Kaos i FYS-MEK1110. Et lite notat om noen begreper som inngår i den såkalte kaosteorien. Versjon

Transkript

1 1 Kaos i FYS-MEK1110 Et lite notat om noen begreper som inngår i den såkalte kaosteorien. Versjon Newtons mekanikk har gitt oss forestillingen om at vi gjennom fysikken kan forutsi nærmest hva som helst. Vi kan for eksempel regne oss fram til når solformørkelser vil finne sted flere tusen år framover. Filosofer og folk flest har en følelse av at alt er forutbestemt, at naturen er deterministisk. En vesentlig grunn til at vi har dette bildet, er at vi inntil nylig unngikk å ta opp fenomener i naturen hvor det slett ikke var så lett å forutsi fremtidige hendelser. Disse fenomenene var for kompliserte til å håndtere, og ble kuttet ut. Meteorologi er likevel et unntak. Men selv i meteorologien var det en grunnoppfatning lenge at dersom en bare visste initialbetingelsene godt nok, skulle en nok kunne beregne været med stor presisjon lange tider fremover. Problemet mente man var å få inn mange nok og nøyaktige nok observasjoner fra målestasjoner. I så fall kunne en putte disse inn i regnemaskinene, løse en drøss koblede differentiallikninger, og vips skulle riktig svar komme ut med stor presisjon og lang tid framover. De siste tiår har vel endret denne oppfatningen en del. Og filosofene diskuterer: Er naturen deterministisk, eller er den ikke? Vi skal i dette lille skrivet ikke gi et svar på dette, men heller lufte muligheten for at filosofenes spørsmål kanskje er galt stilt. Konkret eksempel Vi tar utgangspunkt i en konkret situasjon i vår lille smaksprøve av kaosteori. Systemet vi betrakter vil bli diskutert på forelesning, og det er samme system som danner grunnlaget for prosjektoppgave 3 i FYS-MEK1110 våren Systemet er en sprettball som spretter vertikalt fra et massivt, plant underlag som beveger seg opp og ned med en fast frekvens og amplitude (amplitude = maksimalt utslag fra middelverdi). Vi antar at sprettballen er fullstendig elastisk slik at mekanisk energi er bevart. Dersom underlaget har en masse mye større enn ballens, vil ballens hastighet relativt til underlaget være den samme like før sammenstøtet som like etter. Treffer ballen underlaget mens det er på vei nedover, vil ballen miste hastighet og ikke sprette like høyt som forrige sprett. Treffer ballen underlaget mens det er på vei opp, blir det motsatt. Hvordan modellerer vi et slikt system? Det er mange måter å gå fram på. En av de enkleste måtene vil være å: Anta at: Vi kan se bort fra luftmotstand. Støtet mellom ball og underlag er fulltendig elastisk. Underlagets masse er mye, mye større enn massen til ballen. At ballens spretthøyde er mye større enn utslaget til underlaget. I så fall vil flukttiden (tiden ballen er i lufta mellom to sprett) være bestemt kun ut fra hastigheten til ballen like etter støtet. Hastigheten til ballen når den etter et sprett når underlaget igjen, vil være identisk med starthastigheten på den flukten den nettopp avsluttet.

