ØVINGER 27 Løsninger til oppgaver Øving 6 4. (7). Fra oppgave 4.5 (øving 4) har vi forventningsverdien variansen til X, E[X] =.92, V ar[x] =.3. Lineærkombinasjonen Z = 5X + 8Y har forventningsverdi E[Z] = 5E[X] + 8E[Y ] = 5.92 + 8.45 = 7.,, forutsatt at X Y er uavhengige, varians V ar[z] = ( 5) 2 V ar[x] + 8 2 V ar[y ] = 25.3 + 64 2.575 = 88.73. 4. (8). Fra eksempel 3.8 har vi sannsynligheten P (G) =.54 for å få en gutt, som betyr at sannsynligheten for å få en jente er P (J) = P (G) =.54 =.486. Vi lar fortsatt Y være antall jenter blant de fire barna. Sannsynligheten for å få null jenter er P (Y = ) = P (G) 4 =.54 4 =.698, siden dette kun kan skje på en måte. Sannsynligheten for å få en jente er ( ) 4 P (Y = ) = P (J)P (G) 3 = 4.486.54 3 =.26399 ( ) 4 siden dette kan skje på måter. På samme måte finner vi at sannsynligheten for å få to jenter er ( 4 P (Y = 2) = 2 ) P (J) 2 P (G) 2 = 6.468 2.54 2 =.3744, mens sannsynligheten for å få tre jenter er ( ) 4 P (Y = 3) = P (J) 3 3 P (G) = 4.486 3.54 =.236, sannsynligheten for å få fire jenter er
P (Y = 4) = P (J) 4 =.486 2 =.55789. Vi vil sammenligne denne sannsynlighetsfordelingen med den opptinnelige fordelingen fra eksempel 4.2, hvor sannsynlighetene er beregnet med P (G) = P (J) =.5..4.35 P(J) =.486 P(J) =.5.3.25 P(Y=y).2.5..5.5.5.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 y Det grupperte søylediagrammet har søyler med høyder tilsvarende P (Y = y), for y 4, fra begge fordelingene. Den mer nøyaktige sannsynlighetsfordelingen er forskjøvet litt mot venstre sammenlignet med den opprinnelige fordelingen, men forskjellen er ganske liten. Hvorvidt det var verdt strevet å regne ut de nøyaktige sannsynlighetene kommer an på hva modellen skal brukes til. 4.6 (3). Sannsynlightestetthetsfunksjonen f(x) ser ut som en trekant med hjørner i (, ), (, ) (2, ). Sannsynlighetene P (X < /2) P (3/4 < X < 3/2) tilsvarer arealene av de 2
fargelagte områdene under grafen til f(x). Integrasjon av f(x) gir P (X < /2) = F (/2) = /2 P (3/4 < X < 3/2) = = f(x)dx = 3/2 3/4 /2 f(x)dx = xdx = 3/4 [ ] /2 2 x2 = 2 xdx + 3/2 ( ) 2 = 2 8 =.25. (2 x)dx = [ ] 2 x2 + [2x 2 ] 3/2 x2 = 3/4 2 7 6 + 2 5 4 = 9 32 =.59375. Forventningsverdien til X er E[X] = 2 xf(x)dx = x 2 dx + 2 (2x x 2 )dx = [ ] [ = 3 x3 + x 2 ] 2 3 x3 = 3 + 22 2 ( 2 3 3) = 3 3 + 3 7 3 =, som man så kan se utfra symmetrien i f(x). Andremomentet til X er variansen er E[X 2 ] = = 2 [ 4 x4 ] x 2 f(x)dx = + [ 2 3 x3 4 x4 ] 2 x 3 dx + 2 (2x 2 x 3 )dx = = 4 + 4 3 5 4 = 7 6. V ar[x] = E[X 2 ] E[X] 2 = 7 6 2 = 6. 4.8 (4). Figuren visier grafen til f(x) for < x <.5. Det fargelagte området under grafen, for.5 < x <.8, tilsvarer sannsynligheten for at X ligger mellom.5.8, P (.5 < X <.8) =.8 f(x)dx = 3.8 ( x) 2 dx = 3 [ 3 ].8 ( x)3 =.7..5.5.5 3
Forventningsverdien til X er E[X] = xf(x)dx = 3 x( x) 2 dx = 3 [ = 3 2 x2 2 3 x3 + ] ( 4 x4 = 3 2 2 3 + ) 4 så mynten kan forventes å lande 25 cm fra veggen. x ( 2x + x 2) dx = = 4, 4.9 (5). Vi finner marginalfordelingen til X ved å summere simultanfordelingen over y 2 P (X = x) = P (X = x, Y = y), x =,, vi finner marginalfordelingen til Y ved å summere over x, P (Y = y) = De to marginalfordelingene er y= P (X = x, Y = y), y =,, 2. x= P (X = ) = P (X =, Y = ) + P (X =, Y = ) + P (X =, Y = 2) = =. +. +.2 =.4, P (X = ) = P (X =, Y = ) + P (X =, Y = ) + P (X =, Y = 2) = 4
