Vi starter med Kopernikus beskrivelse av det heliosentriske system. Tycho Brahes observasjoner av planetenes bevegelser var mye mer nøyaktig enn de

Transkript

1 Vi starter med Kopernikus beskrivelse av det heliosentriske system. Tycho Brahes observasjoner av planetenes bevegelser var mye mer nøyaktig enn de man gjorde i oldtiden og nødvendige for Keplers innsats som førte til hans tre lover for planetbevegelser. Deretter beskriver vi de første observasjoner med teleskoper som ble ble gjort av Galileo Galilei på begynnelsen av 1600 tallet, og betydningen av disse for gjennombruddet av det nye verdensbildet hvor jorda ikke lenger er i sentrum av universet. Isaac Newton og hans bevegelseslover og tyngdelov innfører moderne mekanikk i astronomien, og er et avgjørende steg mot astronomi som en moderne fysisk vitenskap. Vi ser derfor på noen av tyngdelovens konsekvenser innen astronomi. Særlig viktig er Newtons generalisering av Keplers 3. lov, som danner grunnlaget for alle bestemmelser av massen til stjerner. Newton viderefører Galileis fysikk, utvider dens begreper og anvender resultatene på astronomiske temaer. 1

2 Det var ikke én revolusjon som foregikk, men to revolusjoner. Oppbruddet fra synet på sirkelen som den fullkomne bane for himmellegemer var like vanskelig, ja kanskje vanskeligere for tanken, enn overgangen fra et univers med jorda i sentrum til ett med sola i sentrum, eller kanskje uten noe sentrum i det hele tatt. Aristarkhos benyttet bare sirkelbevegelser hvor planetene gikk med jevn hastighet sentrert i sola. Det viste seg da at det raskt oppsto avvik mellom observerte og beregnede planetposisjoner. En annen og avgjørende grunn til å forkaste Aristarkhos system var at det ikke var observert at stjerner hadde parallakse. Dette ser vi på i neste slide. 2

3 Aristarkhos teori, og alle heliosentriske teorier, forutsier at stjerner skal ha parallakse. Parallakse innebærer at retningen til en gjenstand endrer seg når observatøren skifter posisjon, flytter på seg. Dette betyr at når jorda går i bane rundt sola så vil posisjonen til en stjerne som er nær oss endres i forhold til mye fjernere stjerner i bakgrunnen, slik figuren viser. Størst forandring får vi når vi betrakter stjernen fra ytterpunkter i jordbanen, altså med et halvt års mellomrom. Hvis alle stjerner har samme avstand fra jorda, som når de sitter på en himmelkule, blir situasjonen en annen. Vi får likevel en parallakseeffekt med en endring av vinklene mellom alle stjernene i løpet av året. Stjerners parallakse ble først observert i 1838, da tre astronomer, Henderson, Struve og Bessel, uavhengig av hverandre målte parallaksene til tre stjerner som ligger forholdsvis nær oss, henholdsvis Alfa Centauri, Vega og 61 Cygni. Grunnen til at disse observasjonene kom så sent er at vinkelendringene som må måles, er så små. De er godt under ett buesekund eller mer enn en faktor 100 mindre enn vi kan skjelne uten teleskoper. At fiksstjernehimmelen eller stjernesfæren, skulle være så langt unna at parallakse ikke var merkbar, anså oldtidsastronomene som meget usannsynlig. Aristarkhos teori vant derfor ingen tilhengere. Verken Arkimedes, Apollonios, Hipparkhos eller Ptolemaios godtok den. Den ble likevel ikke glemt, men var omtalt og kjent, selv om den ble avvist. Kanskje har elegansen i teorien fascinert dyktige astronomer og filosofer også i oldtiden. 3

4 Selv om Aristarkhos var tidligst ute, er det likevel riktig å tilskrive Kopernikus æren for først å ha framsatt en moderne modell for solsystemet med sola i sentrum. Her ser vi også hans verdensmodell fra en figur i boken hans til høyre. Kopernikus var polsk, født i Torn, og han studerte i Polen og Italia. Han var teolog og tjente den katolske kirken i Polen. For kirken var astronomi et nyttig emne. Men Kirken var ikke tilhenger av det heliosentriske system. Dette kan ha vært grunnen til at Kopernikus ikke publiserte sitt arbeid, De Revolutionibus, før mot slutten av sitt liv slik at det først kom ut etter hans død. Han sirkulerte imidlertid et håndskrevet notat med sine idéer alt i 1511, så hans synspunkter var nok vel kjent av mange. På Kopernikus tid var problemene med det ptolemeiske system åpenbare. Selv om systemet kunne fastlegge framtidige posisjoner for planetene, så sviktet det merkbart dersom en forsøkte å strekke forutsigelsene ut over lange tidsrom. Systemet måtte "nullstilles" med visse mellomrom slik at det svarte til observasjonene. Dette kan aksepteres dersom man bare skal ha et system til rent praktiske formål. Men ønsker man et system med forklaringskraft, er det lite tilfredsstillende. 4

5 Himmellegemenes bevegelser i et heliosentrisk system. Det heliosentrisk verdensbildet forklarer solas bevegelse mellom stjernene som en projeksjonseffekt av jordas bevegelse (øverst til venstre). Denne forklaringen er enklere enn den som gis i det geosentriske systemet. Retrograd bevegelse kommer som en naturlig konsekvens av at jorda tar igjen en ytre planet og passerer den. Jorda har større fart i sin indre bane. Kravet om at den retrograde del av banen skal falle sammen med at planeten er i opposisjon til sola kommer også ut som en naturlig konsekvens av teorien uten ekstra føringer (se figur til høyre). At Merkur og Venus alltid står nær sola kommer av at de ligger innenfor jorda i solsystemet, slik vi ser i figuren. Den vinkelavstand fra sola for disse planetene er da gitt ved vinkelen mellom en tangerende linje fra jorda til planetbanen og linjen fra jorda til sola. Igjen er en viktig betingelse oppfylt som en enkel og nødvendig konsekvens av modellen (nederst til venstre). 5

