FY006/TFY45 Innføring i kvantefysikk - Øving Frist for innlevering: tirsdag 4. februar Oppgave ØVING Krumningseigenskapar for eindimensjonale energieigenfunksjonar Ein partikkel med masse m bevegar seg i eit eindimensjonalt potensial V (x). Partikkelen er i ein tilstand som svarer til ei reell løysing av den tidsuavhengige Schrödingerligningen, Ĥ (x) =E (x), med energien E. I ein dimensjon er Hamiltonoperatoren Ĥ = ˆK + V = d h + V (x). (0.) m dx Vi kan difor omskrive Schrödingers tidsuavhengige likning på forma h d (x) =[E V (x)] (x) dvs. m dx d /dx = m [V (x) E]. (0.) h (i) I klassisk tillatne område, detvilseienåre>v(x) eraltsåkrumningad /dx negativ når er positiv og vice versa; i begge tilfelle er den relative krumninga 00 / negativ. Vi ser at dette tyder at må krumme mot aksen. Døme: (ii) I klassisk forbode område, detvilseienåre<v(x) er krumninga d /dx positiv når er positiv og vice versa; i begge tilfelle er den relative krumninga 00 / positiv. vil da krumme bort frå aksen. Døme: (iii) I eit klassisk vendepunkt, der V (x) E skiftar forteikn, ser vi av formelen ovanfor at den relative krumninga skiftar fortein. Er V (x) =E ieitendeligområdeblir 00 =0 i dette området. Ved integrasjon ser ein at sjøl er ein lineær funksjon, = Ax + B, i dette området. Vi skal sjå at krumninga er eit veldig nyttig redskap når ein skal studere energieigenfunksjonar. a) Grunntilstanden for ein harmoniske oscillator med potensialet V (x) = kx m! x er 0(x) =C 0 e m!x / h. (0.3)
FY006/TFY45 Innføring i kvantefysikk - Øving Energien E 0 for grunntilstanden er lik h!. Kontrollér at 0(x) oppførersegslikreglane ovanfor seier. Sjekk spesielt at den relative krumninga skiftar forteikn for dei x-verdiane som svarer til dei klassiske vendepunkta, det vil seie der E 0 = V (x). b) Figuren viser grunntilstanden for eit eindimensjonalt potensial på forma 8 >< for x >b, V (x) = 0 for a< x <b, >: V 0 for x < a. Iområda a< x <b er ein lineær funksjon. Bruk dette til å finne energien E for denne tilstanden. Kva forteikn har V 0? Hint: bruk figuren til å finne den relative kruminga i området x <a. Oppgave Ymse a) For ein partikkel med masse m ieitboks-potensialmedbreiddel er energieigenfunksjonen for grunntilstanden (x) = /L sin( x/l). Kva skjer med energinivået E for grunntilstanden i eit boks-potensial når breidda L av boksen reduserast til ein tredel av den opprinnelege? b) For ein gjeven bølgjefunksjon (x) kanvivhaforventningsverdipostulatetrekneut hxi = hp x i = x dx, hx i = ˆp x dx hp xi = der ˆp x = i h d. Med desse uttrykka kan vi rekne ut usikkerheitene x dx og p x = h p x i hp x i. Med bølgjefunksjonen (x) = x dx, (0.4) ˆp x dx, (0.5) = h x i hx i /L sin( x/l) kaneinlett vise at hxi = L og hx i = L ( 3 ). Rekn ut hp 6 x i og hp xi. Bruk dette til å rekne ut x og p. Som du ser er usikkerheiten til x proporsjonal med L og usikkerheiten til p omvendt proporsjonal med L. Rekntilsluttutproduktet x p. Viss du har rekna rett, får du x p> h. Dette er eit døme på eit generelt resultat i kvantemekanikken, nemleg
FY006/TFY45 Innføring i kvantefysikk - Øving 3 Heisenberg uskarpheitsrelasjon. Einkanviseatuansettkorleisbølgjefunksjonener, kan usikkerheitsproduktet aldri x p aldri bli mindre enn h: Ibølgjeteorilærereinatjokortareei bølgjegruppe eller bølgepakke x p f(x) = p g(k)e ikx dk. (0.6) h er, desto større blir usikkerheiten k ibølgjetalet. Med k = p x / h kan vi og seie at jo kortare ei bølgjegruppe (x) = p (p x )e ipxx/ h dp x h er, desto større må usikkerheiten p x iimpulsen( p x = h k) vere.omvendtkanvialltid gjere p x liten ved å velge ein smal funksjon (p x )ellerg(k), men dette vil da stra e seg ved at bølgja (x) blirsværtlang,dvsusikkerheiten x ipartikkelensposisjonblir stor. Uskarpheitsrelasjonen ovanfor er eit spesialtilfelle av ein meir generell uskarpheitsrelasjon for to fysiske observable F og G, ( F ) ( G) D i[ F, b G] b E 8 (kvadratisk integrerbare). Frå den siste relasjonen framgår det at Heisenbergs uskarpheitsrelasjon er ein konsekvens av at x og bp x ikkje kommuterer: [x, bp x ]=i h. Det er denne relasjonen som gjer at observablane x og p x ikkje kan ha skarpe verdiar samtidig. Eit anna døme på observable som ikkje kan ha skarpe verdiar samtidig, er komponentane L x = yp z zp y,l y = zp x xp z og L z = xp y yp x av dreieimpulsen L = r p for ein partikkel. Desse er som vi skal sjå viktige observable for system som beskrivast vha kulesymmetriske potensial, som t.d. H-atomet. c) h V i og h K i for grunntilstanden i hydrogen Iforelesninganeogiøvingharvisettatgrunntilstandenforhydrogenatometer =( a 3 0) / e r/a 0 har energien E = m e c ( 3.6 ev). Vis at forventningsverdiane av den kinetiske og den potensialle energien i denne tilstanden er h V i =E ( 7.) ev og h K i = E ( 3.6) ev. Du kan få bruk for integralet og x p x h 0 x n e x dx = n! n+. (Heisenbergs uskarphetsrelasjon),
