FY50/V9/Modul 3 FRIKJON OG VIKOITET: bevegelsesmotstand i gasser og væsker C.A. Lütken, A. Read Department of Physics, University of Oslo (Dated: April 3, 09) Vi undersøker laminære og turbulente strømninger, ved å studere kuler i fritt fall i gasser og væsker med indre friksjon (begelsesmotstand). Vi slipper isoporkuler i luft, fra fjerde etasje i et av trappehusene på FI for at de skal få tid til å nå sin terminalhastighet. Vi slipper små stålkuler og 3D-printede plastkuler i hhv. olje-fylte og vann-fylte rør, hvor vi håper å kunne verifisere tokes lov, som har viktige anvendelser i mange deler av naturvitenskapen. To appendikser inneholder utfyllende informasjon som ikke trengs for å utføre oppgaven. Uten en (fallskjerm-) tråd I januar 97 eksploderte en bombe i flyet der år gamle Vesna Vulovic jobbet. Hun falt s 0 km uten fallskjerm, men landet i sne og overlevde. Mange andre har overlevd lignenede fall, men hvordan er det mulig? Hvis Vesna bare hadde hatt oppdriften B (Archimedes lov) til å motvirke tyngdekraften G mens hun var i fritt fall, så ville den konstante nettokraften F ma G B δm g gitt henne en konstant akselerasjon g (δm/m)g g. Etter 35 s ville hun ha brutt lydmuren, og ti sekunder senere ville hun ha truffet kloden med en hastighet v s g 600 km/h. Det kan ingen overleve, uansett hva de treffer. Vesna ble reddet av luftmotstanden F D, som skyldes indre friksjon i de atmosfæriske gassene. Fordi F D øker når farten v øker, så vil den før eller siden balansere F, og denne terminalfarten v T 50 00 km/h er deretter konstant (a 0) fordi F tot ma F F D (v T ) 0. De siste sekundene av fallet var kontaktfriksjonen ( gnissingen ) med et snedekt tre eller en bakke nok til å gi Vesna en negativ akselerasjon som hun kunne overleve. av F D til andre orden i v er derfor parametrisert av to størrelser som har dimensjonene [c ] kg/s og [c R ] kg/m. Det er nyttig å fremheve funksjonssammenhengene ved å bytte ut disse med dimensjonsløse størrelser C og C R. Ved lave hastigheter (< 4 m/s for små legemer i luft) kan vi se bort fra det kvadratiske leddet, og F D er i dette tokes-regimet tilnærmet lineær i v [F D (v 0) c v]. trømningsmønsteret rundt legemet er laminært, dvs. at forskjellige lag glir langs hverandre uten å virvles opp og blandes, men ikke uten motstand. Molekylene har god tid til å snakke sammen. Drag skyldes disse intermolekylære kreftene, som vi makroskopisk opplever som at substansen er seig eller viskøs. En intuitiv og operasjonell definisjon av den dynamiske viskositeten µ får vi ved å måle hvor hardt vi må presse på et objekt for at det skal flytte seg en gitt avstand på en gitt tid gjennom et seigt medium, eller tilsvarende, hvor lang tid t det tar å flytte et legeme en gitt avstand med et gitt trykk p. Den dynamiske viskositeten µ p t som parametriserer seigheten har derfor dimensjonen [µ] Pa s (N/m ) s kg/(m s). I. TEORI A. Drag Mer generelt (for både gasser og væsker) kaller vi den indre friksjonskraften F D drag. Fordi F D skyldes at en gjenstand med utstrekning kolliderer med molekylene i den substansen (gassen eller væsken) den presser seg gjennom, så virker F D mot bevegelsretningen. Mens kontaktfriksjonen er (nesten) uavhengig av farten v, og maksimal når legemet er i ro, så forventer vi at den indre friksjonen F D (v) avhenger av farten v til det faste legemet relativt til substansen den beveger seg gjennom, og at denne kraften forsvinner når objektet er i ro [F D (0) 0]. Rekkeutviklingen F D (v) c v + c R v +... B. tokes-koeffisienten C Drag-koeffisientene må opplagt avhenge av geometrien til legemet, men vi skal her kun studere kuler. Vi har derfor bare en lengde-variabel, radien r, som sammen med viskositeten gir dimensjonen til tokes-koeffisienten, c C µr, der C F D µrv const. 6π () er en dimensjonsløs konstant, fordi vi ikke har noen andre dimensjonsløse, hastighets-uavhengige variable den kan være en funksjon av. For en kule ( ) er C C 6π, som kalles tokes lov.