6 Her illustreres forløpet for Venus faser i den ptolemeiske modell og i Kopernikus solsentrerte modell. Galileis observasjoner viste faser som i den kopernikanske modellen. I en ptolemeisk modell viser Venus bare fasene ny og økende og minkende sigdfase. I Kopernikus modell er Venus i fase ny når den står nærmest jorda og snur den ubelyste, mørke sida mot oss, Deretter går den gjennom alle faser mot full i øvre konjunksjon og går så tilbake til nyfase igjen. Observasjonene til Galilei motbeviste det ptolemeiske system, men de motbeviser ikke alle tenkelige geosentriske systemer, som for eksempel systemet til Tycho Brahe, se slide 9. 6

7 Dette er en skisse av Kopernikus system. Kopernikus behøvde også epicykler for å forklare at planetene gikk med ujevn fart i banen, men ikke for å forklare retrograd bevegelse. Selv om systemet synes komplisert,er det likevel konseptuelt mye enklere enn et geosentrisk system. Kopernikus beholdt desentrerte deferenter, men han forkastet ekvanten. Dette kom av at han tok sterkt avstand fra ujevne bevegelser og var tilsvarende sterk tilhenger av et system med jevne sirkulære bevegelser. I så måte var han en sterkere tilhenger av Aristoteles enn Ptolemaios 7

8 De to første punktene overbeviste Kepler og Galilei og etter hvert alle andre vitenskapsmenn om at det kopernikanske systemet var korrekt. Det var estetisk vakkert som idé og verdensbilde. Men det var ikke bedre i betydningen mer nøyaktig enn det ptolemeiske systemet. Det ptolemeiske system kan naturligvis forbedres. Ved å innføre flere epicykler kan det gjøres så nøyaktig som en trenger å ha det, bortsett fra spørsmålet om parallaksen. Men systemet er i en viss forstand sterilt. Det har ikke de utviklingsmuligheter som kreves av en god teori. 8

9 Ikke alle var overbevist av Kopernikus teori. Tycho Brahe var en av tvilerne. Strengt sett er det ikke rasjonelt å godta teorien uten skikkelig bevis. Og Tycho var nok en rasjonell og skeptisk vitenskapsmann. Han var også den største observasjonelle astronom i sin tid (kanskje tidenes største), og han innså trolig at den ptolemeiske varianten av det geosentriske system hadde problemer. Tycho aksepterte argumentene for en jord i sentrum av universet, men han følte seg ikke bundet av at alle himmellegemene skulle gå i bane rundt jorda.. Figuren til høyre viser Tycho Brahes geosentriske verdenssystem. Jorda er i sentrum, månen og sola går i bane rundt jorda og alle de andre planetene går i bane rundt sola. Himmelkula ytterst har sitt sentrum i jorda. Egentlig er geometrien i Tychos system identisk med systemet til Kopernikus bortsett fra definisjonen av hva som er i ro. Den eneste måten å skille de to systemene er gjennom en eventuell observasjon av parallakse, og Tycho, som var en glimrende observatør og hadde bygd opp sin tids beste observatorium, observerte ingen parallakser for stjernene. Merk også kometen i Tychos skisse. Tycho visste fra observasjoner at kometer kunne befinne seg nærmere jorda enn sola, 9

10 Hans observatorium og virksomhet har interesse i en videre sammenheng. Det var Tycho Brahes observasjoner som Kepler bygget på, da han fant at planetene gikk i elliptiske baner. Tycho, som var dansk adelsmann, hadde bygget opp et observatorium på øya Ven, som han hadde fått i len av sin beskytter, Kong Fredrik II, i Han hadde også inntektene av det norske distriktet Nordfjord, så vi norske har en andel i hans arbeider. Med inntektene bygget han et slott og et observatorium, på Ven, hvor han satte opp sikteinstrumenter i stor skala. Figuren til venstre viser slottet Stjerneborg selve observatoriet. Til høyre ses et av instrumentene, en stor kvadrant. Med disse instrumentene gjorde Brahe i de neste 20 år grundige observasjoner av posisjonene til stjerner og planeter, især planeten Mars. Men etter at Christian IV ble konge mistet Tycho kongelig gunst og dro frivillig i eksil i Den tysk romerske keiser Rudolf II tok imot ham og gav ham et slott nær Praha, men han bodde for det meste i byen. I året 1600 ansatte han Johannes Kepler som assistent, men døde så allerede neste år, i Tycho Brahe gjorde så nøyaktige observasjoner som det er mulig å gjøre med sikteinstrumenter og det blotte øye. Han anga også usikkerheter for sine målinger. Dette var høyst usedvanlig den gang. De fleste som målte oppgav ingen anslag av unøyaktigheten i målingen. Med sine metoder kunne Tycho Brahe måle posisjonene til stjerner og planeter med en nøyaktighet på ett bueminutt. Brahe gjorde også andre observasjoner. I 1572 beskrev han en Ny Stjerne, Stella Nova. Det var en supernova som eksploderte i stjernebildet Cassiopeia, og som har fått navn etter ham. Han observerte også en stor komet i 1578 og var klar over at den var et himmellegeme som befant seg inne i solsystemet. Disse observasjonene må ha gjort Tycho skeptisk og han ble aldri en ortodoks geosentriker. 10

11 Kepler var protestant, og det var det verken lett eller trygt å være i det katolske keiserriket. Han hadde en stilling som distriktsmatematiker i provinsen Steiermark i den sydlige, katolske del av Østerrike, men hans posisjon der var usikker. Så han endte opp med å takke ja til Brahes invitasjon om ansettelse. Brahes motiv for å ansette tidens beste matematiker var nok at Kepler skulle bruke Brahes observasjoner til å bevise riktigheten av hans verdensbilde. Om Keplers motiv for å si ja kan vi lese i hans skrifter: "Min mening om Tycho er at han er umåtelig rik, men vet ikke hvordan han skal utnytte sin rikdom. Derfor må man prøve å fravriste ham rikdommen." Med slike synspunkter hos begge parter var det ikke så merkelig at samarbeidet mellom dem, som altså ikke ble langvarig, knirket fra første stund. Kepler skrev også: "Tycho er ikke en mann man kan omgås uten å utsette seg for de forferdeligste fornærmelser." Men selv om stemningen ikke var den beste innså både Tycho Brahe og Johannes Kepler at de ville ha store fordeler av å samarbeide. Kepler fikk i hvert fall fatt i Tychos observasjoner etter hans død. Han skrev i et brev i 1605: "Jeg må tilstå at da Tycho døde, dro jeg raskt fordel av arvingenes mangel på mistenksomhet og tok observasjonene i min varetekt, muligens kan det sies at jeg tilrante meg dem... Etter en prosess med arvingene og fikk han bruksretten til målingen og kom i gang med arbeidet. 11

