UNIVERSITETET I OSLO Det matetmatisk-naturvitenskapelige fakultet Konteeksamen i AST1100, 11 januar 200, 9.00 12.00 Oppgavesettet inkludert formelsamling er på 13 sider Konstanter og formelsamling finner du bakerst Vær nøye med å forklare formlene du bruker: når du bruker formler fra formelsamlingen, forklar veldig kort hvorfor du bruker denne formelen og nevn hva symbolene i formelen står for. Selv om svaret er riktig, gies det ikke poeng på en oppgave hvis man ikke viser at man har forstått fysikken bak (dette gjelder spesielt oppgaver hvor svaret er oppitt). Hvis du bruker formler som ikke er oppgitt og som ikke er grunnleggende fysiske formler (dette skulle ikke være nødvendig) så må formlene vises. Noen oppgaver er merket krevende eller kort : krevende : Oppgaven vil gi flere poeng enn de andre oppgavene hvis den er besvart i sin helhet, men flere overganger er nødvendig for å komme frem til svaret. På disse oppgavene vil det bli gitt poeng for alle skritt i riktig retning. (Det betyr ikke nødvendigvis at oppgaven er veldig vanskelig eller krever mye regning, det betyr bare at man trenger å bruke litt fysisk forståelse og mer enn en utregning for å komme frem til svaret) kort : Oppgaven gir litt færre poeng enn gjennomsnittet og det forventes ikke en lang besvarelse. Spørsmålene kan besvares på enten bokmål, nynorsk eller engelsk. You may answer these questions in either Norwegian or English. Medbrakt kalkulator er tillatt. Oppgave 1 1. (a) Elementærpartikler deles i to hovedgrupper. Hva heter disse to hovedgruppene og kan du gi et eksempel på en partikkel i hver av gruppene? (b) Den ene av disse gruppene kan igjen deles i to undergrupper: baryoner og leptoner. Det finnes 6 kjente leptoner (vi ser bort fra antipartikler), hva heter disse? (c) Det finnes også 6 kjente byggestener for baryonene. Hva heter disse med et samlenavn? (trenger her ikke navnet på hver av de 6). 1
2. (kort oppgave) (a) Vi skal her se på noen slike partikler, men først skal vi finne noen genrelle egenskaper ved å bruke spesiell relativitetsteori. Skriv ned firermomentet til en partikkel, uttrykt ved energien E og tre-vektormomentet p. (b) Bruk skalarprodukt for firervektorer (det blir ikke gitt poeng for andre fremgangsmåter) til å finne en generell relasjon mellom energi E, moment p og masse m for en partikkel. (c) Bruk denne relasjonen til å vise at E = p for fotoner. 3. (a) Vi skal nå se på noen partikler i den kosmiske strålingen. Kosmisk stråling er høyenergetiske partikler fra f.eks. supernovaeksplosjoner. Når partiklene i den kosmiske strålingen kommer inn i jordatmosfæren, kolliderer de med molekyler i atmosfæren. I denne kollisjonen dannes ofte elementærpartikler kalt pi-mesoner. Det finnes tre typer pi-mesoner, Π +, Π og Π 0. Vi skal her for enkelhets skyld kun se på Π som har en masse på M Π = 139.6 MeV. Pi-mesoner lever bare veldig kort tid før de desintegerer i et myon (et myon har masse på M m = 105.7 MeV) og et myon-assosiert anti-nøytrino: Π µ + ν µ. Myonet