C. Rayleigh-koeffisienten C R z t g v c black, z R t g v c R dotted black For store hastigheter (men mindre enn lydhastigheten) domineres F D av det kvadratiske leddet [F D (v ) R c Rv ], og strømningsmønsteret bak legemet er mer eller mindre kaotisk (turbulent) [se Fig. ]. I dette regimet klarer ikke viskositeten å dempe fluktuasjoner i mediet, og spiller derfor liten rolle. Dimensjonen til den kvadratiske koeffisienten c R kommer derfor fra størrelsen ρ r, og Rayleigh-koeffisienten C R F R D ρ r v. () er dimensjonsløs i det kvadratiske regimet. D. Fritt fall Laminært fall En kule med diameter d r og tetthet ρ som synker/faller laminært i et medium med tetthet ρ utsettes for en netto kraft (δm m m ) F tot ma m g m g F D δmg C µrv. (3) Kulen når sin terminalfart v T (d) δmg C µr ĝ ν d d, ĝ ρ γg, (4) ρ når disse kreftene balanserer. Her er ν µ/ρ er den kinematiske viskositeten, og γ π/(3c ) /8 for en kule (tokes lov). Vi setter dette inn i (3) og løser diffligningen analytisk (Appendix I). Kulens fart v (t), akselerasjon a (t) dv (t)/dt, og posisjon z (t) dtv (t) (vi nullstiller høyden i slipp-punktet) i et laminært fall er vist som heltrukne grafer i Fig. (i dimensjonsløse enheter). Turbulent fall En kule med diameter d r og tetthet ρ som synker/faller turbulent i et medium med tetthet ρ utsettes for en netto kraft F tot ma m g m g F R D δmg C R ρ r v. (5) Kulen når sin terminalfart vt R δmg 3πĝd (d) C R ρ r d / (6) C R når disse kreftene balanserer, Vi setter dette inn i (5) og løser diffligningen analytisk (Appendix I). Kulens fart v R (t), akselerasjon a R (t) dv R (t)/dt, og posisjon z R (t) dtv R (t) (vi nullstiller høyden fra slipp-punktet) i et turbulent fall er vist som stiplede grafer i Fig. (i dimensjonsløse enheter)...0 0.8 0.6 0.4 0. 0.0 0.0 0.5.0.5.0.5 g t v c Figure : Dimensjonsløse analytiske løsninger av dragligningene i det lineære (laminære) regimet, jmf. ()-(3) i Appendix I, og i det kvadratiske (turbulente) regimet, jmf. (5)-(7) i Appendix I. Materialegenskaper Vi har valgt å parametrisere terminalhastighetene og de analytiske løsningene vist i Fig. med de reduserte verdiene ĝ > 0 [definert i (4)] og g > 0 [definert i (0)] av tyngdens akselerasjon g 9.8 m/s, fordi dette er materialkonstanter som kun avhenger av tetthetene til kulen og mediet den er nedsenket i (se Tabell I). Appendix II inneholder litt mer drag-teori. E. Karakterisering av regimene ammenligner vi ligning (4) og (6), v T (d) d ln v T ln d + b, (7) v R T (d) d / ln v R T (/) ln d + b R, (8) ser vi at alle dataene i et log-log-plot av v T mot d forventes å ligge nær en av de to linjene (i eller R): y a i x + b i, [x ln d, y ln v T ], der a, a R /, og b i er konstanter. tokes lov gir b ln ĝ ν ln δρ g 8µ ln δρ µ 0.607, (9) og vi ser at skjæringstallet b er bestemt av forholdet mellom tetthetsforskjellen δρ ρ ρ og den dynamiske viskositeten µ. Legg merke til at linjen for laminære data () er fire ganger så bratt som linjen for turbulente data (R). Med radius-avhengige data burde det derfor være lett å skille mellom rendyrket laminær og turbulent oppførsel, og verdien av b kan brukes til å sjekke tokes lov.