12 Kepler forsøkte først å tilpasse Mars-observasjonene til forskjellige typer ovale baner, uten å lykkes. Hvordan kunne han vite at han ikke hadde lykkes? Det visste han fordi han stolte på Tychos oppgitte nøyaktighet. Ingen av banene han prøvde, gjenga de observerte posisjonen med den nøyaktigheten Tycho oppgav. Endelig prøvde han ellipsebaner og alt passet! Dette var nok en overvinnelse. Kepler hadde alt i 1597, før han traff Tycho, publisert Mysterium Cosmographicum hvor han antok sirkulære baner på samme måte som Kopernikus. En terskel var at en ellipse hadde to sentra. Med sola plassert i det ene brennpunktet, ble det andre stående tomt. Dette var en vanskelighet for Kepler som ennå var sterkt påvirket av middelalderens tenkemåte. Kepler formulerte en rekke lover om planetene, og tre av dem som har vist seg fundamentale og fruktbare. Disse tre lovene er som følger: 1. Planetene følger baner som er ellipser, med sola stående i det ene brennpunktet. 2.Planetenes hastighet i banen varierer på en slik måte at radius fra sola til planeten sveiper over like store areal i like tidsintervaller. 3. Forholdet mellom planetens middelavstand fra sola, a, i tredje potens og omløpsperioden i banen, P, i andre potens, er det samme for alle planetene. Det kan være greit her å omtale egenskapene til ellipser. Ellipser er en slags flattrykte sirkler. Flattrykningen karakteriseres ved elliptisiteten, e. Hvis e=0 har vi en sirkel, hvis e nærmer seg 1 nærmer ellipsen seg en så flattrykt form at den begynner å se ut som en linje. Det er vanskelig med et raskt blikk å se forskjell på en sirkel og en ellipse med elliptisitet mindre enn 0.2. Planetbanene i solsystemet har elliptisiteter mindre enn 0.2, og vil derfor synes ganske sirkulære. Figuren t.v. viser hvordan vi definerer en ellipse. Ellipser har to brennpunkt som vi benevner med f 1 og f 2. Ellipsens kurve består av alle punkter hvor summen av avstandene r 1 +r 2 er konstant. 12

13 Galileo Galilei var født i Pisa, en by under Firenze. Familien hadde det trangt økonomisk og da faren døde måtte Galilei tidlig forsørge sine søstre samt støtte sin yngre bror økonomisk. Han ble professor i matematikk og fysikk i Padua tidlig i 1590-årene. Padua lå under Venezia, Firenzes rival i Italia på den tiden. Hans ambisjon var imidlertid å vende tilbake til Firenze. Mange mener at Galileis innsats som fysiker er viktigere enn hans innsats som astronom. Hans viktigste resultat er falloven som beskriver hvordan legemer faller i vakuum. Den er som uttrykt ovenfor, og sier at i det første sekund vil en gjenstand falle 4.9 meter, etter to sekunder har den falt 19.6 meter, etter tre sekund 44.1 meter, osv. Dette beviste Galilei ved eksperiment. Han påsto videre at falloven gjelder likt for alle legemer enten de er laget av stein, tre, jern, bly eller gull eller bare er en fuglefjær. Tilsynelatende forskjeller skyldes friksjon, luftmotstand. At samme fallov gjelder for alle legemer peker framover mot Newton, og er i skarp motsetning til Aristoteles fysikk som den gang rådet. Galilei kjente til Kopernikus heliosentriske system og ble overbevist om at det var riktig, men var forsiktig med å forfekte det åpenlyst. Kanskje var han redd for inkvisisjonen som lurte Giordano Bruno til Roma i 1590 og brente ham på kjetterbålet 10 år senere. Bruno ble dømt for sine teologiske oppfatninger, men hadde også hevdet at jorda ikke var sentrum i universet, men en av mange kloder som svevde fritt i et uendelig rom. 13

14 Her ser vi et av Galileis mange teleskoper. Galilei rettet kikkertene sine mot himmelen og hva så han vel ikke!! Han fant fjell og daler på månen i strid med forestillingen om at måneoverflaten skulle være helt jevn og glatt siden månen som himmellegeme burde være en fullkommen kule. Mange flere stjerner var synlig i kikkerten enn man kan se med bare øynene Jupiter har fire store måner Venus viser bestemte faser Sola har flekker såkalte solflekker Alt dette var astronomiske oppdagelser av første rang og gjør Galilei til en av de største astronomer som noen gang har levd. 14

15 Her vises en av Galileis tegninger av månen ved halvmånefase. Legg merke til at linjen mellom lys og skygge på overflaten ikke er en rett linje slik den skulle være for det ideelle, glatte himmellegeme. I stedet er den ruglet og vi ser et flott ringfjell et krater litt nedenfor sentrum. Galilei tolket den ruglete linja som virkningen av at der er fjell og daler på månen og fant fra lengden på skyggene at de høyeste fjellene måtte være opp til 6 km høye. Dette er et riktig svar som bekreftes av moderne observasjoner. 15

16 Den 7. januar 1610 gjorde Galilei den oppdagelsen som kanskje skulle bringe ham mest problemer. Han observerte at Jupiter hadde selskap av noen små følgesvenner. I de påfølgende nettene kunne han se at disse følgesvennene, fire i tallet, fulgte med Jupiter i dens bevegelse over himmelen. Videre sirklet de rundt Jupiter, som planetene rundt sola. Figuren til venstre gjengir en side i Galileis notatbok. Til høyre ser vi et fotografi av Jupiter og de fire månene på rett linje. Oppdagelsen ble gjort i begynnelsen av januar, og observasjonene fortsatte utover i samme måned. Alt i mars kom Siderius Nuncius Stjernebudbringeren ut hvor han beskrev denne og andre oppdagelser. Jupitermånene demonstrerte klart at ikke all bevegelse i himmelrommet er sentrert rundt jorda. I følge Aristoteles skulle Jupiter gå fra slike legemer som månene, noe som altså ikke skjedde. Simon Marius hevdet at han hadde sett månene før Galilei. Kanskje er det riktig, men han skrev ikke noe om det, men holdt det for seg selv. Galilei foreslo å kalle månene de Mediciske måner, til ære for Medici familien som styrte Firenze. Dette var ledd i et forsøk på å få en god stilling der. Dette navnet slo ikke an. De moderne navnene Io, Europa, Ganymede og Callisto ble foreslått av Simon Marius. 16

