Backgammon i matematikkundervisningen

Transkript

1 Ingrid Elisabeth Børve, Renate Sæbø Backgammon i matematikkundervisningen I matematikkfaget er det en utfordring for lærere at mange elever mangler motivasjon, og uttrykker at faget er kjedelig. Hvordan kan faget gjøre elevene interessert og rustet til å møte de matematiske utfordringene som dagliglivet, videre skolegang og arbeidslivet vil by på? Matematikkundervisningen kjennetegnes gjerne av bøker med tilnærmet likelydende oppgaver som ikke oppfordrer til tenkning og resonering. Hvordan kan elevene både få utvikle forståelse som grunnlag for refleksjon, og i tillegg innøve en rekke regneferdigheter for å kunne frigjøre ressurser til andre oppgaver. Forbedring av matematikkunnskapen hos elevene i dagens skole dreier seg kanskje likevel mest om å øke interessen for faget. De Ingrid Elisabeth Børve, allmennlærerutdanning m/fordypning i matematikk og IKT arbeider nå ved Skjold skole. Renate Sæbø, allmennlærer m/fordypning i matematikk jobber i Caspar Forlag og er støttepedagog i 1. klasse ved Steinerskolen på Paradis og vikar i Tryllefløyten barnehage. renatesa@frisurf.no ovennevnte tankene, og erfaringer vi gjorde i forbindelse med at vi arrangerte en matematikkuke for 80 elever ved en grunnskole i Bergen, ble utgangspunktet for våre prosjektoppgaver i matematikk. Vi valgte å se på emnet sannsynlighet fordi dette var et område som vi selv fant det vanskelig å få et eierforhold til. Dette er også matematisk emne hvor spill og lek kan inngå som en hensiktsmessig del av undervisningen. Vi ville se hva vår matematiske utvikling gav av muligheter for økt didaktisk innsikt, og på hvordan vi kunne overføre vår læring til klasserommet. Vi så i tillegg muligheten til å knytte matematikkfaget til noe som vi av erfaring visste interesserte mange elever. Spill i undervisningen De aller fleste spill har innslag av matematisk art. Det kan være logiske resonnementer, poengberegning, jakt på strategi eller lignende. Dette kan og bør utnyttes i matematikkundervisningen. I et fag der man strever med å motivere elevene, kan spill av ulike slag være en måte å vekke interessen på. Spill er en aktivitet som krever at elevene involverer seg i hvert fall hvis de ønsker å vinne. Spill kan ha ulike funksjoner i matematikkundervisningen. tangenten 1/

2 46 Regler for spillet Backgammon er et spill for to spillere. Hver spiller har 15 brikker, og brettet består av 24 triangulære punkt i annenhver farge. Punktene er delt inn i fire kvadrater bestående av seks triangler hver. Kvadratene kalles en spillers hjemmebrett og ytre brett. Hjemmebrettene og ytterbrettene er skilt av en bar. Punktene har hvert sitt nummer fra 1 til 24. Brikkene har en fast startposisjon og må flyttes mot deres indre. Spillerne flytter i motsatt retning hvit fra punkt 24 til 1, og svart fra 1 til 24. Når en spiller har fått alle brikkene sine i motstanderens hjem, kan han flytte de ut ved hjelp av terningen. En doblingsterning, med tallene 2, 4, 8, 16 og 64, kan endre innsatsen på spillet. Startoppstilling: To brikker på motspillerens 24. punkt, fem brikker på det 13. punktet, tre på det 8. punktet og fem på det 6. punktet. For å sette i gang, kaster spillerne en terning, og spilleren som får flest øyne på sin terning, starter spillet med det sammenlagte resultatet. Trekkene: Spillerne kaster to terninger og flytter brikkene i henhold til terningresultatet i korrekt retning. Man kan velge mellom å flytte en eller to brikker, dersom man kaster 6 + 2, kan man flytte en brikke 2 punkt, og den andre 6 punkt, eller man kan flytte en brikke 8 punkt. Dersom man får to like, firedobles antall øyne på en terning, man kan altså flytte fire brikker dersom dette er mulig. Stengte punkt: Et stengt punkt er et punkt som er opptatt av to eller flere av motspillerens brikker. Du kan med andre ord ikke lande på et slikt punkt, men du kan flytte over det, husk bare på at dette punktet teller som andre. Stengte punkt kan hindre en spiller i å flytte, da er trekket tapt, og turen går over til motspilleren. Av og til må en velge mellom de to terningene, fordi det ene trekket utelukker det andre. Reglene sier da at det er den terningen med høyest antall øyne som skal telle. Treff: Hvis en enkel brikke står på et punkt, og blir truffet av en av motspillerens brikker, blir brikken flyttet ut av spillet, og må settes i spill igjen ved neste anledning. Når en brikke blir slått ut, må den settes i spill igjen ved neste trekk. Den settes i spill igjen på motstanderens hjem på normal måte. Gammon og Backgammon: Hvis du har fått alle brikkene dine av brettet, og motspilleren din ikke har fått ut noen, scorer du en Gammon. Det betyr at du scorer dobbelt. Dersom motspilleren har en brikke slått ut av spillet når du avslutter, scorer du en Backgammon, noe som betyr at du scorer trippelt. 2 Det mest vanlige er gjerne og presentere spill til et emne en har gjennomgått på forhånd, men spill kan også benyttes for å utvikle og introdusere ny matematisk kunnskap. Hvis elevene har en felles referanseramme fra ulike spill, kan læreren bruke dette for å forklare situasjoner både i matematikken og andre fag. På denne måten trekker man spillene inn i faget, og ikke fagene inn i spillet. Backgammon Av de ulike brettspillene som kan brukes i skolen, har Backgammon mange fortrinn. Spillet blir regnet som verdens eldste brettspill, med lang tradisjon i mange kulturer. I tillegg til mange matematiske problemstillinger finner vi symbolikk, historie og muligheten for å fremheve estetiske dimensjoner ved matematikkfaget. Backgammon er et spill med mange variasjoner, men grunnreglene er enkle. 1 Dette gjør at spillet er lett å lære bort, samtidig som det har stort utviklingspotensial i forhold til å lage egne regler, og spille nye varianter. Backgammon krever egne brett og brikker for at man skal kunne spille. Hvis en hel klasse skal 1/2004 tangenten

