Notes 10 Evaluation of Definite Integrals via the Residue Theorem
|
|
- Thorstein Ulriksen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 ECE 638 Fall 6 David. Jackson Nots Evaluation of Dfinit ntgrals via th sidu Thorm Nots ar from D.. Wilton, Dpt. of ECE
2 viw of Cauchy Principal Valu ntgrals Considr th following intgral: / d d d ln ln + + ε ε A finit rsult is obtaind if th intgral intrprtd as d d d lim lim ln ln ε + + ε ε ε ( ε ) + ε ε ln lim ln ε ln + ln ln ε Th infinit contributions from th two symmtrical shadd parts shown actly cancl in this limit. ntgrals valuatd in this way ar said to b (Cauchy) principal valu (PV) intgrals: Notation: or d PV d
3 Cauchy Principal Valu ntgrals (cont.) / singularitis ar ampls of singularitis intgrabl only in th principal valu (PV) sns. Principal valu intgrals must not start or nd at th singularity, but must pass through thm to prmit cancllation of infinitis 3
4 Brif viw of Singular ntgrals ln Logarithmic singularitis ar ampls of intgrabl singularitis: ln d ln sinc lim ln 4
5 Singular ntgrals (cont.) Singularitis lik / ar non- intgrabl (vn in th PV sns). a ε ε b ε b d + d + + ε a ε ε b a but not that sgn, > <, has a PV intgral 5
6 Singular ntgrals (cont.) Summary of som rsults: ln is intgrabl at / α is intgrabl at for < α < / α is non-intgrabl at for α f () sgn()/ α has a PV intgral at if f () is continuous (Th abov rsults translat to singularitis at a point a via th transformation - a.) 6
7 Evaluating Cauchy Principal Valu ntgrals Considr th following intgral: C Eampl Evaluat: d ρ ρ ρ lim, ( C + + ) + ρ C C ( + )( + ) d + lim + + lim C C ( + )( + ρ ρ ) ρ d iρ iφ ( ρ ) iφ iφ dθ + + ρ idθ i dφ i i dφ i + + lim lim ( + )( + ) d C : + ρ, ρ d i d ρ + θ lim iφ C :, i i d i dφ i i φ d iφ iφ ( + )( + ) φ so C + i 7
8 Evaluating Cauchy Principal Valu ntgrals (cont.) d ( + )( + ) Nt, valuat th intgral C using th rsid thorm: C : + ρ, ρ d i d ρ θ iφ C :, i i d i i φ d φ C i[ s f( i) + s f( ) ] i lim i ( i) ( i) + lim i i i i + i i i i( i) + 4i ( + ) + + ( + ) ( + ) Thus C call i + i C + Hnc 8
9 Disprsion lations Assumptions: + ( ), f u iv f is analytic in UHP (including th ral ais) in UHP y Lt i θ ε ε CPV i f( ) i i θ dθ if ε f ( ) ε f f ( + ε ) d lim + d +, C ε + ε f d if if if ε i f v u f u + iv d d d i (rsidu thorm) 9
10 Disprsion lations (cont.) i f v u f u + iv d d d i Equat th ral and imaginary parts: u( ) v( ) v u d d Nt, rplac:,
11 Disprsion lations (cont.) Hnc, w hav u v ( ) v ( ) u d d Hlbrt u, v ar Hilbrt Transforms of on anothr
12 Disprsion lations: Circuit Thory + Vin ( ω ) H( ω) H ( ω) + ih ( ω) H( ω) V ω / V ω out in V + ( ω) out m ω Assumptions (p(iωt) tim convntion): H ( ω) is analytic in LHP H ( ω), ω () in LHP () Not : A pol in th LHP would corrsponds to a nonphysical rspons. ω ω + ω r i t i rt it i ω ω ω i Not : Th systm is assumd to b unabl to rspond to a signal at vry high frquncy. Symmtry proprty: * ( ω) ( ω) ( ω) ( ω) ; ( ω) ( ω) H H H H H H (s Appndi)
13 Disprsion lations: Circuit Thory C Us th path shown blow: ω ε H( ω ) H( ω ) H( ω+ ε ) i dω lim + dω + iε θ dθ ih( ω), ω ω ω ω ε ω+ ε ε ih( ω) H ( ω ) dω ih( ω) ω ω m H ( ω ) H( ω) dω i ω ω ω ε ω C 3
14 Disprsion lations: Circuit Thory (cont.) H ( ω) H ( ω ) dω i ω ω ( ω ) i H ( ω ) H H ( ω) H ( ω) + ih ( ω) dω dω + ω ω ω ω W thus hav H H ( ω) ( ω) ( ω ) H dω ω ω ( ω ) H dω ω ω Th ral and imaginary parts of th transfr function ar Hilbrt transforms of ach othr. 4
15 Disprsion lations: Circuit Thory (cont.) W can also driv an altrnativ form: ( ω ) ( ω ) ( ω ) H H H H ( ω) dω dω dω ω ω ω ω ω ω Similarly, w hav ( ω ) H ( ω ) H dω dω ω ω ω ω ( ω ) H ( ω ) H dω dω ω + ω ω ω ( ω ) ( ω ω) + ( ω + ω) ( + )( ) ( ω )( ω ) H ω ω ω ω H ω ω ( ) dω ( ω ) H ( ω )( ω) dω H H ( ω) dω dω ω ω ω ω First on : Us ω ω This intgral starts at ro. 5
16 Disprsion lation: Circuit Thory (cont.) Summariing, w hav ( ω ) H ( ω )( ω ) H H ( ω) dω dω ω ω ω ω ( ω ) H ( ω )( ω) H H ( ω) dω dω ω ω ω ω 6
17 Kramrs-Kronig lations Assumption: Th rlativ prmittivity ε ( ω) is analytic in th LHP and ε ( ω), ω in LHP ( ε ω ) r ( ε ω ) m r r Similar to th transfr - function analysis, on obtains th Kronig - Kramrs disprson rlations : ( ε ω ) ω m ( r ) ω ω ( ε ω ) ω r ω ω r dω dω Matrial paramtrs : ε r χ ( ω) ε ( ω) rlativ prmittivity χ lctric suscptibility r P εχ E (polariation pr unit volum) χ ω as ω in LHP 7
18 Kramrs-Kronig lations Dnot ε ( ω) ε ( ω) jε ω ( using jinstad of i) r r r Th final form of th Kramrs-Kronig rlations is thn: ( ω) ωε r ε r ( ω) + dω ω ω ( r ( ω ) ) ω ε ε r ( ω) dω ω ω Kramrs Not: This shows that if thr is loss, thn thr will usually b disprsion (th ral part of th prmittivity varis with frquncy). 8
