andeler I analysene skal vi se på situasjonene der σx og σ Y er kjente; normalantakelse a σx og σ Y er ukjente men σ X = σ Y ; normalantakelse og b σx og σ Y er ukjente og σ X σ Y ; normalantakelse 3 og store; normaltilnærming for estimator Ferdigmed;aneste! Bjørn H. Auestad Kp. 9: Estimering og konfidensintervall to utvalg / 38 ; a andeler Vanligvis er variansene σ X og σ Y ukjente men det er ofte rimelig å anta at variansene er like: σ X = σ Y = σ. Vi kan da skrive: Z = X Y μ X μ Y σ + σ = X Y μ X μ Y σ + N0. Bjørn H. Auestad Kp. 9: Estimering og konfidensintervall to utvalg / 38
andeler Variansen σ estimeres vha. begge datasettene pooled estimator. Estimator: der S X = S pooled = S X + S Y + i= X i X og S Y = i= Y i Y Bjørn H. Auestad Kp. 9: Estimering og konfidensintervall to utvalg 3/ 38 andeler Under forutsetningene: X...X nx er u.i.f. normalfordelte; og Y...Y ny er u.i.f. normalfordelte og σ X = σ Y gjelder: T = X Y μ X μ Y S pooled + t +. S pooled + = S pooled + S pooled Bjørn H. Auestad Kp. 9: Estimering og konfidensintervall to utvalg 4/ 38
andeler Dette betyr at vi kan stille opp: P t α/nx + X Y μ X μ Y S pooled + som gir at ved standard resonnement! X Y t α/nx + S pooled + t α/nx + = α X Y + t α/nx + S pooled + er et 00 α% konfidensintervall for μ X μ Y. Bjørn H. Auestad Kp. 9: Estimering og konfidensintervall to utvalg 5/ 38 andeler Eks.: Trykktest av to typer betongblanding; resultater: Betongblanding nr. nr. 3 gj.sn. 464.9 486.95 emp.std. 6.73 38.89 Vi bruker normalantakelse. Det ser ikke urimelig ut å anta like varianser/standardavvik. Estimat av felles varians σ = σ X = σ Y : Utfall av Spooled: 5 6.73 +6 38.89 5+6 Dermed utfall av S pooled : 54.99 = 33.99 = 54.99 95% intervall: t α/nx + = t 0.059 =.6 Bjørn H. Auestad Kp. 9: Estimering og konfidensintervall to utvalg 6/ 38
andeler Et 95 % konfidensintervall for forskjell i virkelig styrke μ X μ Y til de to betongblandingene er i denne situasjonen gitt ved: X Y t 0.059 S pooled + Innsatt data: X Y + t 0.059 S pooled + 464.9 486.95.6 33.99 5 + 6 464.9 486.95+.6 33.99 5 + 6 = 68.59 4.5. Jf. med kjent varians =30 : 57.64 3.57 ; t intervallet er breiere. Bjørn H. Auestad Kp. 9: Estimering og konfidensintervall to utvalg 7/ 38 Kp. 8.6 og 8.7 andeler Litt teori i forbindelse med t- ogχ -fordelingene Fra tidligere: Teorem 8.4: DersomX X...X n er u.i.f. N μ σ såer n S σ = σ n X i X χ n. i= Videre: Sum av uavhengige χ -fordelte til.var. er χ -fordelt. Ant. frihetsgrader summeres. Se ev. s. 34 i tabellheftet. Derfor: S X σ + S Y σ χ +. S X = Bjørn H. Auestad Kp. 9: Estimering og konfidensintervall to utvalg 8/ 38 i= X i X og SY = i= Y i Y
Kp. 8.6 og 8.7 andeler Teorem 8.5 om t-fordeling: Dersom Z og V er to uavhengige tilfeldige variable der Z N0 og V χ νsåer T = Obs.: Vi kan skrive: Z V /ν t-fordelt med ν frihetsgrader. X Y μ X μ Y S pooled + = X Y μ X μ Y σ + + S pooled /n σ x + Dvs.: = Z med ν = + Tabellheftet s. 7! V /ν Bjørn H. Auestad Kp. 9: Estimering og konfidensintervall to utvalg 9/ 38 andeler I analysene skal vi se på situasjonene der σx og σ Y er kjente; normalantakelse a σx og σ Y er ukjente men σ X = σ Y ; normalantakelse og b σx og σ Y er ukjente og σ X σ Y ; normalantakelse 3 og store; normaltilnærming for estimator Ferdig med og a; b neste! Bjørn H. Auestad Kp.9:Estimeringogkonfidensintervall to utvalg 0 / 38
