DYNAMISK KARTLEGGINGSPRØVE I MATEMATIKK

Transkript

1 DYNAMISK KARTLEGGINGSPRØVE I MATEMATIKK For elever fra trinn og elever i videregående skole Utarbeidet av Svein Aastrup Trøndelag kompetansesenter

2

3 INNHOLDSFORTEGNELSE DYNAMISK KARTLEGGINGSPRØVE I MATEMATIKK Side Om kartleggingens hoveddeler 2 Del A: Generell veiledning til dynamisk kartlegging 3 Del B: Oppgaveveiledning til dynamisk kartlegging 9 1. Hoderegning, addisjon og subtraksjon. Regnestrategier Hoderegning, multiplikasjonstabellen Posisjonssystemet, hele tall Desimaltall Brøkbegrepet Plangeometriske former. Trekant, firkant og sirkel Lengdemåling og forståelse av lengdebegrepet Arealbegrepet Avbildning ved speiling Romoppfatning Addisjon, flersifrede tall Tolking av tekstoppgaver matematisk modellering 53 Litteraturliste 65 Del C: Notatark til kartlegger. Finnes kun på vedlagte CD-rom. Del D: Oppgaveark til eleven. Finnes kun på vedlagte CD-rom. 1

4 Om kartleggingens hoveddeler Kompendiedelen: Del A Generell veiledning til dynamisk kartlegging Dette er en innledning med en generell beskrivelse av dynamisk kartlegging og kort beskrivelse av teorigrunnlag. I tillegg gis det her generell veiledning i viktige prinsipper ved dynamisk kartlegging og beskrivelse av hvilke forberedelser som bør gjøres før kartleggingen starter. Del B Oppgaveveiledning til dynamisk kartlegging Oppgaveveiledning for hver enkelt oppgave Noe teorigrunnlag for misoppfatninger knyttet til hver enkelt oppgave Forslag til dialog med eleven for hver enkelt oppgave På vedlagte CD-rom: Del C Notatark til kartleggingsleder Notatarkene inneholder rubrikker for hver enkelt oppgave slik at kartleggingsleder kan notere under gjennomføring av kartleggingen. Det er viktig å samle mest mulig skriftlig informasjon om det som skjer i kartleggingsprosessen. Ett sett med notatark skrives ut for hver elev som skal kartlegges. Se nærmere beskrivelse på CD-rom. Del D Oppgaveark til elevene Det er et oppgaveark til hver enkelt oppgave som gis. Disse må være løse slik at de kan deles ut ett av gangen. Ett sett med elevark skrives ut for hver elev som skal kartlegges. Se nærmere beskrivelse på CD-rom. 2

5 Del A: Generell veiledning til dynamisk kartlegging Innledning Dette kartleggingsmaterialet er beregnet på lærere i skolen som vil kartlegge elever som sliter i matematikk for å kunne gi dem et godt, tilpasset undervisningsopplegg i faget. Før skolen tar materiellet i bruk, er det viktig å sikre at den som skal kartlegge er en lærer med god kompetanse om hvordan barn og unge lærer i matematikk. Den som skal kartlegge bør også ha kunnskaper om hva som kjennetegner elever med lærevansker i matematikk. Det har lenge vært behov for et kartleggingsredskap i matematikk som kan brukes som grunnlag til å utforme tilpassede undervisningsopplegg for elever med matematikkvansker. Olav Lunde i "Forum for matematikkmestring" har utviklet et dynamisk materiell som i første rekke er beregnet for småtrinnet. Derfor er følgende kartleggingsprøve ment å være en dynamisk kartlegging for elever fra 4. trinn og oppover i grunnskolen, samt for videregående skole. Materiellet er prøvd ut på elever på ulike trinn i hele dette spekteret. For elever som er spesielt svake eller lite modne på 4. trinn, vil en måtte vurdere å bruke en annen kartleggingsprøve i stedet for denne. Der anbefaler jeg bruk av Olav Lundes dynamiske kartleggingsprøve. Denne prøven er til dels basert på oppgaver fra Nasjonale prøver for 4. årstrinn fra 2004 og Den er videre supplert med andre oppgaver, blant annet diagnostiske oppgaver fra materiell utgitt av Utdanningsdirektoratet (tidligere Læringssenteret), men også oppgavetyper etter innspill fra lærere og studenter som har prøvd ut kartleggingen. Dynamisk kartlegging i matematikk Tradisjonelle kartleggingsprøver mangler i stor grad de egenskaper som vil gi oss den informasjon vi ønsker om eleven vi kartlegger. De vil først og fremst fortelle oss om hva eleven fikk til den dagen han eller hun gjennomførte kartleggingen. Dette er informasjon som i liten grad er egnet til å lage et tilpasset undervisningsopplegg for eleven, slik vi ønsker. For å kunne gi et slikt ønsket grunnlag, trenger vi en type kartlegging som avdekker hvordan eleven tenker: Hvilke forkunnskaper har eleven og hvordan brukes disse tankemessig? Hvordan tenker eleven under matematisk resonnering? Kvaliteten på denne kunnskapen; kan eleven sette kunnskapen inn i en sammenheng? Hvilke oppgavespesifikke strategier rår eleven over? Elevens mulige misoppfatninger. Har eleven automatiseringsproblemer? Hva er elevens evner, interesser og behov? Hva vil eleven kunne lære i framtida? Kartleggingen bør gi grunnlaget for hvilke metodiske undervisningsopplegg, hvilke læringsinnhold og pedagogiske strategier en bør velge for eleven. Teorien bak denne tilnærmingen er basert på sosialkonstruktivistisk tenkning og særlig Vygotskys teori, der læring beskrives som overgangen mellom to utviklingsnivåer eller soner, fra den aktuelle og over i den potensielle sone med hjelp av et såkalt støttende stillas. Den 3