19 Laplac Transform Th Laplac transform is dfind as: st F s f t dt Assum m ( s) t < A γ f t Thn F(s) is analytic in th rgion ( s) > γ γ Analytic ( s) This is bcaus w hav uniform convrgnc of th intgral in this rgion. 9
20 Laplac Transform (cont.) Dfin a function g(t) (dfind to b ro for t < ) by f() t γ t g t W thn hav, from th invrs transform, Th Fourir transform of g(t) ists. (Th function stays finit along th ntir ral ais.) iωt g( t) g( ω) dω, t > m ( s) Thn γt iωt f ( t) g( ω) dω, t > γ C ( s) Lt s γ + iω γ + i st f ( t) g ( i ( s γ )) ds, t > i γ i
21 Laplac Transform (cont.) γ + i st f ( t) g ( i ( s γ )) ds, t > i γ i W hav ( ( γ )) ( ( γ )) i is t g i s g t dt g t g t ( ( γ )) i is t ( s γ ) t dt dt m ( s) γ C ( s) f t F s st dt
22 Laplac Transform (cont.) Summary γ + i st f ( t) F ( s) ds, t > i γ i m ( s) Bromwich intgral C Th Bromwich contour C is chosn to th right of all singularitis of th function F(s). γ ( s)
23 Laplac Transform (cont.) Evaluation of th Bromwich ntgral t < i f t t > Clos th contour to th right. C st F s ds Clos th contour to th lft. i f t f ( t ) C L st F s ds Th intgrand is analytic insid C. f t i C L m ( s) γ + i γ i st F s ds γ C C ( s) f ( t ) rsidus at pols to th lft of C (This assums that thr ar only pol singularitis.) 3
24 Laplac Transform (cont.) Eampl at f t at st F ( s) dt dt s a F ( s ), ( s ) > a s a ( s at ) s at m ( s) γ + i st f ( t) ds, γ a i > s a γ i For t > : st f ( t) is i s a s a C L a γ ( s) at f t 4
25 ntgrals of th Form f ( sin,cos ) Assumptions: θ θ dθ f is finit within th intrval. f is a rational function (ratio of polynomials) of sinθ, cosθ. Lt θ θ, d i dθ dθ i Unit circl i i d + sin θ, cosθ i + f ( sin θ,cosθ) dθ i f, i d + sidus of f, insid th unit circl i Not : f, + i will b a rational function of 5
26 Eampl: ntgral Evaluation (cont.) dθ sinθ dθ d i + sinθ i Multiply top and bottom by 4i. 4i 4d ( id) + 5i + i + i ( + i) ( + i) ( + i) d i lim ( + i)( + i) i iy 8 3 i i dθ 8 + sinθ
27 ntgrals of th Form Assumptions: f is analytic in th UHP cpt for a finit numbr of pols (can b tndd to handl pols on th ral ais via PV intgrals). o( ) f is /, i.. lim f in th UHP. f d y C :, d i d θ On th larg smicircl w hav Hnc lim f ( ) d lim f ( ) i dθ C f ( ) d f d i rsidus of f ( ) in th UHP C 7
28 Eampl: ntgral Evaluation (cont.) y d ( + 9)( + 4) d d ( 9)( 4) + + f( ) 4 i s f ( 3 i) + s f ( i) ( 3i) d i i lim + lim 3i i ( + 3i) ( 3i) ( + 4) d ( 9) ( i) + i 3 i i + i + + i + 9 i + lim 4 5 i ( + 9) ( + i ) 3i 3i i 5 d + ( + 9)( + 4) m d m s f( ) ( ) f( ) m ( m! ) d 3i i (Not th doubl pol at i!) 8
29 ntgrals of th Form Assum Assumptions: f is analytic in th UHP cpt for a finit numbr of pols (can asily b tndd to handl pols on th ral ais via PV intgrals), lim f( ), arg ( in UHP) (Fourir ntgrals) a > (clos th path in th UHP) i a f d y C :, d i d θ Choosing th contour shown, th contribution from th smicircular arc vanishs as by Jordan s lmma. (S nt slid.) Fourir 9
30 Fourir ntgrals (cont.) Jordan s lmma Assum lim f( ), arg ( in UHP) Thn C ia f ( ) d y C :, d i d θ Proof: C / ia ia cosθ asinθ asinθ f ( ) d f ( ) i dθ ma f ( ) dθ / aθ i θ f a ma f ( ) d ma ( θ ) a θ / : sin θ θ asinθ aθ θ sinθ θ 3
31 Fourir ntgrals (cont.) i a f d a > y C :, d i d θ W thn hav ia ia ia rsidus of in th UHP C f d f d i f Qustion: What would chang if a <? 3
32 Eampl: Fourir ntgrals (cont.) y cosλ d, ( a, λ ) >. + a ia cos λ sin λ Us th symmtris of and and th Eulr formula, iλ cos λ+ isin λ iλ + a d (imag. part vanishs by symmtry!) iλ iλ iλ ( ia) s lim + a + a ia ( + ia ) ( ia ) d i i i ia a i a λ aλ a cosλ + aλ a a 3
33 Eponntial ntgrals Thr is no gnral rul for choosing th contour of intgration; if th intgral can b don by contour intgration and th rsidu thorm, th contour is usually spcific to th problm. y Eampl: γ 3 i a d, < a < + γ 4 γ i γ Considr th contour intgral ovr th path shown in th figur: a a C d d + C + γ γ γ3 γ4 Th intgrand has simpl pols at (n+ ) i, n, ±, ±, Th contribution from ach contour sgmnt in th limit must b sparatly valuatd (nt slid). 33
34 Eponntial ntgrals (cont.) γ :,, d d 3 a lim + γ lim γ 3 d γ : + i, d d, a ia ia a d lim d + + γ 4 γ 3 γ y i i γ γ : + iy, d idy + iy γ a a iay d i dy + + iy ( a ) a dy dy, a < + iy Smallst for : y y 34
35 4 Hnc γ Eponntial ntgrals (cont.) γ : + iy, d idy, 4 a a iay d i dy + + iy a dy, a > ia ( ) i s f ( i) ilim ( i) i a ilim ( i) ilim i i i i lim i ( i ) a ( i ) ( i ) γ 4 a + a ( i ) ( i) ( i) ia i γ 3 γ y i i γ g Altrnativly, f( ) so, h a s f( i) lim i ( d + ) d ai ai a i i 35
