Kort innføring i problemløsningsmetodikk

2016 Kort innføring i problemløsningsmetodikk Ali Ghaderi Høgskolen i Sørøst-Norge 14 January 2016

If I had an hour to solve a problem I d spend 55 minutes thinking about the problem and 5 minutes thinking about solutions. The formulation of the problem is often more essential than its solution, which may be merely a matter of mathematical or experimental skill. Albert Einstein

Forord Denne rapporten er vokst ut av et behov for en systematisk tilnærming til problemløsning for studenter som tar fysikk på forkurset ved Høgskolen i Telemark (HiT). Prinsippene i denne rapporten er imidlertid generelle og er anvendbare til alle teknologiske og naturvitenskaplige problem. Donald Woods (Woods, 2000) nevner at det finnes 160 publiserte strategier for problemløsning. Men generelt sett kan man si at det finnes ingen universell strategi som passer alle disipliner. Dette er faktisk en av hovedgrunnene til at vi har så mange ulike strategier. Men trass i mangfoldet bygger alle disse ulike strategiene på de samme prinsippene som er hovedfokuset i denne rapporten. Disse grunnprinsippene ble formalisert og publisert i bokform av George Polya (Pólya, 1945). I denne boken prøvde han å beskrive grunnleggende prinsipper for hvordan matematisk oppdagerglede og skaperevne kan læres og utvikles. Denne boken er lettfattelig og anbefales sterkt til alle som ønsker å mestre kunsten å løse problemer i teknikk og naturvitenskap. Denne boken er oversatt til 17 språk og betraktes som å være en av de mest solgte bøkene noen gang (over en million solgte eksemplarer) som er skrevet av en vitenskapsmann. Målet med denne rapporten er å gi en kort innføring i prinsippene som er beskrevet av Polya. I denne sammenhengen har jeg dratt nytte av arbeidet til Rolf J. Persson (Persson, 2014) ved fakultet for samfunnsvitenskap og teknologiledelse (NTNU). Jeg har fritt brukt, omformulert og tilpasset deler av Persson sitt arbeid i denne rapporten. Denne rapporten er ikke endelig og bør betraktes som et dokument under utvikling. 1 Forord Høgskolen i Sørøst-Norge

Introduksjon Kort innføring i problemløsningsmetodikk En ingeniørstudent må være i stand til å tillempe kunnskapen vedkommende får gjennom utdanningen og anvende den til å løse problemer. Ved problemløsning blir kunnskaper tatt i bruk. Evne til å kunne løse et problem er på den måten knyttet til teorien, og brukes også som verktøy for å vise om en har forstått innholdet i faget, vanligvis ved en eller annen form for eksamen med regneoppgaver. Derfor er problemløsingen en naturlig del av undervisningen og studiene. En får bevis på at en har forstått hva det handler om. Men en kan ha forstått teorien og likevel ha problem med å løse oppgaver. Her må en være bevisst på at det handler om to ulike ting. Problemløsning er en ferdighet der en tar teorien i bruk, og ikke bevis på at en har forstått den. Forståelse av teorien tar tid og er avhengig av hvordan og hvor ofte man anvender teorien. Det betyr at evne til problemløsning er noe som krever en hel del øving i tillegg til teoretiske kunnskaper. Det handler til en viss grad om å lære seg å løse problemer. Hvordan en løser et problem er i bunn og grunn individuelt, det vil si at det finnes egentlig ingen ferdig oppskrift som passer alle. Det er da snakk om å bruke ulike problemløsningsstrategier. Det finnes mange gode strategier, og det handler derfor i prinsippet om å velge blant dem. Utfordringen ligger ofte i ens vekselvirkning med problemet. Ulike personer vil derfor ikke oppleve de samme utfordringene med å løse det samme problemet. Problemløsning er en ferdighet som en opparbeider med øving. I det følgende beskriver jeg en generell strategi som kan tilpasses etter personlige egenskaper til anvendere av strategien. Problemløsning er en ferdighet der du tar teorien i bruk, og ikke bevis på at du har forstått den Utfordringen ligger ofte i din vekselvirkning med problemet Problemløsning er en ferdighet som du opparbeider med øving Steg i problemløsning Hvordan en løser et problem er i teorien ganske enkelt. Det handler om fire steg som er beskrevet av matematikeren George Polya (Pólya, 1945): 1. Forstå 2. Planlegg 3. Gjennomfør 4. Vurder I praksis, vet man at mange ikke følger disse stegene og oftest hopper over et eller flere av dem. For eksempel, stegene 1-3 gjør at det er lett å hoppe over det siste steget, ettersom resultatet er gitt i fasiten. Mange oppgaver i lærebøker handler om å ta i bruk visse teorier eller formler, noe som fører til at det første steget blir også oversett. Men erfaringer viser at stegene 1 og 4 er faktisk de viktigeste av alle de fire 2 Introduksjon Høgskolen i Sørøst-Norge