=.3 +.2 +. =.6, P (Y = ) = P (X =, Y = ) + P (X =, Y = ) =. +.3 =.4, P (Y = ) = P (X =, Y = ) + P (X =, Y = ) =. +.2 =.3, P (Y = 2) = P (X =, Y = 2) + P (X =, Y = 2) =.2 +. =.3. Forventningsverdien variansen til X er E[X] = xp (X = x) = P (X = ) =.6 x= V ar[x] = (x E[X]) 2 P (X = x) = (.6) 2.4 + (.6) 2.6 =.24. x= Forventningsverdien til Y er variansen er E[Y ] = 2 yp P (Y = y) = P (Y = ) + 2P (Y = 2) =.9, y= V ar[y ] = 2 (y E[Y ]) 2 P (Y = y) = y= = (.9) 2.4 + (.9) 2.3 + (2.9) 2.3 = Dersom X Y er uavhengige, så er =.9 2.4 +. 2.3 +. 2.3 =.69. P (X = x, Y = y) = P (X = x)p (Y = y) for x {, } y {,, 2}. Vi tester med x = y =, finner at produktet av de marginale sannsynlighetene er P (X = )P (Y = ) =.4.4 =.6, mens den simultane sannsynligheten er P (X =, Y = ) =.. Altså kan ikke X Y være uavhengige. Siden verdien av X er mellom, verdien av Y er mellom 2, så må verdien av differansen W = Y X være mellom 2. Sannsynlighetsfordelingen til W er P (W = ) = P (X =, Y = ) =.3, 5
P (W = ) = P (X =, Y = ) + P (X =, Y = ) =. +.2 =.3, P (W = ) = P (X =, Y = ) + P (X =, Y = 2) =. +. =.2, P (W = 2) = P (X =, Y = 2) =.2. Forventningsverdien til W er 2 E[W ] = wp (W = w) = P (W = ) + P (W = ) + 2P (W = 2) = w= =.3 +.2 + 2.2 =.3, forventningsverdien til W 2 er 2 E[W 2 ] = w 2 P (W = w) = P (W = ) + P (W = ) + 4P (W = 2) = w= =.3 +.2 + 4.2 =.3. Variansen til W er dermed V ar[w ] = E[W 2 ] E[W ] 2 =.3.3 2 =.2. 4.2 (6). a) Simultanfordelingen i tabell 4.8 gjelder for x 7 y 4. For å regne ut sannsynligheten for at X = Y, summerer vi sannsynlighetene P (X = k, Y = k) for k mellom 4, P (X = Y ) = 4 P (X = k, Y = k) =.9 +.9 +.7 +. + =.26. k= For å finne sannsynligheten X Y = 5 summerer vi P (X = k, Y = k 5) over alle gyldige verdier av k, altså de som oppfyller både k 7 k 5 4, som er ekvivalent med 5 k 9. De gyldige verdiene av k er derfor 5 k 7, sannsynligheten for at X Y = 5 er P (X Y = 5) = 7 P (X = k, Y = k 5) = k=5 = P (X = 5, Y = ) + P (X = 6, Y = ) + P (X = 7, Y = 2) = =. +. + =.2. 6
Sannsynligheten for at produktet XY er mindre enn eller lik fire er P (XY 4) = xy 4 P (X = x, Y = y) = = P (, ) + P (, ) + P (, ) + P (2, ) + P (2, ) + P (2, 2)+ +P (3, ) + P (3, ) + P (4, ) + P (4, ) + P (5, ) = =.9 +. +.9 +.7 +.2 +.7+ +.5 +.9 +. +.3 +. =.74, der P (x, y) er en forenklet skrivemåte for P (X = x, Y = y), kombinasjoner av x y med P (x, y) = er utelatt. Sannsynligheten for at XY er større enn fire er nå P (XY > 4) = P (XY 4) =.74 =.26. b) Verdimengden til Z = X + Y er V Z = {,,..., }, siden V X = {,,..., 7} V Y = {,,..., 4}. Sannsynligheten for at Z = 3 er P (Z = 3) = P (X + Y = 3) = 3 P (X = k, Y = 3 k) = = P (X =, Y = 3) + P (X =, Y = 2) + P (X = 2, Y = ) + P (X = 3, Y = ) = k= = + +.2 +.5 =.7. Ved å bruke samme metode, finner vi sannsynlighetsfordelingen til Z, P (Z = z) = P (X + Y = z) = z P (X = k, Y = z k). k= z P (Z = z).9. 2.6 3.7 4.7 5.7 6.7 7.6 8.3 9.3.3. 7