36 Eponntial ntgrals (cont.) W thus hav ia ( ) i ia Thrfor a ia ia i i d ia ia ia + ia, < a < sin a Hnc a d, < a < + sin a 36
37 ntgration Around a Branch Cut A givn contour of intgration is chosn: usually problm spcific, usually must not cross a branch cut. W tak advantag of th fact that th intgrand changs across th branch cut. Usually an valuation of th contribution from th branch point is rquird. Eampl: Choos th branch cut to li along th positiv ral ais. y k d, < k < + Assum th branch θ < ( k positiv ral) C C L L ε ε ε ε W ll valuat th intgral using th contour shown ln k ln k( ln + iarg ) k( ln r+ ) k k k ikθ r,< θ < 37
38 ntgration Around a Branch Cut (cont.) y k d, < k < + First, not th intgral ists sinc th intgral of th asymptotic forms of th intgrand at both limits ists: C C L L ε ε ε ε k + k + k which is intgrabl at, k < k which is intgrabl at k >, 38
39 ntgration Around a Branch Cut (cont.) Now considr th various contributions to th contour intgral: y L+ L+ C+ C whr f ( ) f d i s f, ( ) k + C L L ε ε ε ε C : r, d ir dθ, r k k ikθ C C ε k ikθ r ir dθ k ikθ r, r + r ε ε f d lim lim ir dθ C :, d i dφ, iφ iφ k k ikφ C ε k ikφ iφ i dφ k, iφ + ε ε ikφ f d lim lim i dφ 39
40 ntgration Around a Branch Cut (cont.) For th path L : f ( ) k + y L :,, r d dr r L iε iε k k ikε, ε, r k k i( ε kε) iε r r r r dr r dr f ( ) d lim + + C L L ε ε ε ε For th path L : C L ( ε) iε iε k k ik( ε) : i L,, r r d dr r, ε, r r [ ] k k i ε+ k ε r dr ik r dr ik iε r + r + f d lim 4
41 ntgration Around a Branch Cut (cont.) Hnc i k ( ) i s f ( ) ( ) i lim + i i i i ik k k k + Not: Arg (-) hr. Thrfor, w hav k ik ik i i d ik + ik i k ( ) ik ( ), < k < sin k k d, < k < + sin k 4
42 Proof of symmtry proprty: Appndi H * ( ω) H ( ω) + Vin ( ω ) H( ω) H ( ω) + ih ( ω) V + ( ω) out mpuls rspons: iωt ht H( ω) dω ral H( ω) V ω / V ω out in iωt ( ω) H h t dt so Us ω ω * * iωt * iω t * iω t * iωt h t h t H d H d H d H d ( ) ( ) ( ) ω ω ω ω ω ω ω ω Hnc iωt * iωt H( ω) dω H ( ω) dω * H ( ω) H( ω) 4
Notes 10 Evaluation of Definite Integrals via the Residue Theorem
ECE 638 Fall 7 David. Jackson Nots Evaluation of Dfinit ntgrals via th sidu Thorm Nots ar from D.. Wilton, Dpt. of ECE Brif viw of Singular ntgrals ln Logarithmic singularitis ar ampls of intgrabl singularitis:
DetaljerSolutions #12 ( M. y 3 + cos(x) ) dx + ( sin(y) + z 2) dy + xdz = 3π 4. The surface M is parametrized by σ : [0, 1] [0, 2π] R 3 with.
Solutions #1 1. a Show that the path γ : [, π] R 3 defined by γt : cost ı sint j sint k lies on the surface z xy. b valuate y 3 cosx dx siny z dy xdz where is the closed curve parametrized by γ. Solution.
DetaljerPhysical origin of the Gouy phase shift by Simin Feng, Herbert G. Winful Opt. Lett. 26, (2001)
by Simin Feng, Herbert G. Winful Opt. Lett. 26, 485-487 (2001) http://smos.sogang.ac.r April 18, 2014 Introduction What is the Gouy phase shift? For Gaussian beam or TEM 00 mode, ( w 0 r 2 E(r, z) = E
DetaljerTrigonometric Substitution
Trigonometric Substitution Alvin Lin Calculus II: August 06 - December 06 Trigonometric Substitution sin 4 (x) cos (x) dx When you have a product of sin and cos of different powers, you have three different
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT2400 Analyse 1. Eksamensdag: Onsdag 15. juni 2011. Tid for eksamen: 09.00 13.00 Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerSlope-Intercept Formula
LESSON 7 Slope Intercept Formula LESSON 7 Slope-Intercept Formula Here are two new words that describe lines slope and intercept. The slope is given by m (a mountain has slope and starts with m), and intercept
DetaljerGradient. Masahiro Yamamoto. last update on February 29, 2012 (1) (2) (3) (4) (5)
Gradient Masahiro Yamamoto last update on February 9, 0 definition of grad The gradient of the scalar function φr) is defined by gradφ = φr) = i φ x + j φ y + k φ ) φ= φ=0 ) ) 3) 4) 5) uphill contour downhill
DetaljerMathematics 114Q Integration Practice Problems SOLUTIONS. = 1 8 (x2 +5x) 8 + C. [u = x 2 +5x] = 1 11 (3 x)11 + C. [u =3 x] = 2 (7x + 9)3/2
Mathematics 4Q Name: SOLUTIONS. (x + 5)(x +5x) 7 8 (x +5x) 8 + C [u x +5x]. (3 x) (3 x) + C [u 3 x] 3. 7x +9 (7x + 9)3/ [u 7x + 9] 4. x 3 ( + x 4 ) /3 3 8 ( + x4 ) /3 + C [u + x 4 ] 5. e 5x+ 5 e5x+ + C
DetaljerSecond Order ODE's (2P) Young Won Lim 7/1/14
Second Order ODE's (2P) Copyright (c) 2011-2014 Young W. Lim. Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.2 or
DetaljerOppgave 1. ( xφ) φ x t, hvis t er substituerbar for x i φ.