stegene når det gjelder både virkelighetsnære problemer og forståelse av ny kunnskap. Derfor anbefaler jeg alle studentene å bruke mer tid på hver av stegene 1 og 4 enn de andre stegene tilsammen. Guess En vanlig måte blant studenter er å kikke på hva som er gitt i oppgaven, hva det er som etterspørres, og så lete etter en likning der en kan sette inn de gitte variablene for å få ut den ettersøkte variabelen. Denne strategien eller metoden har en slående engelsk forkortelse: G. U. E. S. S. (Given, unknown, equation, search, solve). Her handler det egentlig ikke om noen større forståelse; en har en algoritme og søker etter en likning etter det som er oppgitt og får ut et eller annet. Fokuset her ligger ikke på forståelse, men bare på å finne rett likning og få svar. Vi ser også at her mangler to (eller tre) av Polyas steg. Dette er en strategi som i det lange løp har fatale konsekvenser og bør helt og holdent unngås. Det vanligste eksempelet er at studenten skriver opp hvilke variabler som er gitt, ser etter hvilke Guess er en strategi som i det lange løp har fatale konsekvenser og bør helt og holdent unngås variabler som ettersøkes, og av det prøver å finne en formel som inneholder disse variablene, for så å sette inn og få et svar. Denne strategien fungerer noen ganger men den fører nesten aldri til bedre forståelse. Strukturert problemløsningsstrategi Vi skal forsøke å få fram det essensielle i problemløsningen, og nytte oss av Polyas fire-steg-prinsipp. Vi tar dette steg for steg, og starter med å forstå selve problemet og å overføre det til en visuell beskrivelse: 1. Tegn en enkel figur eller et diagram 2. Indiker gitte data i figuren 3. Identifiser den ukjente variabelen 4. Analyser problemet fra grunnleggende prinsipper 5. Skriv opp relevante likninger 6. Bruk likningene til å løse oppgaven 7. Vurder løsningen Her er det lagt stort fokus på det første steget i Polyas fire steg, «forstå», som omfatter de 4-5 første stegene i denne strategien. Planlegging og utførelse følger oftest naturlig når det gjelder oppgavene dersom en har forstått dem ordentlig. Det kanskje viktigste punktet er å vurdere løsningen. Men la oss nå se på stegene i detalj. Tegn en enkel figur eller et diagram Det første som behøves er at en forstår selve oppgaven. Her handler det om å tydeliggjøre for seg selv hva oppgaven går ut på. En måte er å forsøke å omformulere oppgaven for seg selv. Men denne omformuleringen og definisjonen behøver ikke være med ord, for det er mange 3 Guess Høgskolen i Sørøst-Norge Omformuler oppgaven for deg selv