3 Table I: Tettheten ρ, den kinematiske viskositeten ν, og den dynamiske viskositeten µ ρ ν for noen materialer. Data er hentet fra Wikipedia 8.03.09, databladet til oljen TELLU--M68 (@ 0 C), og direkte måling av tettheten til de kinesiske isoporkulene. Plastkulene er 3D-printet på FI 9.03.09. Ikonet symboliserer en kule, mens representerer medium som fortrenges av kulen. luft ( ) olje ( ) vann ( ) isopor ( ) plast ( ) stål ( ) ρ [kg/m 3 ].5 889 998. 04 7905 ν [0 6 m /s] 5. 4.0 µ [kg/(m s)].86 0 5 0.90 0.998 0 3 II. EKPERIMENT A. Isoporkuler i luft Film slutten av fallet til de seks isporkulene med diameter mellom 4 mm og 95 mm. Bruk den utleverte MATLAB koden til å finne terminalhastighetene. B. tålkuler i olje Film noen av stålkulene med diameter mellom mm og 64 mm mens de synker ned gjennom et glassrør fylt med TELLU-oljen, og bestem terminalhastighetene. C. Plastkuler i vann Film noen av plastkulene av forskjellige størrelser mens de synker ned gjennom vann, og bestem terminalhastighetene. D. Data-analyse. Verifiser at alle kulene når sin terminalhastighet.. Vurder betydningen av temperaturen for resultatene. 3. Vis dine målte verdier av v T (d) på et log-logplot. 4. ammenlign dine data med tokes lov [vt (d) fra ligning (4)], og med forventet oppførsel for turbulent strømning [vt R (d) fra ligning (6)]. APPENDIX I ANALYTIKE LØNINGER Laminært fall Kombinerer vi (3) og (4) får vi diffligningen ( dv v ) dt vt g, g δm ( m g ρ ) g. (0) ρ Vi har valgt å parametrisere (4) og (0) med de reduserte verdiene ĝ > 0 og g > 0 av tyngdens akselerasjon g 9.8 m/s, fordi dette er materialkonstanter. Ved å løse (0) finner vi kulens fart v (t), akselerasjon a (t) dv (t)/dt, og posisjon z (t) dtv (t) (vi nullstiller høyden fra slipp-punktet) i et laminært fall: a (t) g e gt/v T, () v (t) vt e gt/v T, () z (t) v T t (v T ) g e gt/v T. (3) De dimensjonsløse funksjonene a (t)/ g, v (t)/v T, og z (t) g/(v T ) er plottet i Fig.. Turbulent fall Kombinerer vi (5) og (6) får vi diffligningen [ ] dv R vr g, g δm g. (4) dt m v R T Ved å løse (4) finner vi kulens fart v R (t), akselerasjon a R (t) dv(t)/dt, og posisjon z R (t) dtv R (t) (vi nullstiller høyden fra slipp-punktet) i et turbulent fall: a R (t) g sech ( gt/vt R ), (5) v R (t) vt R tanh( gt/vt R ), (6) z R (t) (vr T ) g ln cosh( gt/v R T ). (7) De dimensjonsløse funksjonene a R (t)/ g, v R (t)/v R T, og z R (t) g/(v R T ) er plottet i Fig.. APPENDIX II!