3 spille Backgammon samtidig, vil det bli dyrt å anskaffe. Dette problemet kan løses ved å lage egne brett. Vi vil her vise utdrag av det arbeidet vi gjorde i forhold til matematikken i spillet. I starten brukte vi mye tid på å vurdere ulike situasjoner som kan oppstå i spillet. Vi prøvde å isolere enkeltsituasjoner som vi mente var greie å utforske. Videre følger to eksempler. To eksempler på matematikk vi fant i spillet 1. Hva er sannsynligheten for å komme inn dersom N plasser er beslaglagt av motstanderen? Trekket du har lyst til å spille gjør at motstanderen vil få mulighet til å slå ut en av brikkene dine det er da interessant å se på sannsynligheten for å få brikken inn igjen i spillet. Den brikken som er slått ut må inn igjen via motstanderens hjemmefelt. I vårt regneeksempel er det to ledige felter av seks mulige på motstanderens hjemmefelt. Sannsynligheten for å lande på ett av de to feltene blir da 2/6 med hver terning. Men dette er sannsynligheten for å kaste det rette antall øyne som gjør at man kommer inn igjen med begge terningene, og det er jo ikke nødvendig! Vil derfor regne på sannsynligheten for å komme ut i det hele tatt. Det er da enklere å først se på sannsynligheten for å ikke komme ut: Bokstaven N står her for antall beslaglagte felt i motstanderen sitt hjemmefelt. 2. Kombinasjoner fra felt 1 til felt 12. I tillegg til å regne på sannsynligheten for å få en brikke inn igjen i spillet, ønsket vi å systematisere antall kombinasjoner som kunne slå ut en brikke i spillet. Vi begynte med å telle hvor mange kombinasjoner med terningene som slå ut en brikke som befant seg ett felt unna. Vi fant 11 kombinasjoner: (med ett overlapp): 3 2 Vi fortsatte å telle kombinasjoner for to felt unna, tre felt unna o.s.v. for å finne et system satte vi kombinasjonene opp i tabeller: 3 2 To felt (6+6-1) Tre felt (6+6-1)+2+1 (4/6) (4/6) = 16/36 = 4/9. Sannsynligheten for å komme ut vil da være 1 (4/9) = 5/9. Dette kan vi uttrykke generelt ved hjelp av formelen 1 (N/6) Fem felt (6+6-1) Seks felt (6+6-1)+5+1 tangenten 1/