; b andeler Vanligvis er variansene σ X og σ Y ukjente. Dersom det ikke er rimelig å anta at variansene er like måvi forholde oss til: Med normalantakelse vil denne størrelsen være tilnærmet t-fordelt med ν frihetsgrader der X Y μ X μ Y. S X + S Y ν = s X + s Y s X nx + s Y. n x og trenger ikke være store. Bjørn H. Auestad Kp.9:Estimeringogkonfidensintervall to utvalg / 38 andeler Dette betyr at vi kan stille opp: P t α/ν X Y μ X μ Y S X + S Y som gir at ved standard resonnement! X Y t α/ν S X + S Y t α/ν α SX X Y + t α/ν + S Y er et tilnærmet 00 α% konfidensintervall for μ X μ Y. Bjørn H. Auestad Kp.9:Estimeringogkonfidensintervall to utvalg / 38
andeler Eks.: Trykktest av to typer betongblanding; resultater: Vi bruker normalantakelse. ν = s X + s Y s X nx + s Y Betongblanding nr. nr. 3 gj.sn. 464.9 486.95 emp.std. 6.73 38.89 = 6.73 5 + 38.89 6 6.73 5 6 5 + 38.89 6 =8.76 8. Det anbefales å runde ned til nærmeste helttall. 95% intervall: t α/ν = t 0.058 =.306 Bjørn H. Auestad Kp.9:Estimeringogkonfidensintervall to utvalg 3 / 38 andeler Et tilnærmet 95 % konfidensintervall for forskjell i virkelig styrke μ X μ Y til de to betongblandingene er i denne situasjonen gitt ved: SX X Y t 0.058 + S Y SX X Y + t 0.058 + S Y Innsatt data: 6.73 464.9 486.95.306 5 + 38.89 6 6.73 464.9 486.95 +.306 5 + 38.89 6 = 67.8 3.74. Bjørn H. Auestad Kp.9:Estimeringogkonfidensintervall to utvalg 4 / 38
andeler I analysene skal vi se på situasjonene der σx og σ Y er kjente; normalantakelse a σx og σ Y er ukjente men σ X = σ Y ; normalantakelse og b σx og σ Y er ukjente og σ X σ Y ; normalantakelse 3 og store; normaltilnærming for estimator Ferdig med a og b; 3 neste! Bjørn H. Auestad Kp.9:Estimeringogkonfidensintervall to utvalg 5 / 38 ; 3 andeler Situasjon 3: Dersom og er store vil X Y μ X μ Y S X + S Y være tilnærmet standard normalfordelt N 0. Vanligvis er variansene σ X og σ Y ukjente. Vi trenger ikke normalantakelse og vi trenger heller ikke at variansene er like; menvimåaltsåhaatn x og er store OPPGAVE og at X...X nx er u.i.f.; og Y...Y ny er u.i.f. Bjørn H. Auestad Kp.9:Estimeringogkonfidensintervall to utvalg 6 / 38
andeler Dette betyr at vi kan stille opp: P z α/ X Y μ X μ Y S X + S Y som gir at ved standard resonnement! z α/ α SX X Y z α/ + S Y SX X Y + z α/ + S Y er et tilnærmet 00 α% konfidensintervall for μ X μ Y i denne situasjonen. Bjørn H. Auestad Kp.9:Estimeringogkonfidensintervall to utvalg 7 / 38 andeler Eks.: Tilfeldig utvalg av = 34 norske gutter og 0-årene; høyde og vekt registrert: =3norske jenter i Gutter Jenter vekt kg høyde m vekt kg høyde m gj.sn. 75.8.8 60.7.69 emp.std. 8.555 0.0697 7.0 0.056 Ser på høyde. μ X : forventet høyde til gutt tilfeldig valgt fra hele populasjonen = gjennomsnittshøyde i hele populasjonen. μ Y : tilsvarende for jenter. Vi vil ha et tilnærmet 90% intervall for forskjellen μ X μ Y. Bjørn H. Auestad Kp.9:Estimeringogkonfidensintervall to utvalg 8 / 38
