PRODUKT-OG PROSESSOPTIMALISERING FRÅ EIN STATISTISK SYNSVINKEL. Respons prosessutbyte y produktkarakteristikk 80 70 styrke 60 50 40 50 temp 00 50 7 poly RESPONSFLATEMETODIKK (BOX-WILSON, 95) Forsøksplanlegging Regresjonsanalyse Optimering
DETERMINISTISK OPTIMALISERINGSPROBLEM kjende Maksimer y = f x, x,, x ) Start x 0 = x x 0 0 x n 0 ( n Iterer x = x + f( x ) k+ k αk k * La optimum vere i x Dersom * x m tilstrekkeleg nær x f x) f ( x ) + f( x )'( x x ( m m m ) + ( x x m )' F(x m )(x x m ) x m [ ] + = xm F(xm) f(xm) x* xm [ F(xm) ] f(xm)
REALISTISK PROBLEM ukjende labprosedyrer, labutstyr, målefeil, råmaterialer y = f x, x,, x ) + ε ( n Treng samle inn informasjon om y og kva faktorar som påverkar prosessen eller produktet FORSØKSPLANLEGGING. Varier fleire faktorar samstundes. Sekvensiell eksperimentering STEG VED UTFØRING AV FORSØK. Kva problem vil ein finne noko ut av Variable som inngår: Respons, forklaringsvariable (faktorar) 3. Design 4. Nivå på faktorane 5. Korleis utføre forsøket? Kven? Randomisering? Blokkdeling? Fraksjonering? 6. Innsamling av data. 7. Analyse: Utrekning av effektar, vurdering av signifikans. 8. Tolkning og konklusjon
EKSEMPEL y er styrken av innpakningspapir av plastikk. y avheng av tilverkinstemperatur T og tilsats av polyethelen P Målt på ein bestemt skala er: ( + y = f T, P) = 0 + 0.55T +.5P 0.005T 0.375P 0. 05TP som gjev at styrken har maksimum for P = 9. og T = 6 C Men dette er ukjent for oss: Vi må difor ta i bruk forsøksplanlegging, kunnskapar om optimering og regresjonsanalyse for å løyse problemet. Eller det som kallast responsflatemetodikk.
Det blei tilrådd å undersøke responsen rundt verdiane T = 40 C og P = 4%. Verdiane 60 og 0 blei valgt som høgt og lågt nivå for T. For P blei verdiane 6 og valgt. La 40 x = T og 0 x 4 = P Eit forsøk med tre senterpunkt blei utført og resultata er synt i tabellen nedanfor: 6 5 poly 4 3 0 30 40 temp 50 60 x 0 - - 0 x
T P x x y 0 - - 5 60 + - 6 0 6-60 60 6 + 70 40 4 0 0 6 40 4 0 0 63 40 4 0 0 65 80 70 styrke 60 50 40 50 temp 00 50 7 poly
Regression Analysis The regression equation is styrke = 6.0 + 5.00 temp + 4.00 poly + 0.00 tempxpoly Predictor Coef StDev T P Constant 6.0000 0.865 75.93 0.000 temp 5.000.080 4.63 0.09 poly 4.000.080 3.70 0.034 tempxpol 0.000.080 0.00.000 S =.60 R-Sq = 9.% R-Sq(adj) = 84.3% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression 3 64.000 54.667.7 0.037 Residual Error 3 4.000 4.667 Total 6 78.000 Source DF Seq SS temp 00.000 poly 64.000 tempxpol 0.000 Fractional Factorial Fit Estimated Effects and Coefficients for styrke (coded units) Term Effect Coef StDev Coef T P Constant 6.0000 0.865 75.93 0.000 temp 0.0000 5.0000.080 4.63 0.09 poly 8.0000 4.0000.080 3.70 0.034 temp*poly 0.0000 0.0000.080 0.00.000 Analysis of Variance for styrke (coded units) Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Main Effects 64.000 64.000 8.0000 7.57 0.0 -Way Interactions 0.000 0.000 0.0000 * * Residual Error 3 4.000 4.000 4.6667 Curvature 9.333 9.333 9.3333 4.00 0.84 Pure Error 4.667 4.667.3333 Total 6 78.000
Vi får modellen y ˆ = 6 + 5x + 4x ŷ 5 = 4. Forsøk langs gradienten gav følgjande resultat: T P x 65 6.5 7 90 8.50 77 5 0 3.75 3 79 40 5.00 4 76 65 4 6.5 5 70 x y 5 0 poly 5 00 50 00 50 temp
Eit nytt forsøk blei utført rundt rundt T = 5 og P = 0. Resultata er synt 5 nedanfor med = T 0 x og x 0 = P. T P x x y 95 8 - - 78 35 8-76 95-7 35 75 5 0 0 0 79 5 0 0 0 80 5 0 0 0 8 5 0 poly 5 00 50 temp 00 50
Fractional Factorial Fit Estimated Effects and Coefficients for C3 (coded units) Term Effect Coef StDev Coef T P Constant 77.86.39 55.53 0.000 C 0.500 0.50.84 0.4 0.90 C -3.500 -.750.84-0.95 0.4 C*C.500.50.84 0.68 0.546 Analysis of Variance for C3 (coded units) Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Main Effects.5000.5000 6.50 0.46 0.669 -Way Interactions 6.500 6.500 6.50 0.46 0.546 Residual Error 3 40.6786 40.6786 3.560 Curvature 38.6786 38.6786 38.679 38.68 0.05 Pure Error.0000.0000.000 Total 6 59.486 Analysen indikerer at.ordens effektane og samspelet ikkje er signifikante, men at det er krumming i responsen.