2 Side 2 Figur 1: Anskueliggjøring av sprettballens og underlagets bevegelser. Ballen beveger seg egentlig vertikalt, men i denne figuren har vi tegnet inn mange snapshots ved siden av hverandre, hvert snapshot viser ballens og underlagets posisjon ved bestemte tider. Vi behøver da egentlig ikke å regne i detalj på ballens bevegelse fra et støt til det neste. Når vi vet begynnelseshastigheten, følger automatisk slutthastighet og tid for det sprettet ballen nå gjør. Vi erstatter differentiallikninger med en tidsserie, noe vi betegner en iterativ avbildning. Dersom underlaget beveger seg med en fast frekvens og på en harmonisk måte (som en sinus), vil hastigheten kunne beskrives som: ut () = Acos( ωt + φ 0 ) Maksimal hastighet er her satt til A. Denne bevegelsen har vi relativt sett full kontroll over gjennom motoren som driver bevegelsen og strømforsyningen til denne. Vi kan derfor anse vinkelhastigheten ω som en konstant. Fasevinkelen φ angir riktig fase relativt til valgt nullpunkt for tidsangivelsen. Inn i beskrivelsen av bevegelsen til underlaget, kan vi nå koble inn sprettballens bevegelse. Dersom den treffer underlaget ved tiden t 1, vil argumentet i cosinusfunkjonen ovenfor være: φ 1 = ωt 1 + φ 0 Dersom nå hastigheten til ballen like etter støtet nå er v 1, kan vi lett finne tiden det tar før ballen treffer underlaget på ny. Dette skjer ved tiden t 2, og tiden siden forrige støt er t 21, = t 2 t 1 = 2v 1 g. (Vær sikker på at du sjønner hvor dette uttrykket kommer fra!) Ved

3 Side 3 Figur 2: I stedet for å angi ballens og underlagets posisjon til bestemte tider (som i figur 1), kan vi angi fasen i underlagsbevegelsen ved hvert sprett/støt, samt hastigheten til ballen like etter et sprett starter. Disse opplysningene er tilstrekkelige for å beskrive ballens bevegelse. dette nye støtet vil argumentet for cosinusfunksjonen som angir underlagets bevegelse være: φ 2 = ωt 2 + φ 0 = φ 1 + ω t 21, = φ 1 + 2ωv 1 g Vi kan nå definere siste ledd som en størrelse gamma γ 1 2ωv 1 g som vil være en størrelse med enhet radianer, men som egentlig er et mål for ballens hastighet i en av fluktene (her første sprett), multiplisert med noen konstanter. (Meget viktig å merke seg!) Sprett 1 til 2 var vilkårlig valgt, så relasjonene gjelder mer generelt. Vi ser da at for fasene gjelder følgende iterative avbildning: φ n 1 + = φ n + γ n Ut fra denne fasen kan hastigheten til underlaget bestemmes, og dermed også hastigheten til ballen etter støtet. Enkel regning viser at hastigheten like etter et støt forholder seg til hastigheten like før støtet som: + = v n + 2u v n 1 (Merk: Hastigheten v n er definert som hastigheten oppover like etter støt nr n. Hastigheten helt i slutten av flukt nr n er egentlig lik minus vn. Fortegnene i likningen ovenfor er ok når definisjonene tas i betraktning.)

4 Side 4 Multipliserer vi denne likningen med hastighet, følger: 2ω g og vi bruker den gitte relasjonen for underlagets γ n 1 + = γ n + αcos( φ n + γ n ) hvor α = 4Aω g er en konstant (som er proporsjonal med maks hastighet til underlaget). Vi har nå funnet begge likningene vi trenger for å beskrive systemet: φ n 1 + = φ n + γ n γ n 1 + = γ n + αcos( φ n + γ n ) (1) (2) Likningene utgjør en iterativ avbildning. Dersom vi velger initialbetingelsene [ φ 1, γ 1 ], kan vi bestemme φ 2 ut fra likning 1, og γ 2 ut fra likning 2. Vi har da funnet [ φ 2, γ 2 ], og kan bruke disse verdiene til å finne tredje sett verdier. Slik kan vi fortsette så lenge vi ønsker. Legg merke til at vi kan beskrive denne prosessen ved hjelp av kun to parametre. Det er flere måter å gi disse parametrene på. Vi valgte i stad en parameter som var argument i sinusfuksjonen som beskrev underlagshastigheten. Denne parameteren kaller vi fasen. Den andre parameteren valgte vi å være γ n. Denne parameteren, som vi kaller normalisert hastighet, er litt vanskelig å forstå direkte siden den er definert som γn 2ωvn g, men vi kunne også ha valgt å angi hastigheten til ballen like etter et støt alene, dvs vn. Ved å angi en rekke med tallpar, {fase i, hastighet i }, vil bevegelsen til sprettballen være nærmest fullstendig karakterisert, innen vår modell. Vi kan tegne inn punktene etter hvert som de framkommer i et diagram. På figuren på neste side er fase gitt langs en akse og hastighet i den andre. Dette diagrammet er en enkel variant av det vi kaller et faserom for bevegelsen. Generelt sett er faserommet for ulike bevegelser ofte mangedimensjonale, alt etter hvor mange frihetsgrader det finnes i bevegelsen. I vårt tilfelle med bare en-dimensjonell bevegelse, får vi et svært enkelt faserom. I prosjektoppgave 3 blir litt av oppgaven å foreta beregninger av sprettballens bevegelse for ulike initialbetingelser. Faserommet blir da i prinsippet som gitt ovenfor, men vi velger å bruke γ n (hastigheten multiplisert med en konstant) i stedet for ren hastighet. Legg merke til at hvert sprett for ballen svarer bare til ett punkt i fasediagrammet. Karakteristiske tidsforløp Så langt har vi stort sett beskrevet en temmelig triviell sitasjon, at en sprettball følger Newtons lover, og at vi derfra på deterministisk vis kan bestemme hvor lang tid sprettballen bruker på et sprett. Kan det bli noe artig ut av dette? Ja, det kan det!

