UNIVERSITETET I OSLO. Oppgaver med Løsningsforslag

Størrelse: px

Begynne med side:

Download "UNIVERSITETET I OSLO. Oppgaver med Løsningsforslag"

Paul Enoksen
7 år siden
Visninger:

1 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MoD 190 Prøveeksamen Numeriske beregninger Eksamensdag: Mai 2002 Tid for eksamen: Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: 1 Tillatte hjelpemidler: Ingen Kontroller at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare spørsmålene. Alle 8 delspørsmål vektlegges likt. Oppgaver med Løsningsforslag Oppgave 1 Diverse Matlab-oppgaver 1a Bruk rand funksjonen (se vedlegg) til å finne et Monte-Carlo estimat for volumet av {(x 1,x 2,x 3,x 4 ):x 2 1 +x2 2 +x2 3 +x2 4 1}, enhetskulen i IR 4. Her er en løsning basert på en modifikasjon av scriptet Darts. Script File: FourDV Estimates volume of 4D-unit sphere using random numbers. close all rand( seed, ) NumberInside = 0; VEstimate = zeros(500,1); for k=1:500 x = -1+2*rand(100,1); y = -1+2*rand(100,1); z = -1+2*rand(100,1); w = -1+2*rand(100,1); NumberInside = NumberInside + sum(x.^2 + y.^2 +z.^2+w.^2<= 1); VEstimate(k) = (NumberInside/(k*100))*16; (Fortsettes på side 2.)

2 Eksamen i MoD 190 Prøveeksamen, Mai 2002 Side 2 plot(vestimate) title(sprintf( Monte Carlo Estimate of 4D-unit sphere = 5.3f,VEstimate(500))); xlabel( Hundreds of Trials ) disp(sprintf( Exact value = 7.5f,pi^2/2)) 1b Istedenfor å uttrykke polynominterpolanten ved hjelp av basisfunksjonene 1,x,...,x n kan vi bruke den alternative representasjonen p n 1 (x) = n k=1 ( ) k 1 x u a k. v Her er u og v skalarer som translaterer og skalerer x-området. Generaliser InterpV (se vedlegg) slik at den kan kalles med enten to, tre eller fire argumenter. I et kall på formen a=interpv(x,y) antar vi at u =0og v =1. I et kall på formen a=interpv(x,y,u) antar vi at v =1og at u inneholder translasjonsfaktoren. I et kall på formen a=interpv(x,y,u,v) antar vi at u og v inneholder henholdsvis translasjons- og skalerings faktoren. function a = InterpV(x,y,u,v) a = InverpV(x,y,u,v) This computes the Vandermonde polynomial interpolant where x is a column n-vector with distinct components and y is a column n-vector. a is a column n-vector with the property that if p(x) = a(1) + a(2)(x-u)/v +... a(n)((x-u)/v)^(n-1) then p(x(i)) = y(i), i=1:n InterpV can be called with two, three or four arguments. With three arguments it is assumed that v=1, while in addition u=0 if only two arguments are used. n = length(x); V = ones(n,n); if nargin==2 z=x; elseif nargin==3 z=x-u; else z=(x-u)/v; (Fortsettes på side 3.)

3 Eksamen i MoD 190 Prøveeksamen, Mai 2002 Side 3 for j=2:n Set up column j. V(:,j) = z.*v(:,j-1); a = V\y; 1c Anta at funksjonen f er tilgjengelig via en M-fil og definer φ(z) = z z f(x)dx. Bruk Matlabfunksjonen quad(fname,a,b) (se vedlegg) til å generere en array phivals(i) som inneholder φ(t i,t)=linspace(0,1,100). Vi sparer en del beregninger ved å akkumulere integralene. Script file phival Generates an array of integrals of the form \int_{-t(i)}^{t(i)} f(x)dx where t=linspace(0,1,100); t=linspace(0,1,100); phivals=zeros(1,100); phivals(2)=quad( f,-t(2),t(2)); for i=3:100 phivals(i)=phivals(i-1)+quad( f,-t(i),-t(i-1))+quad( f,t(i-1),t(i)); ; 1d La f = f(x, y) være en kontinuerlig funksjon av to variable. La L være linjesegmentet som forbinder de gitte punktene (a, b) og (c, d). Lag en M-fil som bruker fzero (se vedlegg) til å beregne et punkt (x,y ) på L slik at f(x,y )=(f(a, b)+f(c, d))/2. Langs L har vi y = b + d b (x a). Vi må løse ligningen g(x) =0hvor c a g(x) =f(x, b + d b (x a)) (f(a, b)+f(c, d))/2. Siden c a g(a)=f(a, b) (f(a, b)+f(c, d))/2 = (f(c, d) (f(a, b)+f(c, d))/2) = g(c) har ligningen g(x) =0en løsning x [a, c]. (Fortsettes på side 4.)