FY006/TFY45 Innføring i kvantefysikk - Øving 4 D E d) Estimat av h K i Gjør eit enkelt overslag av h K i = m p x + p y + p z for hydrogentilstanden,vedhjelpavuskarpheitsrelasjonenogsamanliknmedformelenovanfor. Hint: Anta at p x h/a 0 osv, og bruk at h p x i = h p y i = h p z i = 0. Merk at ( p x ) = h p x i hp x i.detkanhendedufårbrukforåviseatrydberg-energien m e c også kan skrives på forma h /(m e a 0). Oppgave 3 Idenneoppgåvaservipåeitsystemsomganskeenkeltbeståraveinfripartikkelmed masse m. Ein tenkjer seg at dette systemet (eller eigentleg eit ensemble av slike) blir preparert i ein tilstand med bølgjefunksjon ved t =0 (x, 0) = ( ) /4 e x /4 e ip 0x/ h. Merk at bølgegruppa (x, 0) er ei harmonisk planbøljge modulert med ein Gauss-faktor. Gauss-faktoren sørgjer for at (x, 0) er kvadratisk integrerbar (i motsetning til den harmoniske planbølgja exp(ip 0 x/ h) som vi har i de Broglie-bølgjene). Ifølgje postulat B ( tilstandspostulatet ) inneheld funksjonen (x, 0) all den informasjonen om ensemblet (ved t = 0) som det er mogleg å ska e seg. Som eit ledd i arbeidet med å knekke den kvantemekaniske koden skal vi nå sjå korleis vi kan hente ut denne informasjonen a) Argumentér for at forventningsverdien av posisjonen x for denne tilstanden ved t = 0er lik null, og for at usikkerheiten x er uavhengig av parameteren p 0. Hint: Sjå på sannsynlegheitstettheiten (x, 0).(Moralenerheratdetlønnersegmedlittoversikt;istadenfor berre å rekne slavisk i veg.) b) Rekn ut x. Hint: For å spare litt arbeid med integrasjonene er det kanskje en fordel å innføre =/, og merke seg Gauss-integrala I 0 ( ) e x dx = r, I ( ) x e x dx = @I 0 @ = p 3/, osv. Korleis ein skal gå fram eksperimentelt for å prepare eit einsemble av frie partiklar slik at initialtilstandent svarer til bølgefunksjonen (x, 0) er kanskje ikkje heilt lett å førestille seg. I kvantemekanisk teori er det vanleg å anta at ein i prinsippet kan prepare einkvar initialtilstand for det aktuelle ensemblet utan å bekymre seg for mykje om det reint praktiske. La oss likevel gjere eit forsøk. Vi har ein partikkel-kanon som skyt ut ein partikkel som forlet kanonen (x 0) ved t = 0, med impuls p 0. For å få eit ensemble av slike partiklea må vi gjenta eksperimentet mange gangar og nullstille klokka etter kvar avfyring. Alternative kan vi sende ut ein skur av partiklar samtidig ved t = 0. Eit slikt ensemble kan vi representere ved ein bølgefunksjon i form av ei bølgegruppe som følgjer partikkelskuren.
FY006/TFY45 Innføring i kvantefysikk - Øving 5 Kva er den fysiske tolkninga av h x i og x, når ein gjer ein serie målingar av posisjonen x? c) Dersom ein veljer parameteren veldig stor, er (x, 0) praktisk talt ei rein harmonisk planbølgje. Ei harmonisk planbølgje exp(ip 0 x/ h) svarersomvihuskertileinskarptdefinert impuls, p x = p 0.Kvatrur du ut frå dette vil skje med forventningsverdien h p x i og usikkerheiten p x når vokser mot uendeleg? d) Funksjonen (x, 0) gjev også eit nøyaktig svar på spørsmåla i c): Bruk forventningsverdipostulatet (C) til å rekne ut h p x i og p x (for vilkårleg p 0 ), og vis at usikkerheitsproduktet x p x faktisk har den minste verdien det kan ha ifølgje Heisenbergs uskarpheitsrelasjon, for alle og p 0. [Hint: Vis at bp x (x, 0) = (p 0 + i h x) (x, 0) og bp x (x, 0) = [(p 0 + i h x) + h ] (x, 0), =/. Med desse uttrykka vil du sjå at dei integrala som dukkar opp under utrekninga av h p x i og h p x i er normeringsintegralet samt integrala for h x i og h x i, som vi alt har rekna ut. Her er det altså igjen lurt å ska e seg litt matematisk oversikt og ikkje rekne i veg. Kva er den fysiske tolkninga av h p x i og p x,nåreingjerseriemålingaravimpulsenp x? h p x i og p x har samanheng med sannsynlegheitsfordelinga av impulsen p x idenaktuelle tilstanden. Kan ein tenkje seg at ein kan finne sannsynlegheitsfordelinga for impulsen frå bølgjefunksjonen (x, 0)? e) Oppførselen til systemet vårt for t>0 er gjeve ved Schrödingerlikninga for ein fri partikkel. Bølgegruppa vil da bevege seg. Kva gruppehastigheit trur du at bølgjegruppa (x, t) får?