5 Side 5 Figur 3: Faserommet for sprettballbevegelsen. De fire første punktene i diagrammet er tegnet inn. Merk at fasen regnes ut som modulo 2π, dvs at en trekker fra 2π tilstrekkelig mange ganger til at vinkelen faller innenfor intervallet [0, 2π>. La oss ta et spesialtilfelle først. Anta at ballen treffer underlaget akkurat mens det er på sitt høyeste punkt, det vil si når den momentane hastigheten til underlaget er lik null. Anta videre at ballen da akkurat har en hastighet som gjør at flukten tar nøyaktig så lang tid at ballen treffer underlaget nøyaktig når det på ny er på sitt høyeste punkt. I så fall vil forløpet fortsette, tilsynelatende uendelig. I dette tilfellet vil alle verdiene i faserommet bli liggende oppå hverandre. Vi får da en tidsuavhengig løsning (samme type sprett hver gang). En slik løsning kalles et fikspunkt. Anta nå at ballen startet som tidligere akkurat da underlaget var på sitt høyeste punkt (hastighet til underlaget lik null). Anta videre at hastigheten til ballen er slik at den treffer underlaget litt før det er på sitt høyeste punkt. I så fall har underlaget en hastighet oppover, og ballen får litt større hastighet på andre sprettrunde enn første. Den vil da bruke litt lengre tid på andre flukt enn den første, og den vil kanskje treffe underlaget like etter at det har passert høyeste punkt. Hastigheten er da så vidt på vei nedover, og ballen vil få en hastighet litt mindre enn i forrige runde. Hvordan forløpet utvikler seg videre er ikke godt å si, men vi ser for oss at det kanskje kan bli en situasjon der f.eks. annenhver sprett er litt over og litt under gjennomsnittsverdien, men at forløpet ellers gjentar seg om igjen og om igjen. I så fall har vi igjen et periodisk system, og vi får bare to punkter i faserommet. En tredje mulighet ville være at ballen fjerner seg mer og mer fra fikspunktet. I så fall sier vi at fikspunktet er ustabilt. Men igjen kan en se for seg at mye rart kan skje. Det kan hende at vi på ny får en periodisk variasjon, gjerne med mange sprett innenfor perioden. Men det kan også