ganger fordelaktig å tegne et diagram eller en figur som representerer systemet gitt i oppgaven. Det visuelle kan fungere som en støtte i løsningsprosessen, og en får muligheten til å se om det er noe som mangler eller om en har fått for mye informasjon. Indiker gitte data på figuren For å forsterke den visuelle informasjonen og systematisere det som er oppgitt, er det bra om en legger inn data i figuren. Dersom det dreier seg om vektorer, skal de markeres ekstra nøye. Det er i tillegg bra om en samtidig lager tabeller der en skriver inn oppgitte data. Det er da viktig å definere de ulike variablene nøye, og helst skrive opp de numeriske verdiene (om de er oppgitt) og enhetene for dem. Her er det bra om en også legger til de naturkonstanter som trengs. Tenk på at det kan bli nødvendig å gå tilbake til figuren i løpet av arbeidet med å løse oppgaven, så derfor er det bra å være tydelig med figuren. Identifiser den ukjente variabelen Det er ikke nok å vite hva vi har. Vi må også vite hva vi søker etter. Oftest er dette tydelig formulert i oppgaven, men det er ikke alltid slik. Her kan det være på sin plass å omformulere oppgaven på en slik måte at en innfører mellomledd, det vil si; oppgaven er å finne variabelen X; hva trenger jeg for å bestemme den, eksempelvis variablene Y og Z. Er de oppgitte, eller må jeg se på variabelen Y og se hva jeg trenger for å finne den? Med andre ord kan en arbeide seg fra det ukjente og bevege seg mot det kjente like bra som omvendt. Analyser problemet ut ifra grunnleggende prinsipper Når en har tegnet figur og definert de kjente og ukjente variablene, er det på tide å se på problemet fra de grunnleggende prinsippene. Oftest er de knyttet til diverse bevarte størrelser, som energi, bevegelsesmengde og så videre. Det er ofte fordelaktig å se om oppgaven kan løses som tidsuavhengig, dvs. at tid ikke er en variabel som trengs for å løse oppgaven. En bør til og med dele oppgaven i ulike deler og betrakte delene hver for seg. Er det mulig å forenkle og deretter generalisere problemstillingen? Kan vi f.eks. anta at friksjonen kan settes lik null? Selv om oppgaven har med friksjon kan en lage en modell der friksjonen neglisjeres dersom det kan gjøre løsningen lettere. En kan da komme fram til en løsning som er enklere å finne, men som en vet at ikke er helt rett. Men en har da i alle fall noe å begynne ut ifra. Ofte er dette et bedre utgangspunkt for å løse oppgaven enn da en ikke hadde noe å forholde seg til. En kan dessuten tenke ut hva som vil hende om en variabel skulle gå mot null eller blir uendelig stor. Dette er en måte å innføre ekstreme grenser på som kan fortelle om intervallområder for den riktige løsningen. Andre ganger kan det handle om at det er mulig å velge et relativt fritt referansesystem, basis eller referansevolum. Her ligger prinsippene for å forenkle problemet. I Undersøk ukjente variabler i tilknytning til diverse bevarte størrelser som energi og bevegelsesmengde Er det mulig å forenkle og deretter generalisere problemstillingen? 4 Strukturert problemløsningsstrategi Høgskolen i Sørøst-Norge