Oppgave 1 Beviskalklen i læreboka inneholder sluttningsregelen QR: {ψ φ}, ψ ( xφ). En betingelse for å anvende regelen er at det ikke finnes frie forekomste av x i ψ. Videre så inneholder beviskalklen
DetaljerMoving Objects. We need to move our objects in 3D space.
Transformations Moving Objects We need to move our objects in 3D space. Moving Objects We need to move our objects in 3D space. An object/model (box, car, building, character,... ) is defined in one position
DetaljerUniversitetet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet Mat131 - Differensiallikningar I Onsdag 25. mai 2016, kl.
1 MAT131 Bokmål Universitetet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet Mat131 - Differensiallikningar I Onsdag 25. mai 2016, kl. 09-14 Oppgavesettet er 4 oppgaver fordelt på
DetaljerMeijerG1. Notations. Primary definition. Traditional name. Traditional notation. Mathematica StandardForm notation. Generalized Meijer G-function
MeijerG Nottions Trditionl nme Generlied Meijer G-function Trditionl nottion Mthemtic StndrdForm nottion MeijerG,, n, n,,, b,, b m, b m,, b,, r Primry definition 07.5.0.000.0 m k n r r 0 m n m n n b k
DetaljerUnit Relational Algebra 1 1. Relational Algebra 1. Unit 3.3
Relational Algebra 1 Unit 3.3 Unit 3.3 - Relational Algebra 1 1 Relational Algebra Relational Algebra is : the formal description of how a relational database operates the mathematics which underpin SQL
DetaljerEndelig ikke-røyker for Kvinner! (Norwegian Edition)
Endelig ikke-røyker for Kvinner! (Norwegian Edition) Allen Carr Click here if your download doesn"t start automatically Endelig ikke-røyker for Kvinner! (Norwegian Edition) Allen Carr Endelig ikke-røyker
DetaljerSVM and Complementary Slackness
SVM and Complementary Slackness David Rosenberg New York University February 21, 2017 David Rosenberg (New York University) DS-GA 1003 February 21, 2017 1 / 20 SVM Review: Primal and Dual Formulations
DetaljerCall function of two parameters
Call function of two parameters APPLYUSER USER x fµ 1 x 2 eµ x 1 x 2 distinct e 1 0 0 v 1 1 1 e 2 1 1 v 2 2 2 2 e x 1 v 1 x 2 v 2 v APPLY f e 1 e 2 0 v 2 0 µ Evaluating function application The math demands
DetaljerTFY4170 Fysikk 2 Justin Wells
TFY4170 Fysikk 2 Justin Wells Forelesning 5: Wave Physics Interference, Diffraction, Young s double slit, many slits. Mansfield & O Sullivan: 12.6, 12.7, 19.4,19.5 Waves! Wave phenomena! Wave equation
DetaljerKneser hypergraphs. May 21th, CERMICS, Optimisation et Systèmes
Kneser hypergraphs Frédéric Meunier May 21th, 2015 CERMICS, Optimisation et Systèmes Kneser hypergraphs m, l, r three integers s.t. m rl. Kneser hypergraph KG r (m, l): V (KG r (m, l)) = ( [m]) l { E(KG
DetaljerStationary Phase Monte Carlo Methods
Stationary Phase Monte Carlo Methods Daniel Doro Ferrante G. S. Guralnik, J. D. Doll and D. Sabo HET Physics Dept, Brown University, USA. danieldf@het.brown.edu www.het.brown.edu Introduction: Motivations
DetaljerLøsningsførslag i Matematikk 4D, 4N, 4M
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 Løsningsførslag i Matematikk 4D, 4N, 4M Oppgave (Kun før 4D Vi har f(x, y x + y x y, for x y. Dette gir For (x, y
DetaljerMa Flerdimensjonal Analyse Øving 11
Ma3 - Flerdimensjonal Analyse Øving Øistein Søvik 7.3. Oppgaver 5.3 5. Find the moment of inertie about the -axis. Eg the value of δ x + y ds, for a wire of constant density δ lying along the curve : r
DetaljerExercise 1: Phase Splitter DC Operation
Exercise 1: DC Operation When you have completed this exercise, you will be able to measure dc operating voltages and currents by using a typical transistor phase splitter circuit. You will verify your
DetaljerRingvorlesung Biophysik 2016
Ringvorlesung Biophysik 2016 Born-Oppenheimer Approximation & Beyond Irene Burghardt (burghardt@chemie.uni-frankfurt.de) http://www.theochem.uni-frankfurt.de/teaching/ 1 Starting point: the molecular Hamiltonian
DetaljerMatematik, LTH Kontinuerliga system vt Formelsamling. q t. + j = k. u t. (Allmännare ρ 2 u. t2 Svängningar i gaser (ljud) t 2 c2 2 u
Matematik, LH Kontinuerliga system vt 7 Formelsamling Formelsamligen utgör bara ett stöd för minnet. Beteckningar förklaras sålunda ej. Ej heller anges förutsättningar för formlernas giltighet. Fysikaliska
DetaljerGeneralization of age-structured models in theory and practice
Generalization of age-structured models in theory and practice Stein Ivar Steinshamn, stein.steinshamn@snf.no 25.10.11 www.snf.no Outline How age-structured models can be generalized. What this generalization
Detaljer5 E Lesson: Solving Monohybrid Punnett Squares with Coding
5 E Lesson: Solving Monohybrid Punnett Squares with Coding Genetics Fill in the Brown colour Blank Options Hair texture A field of biology that studies heredity, or the passing of traits from parents to
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF 3230 Formell modellering og analyse av kommuniserende systemer Eksamensdag: 4. juni 2010 Tid for eksamen: 9.00 12.00 Oppgavesettet
DetaljerMa Flerdimensjonal Analyse Øving 2