6 Side 6 hende at vi ikke får noe gjentakelse av tidligere forløp. I så fall har vi en tilstand vi kaller kaotisk. Sprettballsystemet vårt har vi forutsatt er fullstendig elastisk slik at mekanisk energi er bevart. Slike system kalles konservative. For slike system snakker vi bare om to typer fikspunkt, elliptiske og hyperbolske. Elliptisk fikspunkt er karakterisert ved at punktene i faserommet holder seg nær fikspunktet hele tiden. Hyperbolske fikspunkt er slike der små avvik fra fikspunktet gjerne utvikler seg til større og større avvik (i alle fall for en viss tid etter at systemet ble sluppet løs). I vår prosjektoppgave håper vi at du kan undersøke hvordan sprettballsystemet utvikler seg når vi velger startverdier nær et elliptisk fikspunkt og startverdier nær et hyperbolsk fikspunkt. Det er et idealisert system vi regner på, siden vi antar at mekanisk energi hele tiden er bevart. I virkelige systemer har vi som oftest dissipasjon, dvs at noe mekanisk energi går over til varme. I slike systemer vil gjerne systemet nærme seg mer og mer det vi kalte elliptisk fikserpunkt. Et slikt fikserpunkt kalles da en attaktor. Dersom systemet svinger fra side til side mens det nærmer seg attaktoren, sier vi også at punktet er et fokus. Dersom systemet bare nærmer seg attraktoren fra en side, sier vi at punktet er en node. Selv i en kaotisk bevegelse i et dissipativt system er det ofte en del lovmessigheter. Disse fremkommer ved at punktene vi tegner inn i faserommet viser spesielle mønstre. For ett valg av begynnelsesbetingelser (tidspunkt/fase for første sprett, og hastighet ved første sprett) vil det bare være et visst område i faserommet som kan nås gjennom videre sprett. Ved andre valg av begynnelsesbetingelser vil en kunne nå andre områder i faserommet. Systemet viser attraktoregenskaper, men attraktoren er ikke nå et punkt, men områder (bassenger) i faserommet. I prosjektoppgave 3 inngår tre arbeidsoppgaver: 1.Å sjekke opp hvordan størrelsene [ φ n, γ n ] og α er definert og forstå hva disse innebærer i forhold til det fysiske systemet vi starter ut med. 2 Å lage dataprogrammet som ut fra gitte initialbetingelser kan finne neste punkt i faserommet, og plotte resultatene fra mange iterasjoner. Som du ser av likning 1 og 2, er det en temmelig enkel oppgave å lage programmet som skal til. 3. Bruke dataprogrammet for å finne fram til ulike initialbetingelser som viser ulike måter som systemet kan oppføre seg på. I tillegg har vi en godbit for de som ønsker å gå ett trinn lenger, nemlig å se hvordan en tidsutvikling av systemet er i forhold til en annen tidsutvikling som starter nesten med samme utgangspunkt som den første. Det er først gjennom denne siste varianten at man kan få en ahaopplevelse i grenseland mellom filosofi og fysikk: Er verden deterministisk eller ikke? (Se nedenfor.)

7 Side 7 Figur 4: Dersom en bruker farger for å angi hvor ofte en iterativ prosess er innom ulike områder av faserommet, kan en få mange nydelige figurer alt etter hvilke iterative avbildninger en starter ut med. Her er et eksempel hentet fra weben (se hentet ned ). Hvorfor enkle system som dette også har filosofiske aspekter... Som tidligere sagt førte Newtons mekanikk til stor tiltro til fysikken og folk mente at naturen var deterministisk. Et kaotisk system oppfører seg imidlertid på en måte som utfordrer klokketroen på determinisme. Poenget er som følger: For initialbetingelser som svarer til et kaotisk område i faserommet, er det slik at løsningen for én initialbetingelse avviker fra løsningen fra en annen initialbetingelse, selv om de to initialbetingelsene er svært nær hverandre. Sagt på en litt annen måte: Anta at vi starter et system med initialbetingelsene A: [fase 1, hastighet 1 ], og registrerer de kommende punktene i faserommet. Anta så at vi i stedet starter samme system med initialbetingelsene B: [fase 1 +δ, hastighet 1 +δ ] som er svært nær de forrige, men likevel forskjellig, og at vi igjen registrerer de kommende punktene i faserommet. Det er da slik at [fase 2, hastighet 2 ] som svarer til de to initialbetingelsene A og B vil være nesten identiske, likeså [fase 3, hastighet 3 ], men at punktene vil avvike mer og mer i faserommet etter som vi går flere og flere trinn videre i den iterative prosessen. Dette gjelder bare så lenge