4 CD OG REYNOLDTALLET Re Drag-koeffisienten CD (v) Ofte finner man i litteraturen en annen dimensjonsløs drag-koeffisient CD, som vi nevner her for a unnga misforsta elser. Drag-kraften kan oppfattes som resultatet av at mediet utøver et dynamisk trykk pdyn ρ v / pa et areal A (valget av A er en del av definisjonen av CD ), slik at CD er definert av drag-ligningen (8) Dette kan være forvirrende, fordi CD ikke kan være konstant i det linære regimet. ammenligner vi () og (8) ser vi at CD (v 0) r C C 6 const. A Re(v) v (9) er en funksjon av det dimensjonsløse, hastighetsavhengige Reynoldstallet Re(v) ρ rv rv, µ ν (0) der ν µ/ρ er den kinematiske viskositeten. ammenligner vi () og (8) ser vi at drag-koeffisienten er en dimensjonsløs konstant i det kvadratiske regimet: CD (v ) r CR const. A () Morrison curve Hempirical fitl F. A. Morrison, An Introduction to Fluid Mechanics, HCUP, New York, 03L. @Fig. 8.3, p. 65D. CD pdyn A CD ρ v A. Det er i praksis meget viktig a vite na r en strømning blir turbulent, fordi kaoset koster energi og stabilitet. Dette bestemmes av Reynoldstallet, som gir forholdet mellom treghetskrefter og viskøse krefter, men den kritiske verdien avhenger sterkt av omstendighetene. Ofte sier vi at Re << for a ha laminær strømning. For eksempel er tokes lov meget nyttig for a studere sedimentering av bakteria, som har Re 0 4. I et rør skjer overgangen til turbulent strømning ved Re ' 300 50 000, mens man i aerodynamikk kanskje ma opp i Re 06 (jmf. Fig. ). Et annet eksempel er kroppsvæskene dine. De pumpes rundt i kroppen med en fart som er vesentlig mindre enn m/s, og viskositeten til f.eks. blodplasma ved 37 C er ca. 0.004 kg/s m. iden Re r, og størrelsen til typiske blodlegemer er meget liten, sa forventer vi at Re, og at blod derfor strømmer laminært. Men dette stemmer ikke alltid; for eksempel kan en utposning pa bloda ren gi turbulens, og dette gir en lyd som legen kan høre. tokes lov har mange anvendelser, bl.a. i biologi, fysiologi, sedimentering, meteorologi og metrologi, og dere har allerede brukt den i øvelsen om Brownske bevegelser [ligning () i labteksten]. Legg merke til at det er forholdet mellom µ og ρ, dvs. den spesifikke materialkonstanten ν µ/ρ, som bestemmer overgangen fra laminær til turbulent oppførsel [se (0)]. For a fa laminær oppførsel ma vi ha lav hastighet, liten radius, og stor ν. 000 Reynoldstallet Re(v) (v 0) C. R (v ) Re CR () For sma hastigheter er Re v liten, og derfor dominerer. For store hastigheter er Re stor, og derfor dominerer R. Legg ogsa merke til at mediet ma være viskøst, selv om drag-kraften i det kvadratiske regimet ikke avhenger eksplisitt av denne viskositeten. I motsatt fall ville det ikke oppsta noen virvler, og det er disse som effektivt transporterer energien bort fra legemet og derfor gir mer drag enn ved lave hastigheter. Overflatens ruhet spiller ogsa en rolle, men for kuler er dette uvesentlig opp til Re 05, sa vi kan se bort fra dette her. CD 00 Reynoldstallet er nyttig fordi det skiller mellom det laminære og turbulente pa en enkel ma te, som fremga r av forholdet mellom drag-kreftene: 0 0.0 00 Re 04 06 Figure : Overgangen til turbulens for en kule. Denne empiriske kurven [Morrison, 06] [F. A. Morrison, An Introduction to Fluid Mechanics, (CUP, New York, 03). Fig. 8.3, p. 65] passer over et meget stort omra de med Reynoldstall. Den innsatte grafen viser hva som skjer hvis kulen ikke er glatt [NAA].
5 Avhengig av valg av kuler og medium kan det vre i praksis vanskelig å komme opp i terminalhastighet. Hvis vi har nok data kan vi i stedet sammenligne målinger av v(t) direkte med de teoretiske forventningene for v (t) og v R(t) som er vist i Fig. (røde grafer).