Ma1 - Flerdimensjonal Analyse Øving Øistein Søvik Brukernavn: Oistes.1.1 Oppgaver 11. In Exercises 1 4, find the required parametrization of the first quadrant part of the circular arc x + y 1 1. In terms
DetaljerGEF2200 Atmosfærefysikk 2017
GEF2200 Atmosfærefysikk 2017 Løsningsforslag til sett 3 Oppgaver hentet fra boka Wallace and Hobbs (2006) er merket WH06 WH06 3.18r Unsaturated air is lifted (adiabatically): The rst pair of quantities
DetaljerEksamensoppgave i MA1103 Flerdimensjonal analyse
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA1103 Flerdimensjonal analyse Faglig kontakt under eksamen: Mats Ehrnstrøm Tlf: 735 917 44 Eksamensdato: 22. mai 2018 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00
DetaljerPLASTIC FLOW. Sammenheng mellom spenninger og tøyninger i det plastiske området
Plasticity Thory 006 Lctur 4 Plastic flow PLASTIC FLOW Sanhng llo spnningr og tøyningr i dt plastisk orådt Fundantals I dt lastisk orådt gir Hook s lov forholdt llo spnning og tøyning = ν + E = ν + E =
DetaljerECON3120/4120 Mathematics 2, spring 2004 Problem solutions for the seminar on 5 May Old exam problems
Department of Economics May 004 Arne Strøm ECON0/40 Mathematics, spring 004 Problem solutions for the seminar on 5 May 004 (For practical reasons (read laziness, most of the solutions this time are in
DetaljerContinuity. Subtopics
0 Cotiuity Chapter 0: Cotiuity Subtopics.0 Itroductio (Revisio). Cotiuity of a Fuctio at a Poit. Discotiuity of a Fuctio. Types of Discotiuity.4 Algebra of Cotiuous Fuctios.5 Cotiuity i a Iterval.6 Cotiuity
DetaljerPart 8. Acoustic Radiators
Pat 8 Acoustic Radiatos Sphical Wavs Oscillating sphical cavity, a va adius of th oscillating sphical cavity vlocity amplitud of th cavity oscillation a) oscillating cavity b) point souc ( a > λ
DetaljerSTOREFRONTS. Typical Details SCREW RACE JOINERY. Center Glazed Series B1. Interior Glazing (Shown with FF400 subsill) April 1998
- SCREW RCE JOINERY NOTE: NP22 glazing gaskets are used on both sides of glass. Typical TYPICL ELEVTION / (2.) HC20 Optional Head nchor PS00 Optional Filler EC0 Subsill s End Closure Typical (0.) IS IS2
DetaljerDatabases 1. Extended Relational Algebra
Databases 1 Extended Relational Algebra Relational Algebra What is an Algebra? Mathematical system consisting of: Operands --- variables or values from which new values can be constructed. Operators ---
DetaljerNeural Network. Sensors Sorter
CSC 302 1.5 Neural Networks Simple Neural Nets for Pattern Recognition 1 Apple-Banana Sorter Neural Network Sensors Sorter Apples Bananas 2 Prototype Vectors Measurement vector p = [shape, texture, weight]
DetaljerFYSMEK1110 Eksamensverksted 23. Mai :15-18:00 Oppgave 1 (maks. 45 minutt)
FYSMEK1110 Eksamensverksted 23. Mai 2018 14:15-18:00 Oppgave 1 (maks. 45 minutt) Page 1 of 9 Svar, eksempler, diskusjon og gode råd fra studenter (30 min) Hva får dere poeng for? Gode råd fra forelesere
DetaljerFILTERDESIGN Ukeoppgavene skal leveres som selvstendige arbeider. Det forventes at alle har satt seg inn i instituttets krav til innleverte oppgaver: Norsk versjon: http://www.ifi.uio.no/studinf/skjemaer/erklaring.pdf
DetaljerPARABOLSPEIL. Still deg bak krysset
PARABOLSPEIL Stå foran krysset på gulvet og se inn i parabolen. Hvordan ser du ut? Still deg bak krysset på gulvet. Hva skjer? Hva skjer når du stiller deg på krysset? Still deg bak krysset Det krumme
DetaljerSolution for INF3480 exam spring 2012
Solution for INF3480 exam spring 0 June 6, 0 Exercise Only in Norwegian a Hvis du har en robot hvor ikke den dynamiske modellen er kjent eller spesielt vanskelig å utlede eksakt, kan en metode liknende
DetaljerINF5820 Natural Language Processing - NLP. H2009 Jan Tore Lønning
INF5820 Natural Language Processing - NLP H2009 jtl@ifi.uio.no HMM Tagging INF5830 Lecture 3 Sep. 7 2009 Today More simple statistics, J&M sec 4.2: Product rule, Chain rule Notation, Stochastic variable
DetaljerDen som gjør godt, er av Gud (Multilingual Edition)
Den som gjør godt, er av Gud (Multilingual Edition) Arne Jordly Click here if your download doesn"t start automatically Den som gjør godt, er av Gud (Multilingual Edition) Arne Jordly Den som gjør godt,
DetaljerMID-TERM EXAM TDT4258 MICROCONTROLLER SYSTEM DESIGN. Wednesday 3 th Mars Time:
Side 1 av 8 Norwegian University of Science and Technology DEPARTMENT OF COMPUTER AND INFORMATION SCIENCE MID-TERM EXAM TDT4258 MICROCONTROLLER SYSTEM DESIGN Wednesday 3 th Mars 2010 Time: 1615-1745 Allowed
Detaljer1 Øvelse Dynamic Mercy 1 Exercise Dynamic Mercy
AIP NORGE / NORWAY ENR 5.3-1 ENR 5.3 Andre aktiviteter forbundet med fare ENR 5.3 Other activities of a dangerous nature 1 Øvelse Dynamic Mercy 1 Exercise Dynamic Mercy En periodisk redningsøvelse (SAR)
DetaljerVerifiable Secret-Sharing Schemes
Aarhus University Verifiable Secret-Sharing Schemes Irene Giacomelli joint work with Ivan Damgård, Bernardo David and Jesper B. Nielsen Aalborg, 30th June 2014 Verifiable Secret-Sharing Schemes Aalborg,
DetaljerINF Logikk og analysemetoder Forslag til løsning på oppgave fra læreboken
INF4170 - Logikk og analysemetoder Forslag til løsning på oppgave 3.2.1 fra læreboken Joakim Hjertås, joakimh@ifi.uio.no 7. mars 2004 Sammendrag Disse sidene kommer med forslag til løsning på oppgave 3.2.1