6 aktuelle sonen omfatter de områder i faget som eleven mestrer på egen hånd. Den potensielle sonen omfatter de områdene eleven kan klare å mestre med litt støtte utenfra og som det er naturlig å ha som mål å kunne mestre selvstendig. Et støttende stillas er en person eller et annet hjelpemiddel som gir eleven støtte i en læringssituasjon på en slik måte at eleven selv er den aktive som konstruerer kunnskapen. Kartleggingsprøven skal kartlegge elevens aktuelle sone, hva mestrer eleven uten hjelp? Prøven vil også gi en indikasjon på elevens potensielle sone ved at den viser hva eleven mestrer sammen med en kompetent voksen, kartleggingslederen, som støttende stillas. I tradisjonell kartlegging har ikke eleven et slikt støttende stillas. Dynamikken i kartleggingen En del av dynamikken i den type kartlegging vi ønsker, ligger i at kartleggingslederen støtter eleven, ikke aktivt ved å skissere løsninger eller forklare, men ved gi små hint som hjelper eleven til å tenke selv, ofte formulert som spørsmål. Samtidig oppfordres eleven til å formidle sin måte å tenke på ved løsing av den enkelte oppgave. Gjennom denne kommunikasjonen og ved å samtidig observere eleven, danner kartleggingsleder seg et bilde av hva eleven kan eller ikke kan, hvordan eleven kan og hvorfor eleven velger å gjøre slik han eller hun gjør. I slike situasjoner blir det viktig på hvilken måte kartleggingsleder stiller spørsmål til eleven. Hvis eleven ikke får det til eller kommer med galt svar, kan vi prøve å finne ut tenkemåten og hjelpe ham eller henne til å tenke ut en løsning. Forslag til slike dialoger er lagt inn for hver enkeltoppgave i veiledningen til kartleggingen, se nærmere under avsnittet om forberedelse av kartleggingen. I prinsippet kan en dele måten å spørre på i to spørsmålsformer: Den vurderende spørsmålsformen, der læreren stiller spørsmål og der eleven i hovedsak svarer rett eller feil. Fokus er produktrettet, det kan være mot svaret, mot faktakunnskaper eller mot den riktige fremgangsmåten. Spørsmålene vil ofte være styrende eller lukkede. Den assisterende spørsmålsformen, der spørsmålene inviterer eleven til å reflektere. Hensikten er å hjelpe eleven videre, ikke gjennom å fortelle løsninger, men ved å la eleven selv oppdage mulighetene. Spørsmålene vil ofte være åpne slik at elevens refleksjoner kan gå i ulike retninger. Ved gjentatte spørsmål og hinting ledes likevel eleven mot målet, og kartleggingslederen får kartlegge elevens matematikktenkning. Det er viktig å forsøke å stille spørsmålene på den assisterende måten. Dette kan noen ganger være vanskelig og for mange vil det kreve at en gjør en del forberedelser. I tillegg til dynamikken som ligger i det vi gjør i testsituasjonen, har kartleggingen også et annet dynamisk aspekt ved at læreren benytter resultatene av kartleggingen videre i det pedagogiske arbeidet. Med dette som bakgrunn, velger vi å definere en dynamisk kartlegging slik: Med dynamisk kartlegging av en elev mener vi kartlegging der forhold mellom kartleggingsleder og elev er basert på dialog og hvor fokus rettes mot hva som skal til for å hjelpe eleven til å nå et nytt funksjonsnivå. 4

7 Kartleggingsmateriellet består av et kompendium som inneholder følgende to veiledningsdeler: Del A: Denne generelle veiledningen som beskriver prinsipper ved dynamisk kartlegging og noen praktisk råd til den som ønsker å kartlegge. Del B: En veiledningsdel for kartleggingsleders bruk. Denne må kartleggingsleder sette seg inn i på forhånd og den brukes aktivt gjennom kartleggingen i det den følger oppgavene i kartleggingen kronologisk. I tillegg består det av følgende to deler i elektronisk format på vedlagt CD-rom: Del C: Notatark til kartleggingsleder. Det er viktig å samle mest mulig skriftlig underlag fra kartleggingen. Del D: Ett sett med oppgaveark til eleven. Disse skal ikke deles ut samlet, kartleggingsleder gir eleven ett og ett ark etter hvert som hver oppgave avsluttes. Forberedelse av kartleggingen Det er flere grunner til at elevens lærer bør utføre kartleggingen: 1. Kartleggingsleder bør kjenne eleven godt elevens interesser, gjerne svake og sterk sider og hva slags språklige uttrykk eleven bruker. Det er viktig at det skapes en trygg testsituasjon. Med normalt gode relasjoner mellom lærer og elev bør dette være mulig. Kartleggingen gir en viktig del av grunnlaget for den tilpassede undervisningen som nettopp læreren skal legge opp videre. Det er også viktig at kartleggingsleder har bredest mulig erfaringsbakgrunn og kunnskaper om matematikkdidaktikk og matematikkvansker. Kartleggingsleder bør bruke god tid til å sette seg inn i kartleggingen på forhånd. I veiledningen er gitt beskrivelser av bakgrunnen for de enkelte oppgavene. Denne teorien er det viktig for kartleggingsleder å ha kjennskap til. Ofte vil denne informasjonen også være nyttig i planlegging av undervisningsopplegg etter at kartleggingen er avsluttet. Det er også viktig å bevisstgjøre seg på rollen som støttende stillas. Selv om noen lærere nok i utgangspunktet vil være vant til å la eleven ha den aktive, reflekterende rollen og selv assistere, er det veldig lett å havne i rollen som den som forklarer eller å stille vurderende spørsmål. Derfor er det lurt også på forhånd å tenke gjennom og gjerne øve seg på hvordan en kan stille assisterende spørsmål som beskrevet i avsnittet Dynamikken i kartleggingen over. I tillegg inneholder veiledningen for hver enkelt oppgave forslag til hvordan en kan innlede en samtale med eleven(del B). Disse forslagene forteller først og fremst noe om hvilke momenter vi kan forsøke å belyse for eleven. De sier også noe om måten å nærme seg eleven på. I utgangspunktet er det eleven selv som skal få anledning til å sette ord på eller på annen måte uttrykke sine tanker, kartleggingsleder har en støttende funksjon (Vygotsky). Når det gjelder ordbruk under gjennomføring av kartleggingen, vil det være opp til kartleggingslederen å uttrykke seg på en forståelig måte. Derfor er det viktig at kartleggingslederen kjenner eleven godt og ikke bindes av uttrykksformene i veiledningen, men heller selv velger ord og uttrykksformer som eleven forstår. Her vil det naturligvis også 5

8 være en rekke forskjeller mellom dialekter som det må tas hensyn til. Dette bør kartleggingsleder tenke gjennom på forhånd. Det kan være aktuelt å bruke konkrete hjelpemidler under kartleggingen. I utgangspunktet bør eleven først få prøve uten og få støtte gjennom dialogen eller ved å tegne eller skrive selv. Men hvis dette ikke fører fram, kan konkreter ofte være til hjelp. Disse må kartleggingsleder selv sørge for å ha tilgjengelig. Hjelpemidler som kan være aktuelle å bruke: Konkretiseringsmateriell som kan brukes til å vise antall, som fyrstikker, pinner, knapper, brikker, klosser eller liknende. Pengemynter kan det også være praktisk å ha for hånden, gjerne noen kronestykker og tiere. Selv om det er plass på oppgavearkene til å kladde, tegne hjelpefigurer etc., kan det være lurt at kartleggingsleder i tillegg har en bunke blanke ark. Gjennomføring av kartleggingen Hele kartleggingen vil være omfattende å gjennomføre samlet. I mange tilfeller vil det være klokere å dele opp kartleggingen og dermed ta den over litt tid. For noen elever vil det være aktuelt å gjennomføre bare noen utvalgte oppgaver, for eksempel basert på informasjon fra en ordinær kartleggingsprøve. Men det er store variasjoner mellom elevene, og noen elever vil la seg motivere av kartleggingen og ønsker å gjennomføre hele kartleggingen samlet. Når kartleggingen gjennomføres i skoletida, kan det likevel være lurt å la eleven gå ut i friminuttene sammen med de andre elevene. Før en starter med selve kartleggingsprøven, er det fint om en forteller eleven om bakgrunnen for å gjennomføre denne prøven. Hensikten med dynamisk kartlegging er å kunne lage et best mulig tilpasset undervisningsopplegg i matematikk. For at dette skal lykkes må vi identifisere elevens kompetanser, hvordan eleven resonnerer og hva som gjør at det stopper opp for eleven. Eleven bør derfor forberedes på å forklare eller på annen måte vise hvordan han/ hun tenker. La eleven forstå at dette kan være helt avgjørende for at læreren skal klare å lage et godt opplegg i fortsettelsen. Eleven bør også få vite at en kan komme til å bruke en del tid på noen av oppgavene, det er ikke meningen å bli raskt ferdig. I prinsippet får eleven bruke den tid som er nødvendig ved hver enkelt oppgave. Gjennom dialogen skal kartleggingsleder danne seg et bilde av elevens måte å tenke og resonere på. Det betyr at kartleggingsleder stiller relevante spørsmål som eleven skal svare på, men ikke bare når eleven gjør feil! Vi bør også spørre eleven når han/ hun gjør rett: Tenkemåten kan fortelle mye om elevens kunnskaper, bruk av strategier og forståelse. Dessuten hender det at elever får rett svar og til og med viser rett prosedyre uten at de tenker rett eller har forstått. Under hele gjennomføringen av kartleggingen er det viktig å skape en trygg atmosfære for eleven. Legg vekt på å oppmuntre eleven, gi positiv respons på det han/ hun mestrer selv om mye skulle være galt og bare litt riktig. Forsøk å unngå å fokusere på rett og galt, prøv heller å finne ut hvorfor eleven eventuelt tenker galt. Legg også vekt på at eleven skal oppleve å lykkes ved at oppgaven løses selv om det er med støtte fra kartleggingsleder. Samtidig bør ikke dette gjøres for en hver pris, dersom eleven kjører seg mer og mer fast, bør en bryte av den oppgaven. 6