4 Eksamen i MoD 190 Prøveeksamen, Mai 2002 Side 4 function [x,y]=lzero(a,b,c,d) Gitt en funksjon $f=f(x,y)$. Programmet beregner et punkt (x,y) p\aa\ en linje L gjennom (a,b) (c,d) slik at f(x,y)=(f(a,b)+f(c,d))/2. Programmet bruker Matlabrutinen fzero. x=fzero( g,[a c],[],a,b,c,d); y=b+(d-b)*(x-a)/(c-a); function f2=f(x,y) f2=x.^2+y.^3; function gx=g(x,a,b,c,d) gx=f(x,b+(d-b)*(x-a)/(c-a))-(f(a,b)+f(c,d))/2; Oppgave 2 En kvadratisk minimeringsmetode Gitt en kontinuerlig og unimodal funksjon f : IR IR.Vi skal i denne oppgaven utlede en algoritme for å finne minimumspunktet z slik at f(z) f(x) for alle x. Lap 2 være polynomet av grad 2 slik at p 2 (x k )=f(x k ) for k =0,1,2. Newtonformen til p 2 med interpolasjonspunktene i rekkefølge x 2,x 1,x 0 er gitt ved p 2 (x) =f[x 2 ]+f[x 1,x 2 ](x x 2 )+f[x 0,x 1,x 2 ](x x 2 )(x x 1 ), hvor f []betegner dividerte differenser, f.eks f[x 0,x 1,x 2 ]= f(x 2 ) f(x 1 ) x 2 x 1 f(x 1) f(x 0 ) x 1 x 0 x 2 x 0. 2a La x 3 = 1 2 (x 1 + x 2 ) 1 f[x 1,x 2 ] 2 f[x 0,x 1,x 2 ]. (1) Vis under en passelig betingelse at x 3 er et minimumspunkt for p 2. Vi finner p 2 (x) =f[x 1,x 2 ]+f[x 0,x 1,x 2 ](2x x 1 x 2 ) og vi ser at p 2 (x 3 )=0.x 3 er et minimumspunkt dersom p (x 3 ) > 0. Vihar p 2(x 3 )=2f[x 0,x 1,x 2 ]= f(x 2 ) f(x 1 ) x 2 x 1 f(x 1) f(x 0 ) x 1 x 0 x 2 x 0 (Fortsettes på side 5.)