Forventningsverdien til Z er E[Z] = zp (Z = z) =.9 +. +... +. = 3.73, z= forventningsverdien til Z 2 er E[Z 2 ] = z 2 P (Z = z) = 2.9 + 2. +... + 2. = 2.77, z= slik at variansen er V ar[z] = E[Z 2 ] E[Z] 2 = 2.77 3.73 2 = 6.857. c) Vi beregner forventningsverdi varians til X Y utfra de marginale sannsynlighetene opgitt i tabellen. Forventningsverdiene er E[X] = 7 xp (X = x) =.9 +.2 +... + 7.3 = 2.6 x= 4 E[Y ] = yp (Y = y) =.34 +.35 +... + 4.3 =.2, y= mens variansene er 7 V ar[x] = (x E[X) 2 P (X = x) = x= = ( 2.6) 2.9 + ( 2.6) 2.2 +... + (7 2.6) 2.3 = 3.779. 4 V ar[y ] = yp (Y = y) = y= = (.2) 2.34 + (.2) 2.35 +... + (4.2) 2.3 =.456. d) Fra b) har vi E[Z] = 3.73. Til sammenligning er E[X] + E[Y ] = 2.6 +.2 = 3.73. Vi har altså E[Z] = E[X + Y ] = E[X] + E[Y ], 8
i overensstemmelse med regel 4.2. Den enkleste måten å finne E[Z] på er å regne ut E[X] E[Y ] hver for seg, deretter bruke regel 4.2. Da slipper man å finne sannsynlighetsfordelingen til Z. e) Variansen til Z er V ar[z] = 6.857. Summen av variansene til X Y er V ar[x] + V ar[y ] = 3.779 +.456 = 4.2235. Det at V ar[z] = V ar[x + Y ] er større enn V ar[x] + V ar[y ] stemmer med at X Y er positivt korrelerte, siden jamførregel 4.5. V ar[x + Y ] = V ar[x] + V ar[y ] + 2Cov[X, Y ] 4.2 (7). Standardavvikene til X Y er σ X = Var[X] = 9 = 3 σ Y = Var[Y ] = 6 = 4. Korrelasjonen mellom X Y er Corr[X, Y ] = Cov[X, Y ] σ X σ Y = 5 3 4 = 5 2. Variablene er ikke uavhengige, for om de var det ville korrelasjonen mellom dem vært lik null. Variansen til lineærkombinasjonen 3X 4Y er V ar[3x 4Y ] = 3 2 V ar[x] + ( 4) 2 V ar[y ] + 2 3 ( 4) Cov[X, Y ] = = 9 9 + 6 6 24 5 = 27. 4.25 (9). Forventningsverdiene til X Y er E[X] = P (X = ) + P (X = ) =.4 +.6 =.6. E[Y ] = P (Y = ) + P (Y = ) + 2 P (Y = 2) =.2 + 2.4 =. Forventningsverdien til produktet XY er 2 E[XY ] = xyp (X = x, Y = y) = x= y= = P (X =, Y = ) + 2 P (X =, Y = 2) = + 2.3 =.6. 9
Kovariansen til variablene er Cov[X, Y ] = E[XY ] E[X]E[Y ] =.6.6 =, dermed er så korrelasjonen lik null, siden Corr[X, Y ] = Cov[X, Y ] V ar[x]v ar[y ]. Variablene er ikke uavhengige, for vi har ikke P (X = x, Y = y) = P (X = x)p (Y = y). For eksempel er P (X =, Y = ) =., mens P (X = )P (Y = ) =.4.4 =.6. Det at korrelasjonen mellom X Y er null, betyr ikke nødvendigvis at X Y er uavhengige. 4.27 (2). Forventningsverdien til U er E[U] = P (U = ) + 8 P (U = 8) + 4 P (U = 4) = forventningsverdien til K er =.3 +.4 8 +.3 4 = 222, E[K] = P (K = ) + 2 P (K = 2) =.6 + 2.4 =.4. Når U K antas uavhengige, har vi Cov[U, K] =, forventet kostnad blir E[T ] = E[UK] = E[U]E[K] = 222.4 = 3.8. Hvis U K følger simultanfordeling, blir den forventede kostnaden E[T ] = E[UK] = u,k ukp (U = u, K = k) = = 8.3 + 4.3 + 2.3 + 8 2. = 27. Hvis U K følger simultanfordeling 2, blir forventet kostnad E[T ] = E[UK] = u,k ukp (U = u, K = k) = =.3 + 8.3 + 8 2. + 4 2.3 = 36. Når U K er negativt korrelerte, som i simultanfordeling, blir E[UK] mindre enn dersom variablene er uavhengige. Når U K er positivt korrelerte, som i
simultanfordeling 2, blir E[U K] større. Dette kan forklare underbudsjettering hvis positiv korrelasjon mellom varighet kostnad ikke tas hensyn til. 4.29 (23). La p =.26 være sannsynligheten for suksess, altså at selskapet finner en agent i en gitt uke. La Z være antall uker med leting før selskapet finner en agent. Da er sannsynlighetsfordelingen til Z gitt ved Forventningsverdien til Z er P (Z = z) = ( p) z p, for z =, 2,.... E[Z] = zp (Z = z) = z= z= z( p) z p = p p zq z, z= med q = p. Siden har vi nq n = n= hvis q < (q ) 2 E[Z] = p p q (q ) = p 2 p p ( p) = 2 p. Setter vi inn tallverdien p =.26 får vi E[Z] = /.26 = 4.854.