DetaljerMatematikk 4, ALM304V Løsningsforslag eksamen mars da 1 er arealet av en sirkel med radius 2. F = y x = t t r = t t v = r = t t
Oppgave r( t) v( t) dt t dt, t dt, t dt t +, t +, t +. d d d a( t) v '( t) t, t, t,6 t,t dt dt dt F ma m t t Gitt en hastighetsvektor v( t) t, t, t.,6, Oppgave Greens setning: δq δ P I ( Pdx + Qdy) ( )
DetaljerLattice Simulations of Preheating. Gary Felder KITP February 2008
Lattice Simulations of Preheating Gary Felder KITP February 008 Outline Reheating and Preheating Lattice Simulations Gravity Waves from Preheating Conclusion Reheating and Preheating Reheating is the decay
DetaljerMa Flerdimensjonal Analyse Øving 1
Ma1203 - Flerdimensjonal Analyse Øving 1 Øistein Søvik Brukernavn: Oistes 23.01.2012 Oppgaver 10.1 6. Show that the triangle with verticies (1, 2, 3), (4, 0, 5) and (3, 6, 4) has a right angle. z y x Utifra
DetaljerKROPPEN LEDER STRØM. Sett en finger på hvert av kontaktpunktene på modellen. Da får du et lydsignal.
KROPPEN LEDER STRØM Sett en finger på hvert av kontaktpunktene på modellen. Da får du et lydsignal. Hva forteller dette signalet? Gå flere sammen. Ta hverandre i hendene, og la de to ytterste personene
Detaljer32.2. Linear Multistep Methods. Introduction. Prerequisites. Learning Outcomes
Linear Multistep Methods 32.2 Introduction In the previous Section we saw two methods (Euler and trapezium) for approximating the solutions of certain initial value problems. In this Section we will see
DetaljerGraphs similar to strongly regular graphs
Joint work with Martin Ma aj 5th June 2014 Degree/diameter problem Denition The degree/diameter problem is the problem of nding the largest possible graph with given diameter d and given maximum degree
DetaljerMannen min heter Ingar. Han er også lege. Han er privatpraktiserende lege og har et kontor på Grünerløkka sammen med en kollega.
Kapittel 2 2.1.1 Familien min Hei, jeg heter Martine Hansen. Nå bor jeg i Åsenveien 14 i Oslo, men jeg kommer fra Bø i Telemark. Jeg bor i ei leilighet i ei blokk sammen med familien min. For tiden jobber
Detaljer0:7 0:2 0:1 0:3 0:5 0:2 0:1 0:4 0:5 P = 0:56 0:28 0:16 0:38 0:39 0:23
UTKAST ENGLISH VERSION EKSAMEN I: MOT100A STOKASTISKE PROSESSER VARIGHET: 4 TIMER DATO: 16. februar 2006 TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator; Tabeller og formler i statistikk (Tapir forlag): Rottman: Matematisk
DetaljerINF2820 Datalingvistikk V2011. Jan Tore Lønning & Stephan Oepen
INF2820 Datalingvistikk V2011 Jan Tore Lønning & Stephan Oepen TABELLPARSING 1. mars 2011 2 I dag Oppsummering fra sist: Recursive-descent og Shift-reduce parser Svakheter med disse Tabellparsing: Dynamisk
DetaljerSERVICE BULLETINE 2008-4
S e r v i c e b u l l e t i n e M a t e r i e l l Materiellsjef F/NLF kommuniserer påminnelse omkring forhold som ansees som vesentlige for å orientere om viktige materiellforhold. Målgruppen for Servicbulletinen
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON320/420 Matematikk 2: Matematisk analyse og lineær algebra Exam: ECON320/420 Mathematics 2: Calculus and Linear Algebra Eksamensdag: Tirsdag 7. juni
DetaljerLevel Set methods. Sandra Allaart-Bruin. Level Set methods p.1/24
Level Set methods Sandra Allaart-Bruin sbruin@win.tue.nl Level Set methods p.1/24 Overview Introduction Level Set methods p.2/24 Overview Introduction Boundary Value Formulation Level Set methods p.2/24
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT BOKMÅL Eksamen i: ECON1210 - Forbruker, bedrift og marked Eksamensdag: 26.11.2013 Sensur kunngjøres: 18.12.2013 Tid for eksamen: kl. 14:30-17:30 Oppgavesettet er
DetaljerLipschitz Metrics for Non-smooth evolutions
Lipschitz Metrics for Non-smooth evolutions Alberto Bressan Department of Mathematics, Penn State University bressan@math.psu.edu Alberto Bressan (Penn State) Nonsmooth evolutions 1 / 36 Well-posedness
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE I FAG TKP 4105
EKSAMENSOPPGAVE I FAG TKP 4105 Faglig kontakt under eksamen: Sigurd Skogestad Tlf: 913 71669 (May-Britt Hägg Tlf: 930 80834) Eksamensdato: 08.12.11 Eksamenstid: 09:00 13:00 7,5 studiepoeng Tillatte hjelpemidler:
DetaljerUniversität Karlsruhe (TH) Institut für Baustatik. A Geometrical Nonlinear Brick Element based on the EAS Method
Univrsität Karlsruh (TH) Institut für Baustatik A Gomtrical Nonlinar Brick Elmnt basd on th EAS Mthod S. Klinkl, W. Wagnr Mittilung 5(1997) BAUSTATIK Univrsität Karlsruh (TH) Institut für Baustatik A Gomtrical
DetaljerFYS2140 Kvantefysikk. Løsningsforslag for Oblig 7
FYS2140 Kvantefysikk Løsningsforslag for Oblig 7 Oppgave 2.23 Regn ut følgende intgral a) +1 3 (x 3 3x 2 + 2x 1)δ(x + 2) dx (1) Svar: For å løse dette integralet bruker vi Dirac deltafunksjonen (se seksjon
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i TFY4230 STATISTISK FYSIKK Tirsdag 9. aug 2011
NTNU Side 1 av 5 Institutt for fysikk Fakultet for naturvitenskap og teknologi Dette løsningsforslaget er på 5 sider. Løsningsforslag til eksamen i TFY430 STATISTISK FYSIKK Tirsdag 9. aug 011 Oppgave 1.
