Norges teknisk naturvitenskapelige univsitet Institutt for matematiske fag ST0103 Brukkurs i statistikk Høst 2014 Løsningsforslag Øving 6 5.2 Antall sprukne pøls X binomialfordelt med n 8 og p 0.2, og X har punktannsynlighet 8 P X x 0.2 x 0.8 8 x. x Sannsynligheten for at nøyaktig to av pølsene sprukne 8 P X 2 0.2 2 0.8 6 0.2936. 2 Sannsynligheten for at mellom to og fem pøls sprukne kan vi finne ved å slå opp den kumulative binomiske fordelingen P 2 X 5 P X 5 P X 1 0.999 0.503 0.496. Forventningsvdien til X E[X] np 8 0.2 1.6. 5.3 Siden alle frøene har samme spiresannsynlighet, de å anse som uavhengige forsøk, slik at antall frø som spir binomialfordelt med n 10 og p 0.6. Sannsynlighetsfordelingen til X tegnet opp i figuren nedenfor. Sannsynligheten for at akkurat tre av frøene spir P X 3 10 0.6 3 1 0.6 10 3 3 10 0.6 3 0.4 0.0425. 3 Sannsynligheten for at antall frø som spir mellom to og seks P 2 X 6 P X 6 P X 1 0.618 0.002 0.616. Forventningsvdien til X E[X] np 10 0.6 6. 0.35 0.3 0.25 PXx 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 2 4 6 8 10 x 25. septemb 2014 Side 1 av 8
5.9 Antall defekte bil Y blant de fire kjøpte bilene har den hypgeometriskesannsynlighetsfordelingen med parametrene N 8, M 3 og n 4. Figuren vis et sannsynlighetshistogram av denne fordelingen. Vdimengden til Y V Y {0, 1, 2, 3}, siden det bare fins tre defekte bil som eventuelt kan havne i utvalget. Sannsynligheten for at det én defekt bil i utvalget M N M 1 n 1 P Y 1 N n 3 5 1 3 8 0.4286. 4 PYy 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 1 0 1 2 3 4 5 y 5.10 8 Antall ensifrede tall Y blant lottotallene som trekkes ut hypgeometrisk fordelt med parametre N 34, M 9 og n. Sannsynligheten for at tre av tallene som trekkes ut ensifrede M N M 9 25 3 n 3 3 4 P Y 3 N 34 0.195. n Vdimengden til Y V Y {0, 1,..., } siden utvalgsstørrelsen mindre enn antall ensifrede tall. Sannsynligheten for at det y ensifrede tall blant de sju tallene som trekkes M N M 9 25 y n y y y P Y y N 34, for y 0, 1,...,. n Fordelingen vist med et sannsynlighetshistogram i figuren. 0.4 0.35 0.3 0.25 PYy 0.2 0.15 0.1 0.05 0 2 0 2 4 6 8 y 25. septemb 2014 Side 2 av 8
5.11 9 Antall mkede elg Y i fangsten hypgeometrisk fordelt med parametrene N 64, M 14 og n 8. Sannsynligheten for at tre av de felte elgene mket M N M 14 50 3 n 3 3 5 P Y 3 N 64 0.142. n 8 Sannsynligheten for at det tre ell færre mkede elg i fangsten 3 3 14 50 y 8 y P Y 3 P Y y y0 y0 64 14 0.1213 + 0.3159 + 0.326 0.9382. 5.12 10 H har antall mkede elg Y i fangsten den hypgeometriske fordelingen med N 640, M 140 og n 8. Når vi antar at Y hypgeometrisk fordelt med disse parametrene, får vi og P Y 3 P Y 3 140 500 3 5 640 8 3 140 500 y 8 y 640 y0 8 0.110 0.9261. Dsom vi istedet antar at Y binomisk fordelt med n 8 og p M/N 140/640, får vi 8 140 3 500 5 P Y 3 0.106 3 640 640 og 3 8 140 y 500 8 y P Y 3 0.9249. y 640 640 y0 Det liten forskjell mellom svarene vi får i de to tilfellene. Binomialfordelingen en god tilnærming til den hypgeometriske fordelingen når populasjonen stor nok til at proporsjonen p M/N nesten lik for hvt forsøk, ell for hv felte elg, i dette tilfellet. 