og nøytrinoet kommer frem til jordoverflaten. Desintegrasjonen er fremstilt i figure 1. Pionet har energi E Π og moment p Π, myonet har tilsvarende energi E m og moment p m og nøytrinoet som vi skal anse som masseløst, har energien E n. Nøytrinoet beveger seg i retningen av enhetsvektoren ˆn. Skriv opp firermomentene til disse tre partiklene uttrykt ved disse størrelsene. (b) Bruk en bevaringslov for firermoment samt skalarprodukt til å finne en enkel relasjon mellom massen til pi-mesonet M Π, energien til nøytrinoet E n, energien E m og momentet p m til myonet, samt vinkelen θ mellom bevegelsesretningen til myonet og nøytrinoet. Ingen andre størrelser skal inngå i uttrykket. hint: Så lenge du bruker firervektorer og skalarprodukt så er dette en veldig kort utregning. (c) Anta at følgende er tilfelle: Vi detekterer et stort antall myoner på jordoverflaten og disse har alle totalenergi på omtrent 1000 MeV. Hvis vi nå lager oss en detektor for å registere myon-assosierte antinøytrinoer på jordoverflaten, i hvilket energiintervall ville du forvente å finne nøytrinoene som kommer fra desintegrasjon av pi-mesoner? Anta at myonene og nøytrinoene kommer uhindret frem til jordoverflaten. Gi svaret i MeV. 2
p Π E Π Π E p m m µ θ ν µ E n n Figure 1: For oppgave 1.3 3
Abs. magnitude M 6 4 2 0 2 4 6 10 12 Sun 14 O B A F G K M Spektralklasse Figure 2: For oppgave 2.1 Oppgave 2 1. I figur 2 ser vi et HR-diagram for en åpen stjernehop. Vi skal anslå alderen til hopen. Vi vet at solens levetid blir total ca. 10 milliarder år. Vi vet også at en stjernes levetid avhenger av luminositet og derav dens masse. Bruk dette samt diagrammet til å anslå hopens alder. 2. (kort oppgave) I figur 3 ser vi et generelt HR-diagram for hovedserien. I figur 4 ser du et bilde av en åpen stjernehop med målte tilsynelatende magnituder skrevet ved siden av noen hovedseriestjerner. Gi et anslag på avstanden til hopen. Vær nøye med å forklare hva du gjør. 4
Abs. magnitude M 6 4 2 0 2 4 6 10 12 14 O B A F G K M Spektralklasse Figure 3: For oppgave 2.2 13 12 11 10 9 7 6 5 4 3 2 1 bueminutter (G0, m=15.3) (O1, m=.1) (A5, m=11.5) (M3, m=1.9) (F5, m=13) 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 19 20 Figure 4: For oppgave 2.2 bueminutter 5
Oppgave 3 1. I denne oppgaven skal se på en hovedseriestjerne. Anta at kjernen i denne stjerna strekker seg ut til avstanden 0.2R fra sentrum, hvor R = 1.5R er radien til stjerna. Vi antar at all energi produseres innenfor 0.2R ved pp-prosessen. Anta at stjerna er i hydrostatisk likevekt og at tettheten i kjernen er uniform. Anta videre at temperaturen i sentrum T C = 17 10 6 K og at temperaturen avtar utover fra kjernen som T(r) = T C Cr, hvor C = 1.42 K/m. Anta også at det eneste trykket som vi trenger å ta hensyn til er trykket til ideel gass. Anta også at kjernen for det meste består av hydrogenkjerner. Hva er tettheten i kjernen til stjerna? (Hvis du ikke får til denne oppgaven skal du bruke en tetthet på ρ = 2 10 5 kg/m 3 videre) 2. (krevende