5 Eksamen i MoD 190 Prøveeksamen, Mai 2002 Side 5 og ved middelverdisetningen er p 2 (x 3)= f (ξ 1 ) f (ξ 0 ). x 2 x 0 Dersom x 0 <x 1 <x 2 er ξ 1 >ξ 0 og vi ser at p 2(x 3 ) > 0 dersom f er strengt vokse, som er oppfylt når f (x 3 ) > 0. Mao, hvis f er konveks er x 3 et minimumspunkt. 2b Ut fra (1) kan vi definere følge iterasjonsprosess for å finne z: for k =2:n 1 x k+1 = 1 2 (x k 1 + x k ) 1 2 f[x k 1,x k ] f[x k 2,x k 1,x k ] Anta at funksjonen f er tilgjengelig via en M-fil. Lag en M- fil zt=minmin(fname,x0,x1,x2,n) som til gitte x 0,x 1,x 2 genererer x 3,x 4,...,x n og returnerer zt = x n. Programmet skal kun kalle f en gang for hver k. Du kan anta at x 0,x 1,...,x n alle er distinkte og at f[x k 2,x k 1,x k ] 0 for alle k. function zt=minmin(fname,x0,x1,x2,n) f1=feval(fname,x1) f01=(f1-feval(fname,x0))/(x1-x0) for k=2:n-1 f2=feval(fname,x2); f12=(f2-f1)/(x2-x1); f012=(f12-f01)/(x2-x0); x3=(x1+x2)/2-f12/(2*f012); x0=x1; x1=x2; x2=x3; f1=f2; f01=f12; zt=x2; 2c Algoritmen bryter sammen dersom f[x k 2,x k 1,x k ] = 0 for en k. Gien geometrisk tolkning av dette. Vi har f[x 0,x 1,x 2 ]=0hvis og bare hvis f(x 2 ) f(x 1 ) x 2 x 1 = f(x 1) f(x 0 ) x 1 x 0 som er ekvivalent med at de tre punktene (x 0,f(x 0 )), (x 1,f(x 1 )) og (x 2,f(x 2 )) ligger på en rett linje. (Fortsettes på side 6.)

6 Eksamen i MoD 190 Prøveeksamen, Mai 2002 Side 6 2d Forklar hvorfor vi ikke kan ha f[x k 2,x k 1,x k ]=0for en k dersom f har kontinuerlig 2. derivert og f (x) > 0 for alle x. Fra 2c har vi at f[x k 2,x k 1,x k ] = 0 hvis og bare hvis de tre punktene (x 0,f(x 0 )), (x 1,f(x 1 )) og (x 2,f(x 2 )) ligger på en rett linje. I følge middelverdisetningen er da f (ξ 0 ) = f (ξ 1 ) for ξ 0 ξ 1.Menutifra middelverdisetningen på f er da f (ξ) =0for en ξ, en motsigelse. (Fortsettes på side 7.)

7 Eksamen i MoD 190 Prøveeksamen, Mai 2002 Side 7 Matlab-vedlegg RAND Uniformly distributed random numbers. RAND(N) is an N-by-N matrix with random entries, chosen from a uniform distribution on the interval (0.0,1.0). RAND(M,N) and RAND([M,N]) are M-by-N matrices with random entries. RAND(M,N,P,...) or RAND([M,N,P,...]) generate random arrays. RAND with no arguments is a scalar whose value changes each time it is referenced. function a = InterpV(x,y) a = InverpV(x,y) This computes the Vandermonde polynomial interpolant where x is a column n-vector with distinct components and y is a column n-vector. a is a column n-vector with the property that if p(x) = a(1) + a(2)x +... a(n)x^(n-1) then p(x(i)) = y(i), i=1:n n = length(x); V = ones(n,n); for j=2:n Set up column j. V(:,j) = x.*v(:,j-1); a = V\y; QUAD Numerically evaluate integral, adaptive Simpson quadrature. Q = QUAD(FUN,A,B) tries to approximate the integral of function FUN from A to B to within an error of 1.e-6 using recursive adaptive Simpson quadrature. The function Y = FUN(X) should accept a vector argument X and return a vector result Y, the integrand evaluated at each element of X. FZERO Scalar nonlinear zero finding. X = FZERO(FUN,X0) tries to find a zero of the function FUN near X0. FUN accepts real scalar input X and returns a real scalar function value F evaluated at X. The value X returned by FZERO is near a point where FUN changes sign (if FUN is continuous), or NaN if the search fails. X = FZERO(FUN,X0), where X is a vector of length 2, assumes X0 is an interval where the sign of FUN(X0(1)) differs from the sign of FUN(X0(2)). An error occurs if this is not true. Calling FZERO with an interval guarantees FZERO will return a value near a point where FUN changes sign.

Like dokumenter

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 14 juni 2004 Tid for eksamen: 9.00 12.00 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: INF-MAT2350