9 Første gang en gjennomfører den dynamiske kartleggingen bør en bare forberede og gjennomføre kun et fåtall av oppgavene. Det ligger mye informasjon i materiellet som kan virke forvirrende på en fersk kartleggingsleder. Ofte kan det være lurt å starte ved å gjennomføre 1 2 av oppgavene en dag så ta et par nye oppgaver en annen dag og fortsette slik til en føler seg tryggere på gjennomføringen. Oversiktskartlegging og supplerende tester Det vil være svært tids- og ressurskrevende dersom alle elevene skal kartlegges dynamisk. Derfor kan en først prøve å sile ut dem som må kartlegges dynamisk: Læreren oppdager gjennom undervisningen elever som har problemer. Læreren kan kjøre en tradisjonell prøve som indikerer at eleven har vansker. Parallelt med dynamisk kartlegging er det vanlig å kjøre supplerende tester for å avdekke eventuelle ledsagervansker. Noen av disse utføres gjerne av PPT, andre kan skolen selv gjennomføre. Men elevens egen lærer bør gjennomføre den dynamiske kartleggingen. Figuren over viser kartleggingsmodellen slik den ofte fungerer for elever med matematikkvansker. I den første boksen kan en også tenke seg andre forhold, som at foreldre melder sin bekymring. For elever som ikke har store problemer, vil en gå fra den første boksen med kartleggingsprøve/ observasjon og direkte til tilpasset undervisning, altså ikke kartlegge på flere måter. Denne dynamiske kartleggingen er i stor grad basert på oppgaver hentet fra nasjonale prøver for 4. klasse. Kartleggingen er ment å brukes på elever fra 4. trinn og oppover. Erfaringene fra elever som sliter med matematikk er at elever i ungdomsskolen ofte gjør de samme feilene som elever på langt lavere trinn. Yngre elever enn dem på 4. trinn, bør en bruke et annet kartleggingsmateriell. Videre arbeid Resultatet av kartleggingen skal danne grunnlag for videre undervisningsopplegg for eleven. Med utgangspunkt i kunnskapen om elevens ståsted, må læreren planlegge undervisningsopplegg som vektlegger begrepsforståelse og operasjonell kunnskap at eleven opplever matematikken som meningsfull 7

10 at eleven får være aktiv i læringsprosessen at eleven møter passe store utfordringer tilpasset undervisning I tillegg er det verdt å merke seg at matematikkvansker sjelden er spesifikke, det vil si at eleven presterer signifikant dårligere i matematikk sammenliknet med andre sentrale skolefag eller at vanskene kun er knyttet til matematikk. Dette betyr at andre vansker ofte opptrer samtidig med matematikkvanskene, og disse må også kartlegges. Her er det derfor helt nødvendig med et nært samarbeid med PPT slik at undervisningsopplegget også tar hensyn til disse ledsagervanskene. 8

11 Del B: Oppgaveveiledning til dynamisk kartlegging Denne delen av veiledningen er oppgavespesifikk. For hver enkelt oppgave finner en: Referanse til relevante kompetansemål i læreplanen Kunnskapsløftet. Tips om hjelpemidler til bruk i kartleggingen. Oppgavetekst som skal leses eller sies i tillegg til at eleven får lese den. med beskrivelse av typiske misoppfatninger knyttet til ulike typer svar på oppgaven. Forslag til hjelp for å starte en dialog med eleven og til å støtte på andre måter knyttet til ulike typer svar på oppgaven. Kartleggingsleder (kalt K i veiledningen) vil normalt være elevens lærer. Kartleggingsleder har et oppgavesett med en oppgave pr. ark (kartleggingsprøvens del D) og notatark til bruk under prøven (kartleggingsprøvens del C), begge finnes som en filer på vedlagte CD-rom. Del bare ut ett oppgaveark av gangen. Noen oppgaveark brukes bare ved oppfølgingsspørsmål og skal bare deles ut dersom situasjonen tilsier det, se veiledningen for de enkelte oppgaver. Det er viktig at K leser grundig gjennom veiledningen på forhånd. Merk: Fortell eleven om hensikten med prøven (se del A, generell veiledning). Fortell også at det er viktig for deg å få kunnskap om hvordan eleven tenker når han/ hun løser oppgaver i matematikk. Dette gjelder enten eleven lykkes eller mislykkes. Eleven må også få vite at han/ hun får lov å bruke så mye tid som en ønsker på hver enkelt oppgave. Husk at forslagene til dialog kun er forslag og at du selv må finne et språk å kommunisere med eleven på som fungerer. I kommunikasjonen skal kartleggingsleder i størst mulig grad ikke selv gi løsningene, men være en støtte for elevens tenkning. Legg derfor vekt på å bruke assisterende spørsmål (se del A, generell veiledning). 9