oppgave) Vi skal fortsette med stjerna fra den foregående oppgaven. Stjerna blir observert til å ha tilsynelatende magnitude +13. I denne oppgaven skal vi anta at T = T C i hele kjernen. Vi skal også anta at stjernen har brukt opp 10% av hydrogenet i kjernen. Hva er avstanden til stjerna? (Hvis du ikke får til denne oppgaven skal du bruke en avstand på d = 7kpc videre) 3. (kort oppgave) Anta at stjernen i foregående oppgave var del av et dobbeltstjernesystem, et system av to stjerner A og B som går i bane omkring et felles massesenter. Stjerna i den foregående oppgaven kaller vi A, den andre stjerna (B) i systemet har en tilsynelatende magnitude +12. Nå eksploderer B som en supernova og får da en tilsynelatende magnitude på -4.6. Hvor mye energi frigjøres pr. sekund i eksplosjonen? (gi svaret i Watt). (Hvis du ikke får til denne oppgaven skal du bruke 10 36 W videre) 4. (krevende oppgave) Anta at energien i lys fra supernovaen bare er 10% av den totale energien som frigjøres i eksplosjonen. Anta at 50% av totalenergien går over i nøytrinoer (som vi skal se på som masseløse) i elektroninnfangingsprosessen p + e n + ν Vi skal for enkelhets skyld anta at alle protoner, elektroner og nøytroner alltid har kinetisk energi som tilsvarer den midlere kinetiske energien en partikkel forventes å ha i en gass med temperatur T = 10 14 K. Anta at 10% av nøytrinoene som produseres i denne prosessen slipper ut av stjernen. Vi har satt opp en nøytrinodetektor på jorda som er et basseng med areal 10km 10km fylt med vaskemiddel. Anta at kun 2 av 10 15 nøytrinoene som passerer gjennom detektoren blir registert. Hvor mange nøytrinoer blir totalt registert per dag i detektoren fra denne eksplosjonen? 6
1/100 buesekunder 13 12 lysstrale som blir slukt 11 10 9 sort hull θ 1 lysstrale som unslipper 7 6 θ 2 5 4 3 stjerne A 2 1 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 19 20 Figure 5: For oppgave 3.5 1/100 buesekunder 5. Etter eksplosjonen blir stjerne B et sort hull med masse M = 10M. Vi skal nå se bort fra massen til stjerne A og anta at den eneste massen som bidrar til krumning av rommet (gravitasjonskrefter) er det sorte hullet B. I figure 5 ser vi noen lysstråler fra stjerne A som går ut i forskjellige vinkler θ med linjen mellom stjerne A og B. For småvinkler θ blir lysstrålene fanget opp av det sorte hullet (som for θ 1 i figuren) mens for store vinkler (som θ 2 i figuren) slipper de unna. (a) Hva er grensevinkelen θ som er slik at en lysstråle akkurat unnslipper det sorte hullet? hint: θ er en liten vinkel. (b) Hva skjer med lys som blir sendt ut med en vinkel nøyaktig lik θ? 7
