Permutasjoner og symmetriske grupper

Permutasjoner og symmetriske grupper Verbet permutere betyr å bytte om, og ombyttinger, eller altså permutasjoner, er noe vi kjenner fra dagliglivet. I matematikk er de også flittig i bruk, de fleste har vel brukt symmetriargumenter i en oppgaveløsning, av typen å bytte om variablene i en funksjon, det vil si erstatte f(x, y) med f(y, x), ogvetvinoeforholdemellomdissetofunksjonen, kan vi ofte utlede egenskaper ved f. Vi har allerede sett flere eksempler på permutasjoner. Da vi innledningsvis studerte symmetrigruppen til et kvadrat, så vi at hver av de åtte kvadratsymmetriene permuterte kvadratets hjørner, og at symmetrien faktisk var bestemt av permutasjonen. Det var en grei måte å holde orden på hva som skjedde med hjørnene. Itilleggtilåbytteomhjørnene,permutererogsåkvadratsymmetrienebådediagonalene i kvadratet og linjene som forbinder midtpunktene til to motstående sider. For eksempel vil en rotasjon på 90 ipositivretningtilsvarepermutasjonenuttrykt ved A B C D og den vil både bytte om de to aksene og de to symmetrilinjene y = x og y = x. Speilingen gjennom x-aksen bytter om hjørnene B og D, menlarbådea og C iro. Den lar begge aksene i ro (den skifter riktig nok fortegn på koordinaten til punkter på y-aksen, men i denne sammenhengen er poenget at y-aksen avbildes på seg selv), og den permuterer de to andre symmetrilinjene. B B C A C A D D rotasjon med 90 Definisjon av symmetriske grupper Ienmatematisksamenhengerenpermutasjon av en mengde X en bijeksjon fra X til X, altsåenavbildning : X! X som både er injektiv og surjektiv, og som derfor har en invers avbildning. Vi skal utelukkende beskjeftige oss med permutasjoner av

endelige mengder, og skal ha som gjennomgående hypotesde at X er en endelig mengde. Ieksempletovenfordervisåpåpermutasjonensomenrotasjonpå90 induserer, var det hjørnene {A, B, D, E} som ble permutert eller for å være helt korrekt er X = {A, B, D, E} mengden av betegnelser på hjørnene. Med en permutasjon eller en ombytting av elementene i X skal vi forstå en bijeksjon : X! X. Mengden av alle permutasjoner av X betegner vi med Sym(X) eller stundom med S X,ogvikallerdenfordensymmetriske gruppen til X. Viharaltså: Sym(X) = { : X! X er en bijeksjon }. Vi vet at sammensetningen av to bijeksjoner er en bijeksjon, så sammenseting definerer en binær operasjon på Sym(X). Detfinnesenidentitetsavbildning id X : X! X (gitt ved id X (x) =x) somfungerersomnøytraltelementforsammensetning,i.e., id X = id X = for alle 2 Sym(X), ogsiden er en bijeksjon har en invers. Når vi også vet at sammensetning av avildninger er en assosiativ operasjon, ser vi at Sym(X) er en gruppe under sammensetning: Setning 1 Med sammensetning av avbilninger som binær operasjon er Sym(X) en gruppe. For de spesielle mengdene I n = {1, 2,...,n} somaltsåbeståravden første naturlige tallene skriver vi S n istedenfor Sym(I n ),ogvikaller 1 S n for den symmetriske gruppen på n bokstaver. Blant de symmetriske gruppene er det i det store og det hele gruppene S n vi skal arbeide med, men det er viktig å vite at det svært ofte er andre mengder som permuteres. De fleste resultater om S n kan lett overføres til Sym(X) om X er endelig mengde med n elementer. Mekanismen som gjør det mulig, er velkjent fra hverdagslivet, og består i å nummerere elementen i X. En permutasjon av elementene i X vil selvsagt være ekvivalent med en permutasjonen av numrene. Det var nærmest det vi gjorde med hjørnene til kvadratet, bortsett fra at vi merket dem med bokstaver istedenfor å nummerere dem. En slik nummerering av en endelig mengde X med n elementer er ikke annet enn en bijektive avbildning : X! I n.vikantenkepå (x) 2 N som nummeret til x 2 X. At er injektiv, reflekterer at to forskjellige medlemmer i X ikke har samme nummer, og at er surjektiv, betyr at vi ikke bruker flere numre enn nødvendig er. Det er åpenbart klart at å permutere elementer i X er nøyaktig det samme som å permutere numrene. Eksempel. Dersom x 1,...,x n er n variable, og 2 S n en permutasjon av I n,såvil avbildningen x i 7! x (i) være en permutasjon av variablene. En funksjon f(x 1,...,x n ) 1 Det er forunderlig at man sier bokstaver når mengden vitterlig består av tall, men slik er nå tradisjonen. 2