17 Vi husker at det ptolemeiske og det kopernikanske system forutsa forskjellig forløp av faser for planeten Venus. Med kikkert kunne Galilei se Venus som en liten skive og dermed også de dens faser. Her er hva han så: faser som ikke stemte med det ptolemeiske system, men som stemte med forutsigelsene til Kopernikus (og Tycho Brahe). Observasjonen motbeviser Ptolemaios, men kan ikke bevise et heliosentrisk system. 17

18 Et par år etter at han hadde publisert Siderius Nuncius presenterte Galilei sin observasjon av solflekkene, se figur til venstre. Han hevdet disse mørke flekkene avgjort tilhørte sola. I følge forestillingen om perfekte himmellegemer skulle sola ikke ha skjemmende flekker. Galilei pekte på at flekkene beveget seg over solskiva som om sola roterte rundt en akse. Andre observerte solflekker like tidlig som Galilei, eller tidligere (kanskje Harrison). Den mest grundige var jesuitten Scheiner. I 1630 publiserte han den fabelaktige boken Rosa Ursina. Til høyre ser vi en side fra Rosa Ursina. Fra 20 år med solflekkobservasjoner dokumenterte han her hvordan flekkene fra dag til dag beveget seg over solskiva. Likevel turte ikke Scheiner å hevde at det var flekker på sola han så. Han mente derimot at de befant seg jordas atmosfære! Om flekkene og andre fenomener hadde realitet eller var illusjoner, var nettopp et av de store diskusjonstema rundt Galileis observasjoner. 18

19 Galileis oppdagelser var i åpenbar motsetning til viktige deler av kirkens lære enten den var katolsk eller protestantisk. Han provoserte ikke direkte ved å påstå at Kopernikus modell var den riktige, men i hans bøker, som er skrevet som dialoger - samtaler mellom personer - er det tydelig at tilhengerne av det kopernikanske systemet har de beste argumentene. Galilei hadde gode forbindelser i kirken og ved Medici hoffet i Firenze. Men selv om han til å begynne med var venn av kardinal Barberini, som i 1623 ble pave med navnet Urban VIII, så vendte denne paven seg til slutt mot ham. I 1616 hadde Galilei fått en advarsel fra kirken og et forbud mot å forsvare det kopernikanske system. Etter at Barberini ble pave, tok han imidlertid sjansen på å utgi en bok, Dialog om de to verdenssystemer, der han nok lot det være litt for åpenlyst at han mente de sterkeste argumentene var på den kopernikanske siden. Galilei overvurderte dessverre styrken i sin posisjon hos paven, og han ble trukket for Inkvisisjonen og dømt i Han berget seg ved å avsverge sin lære og det Kopernikanske system, men ble pålagt husarrest. En god historie, som neppe er sann, er at han skal ha sagt: eppur si muove.. og likevel beveger den seg idet han gjorde avsvergelsen. Likevel tenkte han trolig noe sånt. Han hadde publisert sine oppdagelser og regnet nok med at andre ville innse og bekrefte at han hadde rett. Fram til han døde i 1642 arbeidet han med å gi ut boken om sine oppdagelser innen fysikk fra tiden før Dette arbeidet skulle bety aller mest for hans anseelse. Han var inne på mange tanker som Newton senere tok opp, men han maktet ikke, som Newton, å utarbeide en fruktbar syntese av alt han visste. 19

20 Isaac Newton ble født i 1642, samme år som Galilei døde. Han skulle bli bonde på odelsgården Woolsthorpe, men det var klart at dette yrket ikke lå for ham. Hen ble sendt på skole og senere til University of Cambridge, Trinity College. Her tok han sin Bachelor of Arts grad i var det store peståret. Newton drog hjem til Woolsthorpe og i løpet av 18 måneder la han der grunnlaget for sine epokegjørende oppdagelser. Disse omfattet differensial- og integralregningen, som var en matematisk oppfinnelse av første rang. Men viktigere i vår sammenheng var at han formulerte bevegelseslovene og gravitasjonsloven. Imidlertid publiserte han ikke noe av dette før mye senere. I årene som fulgte arbeidet han med optikk og viste at hvitt lys var sammensatt av og kunne splittes opp i alle farger. Newton mente at lyset hadde partikkelnatur og at det ikke var snakk om bølger. Newton kunne forklare sine observasjoner av lysbryting og lysets farger ved hjelp av partikkelteorien. En forestilling om at lys var bølger vant likevel fram og var enerådende fram til begynnelsen av 1900-tallet. Men senere har jo partikkelteorien kommet tilbake gjennom kvantemekanikken som forklaring på strålingens natur. Vi snakker om lyskvant, fotoner. Dette skal vi se på i neste forelesning. Newton var hendig og praktisk. Han konstruerte et speilteleskop, men det første instrument av denne sorten ble bygget av skotten Gregory i Gregory skydde imidlertid klokelig unna diskusjon med Newton om hvem som hadde æren av å være den første som bygget et slikt teleskop. 20

21 Nå går vi over til å se på planetbaner og tyngdekraft. Kraftbegrepet var utviklet før Newton av bl.a. Galilei. I 1673 hadde Christian Huygens beskrevet kraften som trengs for å holde på plass en masse som svinger rundt i en sirkelbane, for eksempel et lodd som svinges rundt i en snor. Denne kraften hadde han vist var lik massen ganger hastigheten, v, kvadrert og dividert med radius i sirkelen, r. Altså K = m v 2 /r. Situasjon er åpenbart analog til det vi ser i et planet- eller månesystem der planetene går i baner rundt en sol, eller månene i baner rundt en planet og flere forsøkte å overføre dette til det virkelige planetsystemet. Men dersom planetene gikk i sirkelbaner ville kraften som holdt dem på plass kunne skrives på samme måte. Da kunne vi kombinere uttrykket over med Keplers 3dje lov: r 3 /P 2 = C, hvor P er omløpsperioden og C er en konstant som er lik for alle planeter. Sirkelbanens omkrets 2 π r = v P, farten ganger omløpstiden. Vi har da v = 2 π r/p som kan settes inn i uttrykket for kraften. Dette gir K = m 4 π 2 r / P 2 = 4 π 2 C m /r 2. Her brukte vi Keplers lov til å eliminere omløpsperioden, P. Resultatet er at gravitasjonskraften er omvendt proporsjonal med r, planetbanens radius, i andre potens. Dette er ikke så vanskelig, men et problem er at planetbanene ikke er sirkler, men ellipser. Konsekvensen av det var ikke kjent. Astronomen Edmund Halley, fysikeren Robert Hook og arkitekten Christopher Wren forsøkte å løse problemet, men kom ikke til noe resultat. Litt senere drog Halley til Cambridge og la problemet fram for Newton. Hva er banen til en planet når den påvirkes av en kraft som varierer omvendt proporsjonalt med kvadratet av avstanden?, spurte Halley. En ellipsebane, svarte Newton. Hvordan vet De det?, spurte Halley. Jeg har beregnet det, sa Newton. 21