andeler Et tilnærmet 90 % konfidensintervall for μ X μ Y er i denne situasjonen gitt ved: SX X X Y z 0.05 S Y SX X Y + z 0.05 + S Y + ny Innsatt data: 0.0697.8.69.645 34 + 0.056 056 3 0.0697.8.69 +.645 34 + 0.056 3 = 0. 0.49. Bjørn H. Auestad Kp.9:Estimeringogkonfidensintervall to utvalg 9 / 38 andeler Ferdig med a b og 3! Oppgave: Se eksempel 8. s. 58 8. utg.: eks. 8.5 s. 4. Påvirkning av kloakkutslipp i elv; registrerer tetthet antall/m av en bestemt organisme ved to stasjoner. Vi ønsker å lage et konfidensintervall for forskjell i virkelig tetthet mellom de to stasjonene. Hvordan?? Data: Stasjon =6 Stasjon = gj.sn. 9.90 4. emp.std. 7.87.48 Bjørn H. Auestad Kp.9:Estimeringogkonfidensintervall to utvalg 0 / 38
Kp. 9.9 Forskjell andeler Dersom våre målinger er forskjeller på samme enhet kan det være mest effektivt å gjøre analysene etter. Eksempel: Slitasje av skosåler; materiale A og B. Hvilket er best? n personer bruker hvert sitt skopar en med såletype A og en med såletype B. Målt slitasje for A-sålene: x...x n forb-sålene: y...y n Men x i y i er "måling på samme enhet"person nr. i. Bjørn H. Auestad Kp.9:Estimeringogkonfidensintervall to utvalg / 38 Kp. 9.9 Forskjell andeler Framgangsmåte : X...X na er n A u.i.f. med EX i =μ A og Y...Y nb er n B u.i.f. med EY i =μ B ; og X i ene er uavhengige av Y i ene Vanlig to-utvalgsanalyse av μ A μ B. Vil kunne bryte med forutsetningene og vil kunne være lite effektiv! Framgangsmåte /parvise sammenligninger: D...D n er n u.i.f. der D i = X i Y i. μ D = ED i =EX i Y i =μ X μ Y ; Vanlig ett-utvalgsanalyse av μ D. Bjørn H. Auestad Kp.9:Estimeringogkonfidensintervall to utvalg / 38
Kp. 9.9 Forskjell andeler Obs.: I parplansituasjonen er ikke X i ene uavhengige av Y i ene. Ved positiv korrelasjon vil differansene ha mindre varians enn VarX i +VarY i... VarD =VarX +VarY CovXY }{{} stor positiv Analysert som to uavhengige utvalg: VarX Y =VarX+VarY... som er større enn VarD! Bjørn H. Auestad Kp.9:Estimeringogkonfidensintervall to utvalg 3 / 38 Kp. 9.9 Forskjell andeler t-intervall med : Situasjon: n differansemålinger; d...d n ; betraktes som utfall av n u.i.f. tilfeldige variable: D...D n. ED i =μ D og VarD i =σd i =...n og der D i er normalfordelt og σd er ukjent. Siden T = D μ D S Dn tn Bjørn H. Auestad Kp.9:Estimeringogkonfidensintervall to utvalg 4 / 38
Kp. 9.9 Forskjell andeler er D t α/n S Dn D + t α/n S Dn et 00 α% konfidensintervall for μ D. Obs.: Vi trenger ikke antakelse om like varianser i de to gruppene når brukes. Bjørn H. Auestad Kp.9:Estimeringogkonfidensintervall to utvalg 5 / 38 Kp. 9.9 Forskjell andeler Bjørn H. Auestad Kp.9:Estimeringogkonfidensintervall to utvalg 6 / 38
Kp. 9.9 Forskjell andeler Bjørn H. Auestad Kp.9:Estimeringogkonfidensintervall to utvalg 7 / 38 Kp. 9. Forskjell andeler andeler Eksempel: Sammenligne meningsmålinger Forrige meningsmåling: 8% oppslutning Denne meningsmåling: 3% oppslutning Er det endring i virkelig oppslutning?... Vi vil estimere forskjellen mellom de to virkelige andelene. Bjørn H. Auestad Kp.9:Estimeringogkonfidensintervall to utvalg 8 / 38