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSIEE I OSLO ØKONOMISK INSIU Eksamen i: ECON320/420 Mathematics 2: Calculus and Linear Algebra Exam: ECON320/420 Mathematics 2: Calculus and Linear Algebra Eksamensdag:. desember 207 Sensur kunngjøres:
DetaljerUniversitetet i Oslo Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet
Universitetet i Oslo Det matematisk-naturvitenskapelie fakultet Eksamen i: FYS4-Matematiske metoder i fysikk Dato: juni 9 Tid for eksamen: 9- Oppavesettet: sider Tillatte hjelpemidler: Elektronisk kalkulator,
Detaljermelting ECMI Modelling week 2008 Modelling and simulation of ice/snow melting Sabrina Wandl - University of Linz Tuomo Mäki-Marttunen - Tampere UT
and and ECMI week 2008 Outline and Problem Description find model for processes consideration of effects caused by presence of salt point and numerical solution and and heat equations liquid phase: T L
DetaljerHØGSKOLEN I NARVIK - SIVILINGENIØRUTDANNINGEN
HØGSKOLEN I NARVIK - SIVILINGENIØRUTDANNINGEN EKSAMEN I FAGET STE 6243 MODERNE MATERIALER KLASSE: 5ID DATO: 7 Oktober 2005 TID: 900-200, 3 timer ANTALL SIDER: 7 (inklusiv Appendix: tabell og formler) TILLATTE
Detaljer6350 Månedstabell / Month table Klasse / Class 1 Tax deduction table (tax to be withheld) 2012
6350 Månedstabell / Month table Klasse / Class 1 Tax deduction table (tax to be withheld) 2012 100 200 3000 0 0 0 13 38 63 88 113 138 163 4000 188 213 238 263 288 313 338 363 378 386 5000 394 402 410 417
DetaljerGYRO MED SYKKELHJUL. Forsøk å tippe og vri på hjulet. Hva kjenner du? Hvorfor oppfører hjulet seg slik, og hva er egentlig en gyro?
GYRO MED SYKKELHJUL Hold i håndtaket på hjulet. Sett fart på hjulet og hold det opp. Det er lettest om du sjølv holder i håndtakene og får en venn til å snurre hjulet rundt. Forsøk å tippe og vri på hjulet.
DetaljerUNIVERSITY OF OSLO DEPARTMENT OF ECONOMICS
UNIVERSITY OF OSLO DEPARTMENT OF ECONOMICS English Postponed exam: ECON2915 Economic growth Date of exam: 11.12.2014 Time for exam: 09:00 a.m. 12:00 noon The problem set covers 4 pages Resources allowed:
DetaljerBestille trykk av doktoravhandling Ordering printing of PhD Thesis
Bestille trykk av doktoravhandling Ordering printing of PhD Thesis Brukermanual / User manual Skipnes Kommunikasjon ntnu.skipnes.no PhD Thesis NTNU LOG IN NOR: Gå inn på siden ntnu.skipnes-wtp.no, eller
DetaljerEksamensoppgave i MA1103 Flerdimensjonal analyse
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA3 Flerdimensjonal analyse Faglig kontakt under eksamen: Mats Ehrnstrøm Tlf: 735 97 44 Eksamensdato: 22. mai 28 Eksamenstid (fra til): 9: 3: Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerUniversitetet i Oslo Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet
Universitetet i Oslo Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS34-Matematiske metoder i fysikk Dato: juni 4 Tid for eksamen: 43-73 Oppgavesettet: sider Tillatte hjelpemidler: Elektronisk
DetaljerNO X -chemistry modeling for coal/biomass CFD
NO X -chemistry modeling for coal/biomass CFD Jesper Møller Pedersen 1, Larry Baxter 2, Søren Knudsen Kær 3, Peter Glarborg 4, Søren Lovmand Hvid 1 1 DONG Energy, Denmark 2 BYU, USA 3 AAU, Denmark 4 DTU,
DetaljerEiendomsverdi. The housing market Update September 2013
Eiendomsverdi The housing market Update September 2013 Executive summary September is usually a weak month but this was the weakest since 2008. Prices fell by 1.4 percent Volumes were slightly lower than
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON3120/4120 Mathematics 2: Calculus an linear algebra Exam: ECON3120/4120 Mathematics 2: Calculus an linear algebra Eksamensag: Tirsag 3. juni 2008
DetaljerEmneevaluering GEOV272 V17
Emneevaluering GEOV272 V17 Studentenes evaluering av kurset Svarprosent: 36 % (5 av 14 studenter) Hvilket semester er du på? Hva er ditt kjønn? Er du...? Er du...? - Annet PhD Candidate Samsvaret mellom
DetaljerMa Flerdimensjonal Analyse II Øving 9
Ma23 - Flerdimensjonal Analyse II Øving 9 Øistein Søvik 2.3.22 Oppgaver 4.5 Evaluate the triple integrals over the indicated region. Be alert for simplifications and auspicious orders of integration 3.