12 10

13 Oppgave 1. Hoderegning, addisjon og subtraksjon KOMPETANSEMÅL etter 4. trinn: Mål for opplæringen er at eleven skal kunne: gjøre overslag over og finne tall ved hjelp av hoderegning, tellemateriell og skriftlige notater, gjennomføre overslags regning med enkle tall og vurdere svar utvikle og bruke ulike regnemetoder for addisjon og subtraksjon av flersifrede tall både i hodet og på papiret HJELPEMIDLER OPPGAVE 1: Ha i beredskap et blankt ark og blyant dersom eleven ikke klarer oppgavene i hodet selv med støtte. Ha også gjerne noen konkreter som kan danne mengder (alt fra klosser til mynter eller blyanter men ensartede gjenstander). Fingrene kan naturligvis også brukes! Gjennomføring av kartlegging: Hver deloppgave i oppgave nr. 1 gis muntlig til eleven. Gi bare en oppgave av gangen! K: Du skal få noen oppgaver som du skal regne i hodet, uten å bruke papir og blyant. Forklar eller vis hvordan du tenker og hva du gjør: a = b = c = d = Alternative framgangsmåter, oppgave 1, a c. Her ønsker vi å finne ut om eleven har automatisert deler av den lille addisjonstabell. Der automatiseringa er svak eller ikke har funnet sted, er det interessant å se hva slags strategi og eventuelle hjelpemidler eleven bruker. Eksempler på strategiske hjelpemidler er fingertelling, bruk av konkreter, eller blyantskisseringer. Noen tellestrategier kan være (for som eksempel): 1. Telle alt: Teller "1 2" på en hånd og fortsetter med " ", ofte på den andre hånda. 2. Telle videre: Eleven teller videre fra den første addenden, her 2: " " 3. Minimumsstrategien: Eleven snur addendene for å telle minst mulig, teller så videre fra 5: "6 7" En annen strategi er: 4. Tvillingstrategien: Eleven klar fordoblinger som 2 +2 og Andre oppaver knyttes til slike, som 3 + 4: " er 6 og en til blir 7" / observasjon Automatisert: Dersom eleven har automatisert, kan en raskt gå videre til de neste oppgavene. Fingertelling (eller liknende): Teller eleven på fingrene? Prøv å se på hvilken måte. Hvis det er vanskelig, kan K (kartleggingsleder) spørre: Kan du vise meg igjen hvordan du regnet 2 + 5? Får ikke til: Hvis eleven ikke teller og heller ikke klarer å løse oppgavene, eller gjetter på svarene, kan K oppfordre til fingertelling, tilby konkreter eller spørre om eleven vil prøve med papir og blyant. K: Kan du nå vise meg regnestykket? Dersom eleven har store problemer med å løse oppgavene, kan K hoppe over de siste seks oppgavene d. i. og gå videre til oppgave 2. 11

14 Oppgave 1 d f. Addisjon og subtraksjon med tierovergang. Gis bare dersom eleven har fått til en av oppgavene a - c, med eller uten hjelp. Gjennomføring av kartlegging: Også disse oppgavene skal i utgangspunktet løses med hoderegning, men vi bør fortsatt ha noen hjelpemidler tilgjengelig (se over). Gi bare en oppgave av gangen! K: Regn ut denne oppgaven uten å bruke papir og blyant. Forklar eller vis hvordan du tenker og hva du gjør: d = e = f = Alternative framgangsmåter, oppgave 1 d, Hvis eleven ikke har automatisert, er det mulig å telle på fingrene med strategi nr 2 (Telle videre) og 3 (Minimumsstrategien), se teori-bakgrunn for oppgave a-c. Den første strategien er også mulig, men siden det ikke er nok fingre, krever det at eleven har god oversikt. Eleven kan også bruke tvillingstrategien. Både denne og fingertelling kan brukes uten å forstå posisjonssystemet. En fjerde strategi er å fylle opp tieren: "7 og 3 er 10, da har jeg 3 til igjen, det blir 13." / observasjon Dersom eleven bare oppgir rett svar: K: Vil du forklare hvordan du fant svaret? Gå så videre til oppgave e. Hvis eleven teller på fingrene: Merk strategien. Hvis eleven ikke får til, gjetter eller stopper opp: K: Du har 7, hvor mange trenger du for å få 10? Hvor mange du har igjen av de 6? Osv. Hvis dette heller ikke lykkes: K: Du kan få prøve med papir og blyant, eller kanskje du heller vil ha disse (legg fram konkreter som beskrevet i innledningen). Hvis eleven nå lykkes, merk og noter ned strategien. Hvis ikke, hjelp med konkreter, om nødvendig kan eleven telle hver mengde og til slutt alt. Alternative framgangsmåter, oppgave 1e) / observasjon Gi bare denne oppgaven dersom eleven har fått til oppgave d), med eller uten hjelp. Her vil vi finne ut om eleven ser sammenhengen mellom oppgave d) og e): Hvis er kjent, ser eleven da et mønster, eller må han/ hun telle? Dersom eleven bare oppgir rett svar: K: Vil du forklare hvordan du gjorde det? Forklaringen vil sannsynligvis røpe om eleven har innsikt eller må telle. Dersom eleven igjen må telle, kan K spørre: Siden du vet at blir 13, kan du bruke det til å finne hvor mye er? Flere ledespørsmål kan være: - Hvor mye mer er 17 enn 7? - Hvor mye mer er da enn 7 + 6? 12

15 Alternative framgangsmåter, oppgave 1f, 13 7 / observasjon Gi bare denne oppgaven dersom eleven har fått til oppgave d), med eller uten hjelp. Her vil vi finne ut om eleven ser sammenhengen mellom oppgave addisjon og subtraksjon. Hvis eleven behersker 7 + 6, ser eleven da at det er mulig å benytte denne kunnskapen når en skal gå motsatt vei, eller må han/ hun regne på nytt fra grunnen av, evt. telle? Dersom eleven bare oppgir rett svar: K: Vil du forklare hvordan du gjorde det? Forklaringen vil sannsynligvis røpe om eleven har innsikt eller må telle. Dersom eleven igjen må telle, kan K spørre: Siden du vet at blir 13, kan du bruke det til å finne hvor mye 13-7 er? Flere ledespørsmål kan være: - I sted la du sammen 7 og 6 og fikk 13. Nå har du 13 og skal ta bort 7 igjen. Hvor mye har du igjen da? Oppgave 1 g og h. Å se sammenhenger og bruke dette strategisk Også disse oppgavene skal i utgangspunktet løses med hoderegning, men vi bør fortsatt ha de samme hjelpemidler som beskrevet over tilgjengelig. Gi bare en oppgave av gangen, og gi oppgave h bare dersom eleven får til oppgave g med eller uten hjelp! K: Regn ut denne oppgaven uten å bruke papir og blyant. Forklar eller vis hvordan du tenker og hva du gjør: g. 8 5 = h = Alternative framgangsmåter, oppgave 1g Hvis eleven ikke har automatisert, er det mulig å telle på fingrene. Noen varianter kan være: 1. Telle opp 8 fingre, så telle bort 5 av disse, 3 igjen (evt. telle disse). 2. Telle oppover fra 5: "6 7 8" (3 fingre). 3. Telle nedover fra 8: "7 6 5" (3 fingre). Avhengig av det gitte regnestykket, kan enten strategi 2 eller strategi 3 være den mest hensiktsmessige. Hvis barn teller når de subtraherer, er det gunstig om de har fleksibel strategibruk. / observasjon Dersom eleven bare oppgir rett svar: K: Vil du forklare hvordan du fant svaret? Gå så videre til neste oppgave. Hvis eleven teller på fingrene: Merk strategien. Hvis eleven ikke får til, gjetter eller stopper opp: K: Du har 8, så tar du bort fem av dem, hvor mange har du igjen da? Hvis dette heller ikke lykkes: K: Du kan få prøve med papir og blyant, eller kanskje du heller vil ha disse (legg fram konkreter som beskrevet i innledningen). Hvis eleven nå lykkes, merk og noter ned strategien. Hvis ikke, hjelp med konkreter, om nødvendig kan eleven telle hver mengde og til slutt alt. 13

