Løsningsforslag R1 Eksamen 6 Vår 31.05.2011 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere gitte eksamener. Dessverre er disse ofte bare åpne for betalende medlemmer. Videre vil dette løsningsforslaget legge seg på en litt annen kurs enn andre løsningsforslag. I første del vil fasitsvaret til alle regneoppgaver bli oppgitt. Dette gjøres slik at om ønsket kan raskt se om en har regnet riktig eller ei. Har en regnet feil, kan en selv regne på nytt uten å få fremgangsmåten spolert. Deretter vil vi ta for oss oppgavene i tur og orden gjerne litt nøyere en hva som kreves under eksamen. Vi vil også skrive små kommentarer om vanlige feil elever gjør til en del oppgaver, og også hva som bør nevnes til hver oppgave. Til tider vil vi også vise alternative måter å løse oppgavene på. Og et fåtall ganger vil vi streife utenfor pensum og vise alternative metoder. Dette er et annerledes løsningsforslag, men vi håper den som leser dette vil få glede av det. Det viktigste å huske på før en eksamen er å opparbeide seg en god forståelse, og en bred faglig kompetanse. Dokumentet her er ment å hjelpe leser et lite steg i den retningen.
Innhold Karaktergrenser og Vurderingsskjema 3 Del 1 Oppgave 1 4 a)............................................ 4 b)............................................ 4 c)............................................ 4 d)............................................ 4 e)............................................ 4 f)............................................ 4 g)............................................ 4 Oppgave 2 5 a)............................................ 5 b)............................................ 5 c)............................................ 5 Del 2 Oppgave 3 6 a)............................................ 6 b)............................................ 6 c)............................................ 6 d)............................................ 6 Oppgave 4 7 a)............................................ 7 b)............................................ 7 Oppgave 5 7 a)............................................ 7 b)............................................ 7 c)............................................ 7 d)............................................ 7 e)............................................ 7 f)............................................ 7 Oppgave 6 8 1
Oppgave 7 8 a)............................................ 8 b)............................................ 8 c)............................................ 8 Oppgave 8 9 a)............................................ 9 b)............................................ 9 c)............................................ 9 d)............................................ 9 2
Karaktergrenser og Vurderingsskjema Gjeldende poengfordeling Del 2 Del 1 Sum Oppgave 1a1 1b1 1b2 1c1 1c2 1d 1e 1f 1g 1h 2a 2b 2c Poeng 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 24 Oppgave 3a 3b 3c 3d 3a 4b 5a 5b 5c 5d 5e 5f 6 Poeng 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 36 7a 7b 7c 8a 8b 8c 8d 2 2 2 2 2 2 2 Total antall poeng 60 Karakterfordelingen, basert på 1358 besvarelser: Karakter 1 2 3 4 5 6 Prosent 14.6% 18.9% 25.0% 22.5% 15.0% 4.1% Gjennomsnittet besvarelsene er 3.2. Gjennomsnittskarakteren for våren 2010 var 3.4 Karaktergrenser Karakter 1 2 3 4 5 6 I Poeng 0 15 16 25 26 36 37 46 48 60 I prosent 0 24 25 41 42 59 60 77 79 100 Nebuchadnezzars synspunkter om årets eksamen Forhåndssensur Flere sensorer har kommentert at vanskegraden er rimelig, men at arbeidsmengden i Del 2 er noe stor. 3