Kp. 9. Forskjell andeler andeler Modell: Forrige meningsmåling: X Bn p Denne meningsmåling: X Bn p X og X antas å være statistisk uavhengige. Vi er interessert i p p p p estimeres med: p p = X n X n Bjørn H. Auestad Kp.9:Estimeringogkonfidensintervall to utvalg 9 / 38 Kp. 9. Forskjell andeler andeler p = X n p = X n E p p = E p E p = p p Var p p = Var p + Var p = p p n + p p n p og p er begge tilnærmet normalfordelte og de er uavhengige. Vi kan da slutte at også p p er tilnærmet normalfordelt. Bjørn H. Auestad Kp.9:Estimeringogkonfidensintervall to utvalg 30 / 38
Kp. 9. Forskjell andeler andeler p p er tilnærmet normalfordelt. Altså: p p p p p p n + p p n N0 tilnærmet Nevneren standardavviket til p p kan tilnærmes med: p p + p p = n n ŜD p p. Vi har: p p p p ŜD p p N0 tilnærmet Bjørn H. Auestad Kp.9:Estimeringogkonfidensintervall to utvalg 3 / 38 Kp. 9. Forskjell andeler andeler Vi har: Medfører: P Derfor: p p p p ŜD p p N0 z α/ p p p p ŜD p p {}}{ P p p z α/ ŜD p p L p p p p + z α/ ŜD p p }{{} U tilnærmet z α/ α α Bjørn H. Auestad Kp.9:Estimeringogkonfidensintervall to utvalg 3 / 38
Kp. 9. Forskjell andeler andeler Vi har altså at L U er et tilnærmet α00% konfidensintervall for differansen p p. Data: n = 0n = 050; α =0.05 α/ =0.05 og z 0.05 =.96 Utfall av p p :0.8 0.3 = 0.03 Utfall av ŜD p p p p = + p p : n n 0.8 0.8 0 + 0.3 0.3 050 =0.0959 Derfor konfidensintervall: 0.03.96 0.0959 0.03+.96 0.0959 = 0.068 0.008 Bjørn H. Auestad Kp.9:Estimeringogkonfidensintervall to utvalg 33 / 38 Kp. 9. Forskjell andeler andeler Derfor konfidensintervall: 0.03.96 0.0959 0.03+.96 0.0959 = 0.068 0.008 Konklusjon: Siden 0 er inneholdt i intervallet kan vi ikke forkaste H 0. Det er ikke grunnlag for å påstå at virkelig oppslutning er endret. Bjørn H. Auestad Kp.9:Estimeringogkonfidensintervall to utvalg 34 / 38
Kp. 8.8 F -fordeling andeler Teorem 8.6 om F -fordeling: DersomU χ ν og V χ ν er to uavhengige tilfeldige variable så er Vi skriver: F = U/ ν V / ν F -fordelt med ν ν frihetsgrader. F = U/ ν V / ν F ν ν Fraktil: f αν ν. Se tabell s. 8. f α ν ν = f α ν ν Bjørn H. Auestad Kp.9:Estimeringogkonfidensintervall to utvalg 35 / 38 Kp. 9.3 Forhold andeler X...X nx er u.i.f. normalfordelte X i Nμ X σ X og Y...Y ny er u.i.f. normalfordelte Y i Nμ Y σ Y Da: / F = S X σ / X SY = σ Y S X σ Y σx S Y Obs.: Vi kan skrive F som: / F = S X σ / X SY = σ Y F. S X σ X S Y σ Y / nx / ny F = U/ ν V / ν F -fordelt med ν ν frihetsgrader. Bjørn H. Auestad Kp.9:Estimeringogkonfidensintervall to utvalg 36 / 38
Kp. 9.3 Forhold andeler Vi har da konf.int. for σx /σ Y : P f α/ν ν < σ Y S X σx <f S α/ν ν = α Y S Da: P Y SX f α/ν ν < σ Y σx Eller: P S X S Y f α/ν ν < σ X σ Y < S Y SX f α/ν ν = α < S X S Y f α/ν ν }{{} f α/ν ν = α ν = og ν = Bjørn H. Auestad Kp.9:Estimeringogkonfidensintervall to utvalg 37 / 38 Kp. 9.3 Forhold andeler Eks.: Eks. 8. i bok Påvirkning av kloakkutslipp i elv. Data: Stasjon =6 Stasjon = gj.sn. 9.90 4. emp.std. 7.87.48 Er det rimelig å anta like varianser i de to gruppene? 95% interv. for σ X /σ Y : 7.87.48 f 0.055 } {{ } 3.33 7.87.48 f 0.055 }{{} 3.0 3.0 30.3 ; dvs.: grunn til å hevde at variansene er ulike siden ikke er inkludret i intervallet. Bjørn H. Auestad Kp.9:Estimeringogkonfidensintervall to utvalg 38 / 38