22 Newton hadde oppdaget dette nesten 20 år tidligere, i sin ungdom, men hadde aldri skrevet noe. Nå fikk Halley ham til å love at han skulle legge oppdagelsen fram for Royal Society og også publisere et større arbeide. Newton så gjorde, og resultatet ble Philosopiæ Naturalis Principia Mathematica som ble trykt første gang i Den latinske tittelen kan kanskje oversettes med Det matematiske grunnlag for naturfilosofien, eller naturvitenskapen som vi ville si i våre dager. Her viste Newton at ikke bare lukkede ellipsebaner var mulige som en konsekvens av en slik kraftlov, men også åpne baner, hyperbler og parabler (se figuren). Konsekvensen blir at man kan ha himmellegemer som er innom bare på en kort visitt for så å forsvinne ut i rommet igjen, men også at det er mulig å sende et romfartøy ut i en åpen bane slik at det forlater jorda og solsystemet fullstendig. (Banene i figuren kalles kjeglesnitt fordi de er definert av skjæringslinjen mellom et plan og en kjegle.) 22

23 Utgangspunktet i Principia er bevegelseslovene og de beskrives i et avsnitt i som kalles Axiomata Sive Leges Motu. De er altså aksiomer, antagelser, men de bygger klart på iaktagelser og springer ut av en tankegang hvor også andre hadde bidratt, især Galilei. De to første lovene ligger innebygd i Galileis mekanikk, selv om han aldri formulerte dem. Det gjelder også begreper som masse og akselerasjon, som er del av Galileis tankegang. Vi ser hvordan de to første lovene går tvert imot oppfatningen til Aristoteles og filosofene i oldtiden hadde. De mente at på jorden vil bevegelser stoppe i følge sin natur. Newton og Galilei sier at det gjør de ikke. Hvis de stopper, noe som gjerne skjer, kommer det av at gjenstanden som beveger seg blir påvirket av en kraft, som kan være friksjonskraften. Dette betyr også at et legeme som er i ro fortsatt vil være i ro dersom det ikke påvirkes av en kraft. Det er lett å forestille seg hvordan kraftloven kan sannsynliggjøres ved eksperiment. I mange eksempler drar man en kloss tilnærmet friksjonsløst bortover en glatt flate med hjelp av en fjærvekt. Kraften som brukes kan avleses på fjærvekten og akselerasjonen kan måles. Når det gjelder den tredje loven var den helt original. Ingen hadde tidligere foreslått noe slikt. Men den er et helt nødvendig logisk steg dersom en skal forstå gravitasjonsloven og himmellegemenes bevegelse. Loven impliserer dessuten at to objekter er nødvendige når det skal utøves krefter. Det må alltid være to objekter, selv om dette kan referere seg til enkeltatomer. Videre sier loven at dersom sola trekker på en planet, så trekker planeten like mye på sola. Lovene behøver definisjoner. Det gjelder begreper som akselerasjon, masse og kraft. Akselerasjon er endring i hastighet per tidsenhet og kan måles. Krefter kan også måles for eksempel gjennom de spenninger de fører til i fjærvekter. Når det gjelder massen så er den ikke det samme som vekt eller volum. Vekt er en virkning av gravitasjonen, et produkt av gravitasjonskraft og masse. Massen har naturligvis noe gjøre med mengden av materie, men i den forstand vi her gjør bruk av begrepet, er den et mål for et legemes treghet, dets motstand mot å bli satt i bevegelse og kalles også gjerne treghetsmasse. 23

24 Her gir vi formen på Newtons gravitasjonslov. Den kan utledes fra Keplers tre lover. Gravitasjonen i Newtons bilde er en kraft som virker på avstand, uten fysiske berøringer, en såkalt fjernkraft. I Newtons mekanikk virker den øyeblikkelig over avstand, uten tidsforsinkelse,. At kraften er proporsjonal med massen i gravitasjonsloven kommer fra uttrykket for sentripetalkraften. At begge massene kommer inn i bildet henger sammen med Newtons tredje lov, reaksjonsloven. Symmetrien mellom aksjon og reaksjon krever at loven har en slik form. Newtons gravitasjonslov kan også brukes til å finne et uttrykk for konstanten i Keplers 3 dje lov. Vi kan sannsynliggjøre dette ved å stille sammen gravitasjonsloven og kraftloven for sirkulær planetbevegelse og får det uttrykket vi har skrevet her. Vi ser da at konstanten i Keplers lov ikke er konstant, men varierer fra planet til planet. Variasjonen er imidlertid så liten at Kepler aldri ville funnet den. Dette kommer av at massen til alle planetene, selv til kjempen Jupiter, er liten sammenlignet med solas masse. Derimot blir det viktig å få med begge massene når vi studerer dobbeltstjerner. Da kan vi bruke loven til å finne stjernemasser ut fra målinger av avstanden mellom stjernene, som gir a, og deres omløpstid rundt hverandre, P. Dette gjør at den generaliserte formen på Kepler 3 dje lov bør pugges som en viktig del av pensum. 24