16 Alternative framgangsmåter, oppgave 1h Her vil vi finne ut om eleven ser sammenhengen mellom oppgave d og e: Hvis eleven får til 8 5, ser eleven da et mønster, eller må han/ hun telle? / observasjon Dersom eleven bare oppgir rett svar: K: Vil du forklare hvordan du gjorde det? Forklaringen vil sannsynligvis røpe om eleven har innsikt eller må telle. Dersom eleven igjen må telle, kan K spørre: Siden du vet at 8 5 blir 3, kan du bruke det til å finne hvor mye 18 5 er? Flere ledespørsmål kan være: - Hvor mye mer er 18 enn 8? - Hvor mye mer er da 18 5 enn 8 5? 14

17 Oppgave 2. Hoderegning, multiplikasjonstabellen Kompetansemål etter 4. trinn: Mål for opplæringen er at eleven skal kunne gjøre overslag over og finne tall ved hjelp av hoderegning, tellemateriell og skriftlige notater, gjennomføre overslags regning med enkle tall og vurdere svar bruke den lille multiplikasjonstabellen For oppgave f g kommer i tillegg: beskrive plassverdisystemet for de hele tallene HJELPEMIDLER OPPGAVE 2: Ha i beredskap et blankt ark og blyant dersom eleven ikke klarer oppgavene i hodet selv med støtte. Ha også gjerne noen konkreter som kan danne mengder (alt fra klosser til mynter eller blyanter men ensartede gjenstander). Fingrene kan naturligvis også brukes! Hver deloppgave i oppgave 2 gis muntlig til eleven. Gi bare en oppgave av gangen! Først lar vi eleven få vise hva han eller hun kan av multiplikasjonstabellen i oppgave a. Dersom eleven her også svarer på noen av oppgavene i b til e, kan disse droppes i neste omgang. a. Multiplikasjonstabellen: K: Si de gangestykkene du kan! Du kan begynne med dem du synes er enklest. Spør eleven hvordan han eller hun gjør for å finne svarene. K: Nå skal du få noen regnestykker til, uten å bruke papir og blyant. Forklar eller vis hvordan du tenker og hva du gjør: b. 2 3 = c. 5 7 = d. 8 6 = e. 7 4 = Alternative framgangsmåter, oppgave 2 a e / observasjon Her ønsker vi å finne ut om eleven har automatisert deler av den lille multiplikasjonstabell. Der automatiseringa er svak eller ikke har funnet sted, er det interessant å se hva slags strategi og eventuelle hjelpemidler eleven bruker. Noen elever vil bruke gjentatt addisjon: Automatisert multiplikasjon: Dersom eleven har automatisert gangestykkene, kan en raskt gå videre til de neste oppgavene. Gjentatt addisjon: I. Har eleven automatisert addisjonsstykkene (5 + 5 = 10, = 15, osv.)? Er noen av stykkene automatisert? eller: Fortsetter 15

18 5 7 = eller 5 7 = Noen av disse igjen har heller ikke automatisert addisjon, og må bruke tellestrategier (som i oppgave 1). Her er det altså interessant å undersøke om eleven 1. Har automatisert multiplikasjon 2. Bruker gjentatt addisjon, automatisert denne 3. Bruker gjentatt addisjon, men må telle 4. Ikke klarer/ prøver å løse oppgavene II. Teller eleven på fingrene ved addisjon? Prøv å se på hvilken måte. Hvis det er vanskelig, kan T spørre: Kan du vise meg igjen hvordan du regnet ? (se strategier i oppgave 1) III. Hvis eleven ikke prøver eller gjetter på svar, kan T endre gangestykket til et addisjonsstykke, for 2 3 kan det bli: Hva blir , da? Oppgave 2 f g Gjøres bare dersom eleven med eller uten støtte fra Kartleggingsleder lyktes i oppgavene a - d. Gå i motsatt fall videre til en helt ny oppgave. Også disse oppgavene skal i utgangspunktet løses med hoderegning, men vi bør fortsatt ha de samme hjelpemidler som beskrevet over tilgjengelig. Fingrene kan naturligvis også brukes, men her er dette mer krevende enn på de fire første oppgavene! Merk: Oppgave f er oppgave d snudd til divisjon. Gi bare en oppgave av gangen! T: Regn ut denne oppgaven uten å bruke papir og blyant. Forklar eller vis hvordan du tenker og hva du gjør: f. 48 : 6 = g = h = i = Alternative framgangsmåter, oppgave 2f: 48 : 6 = Oppgave e henger sammen med oppgave c over. Multiplikasjonstabellen er normalt godt automatisert dersom eleven klarer denne. / observasjon Dersom eleven bare oppgir rett svar: K: Vil du forklare hvordan du fant svaret? Gå så videre til oppgave f. Hvis eleven ikke får til, gjetter eller stopper opp: K: Du fant ut i sted at 8 6 blir 48. Kanskje du kan bruke det her? Hvis dette heller ikke lykkes: Fortsetter 16

19 K: Du kan få prøve med papir og blyant, eller kanskje du heller vil ha disse (legg fram 48 konkreter som beskrevet i innledningen). Hvis eleven nå lykkes, merk og noter ned hvordan. Hvis ikke, hjelp med konkreter, om nødvendig kan eleven telle hver mengde og til slutt alt. Alternative framgangsmåter, oppgave 2 g og h) / observasjon 3 20 = 30 4 = I disse to oppgavene vil vi se om eleven klarer å bruke kunnskaper om multiplikasjon med ensifrede tall når den ene faktoren økes med faktor 10. Dersom eleven bare oppgir rett svar: K: Vil du forklare hvordan du fant svaret? Gå så videre til neste oppgave. Hvis eleven ikke får til, gjetter eller stopper opp (eksempelvis for oppgave f): K: Du vet hvor mye 3 2 er? Hvor mye (mange ganger) mer er da 3 20? Og eventuelt: Hvor mye større er 20 enn 2? Også her kan eleven få prøve med papir og blyant, eventuelt kan en konkretisere med for eksempel penger Alternative framgangsmåter, oppgave 2 i) = Her vil vi se om eleven klarer å bruke kunnskaper om multiplikasjon med ensifrede tall når begge faktorene økes med faktor 10. / observasjon Ta denne oppgaven bare dersom eleven fikk til oppgavene f og g med eller uten støtte. Dersom eleven bare oppgir rett svar: K: Vil du forklare hvordan du fant svaret? Gå så videre til oppgave 3. Hvis eleven ikke får til, gjetter eller stopper opp: K: Du vet hvor mye 2 3 er? Du vet også hvor mye 2 30 blir? Hvor mye større blir nå Også her kan eleven få prøve med papir og blyant, eventuelt kan en konkretisere. 17