5.14 12 Antall uk Z til lykketallet trekkes ut geometrisk fordelt med p /34, og punktsannsynligheten til Z P Z z 1 p z 1 p 1 z 1 34 34. Sannsynligheten for at lykketallet trekkes ut først om tre uk P Z 3 1 2 34 34 0.1298. Forventet antall uk til lykketallet trekkes ut E[Z] 1 p 34 4.851. Figur 4.5 vis den hypgeometriske fordelingen med p 0.206 /34. 25. septemb 2014 Side 3 av 8
5.15 13 Antall dag X til Kari lykkes med målet sitt geometrisk fordelt med p 0.001. Forventningsvdien til X E[X] 1 p 1 0.001 1000. Sannsynligheten for at Kari lykkes i løpet av et år P X 365 1 1 0.001 365 1 0.999 365 0.3059. 5.18 16 Vi antar at antall ulykk X i løpet av en måned Poissonfordelt med paramet λt 1 p måned 1 måned 1. Sannsynligheten for at ingen ulykk inntreff i løpet av en måned P X 0 λt0 e λt e 1 0.369. 0! Sannsynligheten for at to ulykk inntreff i løpet av en måned P X 2 λt2 e λt 12 2! 2! e 1 1 2 e 1 0.1839. Antall ulykk Y p år Poissonfordelt med paramet λt 1 p måned 12 måned 12. Sannsynligheten for at seks ulykk inntreff i løpet av et år P Y 6 λt6 e λt 126 6! 6! e 12 0.0255. Sannsynligheten for at høyst åtte ulykk inntreff i løpet av et år P Y 8 0.155, og finnes i tabellen for den kumulative Poissonfordelingen. At antall ulykk Poissonfordelt forutsett at ulykkene komm alene, siden forekomstene ikke kan sammenfalle på tidsaksen, og siden forventet antall ulykk i fremtiden antas å forbli uendret selv om en ulykke skulle inntreffe. Påstanden en ulykke komm sjelden alene med andre ord ikke forenlig med at X Poissonfordelt. 5.20 18 Sannsynligheten for at pæren ryk i løpet av 1000 tim P T 1000 1 e 1 µ 1000 1 e 1000 1500 0.4866. Sannsynligheten for at pæren ovlev ett år P T > 860 1 P T 860 1 1 e 860 µ e 860 1500 0.0029. Sannsynligheten for at lyspæren vil lyse i 1000 tim til, gitt at den har lyst i et år P T > 860 + 1000 T > 860 P T > 860 + 1000 P T > 860 P {T > 860 + 1000} {T > 860} P T > 860 860+1000 e 1500 e 860 1500 860+1000 e 860 1500 1500 e 1000 1500 0.5134. 25. septemb 2014 Side 4 av 8
Vi har altså P T > 860 + 1000 T > 860 P T > 1000, så lyspæren hukommelsesløs, og husk ikke at den allede har lyst i et år. 5.21 19 Antall nye kund X i løpet av to tim Poissonfordelt med paramet λt 4 p time 2 tim 8. Sannsynligheten for at det komm seks nye kund i løpet av to tim P X 6 λt6 e λt 86 6! 6! e 8 0.1221. Sannsynligheten for at det komm mellom fire og ti nye kund i løpet av to tim P 4 X 10 P X 10 P X 3 0.816 0.042 0.4. Tiden T til neste kunde komm eksponentialfordelt med forventningsvdi µ 1 λ 1 0.25 tim. 4 p time Sannsynligheten for at det går ov en halv time til neste kunde ankomm P T > 0.5 1 P T 0.5 1 1 e 1 0.5 µ e 0.5 0.25 0.1353. ST0101 2006H, oppgave 2 Betrakt en tilfeldig valgt flue i insektburet. La M betegne hendelsen at fluen en hann, og F at den en hunn. Da har vi P T > t M e 0.5t og P T > t F e 0.3t, d T unnslipningstiden i minutt. a Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt hann bruk ov ett minutt på å unnslippe P T > 1 M e 0.5 1 0.6065. Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt hunn bruk m enn ett minutt på å unnslippe P T > 1 F e 0.3 1 0.408. b Siden det like mange hann som hunn i buret, har vi P M P F 0.5. Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt flue bruk ov ett minutt på å unnslippe P T > 1 P T > 1 MP M + P T > 1 F P F 0.6065 0.5 + 0.408 0.5 0.63. c Den betingede sannsynligheten for at en tilfeldig valgt flue som bruk ov ett minutt på å unnslippe en hann, P M T > 1 P T > 1 MP M P T > 1 0.6065 0.5 0.63 0.4501. 25. septemb 2014 Side 5 av 8
d Vi vil finne tidspunktet t som slik at sannsynligheten for at en tilfeldig hann igjen i buret halvparten av sannsynligheten for at en tilfeldig hunn igjen i buret. Fluene som igjen i buret ved tiden t de fluene som bruk m enn t minutt på å unnslippe. Sannsynligheten for å være igjen i buret ved tiden t dfor lik sannsynligheten for at unnslipningstiden større enn t. Tidspunktet t må altså oppfylle P T > t M 1 P T > t F, 2 ell e 0.5t 1 2 e 0.3t. Dette gir og dmed e 0.5 0.3t 2, 0.2t ln 2 slik at t 5 ln 2 3.465. Andelen av fluene som har unnsluppet ved denne tiden forventes å være lik sannsynligheten for at unnslipningstiden mindre enn ell lik t, P T t 1 P T > t 1 P T > t MP M + P T > t F P F 1 e 0.5t 0.5 + e 0.3t 0.5 1 0.5 e 0.5 3.465 + e 0.3 3.465 0.349. Det forventes altså at om lag 3% av fluene vil unnslippe før den ønskede andelen hann oppnås. ST0101 200V, oppgave 1 a Forventningsvdien E[x] 5 xp X x 2 0.05 + 3 0.10 + 4 0.65 + 5 0.20 4.0. x2 Andremomentet E[X 2 ] 5 x 2 P X x 2 2 0.05 + 3 2 0.10 + 4 2 0.65 + 5 2 0.20 16.5, x2 så variansen Var[X] E[X 2 ] E[X] 2 16.5 4 2 0.5, og standardavviket 0.5 0.01. b Sannsynligheten for at et tilfeldig valgt kull har fem ung gitt at det har minst fire ung P X 5 X 4 P X 5 X 4 P X 4 P X 5 P X 4 + P X 5 0.20 0.65 + 0.20 0.2353. 25. septemb 2014 Side 6 av 8
c For at de tre kullene skal ha 13 ung til sammen, må det enten være to kull med fem ung og ett med tre, ell det må være to kull med fire ung og ett med fem. I hvt tilfelle det ett av tre kull som har et annet antall enn de to andre, slik at antall pmutasjon blir 3 1. La X1, X 2 og X 3 være antall ung i de tre kullene som undsøkes. Sannsynligheten for at de tre kullene til sammen har nøyaktig 13 ung P X 1 + X 2 + X 3 13 3 P X 5 2 P X 3 + 1 3 0.20 2 0.10 + 3 0.65 2 0.20 0.2655. 3 P X 4 2 P X 5 1 d La Y være antall kull maststudenten må undsøke inntil hun finn et kull med fem ung. Da Y geometrisk fordelt med p P X 5 0.20. Sannsynligheten for at hun treng å undsøke tre ell færre kull før hun finn et med fem ung P Y 3 1 P Y > 3 1 1 p 3 1 0.80 3 0.4880. Forventet antall kull som må undsøkes E[Y ] 1 p 1 0.20 5. Sannsynligheten for at 10 ell fle kull må undsøkes P Y 10 P Y > 9 1 p 9 0.8 9 0.1342. 25. septemb 2014 Side av 8