25 De to første punktene er alt omtalt. Newton testet sin gravitasjonslov ved å se på månens fall mot jorda. At månen går i en bane rundt jorda er ensbetydende med at den hele tiden faller mot jorda. Akselerasjonen fra jordas tiltrekningskraft gjør at månens bevegelse hele tiden endrer retning. Denne akselerasjonen kan vi måle ved rett og slett å se på formen og størrelsen av månens bane. Man ender opp, etter litt regning, med et uttrykk (ikke pensum) for avstanden, L: L = [ (P/2π) 2 g R 2 ] 1/3 hvor P er månens omløpstid rundt jorda (i forhold til stjernene), R er jordas radius og g er tyngdeakselerasjonen på jordas overflat, som kan måles og er lik omlag 9.81 m s -2. (Formelen er lett å verifisere dersom vi antar at månens bane er sirkulær.) Størrelsene P og g var vel kjent på Newtons tid. Avstanden til månen var også vel bestemt, men Newton hadde i 1666 en feilaktig verdi for jordas radius, R, Nye målinger gjorde at den var mye bedre kjent i I 1666 gikk derfor ikke regnestykket opp. (Se Newton. A Very Short Introduction av Rob Illiffe, p 28) Det har vært sagt at den feilbestemte jordradien i 1666 var en årsak til at Newton den gang ikke publiserte sin gravitasjonslov. Da han satte inn den riktige verdien i 1685 stemte de observerte og beregnede verdiene. Det er imidlertid uvisst om denne historien er helt sann. 25

26 Gravitasjonsloven sier at alle i to legemer trekker alle massepartikler på alle andre massepartikler. Himmellegemene er utstrakte, de er ikke punktformede partikler. Det kan synes komplisert å regne sammen summen av virkningen av all massepartikler i jorda og månen. Ikke minst på Newtons tid bød dette på problemer med de matematiske metoder man den gang hadde. I dag gjøres det enkelt med integraler, den regnemetoden som ble utviklet av Newton, kanskje nettopp for å løse dette problemet. For å behandle bevegelse og kraftvirkninger av utstrakte legemer innførte Newton begrepet massesenter eller tyngdepunkt. Han viste så at gravitasjonsloven for utstrakte legemer gjaldt som om all massen var konsentrert i massesentrene. Et rotasjonssymmetrisk legeme har massesentrum i det geometriske sentrum. Den tredje bevegelsesloven, reaksjonsloven, sier at to masser vil trekke gjensidig på hverandre. En planet går altså rundt sola, men sola beveger seg også. Newtons lov fører da til en liten endring av Keplers første lov slik at sola og planeten begge går i ellipsebaner rundt et felles massesenter, barysenteret. Barysenteret ligger slik at avstanden til barysenteret fra hvert av de to legemene ganget med deres respektive masser, er den samme for begge legemene. Barysenteret for jord-måne systemet ligger om lag 4700 km fra jordas senter, altså inne i jorda omlag 2000 km under jordas overflate. For jord-sol systemet ligger barysenteret 500 km fra solsentrert, langt mindre enn solas radius, som er km. 26

27 For å rive en satellitt løs fra jordas tiltrekning må man gi den en bevegelsesenergi som svarer til en hastighet på 11.2 km s -1. Da får den en parabelformet bane ut i rommet. Er utgangsfarten enda høyere blir banen en hyperbel. Man kan få den i en sirkulær bane rundt jorda i 500 km høyde med omlag 8.2 km s -1. Dette som bare kunne være luftige fysiske fantasier for Newton og hans samtidige, er realitet i dag. Figuren i slidet finnes forøvrig i en enklere form i Newtons Principia. 27

28 Her minner vi om hva presesjon og nutasjon er: Jordas rotasjonsakse danner en vinkel på 23.5 grader med normalen på jordas baneplan I løpet av en periode på år svinger jordaksen rundt normalen på baneplanet. Dette er jordaksens presesjon. Presesjon kan enkelt demonstreres med en snurrebass. Når snurrebassen snurrer raskt rundt vil den stå nokså rett opp og ned. Gir man den et puff vil rotasjonsaksen legge seg over på siden og begynne å sveive rundt. Grunnen er at vi anvender en kraft som danner en vinkel med rotasjonsaksen og forsøker å velte snurrebassen. Spinnet motvirker dette og gjør at snurrebassen holder seg oppreist, men den vil begynne å presessere. På samme måte som snurrebassen blir også jordaksen påvirket av krefter som danner en vinkel med jordas rotasjonsakse og får den til å presessere, se neste side. I tillegg kommer den lille overlagrede variasjonen som kalles nutasjon og har et mye mindre utslag. Nå skal vi se på den fysiske årsaken til disse to bevegelsene. 28

29 Presesjon og nutasjon av jordaksen skyldes at tyngdekrefter fra sola og månen virker på en jord som ikke er nøyaktig kuleformet, men litt flattrykt. Jordas rotasjon gjør at den blir flattrykt idet den har et plastisk formbart indre. Flattrykningen er ganske merkbar. Den ble forutsagt av Newton og bevist med geografiske målinger alt på tallet. Det viser seg at jordradien mot polene 21 km kortere enn mot ekvator. Sola ligger ikke i Jordas ekvatorplan, men i et plan som heller ca 23 med dette. Det samme (omtrent) gjelder for Månen. (Vi husker at månebanen heller 5 med solbaneplanet, eller ekliptikken.) Sola og månen vil da ha en tendens til å trekke mest på den ekvatorutbulningen som ligger nærmest, slik det er vist i figuren hvor kreftene er tegnet som piler. Nettoeffekten er en kraft som prøver å få jordaksen til å rette seg opp, stå mer loddrett på baneplanene. Bevegelsesmengden i jordrotasjonen stabiliserer jordaksens vinkel med jordbaneplanet (ekliptikken) og med månebanens plan, men akkurat som i tilfellet med snurrebassen, vil aksen begynne å spinne. Merk at det er forskjeller i tyngdekrefter fra måne og sol som forårsaker presesjonen. Kraftdifferansen avtar i tredje potens med avstanden mellom måne og jord eller sol og jord. (K P ~ M/R 3.) At kraftforskjellen avtar så raskt med avstanden gjør at kreftene fra sola bare har halvparten av virkningen som kreftene fra månen utøver, selv om sola totalt trekker mye sterkere på jorda enn det månen gjør. Kreftene fra månen varierer dessuten i retning fordi månebanens orientering dreier rundt i løpet av bare ca 18.6 år. Dermed gir kraften fra månen i tillegg opphav til den mye mindre og raskt variable nutasjonen. 29