20 18

21 Oppgave 3. Posisjonssystemet, hele tall. KOMPETANSEMÅL etter 4. trinn: Mål for opplæringen er at eleven skal kunne: beskrive plassverdisystemet for de hele tallene utvikle og bruke ulike regnemetoder for addisjon og subtraksjon av flersifrede tall både i hodet og på papiret 3a. Oppfatningen av tresifret tall K: Et bestemt tall betyr 7 hundrere 3 tiere og 6 enere. Vil du skrive opp dette tallet? Alternative svar, oppgave 3a Alt , korrekt svar. I dette tilfellet er det mulig at eleven har bra innsikt i posisjonssystemet, men for sikkerhets skyld bør Kartleggingsleder stille spørsmål. Noen elever vil gjette svaret ut fra oppgaveformuleringen. Det er uansett verdifullt å vite hvordan eleven tenker. K: Vil du forklare hvorfor du mener dette er det riktige tallet? Alt Eleven vet hvordan 36 skrives og også hvordan 700 skrives, men denne kunnskapen trenger ikke å være basert på forståelse av posisjonssystemet. Muligens husker eleven hvordan disse to tallene skrives, men oppfatter likevel "sju hundre" og "trettiseks" som to tall etter hverandre. Det kan også tenkes at eleven her blander inn tankemåter fra additive tallsystemer, mange barn tenderer mot å uttrykke tall additivt. Det vil si at "sju hundre og trettiseks" kan uttrykkes som summen av 700 og 36 skrevet på denne måten. K: Vil du forklare hvorfor du mener dette er det riktige tallet? Mulige suppleringsspørsmål: K: Kan du forklare hvilke tall dette er, "700" og (deretter) "736"? Og: Hvis du har 700 og legger til 36, hvordan gjør du det? Her må undervisninga rette seg mot en grundig opplæring i posisjonssystemet! 19

22 Alt Her er det trolig at eleven blander inn et additivt tall-system der 736 betyr , eller mer sannsynlig at eleven ikke forstår spørsmålet, men tror tallsifrene er addendene i et regnestykke. K: Vil du forklare hvordan du kom fram til dette tallet? En kan også prøve med lavere tall: Hva med det tallet som består av to tiere og fem enere? Hvis dette også blir tolket som en sum av 2 og 5, kan en prøve samme tall med penger som konkretiseringsmiddel (2 tiere og 5 kronestykker). Oppgave 3 b Nullen som plassholder Gjøres bare dersom eleven med eller uten støtte fra Kartleggingsleder lyktes i oppgave 3a). K: Et bestemt tall betyr 8 tusenere 4 tiere og 3 enere. Vil du skrive opp dette tallet? Alternative svar, oppgave 3b: Alt , korrekt svar. I dette tilfellet er det naturlig å anta at eleven har god innsikt i posisjonssystemet, men for sikkerhets skyld bør Kartleggingsleder stille spørsmål. Det er uansett verdifullt å vite hvordan eleven tenker. K: Vil du forklare hvorfor du mener dette er det riktige tallet? Alt Eleven plasserer tallsifrene i samme rekkefølge som sist, uten hensyn til at det ikke er noen hundrere. Her må undervisninga rette seg mot en grundig opplæring i posisjonssystemet! K: Vil du forklare hvorfor du mener dette er det riktige tallet? Mulige suppleringsspørsmål: K: Hvor mange hundrere har vi her? og: Hvordan skriver vi det? 20

23 Alt Eleven kan ha lært seg hvordan 8000 skrives og skriver først det. Så kommer 43, som også huskes, etterpå. Dette tyder på en tenkemåte delvis basert på et additivt tall-system: betyr K: Vil du forklare hvorfor du mener dette er det riktige tallet? Mulige suppleringsspørsmål: K: Hvor mange enere har vi her? Og tiere? Hundrere? osv. En kan også spørre hva tallet 8043 betyr. Oppgave 3 c. Tier- og hundreroverganger K: Denne besøkstelleren viser antallet besøk som er registrert på en nettside. Skriv inn hva besøkstelleren viser etter at enda tre personer har vært innom sida: Alternative svar, oppgave 3c: Alt , korrekt svar. Her er det naturlig å anta at eleven har bra innsikt i posisjonssystemet, men for sikkerhets skyld bør Kartleggingsleder stille spørsmål. Det er uansett verdifullt å vite hvordan eleven tenker. K: Vil du forklare hvordan du kom fram til dette tallet? 21

24 Andre alternative svar , , 35299, andre feilsvar eller blankt. Eleven behersker ikke posisjonssystemet. Det er sannsynligvis nødvendig å arbeide med dette helt fra grunnen av. K: Vil du prøve å forklare hvordan du tenker? En kan også spørre om eleven kan løse denne oppstilte oppgaven: = 22

25 Oppgave 4. Desimaltall KOMPETANSEMÅL etter 4. trinn: Mål for opplæringen er at eleven skal kunne beskrive plassverdisystemet for de hele tallene, bruke positive og negative hele tall, enkle brøker og desimaltall i praktiske sammenhenger, og uttrykke tallstørrelser på varierte måter Oppgave 4a Tolkning av gitte desimaltall I denne første oppgaven med desimaltall ser vi på elevens kunnskaper i forhold til formelle skrivemåter for desimaltall. T: Sett en ring rundt det største tallet: 0,19 0,701 0,81 0,5 Alternative svar, oppgave 4a: Alt. 1 0,81, korrekt svar. I dette tilfellet er det naturlig å anta at eleven har forstått desimaltallsystemet, men for sikkerhets skyld bør Kartleggingsleder stille spørsmål. Det er uansett verdifullt å vite hvordan eleven tenker. K: Vil du forklare hvorfor du mener dette tallet er størst? Dersom eleven ikke kan forklare hvorfor, kan et oppfølgende spørsmål være: K: Noen mener at 0,701 er det største tallet. Hvordan tror du de tenker? Alt. 2, svar: 0,19 Denne feilen kan skyldes at sifferet 9 får tallet til å virke stort. Muligens har eleven vansker med posisjonssystemet. K: Vil du forklare hvorfor du mener dette tallet er størst? Hvis eleven står fast: K: Hvilket tall er størst av 81 og 19? Alt. 3, svar: 0,701 Dette kan være en tilfeldig feil eller det kan skyldes en misoppfatning om at: (Se neste side) Fortsetter 23

26 1. Desimaltall består av et tallpar der det ene står foran og det andre etter kommaet. Først sammenliknes tallene foran kommaet. Det største tallet her betyr at tallet totalt er størst. Hvis heltallene er like, sammenliknes tallene til høyre for komma som om de var hele tall. Det med flest sifre her, er størst. Lesemåten "null komma sjuhundreogen" kan forsterke misoppfatningen. 2. Det lengste tallet er størst. Her er lengden av tallet (dvs. antall sifre foran og etter komma til sammen) det som avgjør. Hvis tallene er like lange, sammenliknes sifrene. K: Vil du forklare hvorfor du mener dette tallet er størst? Og: Hva betyr 7-tallet her? Hva betyr 8-tallet i 0,81? En ny oppgave kan være: Hvilket av disse tallene er størst? 2, 31 1, 975 Elever med misoppfatning nr. 1 vil her svare rett, mens de med den andre misoppfatningen vil svare feil. For å identifisere de to mulige misoppfatningene, kan eleven få en oppgave. Men først bør eleven få anledning til å forklare tenkemåten. Feilen kan jo også skyldes manglende konsentrasjon. Alt. 4, svar: 0,5 Denne feilen kan skyldes at misoppfatningen at et tall med bare tideler vist er større enn at tall der hundredeler eller tusendeler vist siden en tidel er større enn både en hundredel og en tusendel. K: Vil du forklare hvorfor du mener dette tallet er størst? Vi kan også undersøke nærmere: K: Hva med disse tallene her, er ett av dem størst, er noen av dem kanskje like store? 0, 30 0, 3 0,300 Oppgave 4 b. Desimaltall på tallinja I denne oppgaven med desimaltall ser vi på elevens tolkning av desimaltall på ei tallinje der alle tidelsstrekene er markert. K: Her ser du ei tallinje. Pila fra firkanten peker ned på en bestemt tallverdi. Skriv denne tallverdien inn i ruta! 24