Del 1 Uten hjelpemider Oppgave 1 (18 poeng) a) Vis at den deriverte til funksjonen O(x) = 500 x + 8x2 er O (x) = 500 + 16x3 x 2 b) Deriver funksjonene 1) f(x) = 3 ln(2x) 2) g(x) = 3x e x2 c) Vi har gitt polynomfunksjonen f(x) = x 3 3x 2 13x + 15 1) Vis at f(1) = 0. Bruk polynomdivisjon til å faktorisere f(x)i førstegradsfaktorer 2) Løs ulikheten f(x) 0 d) Mengden av lava som spruter ut per time ved et vulkanutbrudd kan tilnærmet beskrives ved et funksjonsuttrykk f(x). Funksjonsverdiene er målt i tonn, og t er antall timer etter begynnelsen av utbruddet. Du får vite at: f(0) = 300, f (10) = 0 og f (10) = 10 Hva kan du si om vulkanutbruddet på grunnlag av disse opplysningene? e) Skriv så enkelt som mulig 2x + 10 x 2 25 + x x + 5 2 x 5 f) Skriv så enkelt som mulig lg ( a 2 b ) + lg ( a b 2) ( a ) + lg b 2 g) En linje l har parameterfremstillingen l : { x = 1 + 2t y = 2 + t 4
Et punkt P (4, 1) ligger utenfor linjen. Regn ut avstanden fra P til linjen l. Oppgave 2 (6 poeng) C I en ABC er A = 90 En sirkel med sentrum i S er innskrevet i trekanten. Sidene AC og BC tangerer sirkelen i punktene D og E. Linjen gjennom B og S skjærer DE i F. Se skissen til høyre. E Du får oppgitt at DC = EC. Vi setter ABC = v, BCU = u, og BF E = x D F S x A B a) Forklar at u + v = 90 og at DEC = 90 u 2 b) Forklar at F BE = v 2 og at BEF = 90 + u 2 c) Vis at x = 45 5
Del 2 Med hjelpemider Oppgave 3 (7 poeng) Vi har et rett prisme der lengden av grunnflaten er fire ganger så stor som bredden. Volumet er 200cm 2 Vi setter bredden lik x cm. Se skissen. h x 4x a) Vis at h = 50 x 2 b) Vis at overflaten O av prismet kan skrives O(x) = 500 x + 8x2 c) I oppgave 1 a) i Del 1 viste du at O (x) = 500 + 16x3 x 2 Bruk den deriverte til å finne den minste overflaten O som prismet kan ha. Hva er lengden, bredden og høyden nå? Vi har et annet rett prismet der lengden av grunnflaten er tre ganger så stor som bredden. Volumet er 200cm 2 d) Finn den minste overflaten som dette prismet kan ha. 6
Oppgave 4 (4 poeng) På en skole er de 350 elever. 150 av disse er gutter. En undersøkelse viser at 100 gutter og 180 jenter har med seg matpakke hver dag. Èn elev trekkes ut tilfeldig La A og B være de to hendelsene A: Eleven er gutt B: Eleven har med seg matpakken hver dag. a) Forklar med ord hva vi mener med P (A B). Finn denne sannsynligheten. b) Finn sannsynlighetene P (B) og P (A B) Er de to hendelsene A og B uavhengige? Oppgave 5 (9 poeng) Punktene A(2, 1) og B(5, 3) er gitt. a) Finn AB og regn ut AB. Vektoren AC = [ 1, 2] er gitt. b) Bestem koordinatene til punktet C c) Regn ut AC BC og kommenter svaret. En rett linje l går gjennom punktet P (3, 4) og er parallell med AC d) Finn parameterfremstillingen for linjen l e) Finn koordinatene til punktet der l skjærer y-aksen. Punktet Q(8, 6) er gitt. En vektor QR har lengde 10 og R er et punkt på linja l. f) Bestem koordinatene til R. 7
Oppgave 6 (2 poeng) Du får oppgitt at en funksjon f er definert for x < 0, 10 >. Funksjonen er kontinuerlig, men ikke deriverbar i x = 2, og ikke kontinuerlig i x = 5. Tegn en skisse som viser hvordan grafen til f kan se ut. Oppgave 7 (6 poeng) I denne oppgaven skal vi undersøke påstanden Alle primtall som er større enn 2, kan skrives som differansen mellom to kvadrattall a) Skriv ut og fyll tabellen. Primtall Naturlige tall Kvadrattall Differanse p n 1 n 2 n 2 1 n 2 2 n 2 1 n 2 2 3 2 1 2 2 1 1 3 5 3 2 3 2 2 1 5 7 4 3 4 2 3 1 7 11 6 5 6 2 5 1 11 13 17 19 I tabellen er p primtall, og n 1 og n 2 er naturlige tall, slik at: n 1 + n 2 = p n 1 n 2 = 1 b) Vis at vi kan skrive n 1 = p + 1 2 og n 2 = p + 1 2 c) Bevis at påstanden i ruten ovenfor er riktig. 8
Oppgave 8 (8 poeng) Matematikeren Arkimedes (ca. 287 212 f-kr.) studerte figuren du ser nedenfor. Det hvite området på figuren kalles skomakerkniven. Området er avgrenset av en ytre halvsirkel og to indre halvsirkler. De to indre halvsirklene, som er fargelagt på figuren har sentrum i D og E. De to indre halvsirklene har raidus R og r. Punktene D, C og E ligger på linjestykket AB. H A D C E B a) Vis at lengden av sirkelbuen AB er lik summen av lengdene av de to sirkelbuene AC og CB. På figuren er CH AB. b) Forklar at ACH er formlik med HCB. c) Bruk dette til å vise at CH = 2 R r. d) Vis at arealet av en sirkel med diameter CH er lik arealet av skomakerkniven. 9