UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 27. november 2012 Tid for eksamen: 13:00 16:00 Oppgave 1 Mengdelære (15 poeng) La A = {4, 8, 22}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} og C = {3, 6, 9}. (a) [6 poeng] Regn ut: 1. A B A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 22} 2. B \ C B \ C = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10} 3. A C A C = 4. (A C) \ B (A C) \ B = {3, 4, 6, 8, 9, 22} \ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} = {22} 5. A C A C = { 4, 3, 4, 6, 4, 9, 8, 3, 8, 6, 8, 9, 22, 3, 22, 6, 22, 9 } 6. {x 2 x C} {x 2 x C} = {3 2, 6 2, 9 2 } = {9, 36, 81} (Fortsettes på side 2.)
La funksjonen f : A B være gitt ved f = { 4, 10, 8, 4, 22, 2 } og funksjonen g : B C være gitt ved g = { 1, 3, 2, 3, 3, 3, 4, 6, 5, 6, 6, 6, 7, 6, 8, 9, 9, 9, 10, 9 }. (b) [3 poeng] Regn ut: 1. f(8) f(8) = 4, siden 8, 4 f. 2. g(f(8)) g(f(8)) = g(4) = 6, siden f(8) = 4 og 4, 6 g. 3. (g f) 1 (Husk at (g f)(x) = g(f(x)).) Starter med å finne g f: Finner så den inverse: g f = { 4, 9, 8, 6, 22, 3 } (g f) 1 = { 3, 22, 6, 8, 9, 4 } (c) [3 poeng] Er g surjektiv? Begrunn svaret ditt. g er surjektiv, fordi bildemengden g[b] er lik verdimengden. ( x y(g(y) = x)) (d) [3 poeng] Er f injektiv? Begrunn svaret ditt. f er injektiv, fordi det ikke finnes noe par av elementer i definisjonsmengden som blir sendt til det samme elementet i verdimengden. ( x y[(f(x) = f(y)) (x = y)]) Oppgave 2 Utsagnslogikk (20 poeng) La P, Q og R være utsagnsvariable og de utsagnslogiske formlene F, G og H være gitt som F = ((P Q) (R R)), G = (P Q) (P Q), H = ( Q P). 2
(a) [3 poeng] Er F en oppfyllbar utsagnslogisk formel? Begrunn svaret ditt. Siden R R nødvendigvis er usann må vi gjøre P Q usann for at F skal være sann. Dette gjør vi ved å la P være sann og Q usann. (b) [3 poeng] Er G gyldig? Begrunn svaret ditt. Dersom P Q er sann er G sann. Anta derfor at den ikke er sann. Nå må P være sann og Q usann, men da er P Q sann, og igjen er G sann. Altså er G gyldig. (c) [3 poeng] Finn en valuasjon som gjør H sann. La P og Q være sanne. (d) [3 poeng] Vis at G er en logisk konsekvens av F og H. (e) [2 poeng] Gi et bevis i naturlig deduksjon for (P Q) P. (f) [3 poeng] Gi et bevis i naturlig deduksjon for (P Q) (P R). (g) [3 poeng] Gi et bevis i naturlig deduksjon for P P. Oppgave 3 Finn eksempler (15 poeng) Gi et eksempel på hver av følgende: (a) [3 poeng] En symmetrisk og transitiv relasjon på mengden {1, 2, 3, 4, 5}, som ikke er refleksiv. (b) [3 poeng] En delmengde av potensmengden til {1, 2, 3, 4, 5} med kardinalitet 3. 3