30 Tidevann er et annet navn for flo og fjære. Vanligvis har vi høyvann og lavvann omtrent to ganger i døgnet alle steder på jorda. Vi kan forklare tidevannet ved at månens tiltrekningskraft fordeler seg ulikt over jordoverflaten. Den er størst på den siden som vender mot månen, minst på den siden som snur bort fra månen. De to øverste panelene i figuren viser hvordan de totale kreftene og forskjellskreftene fordeler seg over jorda. Nå har vi en kraftbalanse mellom månens tiltrekning på hele jorda og den kraften som trengs for jorda å holde jorda i bane rundt massesenteret for jord-måne systemet. Siden kraften fra månen trekker mest i den delen av jorda som snur mot månen og minst i den delen som snur bort fra månen så vil denne forskjellen i tiltrekning gjøre at jorda deformeres. Den dras litt ut og blir litt avlang langs linjen mellom jord og måne. Hele jorda blir deformert, fordi den i en viss forstand består av et plastisk materiale. Men særlig store utslag får vi i de lettflytende havene av vann på jordas overflate. Forskjellene i månens tiltrekningskraft gir oss derfor to tidevannstopper. Den ene ligger under månen og den andre på motsatt side av jorda. Når jorda roterer rundt sin egen akse vil disse to toppene, tidevannsbølgene, rulle rundt jorda og vi får to høyvann per døgn og tilsvarende to lavvann. Dette er illustrert i det nederste panelet. En annen måte å innse at vi får to tidevannstopper, en rett under månen og en på motsatt side av jorda er å tenke seg jordas stadige fall mot det felles tyngdepunktet for jorda og månen. Dette tyngdepunktet ligger forøvrig ca 4720 km fra jordsenteret, altså mer enn 1600 km under jordoverflata. Et løst punkt på den siden som vender mot månen blir da trukket oppover (mot månen) fordi tyngdekraften her er sterkest. I jordas tyngdepunkt virker en kraft som holder hele jorda i bane i dens stadige fall rundt det felles tyngdepunktet. På den motsatte siden av månen er kraften fra månen svakest og et løst punkt faller langsomst. Jorda faller fortere og punktet blir så og si hengende igjen. Vannet samler seg derfor til en topp også her. Skorpa svinger faktisk opp og ned med en amplitude på fra +20 til -10 cm. Det virkelige tidevannet er likevel enda mer komplisert enn vi til nå har beskrevet. 30

31 Det er en restkraft, en tilleggskraft, fra månen som lager tidevannet. Det dreier seg om forskjellen mellom tyngdekraften fra månen på jorda for alle steder på eller i jorda. Denne kraften kan vi dele opp i en komponent parallelt med tangenten til jordoverflata, altså en horisontal komponent, og en komponent som er vertikal. Fra det nederste panelet i figuren på forrige side ser vi at den vertikale komponenten oppover er størst og trekker på de største delene av jordoverflaten. Derfor får vi et større tideutsving fra likevektsposisjonen oppover enn nedover, jfr amplitudetallene i forrige slide. Den horisontale delen av tilleggskraften lager tidevannsstrømmer. Figuren over viser at rett under månen er der ingen horisontal komponent. Lenger borte fra punktet under månen øker denne komponenten av kraften og den er rettet mot punktet rett under månen, det sublunare punkt. I 90 graders avstad fra dette punktet er den horisontale komponenten igjen lik null, men vi har en vertikal komponent nedover. På den andre halvkula gjentar det samme mønsteret, men her husker vi at kraften fra månen var svakere en middelkraften som holder jorda på plass i banen. Alle kraftkomponenten peker dermed i motsatt retning og mot det antisublunare punkt slik det er vist i figuren. 31

32 De horisontale tilleggskreftene akselererer og deformerer havet slik at det settes opp motkrefter i form av trykkforskjeller som balanserer tilleggskreftene fra månen. Vannet flyter mot det sublunare punkt og topper seg der. Men det flyter naturligvis også mot det anti-sublunare punkt. Resultatet blir de to tidevannstoppene, en på hver side av jorda. Disse toppene ruller rundt jorda når jorda roterer og danner tidevannsbølgen. Vi har for det meste snakket om kreftene på jordoverflaten slik de virker på det lett bevelige havvannet. Vann flyter lett og innretter seg raskt etter tideeffektene. Men de dypere lagene i jorda påvirkes også slik at vi har indre tidekrefter i jorda og som vi har nevnt svaier hele jordskorpen litt opp og ned i løpet av døgnet som følge av tidekrefter. Disse bevegelsene er registrert fra høydemålinger med satellitter. 32

33 Månens bevegelse i banen rundt jorda gjør at jorda må rotere litt mer enn ett døgn for at samme punktet på jordoverflaten skal komme under månen på nytt. Siden månen har en synodisk omløpstid på ca. 29 døgn, dreier det seg om 360/29 ~ 13 grader eller 24/29 timer, som svarer 50 minutter ekstra tid pr. døgn. Høyvannet på et sted på jorda kommer altså 50 minutter senere hvert døgn. 33

34 To tidevannstopper, en rett under månen og en på diametralt motsatt side av jorda, ville være situasjonen dersom jorda hadde bare hav og ingen kontinenter, og dersom tidevannsbølgene gled friksjonsfritt over havbunnen. Friksjonen gjør at jordrotasjonen trekker med seg tidevannsbølgene. (Husk at jordrotasjonen er mye raskere enn omløpsfarten for månen i sin bane målt i vinkelmål.) Jordrotasjonen river med seg vannet og høyvannet blir liggende noe foran de punktene som ligger rett under månen. Dette gjør at tyngdekreftene fra månen trekker ulikt på de to tidevannstoppene og mest på den bølgetoppen som er nærmest månen. Som vi ser av figuren betyr dette at vi får en netto kraft på jorda som bremser jordrotasjonen. En slik bremsing vil ha merkbare konsekvenser. Bremsing betyr at jordas spinn, bevegelsesmengde i rotasjonen rundt egen akse, minker. Ser vi på jorda og månen som et isolert system vil den totale rotasjonsmengden i dette systemet være konstant. Da det avtagende spinnet for jorda fører da til et høyere spinn for månens bevegelse i bane rundt jorda, noe som skjer ved at månen fjerner seg fra jorda. [Husk: Spinn er like fart pga. rotasjon ganget med rotasjonsarmen avstanden mellom jord og måne i dette tilfellet.] Dette vil pågå inntil jorda og månen begge har bundet rotasjon. Da vender de samme side mot hverandre. Dersom jorda får bundet rotasjon i forhold til månen blir det ikke lenger noen tidebremsing. Da vil jorda med sine tidevannstopper rotere akkurat så raskt som månen går i sin bane og være i fase med denne rotasjonen. I praksis er bildet mer komplisert fordi sola også er inne i bildet. For tiden øker farten av jordas rotasjon litt, men over lang tid vil den bremses ned og månen vil fjerne seg fra jorda, noe den stort sett har gjort i løpet av systemets levetid på 4.5 milliarder år. 34

