen UiO 28. januar 2015
2 For at en kraft skal danne grunnlaget for svingninger, må det virke en kraft som til en hver tid virker inn mot likevektspunktet. Dvs at F = kz(t) hvor z(t) er posisjon i forhold til likevektspunkt med hensyn på tid. Det negative fortegnet gjør at kraften til en hver tid virker inn mot likevektspunktet. 3 For å se på fjærkonstantens størrelse i forhold til fjærens lengde, vil en matematisk analyse kunne gi oss en åpenbar sammenligning. Setter vi k til å være fjærkonstanten i den opprinnelige fjæren, og k til den halverte fjæren, fås k = mg L 1 L 0 k = mg L 1 L 0 hvor L 0 = L 0 /2. I tillegg antas det at L 1 = L 1 /2. Har da ( k L1 2 L ) 0 = mg k mg = 2 = 2k 2 L 1 L 0 Dette viser at fjærkonstanten dobles om fjærens lengde deles i to. For å sammenligne svingetiden, k brukes ω = m, ω 2k = m = 2ω. Svingetiden T gis da ved 6 T = 1 f = 2π ω = 2π 2ω = 1 2 T En sprettball vil ikke kunne utvise en harmonisk bevegelse, slik som boka har definert en harmonisk bevegelse. For at en partikkel skal utvise en harmonisk bevegelse, vil partikkelen måtte svinge om et likevekspunkt. I sprettballens tilfelle vil likevektspunktet være bakken, og sprettballen vil aldri befinne seg lavere enn bakkens nivå. Et annet krav er at en harmonisk bevegelse skal kunne beskrives ved A sin(ωt), altså en sinusial begevegelse. En sprettballs bevegelse vil ikke kunne beskrives ved en sinusfunksjon TEGN INN EN SPRETTBALLBEVEGELSE 2
7 Eksempel på forhold som kan ødelegge for en harmonisk er friksjon i medie det svinger i, hvor luftmotstand er et åpenbart eksempel. Andre ting som kan ødelegge den harmoniske bevegelsen, er deformasjon av fjæren og for stor amplitude. Xtra1 Når det kommer til svingninger, vil energien skvulpefrem og tilbake mellom kinetisk energi og potensiell energi. I en matematisk pendel, vil systemet kun ha potensiell energi i toppen av pendelbevegelsen, mens den i bunnen av pendelbevegelsen kun ha kinetisk energi. For en fjærpendel vil mye av det samme være sant, men i dette tilfellet må bunnen av pendelbevegelsen"overføres til likevektspunktet til fjærpendelbevegelsen. Man har da kun potensiell energi i bunnen og i toppen av bevegelsen, mens man har maks kinetisk energi i det loddet passerer likevektspunktet. 3
Regneoppgaver 8 måte: Matematisk kan det vises at totalenergien i et svingende system er konstant på følgende E tot = E k + E p = 1 2 mv2 (t) + 1 2 kz2 (t) Bruker z 2 (t) = A 2 cos 2 (ωt + φ) samt at ż(t) = v(t), slik at E p = 1 2 mz2 (t) = 1 2 ka2 cos 2 (ωt + φ) E k = 1 2 mv2 (t) = 1 2 mω2 A 2 sin 2 (ωt + φ) k Og bruke at ω = m ω2 = k m mω2 = k, som gir E k = 1 2 ka2 sin 2 (ωt + φ) Vi ser nå at både E k og E p er på omtrent samme form, og vi kan gjennomskue en måte å forenkle uttrykket for E tot mye ved hjelp av den trigonometriske relasjonen fra Rottman sin 2 (x)+cos 2 (x) = 1: E tot = 1 2 ka2 sin 2 (ωt + φ) + 1 2 ka2 cos 2 (ωt + φ) E tot = 1 2 ka2 (sin 2 (ωt + φ) + cos 2 (ωt + φ)) = 1 2 ka2 Dette resultatet er konsistent med at den totale energien er konstant. 4
9 Det første som her bør gjøres er å slå fast en verdi for fjærkonstanten k. Til dette skrives definisjonsuttrykket til k om til k = mg L 1 L 0 og med de oppgitte verdier får vi at k = 5.45Nm 1. For å finne periodetiden, brukes T = 1 f f = ω 2π = 1 k 2π m som med de oppgitte verdier, gir at m 0.1m T = 2π k = 2π 1 = 0.85s 5.45Nm Et matematisk uttrykk som beskriver denne bevegelsen, med amplitude gitt ved at vi slipper loddet ved z(0) = 0.08m (positiv retning definert til å peke oppover) slik at A = 0.08m og en svingetid T = 5.45Nm 1 kan være z(t) = 0.08 cos(2πt/0.85) Det negative fortegnet kommer fra at cos blir brukt i stedet for sin, slik at z(0) faktisk er 0.08. Dette kan ses på som en faseforskyvning med en forsyvning lik π. 10 med Utleder fra kjente formler at F = ma a = F m hvor F = F (t) = kz(t) som gir a(t) = k m z(t) Siden z(2.0) gitt i oppgaven, er dette et fornuftig valg av formel, og differesialligningen trengs ikke k løse. I tilleg vil m = ω2 k siden ω = m = 2πf = 2.531s 1 og dermed er akselerasjonen ved t = 2.0 a(2.0) = ω 2 z(2.0) = ( 2.513s 1) 2 0.024m = 0.151ms 2 For å kunne uttrykke denne bevegelsen matematisk, må amplituden bestemmes. Brukes z(2.0) = 0.024m, kan amplituden bestemmes ved A = z(2.0) sin(2π2.0/t ) = 0.024 sin(2π2.0/2.5) = 0.025m Dermed vil vi kunne uttrykke denne svingningen som z(t) = 0.025 sin(2πt/2.5) 5
12 Figur 1: Grafen slik den vil se ut når en svingende fjærs posisjon plottes mot hastighet i et fasordiagram 13 Figur 2: Grafen slik den vil se ut når en sprettballs posisjon plottes mot hastighet i et fasordiagram 6
14 a) For å finne en måte og angi dette uten faseledd, brukes det at. I vårt uttrykk vil dette resultere i cos(x ± y) = cos x cos y sin x sin y z(t) = A cos(ωt + φ) = A(cos ωt cos φ sin ωt sin φ) Setter nå A cos φ = 1.04 = B og A sin φ = 0.60 = C og får et uttrykk uten faseledd. Når initialbetingelsene innføres, blir uttrykket b) z(t) = B cos(ωt) C sin(ωt) = 1.04 cos(18.85t) 0.60 sin(18.85t) Her vil uttrykket være på formen z(t) = Re { De iωt}, hvor D er et komlekst tall, med realdel og kompleks del, på formen D = a + ib. De iωt = (a + ib)(cos(ωt) + i sin(ωt)) = a cos(ωt) b sin(ωt)(her er den komplekse delen fjærnet fra uttrykket) som vi gjenkjenner som det samme som i oppgave a). Uttrykket vil derfor se slik ut z(t) = B cos(ωt) C sin(ωt) = 1.04 cos(18.85t) 0.60 sin(18.85t) 15 Her blir operasjonen den samme som i 1 a), men reversert. Derfor utledes ikke dette videre. Uttruykket blir som følger z(t) = A cos(ωt + φ) = 1.2 cos(18.85t + 30) Et uttrykk med komplekse tall kan være på formen { z(t) = Re Ae i(ωt+φ)} = Re {1.2e i(18.85t+30)} 7