LO118D Forelesning 5 (DM) Relasjoner 03.09.2007
1 Relasjoner 2 Ekvivalensrelasjoner 3 Matriser av relasjoner 4 Relasjonsdatabaser
Relasjon Relasjoner er en generalisering av funksjoner En relasjon er en mengde ordnede par Vi sier at det første elementet er relatert til det andre elementet
Binær relasjon Definisjon Vi definerer en binær relasjon R fra en mengde X til en mengde Y som en delmengde av det kartesiske produktet X Y. Hvis (x, y) R kan vi skrive xry og si at x er relatert til y. If X = Y kaller vi R en binær relasjon på X.
Relasjon Mengden {x X (x, y) R for noen y Y } kaller vi domenet til R. Mengden {y Y (x, y) R for noen x X } kaller vi rekkevidden til R.
Funksjoner er relasjoner En funksjon er en spesiell type relasjon som må oppfylle følgende: 1 Domenet til f er lik X. 2 For hver x X finnes det eksakt en y Y slik at (x, y) f.
Rettet graf En rettet graf brukes til å representere en relasjon slik: Prikker, kalt noder, representerer elementene Piler, kalt rettede kanter, representerer de ordnede parene Et element som er relatert til seg selv lager en løkke i grafen
Rettet graf a b c d
Oppgave Skriv opp de ordnede parene for relasjonen representert av forrige graf.
Refleksiv relasjon Definisjon En relasjon R på en mengde X er refleksiv hvis (x, x) R for alle x X
Symmetrisk relasjon Definisjon En relasjon R på en mengde X er symmetrisk hvis for alle x, y X, hvis (x, y) R, så er (y, x) R.
Antisymmetrisk relasjon Definisjon En relasjon R på en mengde X er antisymmetrisk hvis for alle x, y X, hvis (x, y) R og x y, så er (y, x) / R. Merk at antisymmetrisk ikke er det samme som ikke-symmetrisk, en relasjon kan være både symmetrisk og antisymmetrisk.
Transitiv relasjon Definisjon En relasjon R på en mengde X er transitiv hvis for alle x, y, z X, hvis (x, y) R og (y, z) R, da (x, z) R.
Partiell ordning Definisjon En relasjon R på en mengde X som er refleksiv, antisymmetrisk og transitiv kalles en partiell ordning.
Oppgave Avgjør om følgende relasjon er refleksiv, symmetrisk, antisymmetrisk, transitiv og/eller en partiell ordning: (x, y) R hvis x y
Sammenlignbarhet Hvis R er en partiell ordning på mengde X skriver vi noen ganger x y for å indikere (x, y) R. Hvis R er en partiell ordning, x, y X og vi har enten x y eller y x sier vi at x og y er sammenlignbare. Hvis alle par av elementer i X er sammenlignbare sier vi at R er en total ordning.
Invers Definisjon La R være en relasjon fra X til Y. Invers av R, skrevet R 1, er relasjonen fra Y til X definert som R 1 = {(y, x) (x, y) R}
Komposisjon Definisjon La R 1 være en relasjon fra X til Y og R 2 være en relasjon fra Y til Z. Vi kan nå definere en komposisjon R 1 R 2 som er en relasjon fra X til Z definert av R 2 R 1 = {(x, z) (x, y) R 1 og (y, z) R 2 for noen y Y }
Partisjon Vi husker at en partisjon av en mengde X er en familie S av delmengder av X slik at hvert element i X finnes i eksakt et medlem av S.
Teorem Teorem 3.2.1 La S være en partisjon av mengden X. Definer xry slik at for en mengde S i S, så er både x og y medlemmer av S. Da er R refleksiv, symmetrisk og transitiv.
Ekvivalensrelasjoner Elementene i S er ekvivalente med tanke på relasjonen R Vi kaller derfor relasjoner som er refleksive, symmetriske og transitive ekvivalensrelasjoner.
Teorem Teorem 3.2.8 La R være en ekvivalensrelasjon på mengden X. For hver a X la [a] = {x X xra} ([a] er mengden av alle elementer i X som er relatert til a). Da er S = {[a] a X } en partisjon av X.
Ekvivalensklasser Definisjon La R være en ekvivalensrelasjon på mengden X. Mengdene [a] er da ekvivalensklassene til X gitt av relasjonen R.
Oppgave List opp medlemmene av ekvivalensrelasjonen på {1, 2, 3, 4} og finn ekvivalensklassene [1], [2], [3] og [4] gitt av partisjonen {{1}, {2, 4}, {3}}.
Teorem Teorem 3.2.15 La R være en ekvivalensrelasjon på en endelig mengde X. Hvis hver ekvivalensklasse har r elementer finnes det X /r ekvivalensklasser.
Matriser av relasjoner En matrise kan være en nyttig måte å representere en relasjon fra X til Y. Radene merkes med elementer fra X (i tilfeldig rekkefølge). Kolonnene merkes med elementer fra Y (i tilfeldig rekkefølge). Vi setter matriseelementet i rad x, kolonne y til 1 hvis xry, til 0 ellers. Dette kalles matrisen av relasjonen R (relativt til ordningene av X og Y ).
Refleksiv Vi kan se om en relasjon R på mengden X er refleksiv ved å sette opp matrisen A av R (relativt en ordning av X ). Matrisens diagonal består da av kun 1-ere.
Symmetrisk Vi kan se om en relasjon R på mengden X er symmetrisk ved å sette opp matrisen A av R (relativt en ordning av X ). Matrisen er da symmetrisk om diagonalen.
Antisymmetrisk Vi kan se om en relasjon R på mengden X er antisymmetrisk ved å sette opp matrisen A av R (relativt en ordning av X ). Da er m ij = 0 hvis m ji = 1 når i j.
Transitiv Vi kan se om en relasjon R på mengden X er transitiv ved å sette opp matrisen A av R (relativt en ordning av X ) og multiplisere A med seg selv. Dette er tilfelle hvis vi for alle elementer i, j i A 2 som er forskjellig fra 0 også har elementer i, j i A som er forskjellig fra 0.
Teorem Teorem 3.3.6 La R 1 være en relasjon fra X til Y og la R 2 være en relasjon fra Y til Z. Velg ordninger av X, Y og Z. La A 1 være matrisen av R 1 og la A 2 være matrisen av R 2 relativt til de valgte ordningene. Vi kan da finne matrisen av relasjonen R 2 R 1 relativt de valgte ordningene ved å bytte ut alle elementer som er forskjellig fra 0 med 1 i matriseproduktet A 1 A 2.
Relasjonsdatabaser Selvstudium.
Neste gang Rekurrensrelasjoner