4 Vi fant at antallet kombinasjoner som ville slå ut den aktuelle brikken økte jevnt etter hvert som feltene flyttet seg lengre unna. Et unntak var muligheten for å benytte en dobbel 3, dette fant vi ikke et system for. Ved å sette opp tabeller som vist over, kunne vi plotte inn de ulike kombinasjonene, og på denne måten få frem et tydelig mønster som beveger seg i takt med avstanden til motstanderens brikke. Ser vi for eksempel på situasjonen hvor motstanderbrikken ligger tre felt fra den som skal slås ut, kan alle kombinasjoner som inneholder tre, og som gir tre slå ut brikken. I tabellen ser vi at alle kombinasjoner med tre blir den avmerkede horisontale og den avmerkede vannrette rekken, mens alle kombinasjoner som gir tre blir diagonalen. I tillegg kan dobbel-en benyttes. Følger vi tallene oppover, ser vi at krysset og diagonalen beveger seg systematisk oppover mot høyre av skjemaet. Det som varierer er som nevnt om det også kan benyttes en eller flere dobbel-kombinasjoner. Det vi har sett på til nå er antall kombinasjoner som gir én brikke muligheten til å slå ut en annen brikke, som befinner seg inntil seks plasser unna. For å få summen syv eller mer, er vi avhengige av begge terningene. Antall kombinasjoner som kan slå ut brikken, synker derfor. Vi har satt opp en tabell 4 med oversikt over alle kombinasjoner fra 1 20 plasser unna. For å finne sannsynligheten for å bli slått ut tar vi svaret vi kommer frem til i den markerte kolonnen i tabellen, og dividerer det med antall mulige kombinasjoner i alt, som er 6 2 = 36. Tabellen gir en oversikt over antall kombinasjoner som gir et bestemt tall. I en spillsituasjon vil ikke alle kombinasjonene kunne benyttes, fordi et eller flere av feltene kan være opptatt av motstander. Da må disse trekkes fra. 48 Spillet som utgangspunkt for tverrfaglig arbeid I arbeidet med Backgammonspillet, så vi muligheten dette hadde som utgangspunkt for et tverrfaglig arbeid. Vi vil kort skissere mulighetene i 9. klasse. Den matematiske delen har vi gitt noen eksempler på, og her er det mange muligheter. I tillegg til sannsynlighetsregning, vil elevene trenge ferdigheter innen måling, symmetri og speiling hvis de skal lage sine egne spillebrett. På dette klassetrinnet skal elevene arbeide med geometri i sammenheng med estetikk i for eksempel kunst og håndverk, og i et historisk perspektiv. 5 Det meste vi fant om spillet, instruksjoner og lenker var på engelsk. L97 sier om opplæringen i faget på dette klassetrinnet, at elevene skal lese fagstoff på engelsk. 6 Vi har erfart i vår praksis at matematikk ofte blir en liten del av et tema/prosjektarbeid. Det var derfor viktig for oss å se etter tema hvor matematikk kan være et sentreringsfag. Eksempelet vårt kan overføres til mange ulike spill, og tilpasses de forskjellige klassetrinn. For læreren handler det om å omforme fagkunnskaper til stoff som passer til elevenes forutsetninger og skolens mål. Når forandringens vinder blåser søker mange ly, mens noen bygger vindmøller. (Kinesisk ordtak) 1/2004 tangenten

5 Distanse Mulige kombinasjoner Antall suksesser 1 1-1, 1-2, 1-3, 1-4, 1-5, 1-6, 2-1, 3-1, 4-1, 5-1, 6-1, , 2-2, 2-3, 2-4, 2-5, 2-6, 1-2, 3-2, 4-2, 5-2, 6-2, % , 3-2, 3-3, 3-4, 3-5, 3-6, 1-3, 2-3, 4-3, 5-3, 6-3, 1-2, 2-1, , 4-2, 4-3, 4-4, 4-5, 4-6, 1-4, 2-4, 3-4, 5-4, 6-4, 1-3, 3-1, 2-2, 1-1, 5-1, 5-2, 5-3, 5-4, 5-5, 5-6, 1-5, 2-5, 3-5, 4-5, 6-5, 1-4, 4-1, 2-3, 3-2, 6-1, 6-2, 6-3, 6-4, 6-5, 6-6, 1-6, 2-6, 3-6, 4-6, 5-6, 1-5, 5-1, 2-4, 4-2, 3-3, , 6-1, 2-5, 5-2, 3-4, , 6-2, 3-5, 5-3, 4-4, , 6-3, 4-5, 5-4, , 6-4, , , 4-4, Ingen mulige kombinasjoner Ingen mulige kombinasjoner Ingen mulige kombinasjoner Ingen mulige kombinasjoner Noter 1 Det finnes både bøker og nettsteder hvor man kan finne spilleregler, historikk og tips om Backgammon. På finnes det også spillesteder beregnet for barn. Av litteratur kan vi anbefale boken Begin Backgammon, J du C Vere Molyneux. 2 rules.html 3 Hvis man får samme antall øyne på begge terningene kalles dette en dobbel. Da får man flytte fire ganger det antall øyne som en terning viser. Dobbel fem gir følgende fem muligheter: flytte en brikke 20 plasser, flytte fire brikker 5 plasser, flytte to brikker 10 plasser, flytte en brikke 10 plasser og to andre 5 plasser eller flytte en brikke 5 plasser og tre andre 15 plasser. 4 Hentet fra Molyneux, J du C Vere, Begin Backgammon, s Læreplanverket L97, s Læreplanverket L97, s. 231 tangenten 1/