fysikk kan det for eksempel handle om potensiell energi, som kan settes til null ved begynnelse eller slutt, avhengig av hva som passer best. Du kan spørre deg selv om du noen gang har sett et liknende problem eller om du har erfaring som kan hjelpe til å finne løsning. Har du sett et liknende problem? Skriv opp relevante likninger Ved hjelp av å analysere oppgaven og å identifisere de relevante prinsippene som trengs for å løse oppgaven, kan en gå videre. Når prinsippene er klare, er det tid for å skrive opp likningene som beskriver nettopp disse prinsippene. Legg merke til at det her ikke er likningene som er viktige (som i GUESS), men de bakenforliggende prinsippene. Bruk likningene for å løse oppgaven Nå er det på tide å gjennomføre løsningen. Her kan det gå lettere om en har en plan, det vil si at en tar tingene steg for steg og er nøye med å holde de ulike stegene fra hverandre. Det er viktig at en forsøker å utføre manipulasjonene én for én hele tiden. En bør unngå å ta flere steg på en gang. Kommentarer er også viktige. Om en selv eller noen andre forventes å undersøke løsningen seinere, så utgjør dette forskjellen på en klar, logisk løsning og en dårlig løsning. Det dreier seg her i stor grad om å skaffe seg en vel innarbeidet rutine hvor en alltid gjør ting et steg om gangen og alltid dokumenterer det en gjør med kommentarer. En bør unngå å ta flere steg på en gang Vurder løsningen Når en har funnet fram til en løsning, er det fremdeles en svært viktig ting som gjenstår å gjøre, nemlig å vurdere løsningen og i visse tilfeller også arbeidet sitt. Her har vi noen steg å gå gjennom: Kontroller om resultatet er rimelig. Stemmer det størrelsesmessig, og er svaret rimelig? Har svaret rett dimensjon, dvs. rett enhet? Utfør gjerne en dimensjonsanalyse. Kontroller løsningen: har du gjort noen store feil og for eksempel mistet en variabel eller potensen til en variabel? Vurder løsningen: er antakelsene dine rimelige, og hva skjer om du lar en variabel gå mot null eller uendelig? Vurder ditt eget arbeid: hva var vanskelig, og kunne du ha løst oppgaven på en annen måte? Selv om vurdering ikke er med i problemstillingen i oppgaven, er dette et mål som ligger i bakgrunnen og har sammenheng med dine generelle evner. Ved at du stadig vurderer deg selv, finner du fram til dine egne svakheter og kan øve deg på å overkomme dem. 5 Strukturert problemløsningsstrategi Høgskolen i Sørøst-Norge

Eksempel på Polyas problemløsningsstrategi Forstå 1. Les oppgaven 2. Les oppgaven en gang til 3. Forstår du alle ordene i oppgaveteksten? 4. Hva er det som du er blitt bedt om å finne eller vise? 5. Kan du omformulere problemet i dine egne ord? 6. Kan du skissere et bilde eller diagram som kan hjelpe deg med å forstå problemet? 7. Er det tilstrekkelig med informasjon for å finne løsningen? 8. Er det selvmotsigelser i informasjonen? Hvis svaret er ja gå til punkt 2 9. Hva er kjent og ukjent? 10. Indiker gitte data på figuren Planlegg 1. Undersøk de ukjente i tilknytning til diverse kjente lover (grunnleggende prinsipper) 2. Forsøk å dele oppgaven i ulike deler og betrakt delene hver for seg. 3. Er det mulig å løse et enklere men relatert problem? 4. Har du sett et liknende problem? 5. Lag en liste over alternativene 6. Finn fram relasjoner mellom det kjente og det ukjente? 7. Se etter mønster 8. Eliminer alternativer 9. Hvis du ikke lykkes prøv med noe annet Gjennomfør 1. Bruk de relevante likningene fra forrige steg til å løse oppgaven 2. Utfør manipulasjonene på likningene et steg om gangen 3. Dokumenter det du gjør med kommentarer 4. Ser du tydelig at hvert steg er korrekt? Kan du bevise at de er korrekte? Vurder 1. Er svaret rimelig? (Kan tante Oddny være -150 år gammel?) 2. Hvilke metoder virket? Hvilke metoder virket ikke? 3. Hvis du møter et liknende problem, kan du løse det på en bedre måte? 4. Var det egentlig en repetisjon av det du kunne fra før? 5. Hvis du ikke lykkes, les oppgaven på nytt og gå gjennom alle stegene om igjen 6 Eksempel på Polyas problemløsningsstrategi Høgskolen i Sørøst-Norge

Referanser Persson, R. J., 2014. Problemløsning, Trondheim: NTNU. Pólya, G., 1945. How to Solve it. 1 red. s.l.:princeton University Press. Woods, D. R., 2000. An Evidence-Based Strategy for Problem Solving. Journal of Engineering Education, 89(4), pp. 443-459. 7 Referanser Høgskolen i Sørøst-Norge