Lattice Boltzmann Method for ow in porous media. Samuel Corre

Lattice Boltzmann Method for ow in porous media. avec Aziz Belmiloudi IRMAR-INSA, Rennes. Samuel.Corre@insa-rennes.fr 4 ieme école EGRIN, 25 Mai 2016.

Contexte général Écoulements incompressibles en milieu poreux. Eets gravitationnels négligés. Application : rhéologie. Système diérentiel : loi de Darcy et équation diérentielle de type convection-diusion. (existence & unicité : Feng X. 1995) Question : Peut-on construire une méthode de Boltzmann sur réseau générale pour de telles équations?

1 Système 2 3 Choix des fonctions f eq j, F j et τ Algorithme 4 Résultats Conclusion

Système ρ : densité de uide. U : vitesse de Darcy. p : pression. K : tenseur de conductivité hydraulique. D : tenseur de dispersion. φ : porosité. µ : viscosité. q +, q, H : termes sources. Domaine Ω R 2 : tranche du sous-sol de bord Γ.

Système Pour (x, t) Ω (0, T ) : div(u(x, t)) = q + (x) q (x), U(x, t) = K(x) p(x, t), µ(ρ) φ(x) ρ(x, t) div(d(x, t; U) ρ(x, t)) + div(ρ(x, t)u(x, t)) = H(ρ), t où H(ρ) = q (x)ρ(x, t) + q + ˆρ, et où les conditions initiales et aux bords sont : ρ(x, 0) = ρ 0 (x), U(x, 0) = U 0 (x). Pour x Γ : U(x, t) n = 0, D(x, t; U) ρ(x, t) n = 0. Et on respecte les conditions de compatibilité : p(x)dx = 0, q + (x)dx = q + (x)dx Ω Ω Ω

Modélisation du tenseur D Système Modèle statistique (Bear, 1961) pour modéliser les phénomènes de dispersion-diusion : D(x, U) = (φ(x)d m +φ(x)d t U(x) )I+ φ(x) U(x) (D l D t )(U i (x)u j (x)) 1 i,j d, où D m est le coecient de dispersion moléculaire, D l le coecient de dispersion longitudinal, et D t le coecient de dispersion transversal, tels que D l D t > 0 et D m > 0.

Théorie : Échelle mésoscopique : distributions particulaires. Deux étapes : Collisions particulaires. (locales en espace) Transport. (selon chaque direction) Lien entre la LBM et un écoulement en milieu poreux par le développement de Chapman-Enskog. Histoire : Equation de Boltzmann, 1872. Automates de gaz sur réseau (LGA), 1950-1960. Mécanique des uides, 1980-1990. Généralisation, 2000 à maintenant.

Équation de Boltzmann Soient (x, t) Ω (0, T ) avec Ω R d, d = 2, 3 : f (x, t; e) fonction de répartition selon la vélocité e. Q(f ) Opérateur de collision. F (x, t) Terme source. f (x, t; e) + e f (x, t; e) } t {{} Transport = Q(f ) +F (x, t). }{{} Collision

Propriétés de la fonction de répartition Recomposition de la densité ρ : ρ(x, t) = f (x, t; e)de. Ω Recomposition de la quantité de mouvement u : ρ(x, t)u(x, t) = ef (x, t; e)de. Ω

Fonction d'équilibre On note f eq (x, t; e) la fonction de répartition d'équilibre dénie par : L'invariance par collision : Q(f eq (x, t; e)) = 0, (x, t; e). Les moments conservés : 1 f eq (x, t; e)de conservation de la masse. Ω 2 ef eq (x, t; e)de conservation de la quantité de mouvement. Ω 3 e 2 2 f eq (x, t; e)de conservation de l'énergie. Ω En particulier, pour tout t : f eq (x, t; e)de = Ω Ω f (x, t; e)de.

Opérateur de collision Conservation des moments : cet opérateur modie les répartitions, pas la quantité de matière. Opérateur de collision de Bathmagar-Gross-Krook (BGK, 1954) : Q(f ) = 1 τ (f (x, t; e) f eq (x, t; e)), où τ est un taux de relaxation adimensionnel.

Discrétisation : généralités x, t pas de temps et d'espace, et : c = x/ t vitesse de grille. DdQj : Modèle à j vélocités dans un domaine à d dimensions. f j (x, t) fonction de répartition le long de la vélocité e j.