Konstanter og uttrykk som kan være nyttige: Lyshastigheten: c = 3.00 10 m/s Plancks konstant: h = 6.626 10 34 J s Gravitasjonskonstanten: G = 6.673 10 11 Nm 2 /kg 2 Boltzmanns konstant: k = 1.3 10 23 J/K Stefan Boltzmann konstant: σ = 5.670 10 W/m 2 K 4. Elektronets hvilemasse: m e = 9.1 10 31 kg Protonets hvilemasse: m p = 1.6726 10 27 kg Nøytronets hvilemasse: m n = 1.6749 10 27 kg Wiens forskyvnigslov: λ max T = 0.0029 m K 1 ev (elektronvolt) = 1.60 10 19 J Solmassen: M = 2 10 30 kg Solradien: R = 6.9 10 m. Solas tilsynelatende magnitude: m = 26.7 Solas luminositet: L = 3.27 10 26 W Massen til Jupiter: 1.9 10 27 kg Temperaturen på solens overflate: 570 K Astronomisk enhet: 1AU = 1.5 10 11 m Hubblekonstanten: H 0 = 71 km/s/mpc lysår: 1 ly = 9.47 10 15 m parsec: 1 pc = 206 265 AU = 3.27 ly Formler vi har brukt/utledet i kurset: P 2 = P 2 = a 3 4π 2 G(m 1 + m 2 ) a3 r + m r r 3 = 0 p r = 1 + e cosf p = h 2 /m p = a(1 e 2 ) p = a(e 2 1) p = 1/2a (ellipse) (hyperbel) (parabel)
N m i r i = MR i=1 m p sin i = m2/3 v r P 1/3 (2πG) 1/3 < K >= 1 2 < U > U = 3GM2 5R B(ν) = 2hν3 c 2 1 e hν/(kt) 1 L = de dt F = de dadt F = σt 4 ( m ) 3/2 n(v)dv = n e mv 2 /(2kT) 4πv 2 dv 2πkT λ FWHM = 2λ 0 2kT ln 2 c m ( ) F1 m 1 m 2 = 2.5 log 10 F 2 ( ) d m M = 5 log 10 10pc U B = M U M B = m U m B B V = M B M V = m B m V M V = 2.1 log 10 P d 1.43 M V = 3.53 log 10 P d 2.13 + 2.13(B V ) τ(λ) = v = H 0 d p r 0 dr n(r )σ(λ, r ) ( ) d m(λ) = M(λ) + 5 log 10 + 1.06τ(λ) 10pc s 2 = t 2 x 2 ( ) λ 1 + v λ = 1 v 1 9
c µν = γ rel v rel γ rel 0 0 v rel γ rel γ rel 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 < E K >= 3 2 kt N = M µm H ( ) 3/2 ( ) 1/2 5kT 3 M J =. Gµm H 4πρ ρ(r) d2 r dp(r) = ρ(r)g(r) dt2 dr P = ρkt µm H P r = 1 3 at 4 s 2 = ( 1 2M r ρ r = at 4 ) t 2 r2 1 2M r r 2 φ 2 M m t shell = = G M kg c 2 1 2M r t r r shell = 1 2M r ( E m = 1 2M ) dt r dτ L dφ = r2 m dτ t = ( E/m ) τ 1 2M r φ = L/m r 2 τ 10
) [ 2 ( ) ] 2 ( r = ± ( E L/m 1 + 1 2M ) τ m r r V eff (r) m = ( r = ± 1 2M r V eff (r) m = 1 (L/m) 2 2 r 2 M r ( 1 2M r r φ = ± L/E r ) [ 1 + (L/m)2 r 2 ) 1 ( 1 2M r ( 1 2M r ] ) (L/E) 2 t ) t r 2 b = L p V eff = 1 r 1 2M r b crit = 3 3M φ = 4M R 4M(d source d lens ) θ E = d lens d source U = 1 Z A Z B e 2 4πǫ 0 r ( ) 3/2 2 n A n E B r AB = dee E/kt σ(e) kt µπ 0 r AB X A X B ρ α T β ε AB = ε 0 X A X B ρ α T β ε pp ε 0,pp X 2 H ρt 4 6 ε 0,pp = 1.0 10 12 Wm 3 /kg 2 ε CNO = ε 0,CNO X H X CNO ρt 20 6 ε 0,CNO =.24 10 31 Wm 3 /kg 2 ε 3α = ε 0,3α ρ 2 X 3 HeT 41 ε 0,3α = 3.6 10 1 Wm 3 /kg 2 L M 4 t 1/M 3 11
M T 2 eff P = 1 p v n(p)dp 3 0 ( ) 3/2 1 n( p) = n e p2 /(2mkT) 2πmkT g(e) n(e) = e (E EF)/(kT) + 1 1 2 n( p) = e (p2 p 2 F )/(2mkT) + 1 h 3 ( ) 2/3 E F = h2 3ne m e π ( ) 2/3 3 h 2 P = n 5/3 e π 20m e P = hc ( ) 1/3 3 n 4/3 e π < E K >= 3 5 E F ( ) 4/3 3 h 2 ( ) 5/3 Z R WD M 1/3 2π 20m e G Am H ( ) 3/2 ( ) 2 3/2 hc Z M Ch 1.4M 2π G Am H [ ] r s 2 = t 2 R 2 2 (t) 1 kr 2 + r2 θ 2 + r 2 sin 2 θ φ 2 H(t) = 1 dr(t) R(t) dt z = R 0 R(t) 1 Ṙ 2 (t) 3 πgρ(t)r2 (t) Λ 3 R(t)2 = k R(t) = 4 3 πg(ρ(t) + 3P(t))R(t) + Λ 3 R(t) ρ C (t) = 3H2 (t) πg Ω(t) = ρ(t) ρ C (t) d dt (ρr3(1+w) ) = 0 12
( R0 ρ(t) = ρ 0 R(t) ( t R(t) = t 0 ) 3(1+w) ) 2 3(1+w) 1 q(t) = R(t)H 2 (t) q(t) = 1 2 Ω(t) F = L 4πd 2 L d L = r(1 + z)r 0 ρ Λ = Λ πg d 2 R(t) dt 2 P Λ = Λ πg n n = e (mn mp)/kt n p n(t 1 ) 2(t1 t2)/τ = e ln n(t 2 ) d L = 1 H 0 q0 2 [q 0 z + (q 0 1)( 1 + 2zq 0 1)] v = H 0 d p 13