35 Friksjonskreftene som gjør at tidevannstopper ligger foran månen og dermed forårsaker oppbremsing, virker med forskjellig styrke i de forskjellige havområder. Tidebremsing sterkest i grunne hav, for eksempel i Barentshavet.og i kystområder. Tideeffekter virker også på jordas indre men er mer effektiv på havene. I det siste punktet snakker vi ikke lenger om månen og jorda, men om tideeffekter i alminnelighet, med anvendelser for eksempel i dobbeltstjernesystemer. 35

36 Springflo og nippflo. Vi nevnte at jorda og månen ikke kan sees på isolert fordi sola også har en virkning. Dette var vi inne på også da vi snakket om presesjon og nutasjon. Tidevannskrefter er forårsaket av differensielle krefter, akkurat som presesjon og nutasjon. Disse kreftene går som avstanden i minus trede potens, som 1/d 3, mens gravitasjonen går som 1/d 2. Selv om tyngdekreftene fra sola er mye større enn tyngdekreftene fra månen så er månens betydning for tidevannet større enn solas. Effekten av sola på tidevannet er ca 35% mot månens 65%. Høydeforskjellen mellom flo og fjære vil variere med posisjonen av sol, jord og måne i forhold til hverandre. I de to tilfellene til venstre ligger jord, sol og måne på linje, med månen enten på samme eller på motsatt side av jorda i forhold til sola. Da vil begge himmellegemene lage tidevannstopper på samme sted på jorda. Vi får maksimal høyde på tidevannsbølgen, eller springflo. Dette skjer ved hhv. nymåne og fullmåne. Når linjen sol jord måne danner en rett vinkel, virker sola og månen i ulike retninger og vi får nippflo, minste høyde på tidevannsbølgene. Høyden av tidevannsbølgen på åpent hav er knapt en meter. Men nær kyster kan dette endre seg på grunn av lokal topografi. Langs norskekysten øker høyden av tidevannet når vi går nordover, fra under ½ meter på Sørlandskysten til nesten 2 meter på Vestlandet og bort imot 4 meter i Øst Finnmark. I Bay of Fundy i Canada presses vannet inn i en smal bukt og tidevannsforskjeller når opp i 12 meter. En annen årsak til variasjoner er høy- og lavtrykk i atmosfæren gjerne kombinert med stormer. Ved lavtrykk og storm stiger tidevannstoppen høyere opp enn ved høytrykk. Kombinasjonen springflo, lavtrykk og storm fra sørvest som presser vannet inn mot Norges kyst i vest og nord, kan forårsake de største utslag av springflo, langt mer enn effekten av månen og sola alene. 36

37 Tidevannet påvirkes av den lokale topografi, noen ganger i vesentlig grad. Her vises en merkelige sirkulært roterende tidevannsbølgen i Barentshavet mellom Norge og Svalbard. Tilsvarende roterende tidevannsbølge har vi i den Engelske kanal, mellom Syd-England og Nord-Holland og mange andre steder. I Irskesjøen finnes et område med skvalping. Vannet vipper opp og ned rundt midten av havstykket inne i Irskesjøen. 37

38 Her vises en film med en bergning av tidevannsforholdene i Norskehavet og den vestlige del av Barentshavet. Simulasjonen kan kjøres fra leseplanen. Den viser tydelig at det enkle bildet av flo og fjære som forutsetter at vi ikke har landmasser, bare hav, er for enkelt. Virkeligheten er mer komplisert. For slidene og takker jeg professor Bjørn Gjevik ved Matematisk institutt, UiO for lov til å bruke hans illustrasjoner og for tekst som jeg hat lånt fra hans utmerkede artikkel om tidevann i Fra Fysikkens Verden, No. 1,

39 Disse fem navnene oppsummerer en vitenskapelig revolusjon i Europa. Et nytt verdensbilde vant fram og fysikken ble en rasjonell og kvantitativ moderne vitenskap. Det er riktig å si at Kopernikus introduserte det heliosentriske system. Aristarkhos var før ham, men hans variant var så ufullstendig og unøyaktig i praksis at den aldri vant fram. Kopernikus teori hadde flere mangler, fordi også han satt fast i forestillingen om sirkelbevegelsene som spesielt fullkomne og foretrukne. Likevel vant hans teori fram fordi den var enkel og forklarte planetbevegelsene, især den retrograde bevegelsen til de ytre planetene, på en overbevisende måte. Tycho Brahe hang fast i et geosentrisk system. Men han skjønte at noe var galt med det Ptolemeiske systemet og satte fram sitt eget system som var fullgodt for sin tid. Han trodde ikke på et heliosentrisk system fordi han ikke observert parallakse for stjernene. Dette var en rasjonell begrunnelse for å forkaste det. Hans største innsats var observasjonene av planetenes gang på himmelen. De var de mest nøyaktige som var foretatt til da og spilte en avgjørende rolle for Kepler da han fant at planetbanene var ellipser. Kepler er kjent for sine tre lover. Hans hovedverk var å påvise at observasjonene av plantenes bevegelse kunne forklares dersom planetbanene var ellipser. Dette kan synes enkelt, men i virkeligheten var det et oppbrudd med en måte å tenke på som da hadde vært i hevd i 2000 år siden Aristoteles. Det er mildt å si at slikt skifte i tenkemåte er vanskelig. Galilei aksepterte kanskje ikke Keplers ellipser, men hans epokegjørende observasjoner av Jupiters måner, Venus faser, solflekker og Melkeveiens myriader av stjerner sparket effektivt beina under et heliosentrisk synspunkt, selv om det endelige bevise, parallaksebevegelsen til stjerner måtte vente i mer enn 200 år før den ble demonstrert. Med Newton kommer den moderne fysikken. Newtons verk er enestående, ikke bare som en vei til å forså planetenes bevegelse, men i hele sin form og oppbygning! Men Newton behøver ikke tvile på Keplers ellipser. Han tar dem som gitt og kan demonstrere sin gravitasjonslov fra Kepler lover og vise versa. 39

40 40