Discrétisation : modèle D2Q9 Les poids w j et les vélocités e j respectent : 8 w j = 1 ; j=0 8 e j = j=0 ( ) 0. 0 On choisit e j les vélocités : e 0 = ( ) 0 0 (( ±1 ; e 1,...,4 = c 0 ), ( )) 0 ±1 Et w j les poids associés à chaque vélocité e j : ; e 5,...,8 = 2c ( ) ±1. ±1 w 0 = 4 9 ; w 1,...,4 = 1 9 ; w 5,...,8 = 1 36.

De l'équation de Boltzmann à la LBM : résumé. Équation de Boltzmann : f + e f = Q(f ) + F. t 1 Approximation de Q(f ) par l'opérateur BGK. 2 Discrétisation en temps, espace, et selon chaque vélocité e j. 3 Intégration selon la méthode des caractéristiques. Équation de Boltzmann sur réseau : f j (x + e j t, t + t) = f j (x, t) 1 τ + tf j (x, t) + t2 2 ( ) f j (x, t) f eq j (x, t) t F j(x, t) + O( t 3 ).

Equation de Boltzmann sur réseau : deux étapes distinctes Phase de collision pour chaque point x : fj col (x, t + t) = f j (x, t) 1 τ + tf j (x, t) + t2 2 Phase de transport selon chaque vélocité e j : ( f j (x, t) f eq j (x, t) t F j(x, t). f j (x + e j t, t + t) = fj col (x, t + t). )

But : Équivalence entre la résolution de l'équation de Boltzmann sur réseau et la résolution de l'edp non-linéaire à résoudre Déterminer f eq j, F j et τ. Principe de l'ansatz : Séparation des fonctions de répartition et des opérateurs selon des échelles de perturbation dénies par le nombre de Knudsen ε t. Mise en oeuvre : Faire coïncider l'équation de Boltzmann sur réseau avec le développement de Taylor des fonctions de répartition.

Equation de Boltzmann sur réseau et développement de Taylor Développement de Taylor : f j (x + e j t, t + t) = f j (x, t) + k=1 t k k! ( ) k t + e j f j (x, t). D'où l'égalité : k=1 t k k! ( ) k t + e j f j (x, t) = 1 τ (f j(x, t) f eq j ) + tf j (x, t) + t2 2 t F j(x, t).

Développement Trois étapes : Séparation selon ε des fonctions et opérateurs diérentiels : φ = φ eq + εφ (1) + ε 2 φ (2) +... x = ε x 1 + ε 2 x 2 +... Sommation selon j. Choix des fonctions f eq j, F j et du taux de relaxation τ pour coïncider avec l'edp non-linéaire à résoudre.

Développement En pratique, on associe à chaque vélocité e j les fonctions : ( ) P 0 j = 1 f (0) j f eq j, ( τ ) P 1 j = t + e j f eq j + 1 τ f (1) j tf (1) j, où D l,n j = n k=0 P n>1 j = 1 τ f (n) j tf (n) j + k+l=n ( t l 2l! k+l=n ( ) n! n k + k!(n k)! t n k (e j l ) k. l D l,n j fj k ( t l + e j l On détermine enn f eq j, F j et τ en résolvant : N n=0 ε n ) ) F (k) j ; 8 Pj n + O(ε N+1 ) = 0. (1) j=0

Choix des fonctions f eq, F j j et τ Algorithme But : construire une LBM pour résoudre (x, t) Ω (0, T ) : ρ (αd(ρ) ρ)) + B(ρ) = F (ρ), t où α est le coecient de diusion et D et B sont des tenseurs nonlinéaires et diérentiables par rapport à ρ. Dans notre cas : αd(ρ) = D φ. B(ρ) = ρu φ. F (ρ) = H(ρ) φ.

Choix des fonctions d'équilibre. Choix des fonctions f eq, F j j et τ Algorithme A l'aide du développement de Chapman-Enskog nous dénissons pour j = 0... 8 ( : f eq j (x, t) = w j ρ(x, t) + e j B(ρ(x,t)) + (C(ρ) 3c2 ρ(x,t)i):(ej e j 3c 2 I) 3c 2 Avec : C(ρ) = C 0 (ρ) + 3c 2 D(ρ), 6c 4 ). et C 0 (ρ) un tenseur déni par : (C 0 ) αβ = B α(ρ)b β (ρ)dρ