27 Alt. 1 4,6 korrekt svar. Eleven synes å ha en god forståelse av desimaltallsystemet. Men misoppfatningen 4,6 betyr 4 av de store og 6 av de små K: Vil du forklare hvorfor du mener dette er det riktige tallet? kan likevel være til stede. Det er dermed en mulighet for at eleven finner det korrekte svaret bare ved å telle antall småstreker forbi 4-tallet uten å reflektere over at dette er tideler. Alt. 2 4,5 eller 5,4 eller andre svar, eller ikke noe svar Svaret 4,5 tyder på at eleven gjetter et tall basert på tallsymbolene 4 og 5 som vises. Det kan også skyldes manglende konsentrasjon. Svaret 5,4 kan tyde på at eleven teller streker fra 5 og mot venstre. Andre feilsvar kan skyldes manglende konsentrasjon, slurv eller gjetting. K (Pek på streken ved 4,5): Hvilken verdi har vi her? Dersom eleven er usikker, kan vi spørre hvor 4,0 er, eventuelt starte fra streken ved 4,0, spørre og gå en og en strek mot høyre. Hvis dette blir for vanskelig: Hopp over oppgave 4 c. Oppgave 4 c. Desimaltall på tallinja Her ser vi nærmere på elevens tolkning av desimaltall på ei tallinje. Denne oppgaven krever en dypere forståelse enn oppgave b. Her er ikke alle tidelsstrekene vist. T: Her ser du ei tallinje. Pila fra firkanten peker ned på en bestemt tallverdi. Skriv denne tallverdien inn i ruta! Alt. 1 5,4, korrekt svar. Her er det sannsynlig at eleven har en god oppfatning av desimaltallsystemet, forståelsen av at hvert heltall er delt i ti. Det er likevel nyttig å høre elevens forklaring. K: Vil du forklare hvorfor dette blir svaret? og eventuelt: K: noen elever mener dette blir 5,2. Hvordan tror du de tenker? 25

28 Alt. 2 5,2 Eleven synes å misoppfatningen 5,2 betyr 5 av de store og 2 av de små. Det er sannsynlig at eleven finner det korrekte svaret ved å telle antall småstreker forbi 5- tallet uten å reflektere over at dette er tideler. K: Hvis dette er 5,2, kan du peke på hvor disse tallene (Ta ett av gangen!) 5,3, 5,4, 5,5, 5,6 og 5,7 er? K kan også spørre eleven om hvor mange slike en-desimaltall (eller delstreker) det er mellom 5,0 og 6,0. Dersom eleven kommer fram til at det er inndeling i 10, kan han/ hun få prøve å tegne inn manglende streker i en figur (se vedlagt figur neste side) La eleven først markere den streken vi har spurt etter, ved en pil eller ved å farge streken el.l. Deretter får eleven prøve å dele inn så det blir 10 i stedet for 5 mellomrom mellom tallene 5 og 6. Her må kanskje K hjelpe i gang. Så kan K spørre: Ser du nå hva tallverdien blir? Hvis dette er vanskelig, kan en også prøve med ei tallinje uten streker mellom heltallene. 26

29 Oppgave 5. Brøkbegrepet KOMPETANSEMÅL etter 4. og 7. trinn: Mål for opplæringen er at eleven skal kunne beskrive plassverdisystemet for de hele tallene, bruke positive og negative hele tall, enkle brøker og desimaltall i praktiske sammenhenger, og uttrykke tallstørrelser på varierte måter beskrive plassverdisystemet for desimaltall, regne med positive og negative hele tall, desimaltall, brøker og prosent, og plassere dem på tallinja Oppgave 5 a. Uttrykke en brøk ved tegning Tegn inn en figur som passer til brøken: Alt. 1 Korrekt svar, for eksempel som denne figuren: Eleven kan godt ha en operasjonell forståelse av hva brøken 3/5 er. Eleven bør likevel få forklare hva 3-tallet og 5-tallet i brøkutrykket betyr: At noe er delt i fem deler og at vi har tre av disse fem, eller tilsvarende. Eleven bør også ha en forståelse av at det ikke spiller noen rolle hvordan figuren er inndelt, bare det er i fem like store deler. K: Det er helt riktig. Kan du nå forklare hva 3-tallet og 5-tallet i brøken egentlig betyr? Hvis eleven ikke kan forklare dette, spør: - Hvorfor delte du i akkurat fem deler? - Hvorfor fargela du bare tre av dem? Dersom eleven klarer å forklare, men virker usikker, kan K spørre: Kunne du tegna den riktig på flere måter? Hvis eleven står fast, kan K spørre om en må dele vertikalt ( strek nedover ). 27

30 Alt. 2 Eleven deler i åtte (omtrent) like store ruter, fargelegger tre av dem: Eleven har neppe en forståelse av hva 3/5 uttrykker. Her er det sannsynlig at eleven tenker Jeg har 3, det er 5 igjen i stedet for Jeg har 3 av i alt 5. Eller: K: Det er ikke helt riktig. Hva mener du at 5- tallet i brøken betyr? Det er også naturlig å knytte samtalen til utgangseksemplet med 1/3. Hva betyr 3-tallet og 1-tallet der? Det er tre og de er tre femdeler av de fem andre. Her viser eleven likevel en forståelse av hva 3/5 av noe er. Oppgave 5 b) Uttrykke brøk på tallinja. Oppgave 5b: Sett en pil inn på tallinja der du mener 2 1 er: Alt. 1 Korrekt svar, pil inn til den femte delstreken: Eleven kan godt ha en operasjonell forståelse av hva brøken ½ er. Men det er også mulig at eleven baserer kunnskapen på å huske/ kjenne igjen eller gjetter svaret. Eleven bør få forklare hva 1-tallet og 2-tallet i brøkutrykket betyr i denne sammenhengen: At tallinja fra 0 til 1 er delt i to deler og at pila peker på hvor langt den første delen går. Mange elever vil ha vansker med å uttrykke dette. K: Det er helt riktig. Kan du nå forklare hvorfor en halv blir akkurat der? K kan også følge opp med: Kan du vise på tallinja hvor de to halvdelene er? Hvis eleven ikke kan forklare dette, kan K peke på den fjerde eller sjette delstreken og spørre: - Hvis pila hadde stått her, ville det vært mer eller mindre enn en halv da? Og videre: - Kan du vise de to delene nå? 28