.5.0 0.5 x 0.0-0.5 -.0 -.5 -.5 -.0-0.5 0.0 0.5.0.5 x Row T P x x styrke 95 8.00 -.00 -.00 78.0000 35 8.00.00 -.00 76.0000 3 95.00 -.00.00 7.0000 4 35.00.00.00 75.0000 5 5 0.00 0.00 0.00 79.0000 6 5 0.00 0.00 0.00 80.0000 7 5 0.00 0.00 0.00 8.0000 8 87 0.00 -.4 0.00 74.0000 9 43 0.00.4 0.00 76.0000 0 5 7.0 0.00 -.4 77.0000 5.80 0.00.4 7.0000
Response Surface Regression Estimated Regression Coefficients for styrke Term Coef StDev T P Constant 79.998 0.4459 79.39 0.000 temp 0.479 0.735.75 0.40 poly -.76 0.735-6.44 0.00 temp*temp -.380 0.363-7.94 0.00 poly*poly -.63 0.363-8.064 0.000 temp*poly.50 0.386 3.37 0.03 S = 0.774 R-Sq = 96.7% R-Sq(adj) = 93.4% Analysis of Variance for styrke Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Regression 5 87.564 87.564 7.55 9.35 0.00 Linear 6.5784 6.5784 3.89.7 0.003 Square 54.7340 54.7340 7.3670 45.87 0.00 Interaction 6.500 6.500 6.500 0.48 0.03 Residual Error 5.9830.9830 0.5966 Lack-of-Fit 3 0.9830 0.9830 0.377 0.33 0.8 Pure Error.0000.0000. Total 0 90.5455
Contour Plot of C6.5.5 70 75 80 poly 0.5 9.5 8.5 7.5 90 00 0 0 30 40 temp
80 75 styrke 70 65 -.5 -.0-0.5 temp 0.0 0.5.0.5.5.0 0.5 0.0-0.5 -.0 -.5 poly Estimert respons er : y ˆ = 80 + 0.48x.76x.38x.36x +.5x x som har maksimum for x = 0. 03 og x = 0. 34. Dette gjev T = 5. 3 og P = 9. 3 som er rimeleg nær verdiane 6 og 9..
VIKTIGE TEMAER. SCREENING DESIGN.?? [ y] f ( x, x,, x ) E = n Plackett-Burman design (ortogonale to-nivå design) Supermetta design. ROBUST DESIGN EKSPERIMENTERING. kontrollfaktor miljø(støy)- faktor y ( x, z) = β0 + x'b + x'bx + z'γ + x' z + e min Var z [ y( x, z) ] x subject to E [ y( x, z) ] = m z Split-plot eksperimentering Kvalitetsrørsla: KONTINUERLEG ALDRI OPPHØRANDE FORBETRING. EVOP: Brukt på prosessar i drift -3 faktorar Introduserer små forandringar i desse. k forsøk
Contour Plot of C6.5.5 70 75 80 poly 0.5 9.5 8.5 7.5 90 00 0 0 30 40 temp MULTIPLE RESPONSAR. Bruk av kontur plott lagt oppå einannan. Desireability funksjonen (Nyttefunksjonen) Optimalisering av ein respons med restriksjonar på dei andre. Bruk av avstandsmål frå optimalpunkt for kvar einskild respons.