Choix des fonctions F j et de τ Choix des fonctions f eq, F j j et τ Algorithme A l'aide du développement de Chapman-Enskog nous dénissons pour j = 0... 8 : ( F j (x, t) = w j F (x, t) 1 + λ e j B ) (ρ(x, t)). 3c 2 Avec : et λ = 1 1 2τ, τ = α 3 tc 2 + 1 2

Choix des fonctions f eq, F j j et τ Algorithme Initialisation x, à t = 0 de : ρ, U, F. Boucle sur le temps t : 1 Calcul de f eq j (x, t) et F j (x, t). 2 Collision : fj col (x, t) = τ 1 f j (x, t) 1 τ τ f eq j (x, t)+ tf j (x, t)+ t 2 /2F j (x, t). 3 Transport : f j (x + e i t, t + t) = fj col (x, t). 4 Calcul des répartitions aux bords et de ρ(x, t + t). 5 Recomposition des grandeurs macroscopiques. 6 t = t + t, revenir à 1 jusqu'à t = T.

Résultats Conclusion Considérons : Ω = [ 500, 500] [ 500, 500], T = 0.2, t = O( x 2 ), avec une porosité et une viscosité constantes : φ(x) = 1, µ(ρ) = 0.01. L'opérateur D dépend des constantes : D m = 1 D t = 0.5 D l = 5. Choix de la pression p et du tenseur de conductivité hydraulique K : { 5 si x < 0, p(x) = cos(xπ/500) cos( yπ/500), K(x) = 1 sinon. On en déduit la vélocité U : U(x) = πk(x) 5 ( ) sin(xπ/500) cos( yπ/500) cos(xπ/500) sin( y π/500).

LBM pour EDPs non-linéaires de type convection-di usion Dé nition du problème Résultats Conclusion 4 4 3 3 2 2 1 U2 (x) U1 (x) 1 0 0 1 1 2 2 3 3 4 500 4 500 500 500 0 0 0 y 500 500 0 y x 500 x 500 On choisit le terme source F (ρ) tel que la solution de notre système soit : ρsol (x, t) = tk (x) Remarque : x3 x 2 3 500 500 Cette solution n'est pas réaliste ( x Ω tq : 1 + y3 y 2 3 500 1.5 ρ(x) 0), 1 mais l'existence et l'unicité de la ρ(x, 0.2) 0.5 0 0.5 solution sont préservées. 1 500 0 500 y 0 500 500 x LBM for ow in porous media. 1 500

Résultats Conclusion 4.5 5 Err ρ = 1 N iter T t=0 ρ(t) ρ sol (t) 2 L 2 Ω ρ sol (t) 2 L 2 Ω Log2(Err) 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8 7.5 7 6.5 6 5.5 5 4.5 Log2( x) x Err ρ 1/25 0.0351 1/50 0.0155 1/75 0.0113 1/100 0.0081 1/150 0.0057 1/200 0.0045

Résultats Conclusion A l'aide du développement de Chapman-Enskog, nous pouvons construire des méthodes de Boltzmann sur réseau adaptées à des équations diérentielles non-linéaires de type convection-diusion, et en particulier simuler des écoulements en milieux poreux. Trois points peuvent facilement améliorer les performances : 1 Adapter le maillage eux discontinuités connues. 2 Paralléliser les phases de collision et de transport. 3 Adapter le traitement des bords à chaque type de problème.

Références [1 ] S. Corre, A. Belmiloudi. Coupled Lattice Boltzmann Modeling of Bidomain type models in Cardiac Electrophysiology. In Edited Book : Mathematical and Computational Approaches in Advancing Modern Science and Engineering, (eds. J. Bélair, I. Frigaard, H. Kunze, R., Melnik, J. Spiteri), Springer-Verlag, 13 pages, 2016. [2 ] S. Corre, A. Belmiloudi. Mathematical modeling and lattice Boltzmann simulation method for Bidomain type models in cardiac electrophysiology with time-varying delays. Article en préparation. [3 ] Belmiloudi A., Stabilization, regulation and robust control of uncertain processes and parameters in porous medium systems with applications, In Edited Book : Focus on Porous Media Research, Mechanical Engineering Theory and Applications Series (ed. C. Zhao), Chapter 6, Nova Science Publishers, New York, 165-228, 2013. [4 ] Feng X. On existence and uniqueness results for a coupled system modeling miscible displacement in porous media., J. Math. Anal. Appl. 194 (1995) 3, pp. 883-910. [5 ] Shi B., Guo Z. Lattice Boltzmann model for nonlinear convection-diusion equations, Phys. Rev. E 79, 016701, 2009.