8 Side 8 avviket mellom de to forløpene fortsatt er svært små. Anta at det ved tiden t etter oppstart, er slik at vi har kommet til trinn n i den iterative prosessen, og at hastighet n (for initialbet. A) = hastighet n (for initialbet. B) + n Da vil relasjonen nedenfor gjelde sånn circa: n e λt δ (3), eller skrevet på en annen måte n log λt+ k δ hvor λ kalles Lyapunov-eksponenten for systemet og k er en konstant. Lyapunov-eksponenten kan man finne ved å plotte log n som funksjon av tiden. En indikasjon på forløpet kan man δ også få ved å plotte samme størrelse som funksjon av antall sprett, siden tiden og antall sprett følger hverandre nokså nært. Relasjon 3 ovenfor er ikke presis. En må inn i kaosteori på en langt mer nøyaktig måte enn vi har gjort her for å få en presis definisjon av Lyapunov-eksponenten og få stadfestet når denne type relasjon egentlig gjelder og når den ikke gjelder. Lyapunov-eksponenten kan være både positiv (løsninger av ulike initialbetingelser fjerner seg fra hverandre) og negativ (løsningene nærmer seg hverandre). For vårt system, som er konservativt (mekanisk energi er bevart), vil dere kunne se at relasjon 3 ikke gjelder strengt uansett hvilke startpunkt man velger. Likevel er det slik at det er stor forskjell på initialbetingelser nær et elliptisk fikseringspunkt sammenliknet med initialbetingelser nær et hyperbolsk fikseringspunkt mhp hvor raskt to prosesser med nær identiske initialbetingelser utvikler seg i forhold til hverandre. Hva vil fenomenet illustrert gjennom relasjon 3 egentlig si? Relasjonen viser av når det har gått en tid T 1 λ vil vi få helt forskjellige løsninger for et system dersom de startes med to litt ulike initialbetingelser. Hvor lang tid det er snakk om, er helt avhengig av systemet. For noen systemer kan dette skje i løpet av sekunder eller mindre, for andre systemer kan det ta mange tusen år! * Vi har nå sett at kaotiske system er kritisk avhengige av initialbetingelsene. For flere initialbetingelser nær hverandre, vil løsningen bli tilnærmet uavhengig av initialbetingelsene for en viss karakteristisk tid. Etter denne tiden vil løsningene avike mer og mer. Kan vi si at slike system er deterministiske? Det er det ikke så lett å avgjøre. Så lenge vi betrakter rent matematiske system, sies det at systemet viser deterministisk kaos når prosessen er kritisk avhengig av initialbetingelsene. Har vi eksakt samme initialbetingelser og gjør beregninger om og om igjen, får vi samme svar. Systemet er deterministisk i så måte. Matematikere kan betrakte problemet med initialbetingelser som en problem kun knyttet til regnenøyaktighet på en datamaskin. En matematiker kan i prinsippet se for seg en uendelig stor