31 Alt. 2 Eleven setter pila inn mot 1,2: Dersom eleven ikke klarte oppgave 5a og heller ikke lykkes med denne, mangler eleven operasjonell forståelse for brøkbegrepet. Dersom eleven svarer riktig på oppgave 5a men likevel merker av 1,2 på tallinja, har han/ hun bare en svært begrenset forståelse av hva brøken ½ uttrykker. Elever som svarer slik blander sannsynligvis sammen begrepsuttrykkene ½ og 1,2. I noen tilfeller kan elever likevel ha en bra forståelse av hva en halv, en tredel og liknende brøker egentlig er, mens problemet er manglende forståelse av det matematiske språket. K: Det er ikke helt riktig. Kan du peke på tallinja og vise hvor 1 hel er? Her kan K eventuelt hjelpe eleven med å finne hvor 1 er dersom dette også er problematisk. K kan så spørre: - Er en halv mer eller mindre enn 1? og - Den pila du har tegnet, peker den på noe som er mer eller mindre enn 1? Hvis eleven fortsatt ikke lykkes, kan K tegne opp ei ny tallinje lik den første. Tegn deretter inn en firkant som viser størrelsen av en hel slik som i figuren under. Her har jeg merket av en hel langs tallinja. Kan du dele den opp så vi får en halv? Og etterpå: Hvor vil du nå plassere pila? Alt. 3 Eleven gir andre svar eller svarer ikke: Dersom eleven ikke klarte oppgave 5a og heller ikke lykkes med denne, mangler eleven operasjonell forståelse for brøkbegrepet. Dersom eleven svarer riktig på oppgave 5a men likevel ikke svarer her eller setter pila mer tilfeldig mot en annen strek, har han/ hun bare en svært begrenset forståelse av hva brøken ½ uttrykker. K: Det er ikke helt riktig. Kan du peke på tallinja og vise hvor 1 hel er? Her kan K eventuelt hjelpe eleven med å finne hvor 1 er dersom dette også er problematisk. K kan så spørre: - Er en halv mer eller mindre enn 1? og - Den pila du har tegnet, peker den på noe som er mer eller mindre enn 1? Fortsetter 29

32 Særlig hvis eleven fikk til oppgave 5a, kan K prøve å knytte en forbindelse til denne problemstillingen slik: K tegner opp ei ny tallinje lik den første. Tegn deretter inn en firkant som viser størrelsen av en hel slik som i figuren under. Her har jeg merket av en hel langs tallinja. Kan du dele den opp så vi får en halv? Og etterpå: Hvor vil du nå plassere pila? Oppgave 5 c. Tolke og uttrykke en brøk formelt ut fra en figur Skriv brøken som passer til figuren: Alt. 1 Korrekt svar: 3/4 Eleven kan godt ha en operasjonell forståelse av hva brøken 3/4 er. Men det er også mulig at eleven baserer kunnskapen på å huske/ kjenne igjen eller gjetter svaret. Eleven bør få forklare hva 3-tallet og 4-tallet i brøkutrykket betyr: At noe er delt i fire deler og at vi har tre av disse fire, eller tilsvarende. Eleven bør også ha en forståelse av at det ikke spiller noen rolle hvordan rektangelet er inndelt, bare det er i fire like store deler. K: Det er helt riktig. Hvis eleven har gitt gode forklaringer på oppgave a, trenger ikke K å stille spørsmålene under. Dersom eleven var usikker og trengte mye hjelp i oppgave a, kan K likevel spørre for å se hva eleven forsto: Kan du nå forklare hva 3-tallet og 4-tallet i brøken egentlig betyr? Dersom eleven klarer å forklare, kan K spørre: Kunne 3/4 tegna den riktig på flere måter? Hvis eleven står fast, kan T spørre om en må dele vertikalt ( streker nedover ). 30

33 Alt. 2 Feil svar: 1/3 eller 3/1 Eleven har ikke en forståelse av hva en brøk uttrykker. Her er det sannsynlig at eleven tenker Jeg har 3, det er 1 igjen i stedet for Jeg har 3 av i alt 4. K: Det er ikke helt riktig. Hva mener du at 3- tallet i brøken din betyr? Det er også naturlig å knytte samtalen til utgangseksemplet med 1/3. Begge deler kan jo ikke være riktig: - Hva betyr 3-tallet og 1-tallet her i eksempelet? - Hvordan blir vår brøk da? Oppgave 5 d) Addisjon med ensbenevnte brøker Nå skal du få legge sammen to brøker: Alt. 1 Korrekt svar, 5 4 : Eleven kan her godt ha en operasjonell forståelse av brøkaddisjon eller det kan tenkes at forståelsen er mer instrumentell, basert på å huske regler. Det er interessant å finne ut dette, og en bør derfor spørre eleven nærmere om tenkemåten selv om svaret er riktig. K: Svaret ditt er helt riktig. Kan du forklare hvordan du fant fram til det? Hvis dette blir vanskelig for eleven, kan en forsøke å støtte med spørsmål som for eksempel: - Kan du tegne opp regnestykket? - Kan du forklare hvorfor 5-tallet ikke forandrer seg? 31

34 Alt. 2 Ulike typer feilsvar som: 10 4, 15 5, 8 6, 20: Fortsatt legger en del undervisning vekt på å lære regler snarere enn å forstå. Dette fører ofte til at eleven må klare å huske reglene for å klare å løse oppgavene. Med mange regler å huske på, blir det fort forvirring! Feilsvarene over kan ha slike årsaker. Brukt systematisk kan vi her snakke om misoppfatninger. - Teller med teller og nevner med nevner, overført fra multiplikasjon til addisjon gir 4/ Kryssmultiplikasjon som ved divisjon gir 5/ Denne utvidet til kryssaddisjon gir 6/ 8. - Kryssaddisjon der de to summene tilslutt adderes til ett, helt tall, gir 20. Det finnes flere muligheter, og her bør det være mulig å få eleven til å vise hvordan han/ hun gjorde det! En bør i fortsettelsen arbeide grundig for at eleven skal bygge opp forståelse av brøkbegrepet. Uansett svar kan K her spørre: Vil du vise hvordan du regnet ut dette? For å hjelpe eleven til mestring, kan det være lurt å be eleven tegne opp brøkene: La eleven være den aktive som tegner, led ved å spørre! 32

35 Oppgave 6. Plangeometriske former. Trekant, firkant og sirkel KOMPETANSEMÅL etter 2. trinn: Mål for opplæringen er at eleven skal kunne kjenne igjen og beskrive trekk ved enkle to- og tredimensjonale figurer i sammenheng med hjørner, kanter og flater, og sortere og sette navn på figurene etter disse trekkene K: Hva slags former er dette? Skriv en T på de formene som er trekanter, en F på de som er firkanter og en S på de som er sirkler. Alternative svar, oppgave 6: Alt. 1 Eleven svarer korrekt En elev med god begrepsforståelse bør vite: - En trekant har tre rette sider/ kanter/ hjørner. - En firkant har fire av det samme. - Retningene på tre- og firkantene spiller ingen rolle. - En sirkel er slik at avstanden fra sentrum ut til sirkelbuen alltid er den samme. - Alle formene må være lukkede. Tre kanter og en fjerde som mangler er verken tre- eller firkant. K: Kan du forklare hva som skal til for at en figur er en trekant? Firkant? Sirkel? : Noen mulige misoppfatninger Trekanter er figurer med spissen opp. Trekanter er figurer med tre hjørner (sider kan godt være krumme) Alle vinklene er spisse i en trekant Ingen vinkler kan være stumpe i en trekant Firkanter må ha like lange sider og rette vinkler Firkanter må ha rette vinkler En (gjerne den nederste) linje må være vannrett for en trekant/ firkant. En sirkel trenger ikke ha konstant radius, bare den går helt rundt og har en jevn, fin bue. 33