DetaljerEN Skriving for kommunikasjon og tenkning
EN-435 1 Skriving for kommunikasjon og tenkning Oppgaver Oppgavetype Vurdering 1 EN-435 16/12-15 Introduction Flervalg Automatisk poengsum 2 EN-435 16/12-15 Task 1 Skriveoppgave Manuell poengsum 3 EN-435
DetaljerEksamen i fag RELATIVISTISK KVANTEMEKANIKK Fredag 26. mai 2000 Tid: 09:00 14:00
Side 1 av 3 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Navn: Kåre Olaussen Telefon: 9 36 52 Eksamen i fag 74327 RELATIVISTISK KVANTEMEKANIKK Fredag
DetaljerUNIVERSITY OF OSLO DEPARTMENT OF ECONOMICS
UNIVERSITY OF OSLO DEPARTMENT OF ECONOMICS Postponed exam: ECON420 Mathematics 2: Calculus and linear algebra Date of exam: Tuesday, June 8, 203 Time for exam: 09:00 a.m. 2:00 noon The problem set covers
DetaljerEndringer i neste revisjon av EHF / Changes in the next revision of EHF 1. October 2015
Endringer i neste revisjon av / Changes in the next revision of 1. October 2015 INFORMASJON PÅ NORSK 2 INTRODUKSJON 2 ENDRINGER FOR KATALOG 1.0.3 OG PAKKSEDDEL 1.0.2 3 ENDRINGER FOR ORDRE 1.0.3 4 ENDRINGER
DetaljerSTILLAS - STANDARD FORSLAG FRA SEF TIL NY STILLAS - STANDARD
FORSLAG FRA SEF TIL NY STILLAS - STANDARD 1 Bakgrunnen for dette initiativet fra SEF, er ønsket om å gjøre arbeid i høyden tryggere / sikrere. Både for stillasmontører og brukere av stillaser. 2 Reviderte
DetaljerTrust in the Personal Data Economy. Nina Chung Mathiesen Digital Consulting
Trust in the Personal Data Economy Nina Chung Mathiesen Digital Consulting Why does trust matter? 97% of Europeans would be happy for their personal data to be used to inform, make recommendations or add
DetaljerEvaluating Call-by-need on the Control Stack
Evaluating Call-by-need on the Control Stack Stephen Chang, David Van Horn, Matthias Felleisen Northeastern University 1 Lazy Abstract Machines Sharing implemented with: heap 2 Lazy Abstract Machines Sharing
DetaljerGEOV219. Hvilket semester er du på? Hva er ditt kjønn? Er du...? Er du...? - Annet postbachelor phd
GEOV219 Hvilket semester er du på? Hva er ditt kjønn? Er du...? Er du...? - Annet postbachelor phd Mener du at de anbefalte forkunnskaper var nødvendig? Er det forkunnskaper du har savnet? Er det forkunnskaper
DetaljerPerpetuum (im)mobile
Perpetuum (im)mobile Sett hjulet i bevegelse og se hva som skjer! Hva tror du er hensikten med armene som slår ut når hjulet snurrer mot høyre? Hva tror du ordet Perpetuum mobile betyr? Modell 170, Rev.
DetaljerREMOVE CONTENTS FROM BOX. VERIFY ALL PARTS ARE PRESENT READ INSTRUCTIONS CAREFULLY BEFORE STARTING INSTALLATION
2011-2014 FORD EXPLORER PARTS LIST Qty Part Description Qty Part Description 1 Bull Bar 2 12mm x 35mm Bolt Plates 1 Passenger/Right Mounting Bracket 2 12mm Nut Plate 1 Driver/Left Mounting Bracket 2 12mm
DetaljerTips for bruk av BVAS og VDI i oppfølging av pasienter med vaskulitt. Wenche Koldingsnes
Tips for bruk av BVAS og VDI i oppfølging av pasienter med vaskulitt Wenche Koldingsnes Skåring av sykdomsaktivitet og skade I oppfølging av pasienter med vaskulitt er vurdering og konklusjon vedr. sykdomsaktivitet
DetaljerHvordan føre reiseregninger i Unit4 Business World Forfatter:
Hvordan føre reiseregninger i Unit4 Business World Forfatter: dag.syversen@unit4.com Denne e-guiden beskriver hvordan du registrerer en reiseregning med ulike typer utlegg. 1. Introduksjon 2. Åpne vinduet
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2013
TMA44 Statistikk Høst Norgs tkisk-aturvitskaplig uivrsitt Istitutt for matmatisk fag Øvig ummr, blokk II Løsigsskiss Oppgav a) Th probability is R.9.5 6x( x) dx = R.9.5 (6x 6x ) dx =[x x ].9.5 =.47. b)
DetaljerLøsningsforslag. MOT 110 Matematisk statistikk og stokastiske prosesser B, høst Oppgave 1
MOT 110 Matematisk statistikk og stokastiske prosesser B, høst 2004. Løsningsforslag Oppgave 1 a) Autokovariansen for en tidsrekke X t } er: γ(t + h, t) Cov(X t+h, X t ). Tidsrekken X t } er stasjonær
Detaljer2003/05-001: Dynamics / Dynamikk
Institutt for kjemisk prosessteknologi SIK 050: Prosessregulering 003/05-001: Dynamics / Dynamikk Author: Heinz A Preisig Heinz.Preisig@chemeng.ntnu.no English: Given the transfer function g(s) := s (
DetaljerMA2501 Numerical methods
MA250 Numerical methods Solutions to problem set Problem a) The function f (x) = x 3 3x + satisfies the following relations f (0) = > 0, f () = < 0 and there must consequently be at least one zero for
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAGET 5005/7 MATEMATIKK 2 1. august der k er et vilkårlig heltall. Det gir
LØNINGFOLAG IL EKAMEN I FAGE 55/7 MAEMAIKK. august Oppgave. (i Ja. (ii Ja. (iii Nei. Alternativt: (i Ja. (ii Ja. (iii Ja. Oppgave. curlf (x, y F i j k (x, y / x / y / z e y + ye x +x xe y + e x + Altså
DetaljerUNIVERSITY OF OSLO DEPARTMENT OF ECONOMICS
UNIVERSITY OF OSLO DEPARTMENT OF ECONOMICS English Exam: ECON2915 Economic Growth Date of exam: 25.11.2014 Grades will be given: 16.12.2014 Time for exam: 09.00 12.00 The problem set covers 3 pages Resources
Detaljer