9 Side 9 nøyaktighet. Og for en uendelig stor nøyaktighet er systemet deterministisk. For en fysiker er det imidlertid annerledes. Naturen er ikke kontinuerlig når en går mot mindre og mindre størrelser. Alle prosesser i naturen har en viss usikkerhet både i rom, tid og energi, om ikke annet så i alle fall gitt ut fra Heisenbergs uskarphetsrelasjoner. Det er med andre ord en grense for hvor nøyaktig initialbetingelser overhodet lar seg spesifisere for et fenomen i naturen. Det kommer ikke bare an på målenøyaktighet, det er en grunnleggende egenskap med naturen. Det betyr at for et kaotisk system vil det alltid være slik at det vil bare være mulig å forutsi hva som skjer i fremtiden en viss karakteristisk tid. Bare i denne tiden kan vi betrakte systemet som deterministisk. Det vil være en gradvis overgang fra det vi naturlig vil kalle deterministisk til ikke-deterministiske forhold. Det betyr at selv for planetbevegelser er det slik at ved enhver tid er planetenes videre bevegelser avhengig av prosesser av statistisk natur. Uavhengig av våre beregninger eller ikke, vil det være totalt umulig å forutsi planetenes bevegelser ut over en viss tid, selv om vårt solsystem var alene i denne verden. Kanskje filosofenes spørsmål om naturen er deterministisk eller ikke, heller burde endres til å bli: Under hvilke forhold kan vi i praksis si at dette systemet deterministisk, og under hvilke forhold kan vi ikke lenger si at det er deterministisk? Naturen synes å kunne være begge deler! * Dersom vi nå går tilbake til meteorologi, er poenget med ulike sluttresultat for litt ulike startbetingelser omtalt som sommerfugleffekten. I prinsippet tilsier denne effekten at været i Norge i prinsippet vil avhenge av hvorvidt en sommerfugl på de vestindiske øyer slår med vingene sine eller ikke. Og i prinsippet er det nok faktisk slik! Men det er i de senere år avklart at det selv om en ikke kan omgå dette prinsippet, er det fortsatt mulig å forutsi været langt bedre enn i dag. Det er med andre ord ikke slik at sommerfugleffekten er den begrensende faktor i meteorologien nå. I dag er det mangelfulle modeller og for få og unøyaktige initialbetingelsene som setter begrensingen. Videre lesning Hvorfor har vi tatt med litt kaosteori i FYS-MEK1110? Grunnen er at klassisk mekanikk ofte løses ved hjelp av Newtons lover, spinnsatsen og liknende, og disse lovene er egentlig differentiallikninger. Og har vi en differentiallikning og oppgitt initialbetingelsene, kan vi løse likningen og finne løsningene for systemet for all fremtid. Denne fremgangsmåten er fortsatt den mest vanlige, men for visse prosesser er den ubrukelig. For kaotiske system bruker vi iterativ avbildning for å finne tidsutvikling til et system i stedet for å søke en differentiallikning. Det er vår mening at dagens fysikkstudenter bør kjenne litt til kaosteori. Hensikten med dette skrivet var å gi en liten forsmak på hva kaosteori går ut på. Vår fremstilling er ikke presis, men gir forhåpentligvis et visst grunnlag for videre arbeid med stoffet, blant annet i oblig 3. For mer systematisk og presis behandling av stoffet henvises de mest interesserte til et av mange lærebøker på dette området. Det finnes mange bøker på området. Personlig synes jeg at de fleste bøkene er litt for matematisk preget, og at de ikke knytter formalismen så tett opp til fysiske eksempler som jeg kunne ha ønsket.

10 Side 10 Kaos finnes i mange systemer i naturen. Noen har spekulert på om kaosteori og kvantefysikk har fellestrekk. Kaosteori er også anvendt i forsøk på å forstå de kaotiske bevegelsene til månene Prometheus og Pandora rundt Saturn. Unormale detaljer i banene til disse to månene har vært en uløst gåte siden En norsk astronom har i 2004 i samarbeid med andre vist at også bevegelsen til måner rundt Uranus viser en kaotisk oppførsel. Dette er bare tre eksempler av svært mange. Aktuell litteratur for de mest interesserte: Jan Frøyland: Introduction to chaos and coherence. Bristol : Institute of Physics Publ., (Generell tekst om kaos skrevet av en av de ansatte ved Fysisk institutt. Kan lånes på biblioteket.) Alejandro L. Garcia: Numerical methods for physics. 2. Ed. Prentice Hall, (Basert på Matlab og C++) Richard H. Enns, George C. McGuire: Computer algebra recipes for classical mechanics. Birkhauser / Springer, (Basert på Maple) Stephen Lynch: Dynamical systems with applications using Matlab. Birkhauser / Springer, (Basert på Matlab) Martin C. Cutzwiller: Chaos in classical and quantum mechanics. Springer, (Ikke så mye datamaskinbasert. Litt gammel bok, men interessant fordi den viser en del koblinger mellom kaotiske systemer og kvantefysikk. Litt for vanskelig for de fleste på nåværende nivå i utdanningen, men kanskje av interesse senere?)