(c) [3 poeng] En mengde A slik at potensmengden til A har nøyaktig fire elementer. (d) [3 poeng] En komplett graf med fem noder. Det er nok å tegne grafen. Kan du finne et annet (ikke isomorft) eksempel på en komplett graf med fem noder? (e) [3 poeng] To grafer med fem noder hver slik at de to grafene ikke er isomorfe. (Begrunn kort hvorfor det ikke kan finnes noen isomorfi mellom dem.) Oppgave 4 Kombinatorikk og induksjon (20 poeng) La L være språket som består av alle strenger over alfabetet {a, b, c, d}, dvs. L = {a, b, c, d}. (a) [3 poeng] Hvor mange permutasjoner er det av mengden {a, b, c, d}? (b) [4 poeng] Hvor mange strenger i L med lengde 4 er slik at samme bokstav forekommer (minst) to ganger? La B være den induktivt definerte delmengden av L gitt ved: 1. a B og b B. 2. Hvis x og y er elementer i B, så er dxcyd også et element i B (c) [3 poeng] Gi fire eksempler på elementer i B. (d) [6 poeng] Vis ved strukturell induksjon på B at alle elementer i B har lengde som er et oddetall. 4
(e) [4 poeng] Vi kan definere en funksjon f : B {0, 1} ved rekursjon som følger. 1. f(a) = 1 og f(b) = 0 2. f(dxcyd) = 1 (f(x) f(y)) Regn ut f(dacbd) og f(ddacadcad). Oppgave 5 Førsteordens logikk (15 poeng) Vi skal her arbeide med førsteordens språket med signatur R; f, g; b, t. R er her et relasjonssymbol med aritet 2, f og g er et funksjonssymboler med aritet 2, og b, t er konstantsymboler. (a) [7 poeng] Finn en modell N med domene {0, 1, 2, 3}, slik at formelen x(r(x, t) R(b, x)) holder i N. Vi lager en modell med domene N = {0, 1, 2, 3}, som gjør formelen x(r(x, t) R(b, x)). Vi velger t N = 0 b N = 1 R N = { 0, 0, 1, 0, 2, 0, 3, 0, 1, 1, 1, 2, 1, 3 } La M være modellen med domene {0, 1} slik at R M = { 0, 0, 0, 1, 1, 1 }, f M = { 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1 }, g M = { 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1 }, b M = 0 og t M = 1. Vi kan utvide språket vårt med et relasjonssymbol = som tolkes som likhet. Det vil si at tolkningen av = i modellen M er relasjonen { x, x x M}. (b) [8 poeng] Avgjør hvilke av følgende førsteordens formler som holder i M: 1. R(g(b, t), f(b, t)) 5
2. x ( R(x, x) R(b, x) R(x, t) ) 3. x y ( R(x, y) R(y, x) ) 4. x y ( f(x, y) = x ) 5. x y ( R(x, y) R(x, g(x, y)) ) Oppgave 6 Representasjon (15 poeng) La H og F være binære relasjonssymbol og f være et funksjonssymbol slik at Fxy representerer predikatet x er far til y. Hxy representerer predikatet x er høyere enn y. f(x) representerer farfaren til x. (a) [3 poeng] Gi definisjonen på en anti-symmetrisk relasjon. Er F anti-symmetrisk? Er H anti-symmetrisk? En relasjon R er anti-symmetrisk dersom x y[(rxy Ryx) (x = y)]. Både F og H er anti-symmetriske. La h og l være konstantsymboler som representerer Harald og Leif. Finn førsteordens formler for følgende setninger. (b) [2 poeng] Leif er Haralds far, men Leif er ikke høyere enn Harald. Flh Hlh (c) [2 poeng] Leif er Haralds farfars far. 6
Flf(h) (d) [2 poeng] Haralds farfar er høyere enn Leifs farfar. Hf(h)f(l) Finn gode og naturlige setninger for følgende førsteordens formler. (e) [2 poeng] xhxf(x) Alle er høyere enn sin farfar. (f) [2 poeng] x yfyx x yfxy Alle har en far, men ikke alle er noens far. (g) [2 poeng] x y z ( Fxy Fyz x = f(z) ) Hvis en person er faren til en annen person, og denne andre personen er faren til en tredje person, da er den første personen den tredje personens farfar. 7