gir opphav til en ny funksjon 2 som vi skal betegne med f,ogsomerdefinertved f (x 1,...,x n )=f(x (1),...,x (n) ). Man sjekker at om 2 S n også er en permutasjon, så er f =(f ). e Oppgave 1. Finn en lineær funksjon, en funksjon av grad 2 og en av grad 3 idetre variablene x 1,x 2,x 3 som er invariant under hele S 3, i.e., f = f for alle permutasjoner 2 S 3. X Vi skal nå matematisk presisere nummereringsmekanismen vi nevnte. Samtidig gjør vi en liten generalisering, lar Y være en generell mengde og : X! Y en bijeksjon. Man kan tenke på det som at vi merker elementene i X, ikkemedtall,menmedmerker fra Y. Definer : Sym(X)! Sym(Y) ved ( )= 1 : ( ) Da har vi Y X X Y 1 Setning 2 Avbildningen : Sym(X)! Sym(Y) er en gruppeisomorfi. Bevis: Om 0 er et annet element i Sym(X) finner vi ( 0 )= 0 1 = 1 0 1 = ( ) ( 0 ), som viser at er en gruppehomomorfi. At er invertibel, følger fordi avbildning 0 ( ) = 1 er en invers til. o Antall permutasjoner av n elementer Det er selvsagt avgjørende å kjenne ordenen til de symmetriske gruppene, eller sagt annerledes, å vite på hvor mange forskjellige måter det går an å permutere elementene ienmengdemedn elementer: Setning 3 Ordenen til den symmetriske gruppen S n er n!. Bevis: Vi bruker induksjon på n. Omn =1holder satsen siden det kun finnes én permutasjon av I 1 = {1}, nemligidentiteten. 2 Den kan skje at dette blir samme funsjon. I så fall sier vi at f er symmetrisk. 3

Anta at satsen holder for n 1. Laossførstsepådepermutasjonene 2 S n slik at (n) = n. Dissepermutererkunden 1 første tallene, og derfor er det (n 1)! slike etter induksjonshypotesen. La nå i være et vilkårlig heltall mellom 1 og n, ogla 2 S n være en permutasjon slik at (i) =n. Om (n) =i, er = slik at (n) =n. Følgelig er det (n 1)! mulige -er, og derfor også (n 1)! mulige -er siden = 1. Siden i kan velges på n forskjellige måter, gir dette oss til sammen n(n 1)! = n! elementer i S n. o For å gi en viss følelse for hvor store de symmetriske gruppene er, har vi laget en tabell der vi lister opp ordenen til S n for n opptil 10. Viseratenmengdemed 10 elementer som ikke er veldig mange har godt over tre og en halv million permutasjoner. Det er god del, men allikevel skal vi etterhvert se at vi har svært god oversikt over gruppen S 10.Nårn vokser, vokser n! svært fort, og passerer antall mennesker i verden, om det er noe mål, allerede for n =13,viharnemligat13! = 6227020800 og n! passerer. n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 S n 2 6 24 120 720 5040 40 320 362 880 3 628 800 En notasjon Det finnes en rekke måter å beskrive hvordan en permutasjon virker. Her skal vi se på en av dem, og vi skal holde oss til de symmetriske gruppene S n av permutasjoner av tallene {1, 2,...,n}. La 2 S n være en permutasjon. Skrivemåten består i en 2 n matrise der den øverste raden greit nok er (1, 2, 3,...,n), ogdennedersteer ( (1), (2),..., (n))). Dennematrisenserslikut: 1 2... n (1) (2)... (n) Under hvert tall i skriver vi effekten har på i, altså (i). Foreksempelbetegner matrisen 1 2 3 4 S = 2 3 4 1 permutasjonen med (1) = 2, (2) = 3, (3) = 4, og (4) = 1. Denombyttingenhar vi tidligere illustrert på følgende måte: 1 2 3 4 (B) 4

Sammensetning Med denne skrivemåten finner man kvikt sammensetningen av to permutasjoner. Vi illustrer hvordan det gjøres gjennom følgende eksempel der vi setter sammen de to permutasjonene = 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 = Vi lager 3 n matrisen 0 1 1 2 3 4 5 @ 5 4 3 2 1A 5 4 2 3 1 1 2 3 4 5 1 3 2 4 5 der to to øverste radene er matrisen til,ogderviharfyltutdentredjeradenvedå plassere tallene (i) under i iannenrad.strykesnådenmidtersteraden,stårviigjen med 2 n-matrisen til sammensetningen : 1 2 3 4 5 = 5 4 2 3 1 Hvordan denne permutasjonen virker illustreres ved de to syklene på følgende figur: 2 3 4 1 5 (c) Sykler og sykliske permutasjoner La oss gripe fatt i noen av de permutasjonene vi allerede har stiftet bekjentskap med. Vi startert med permutasjonene av hjørnene til et kvadrat indusert rotasjonen r av kvadratet en vinkel på 90. Merker vi hjørnene med tallene 1, 2, 3 og 4, tar denne permutasjonen formen 1 2 3 4 Vi forenkeler notasjonen, dropper pilene og skriver (1, 2, 3, 4), derviogsåinnførerkonvensjonen om at det siste tallet i sekvensen skal avbildes på det første. Ser vi på permutasjonen i S 9 gitt ved (2, 4, 7, 9, 3, 5), beskrivesdenpågamlemåtensom 2 4 7 9 3 5 5

Vi viderefører også konvensjonen om at tall som ikke er nevnt, skal ligge i ro. Det betyr idettetilfeletat (1) = 1, (6) = 6 og (8) = 8. Definisjon av en sykel Generelt, om (x 1,x 2,...,x a ) er en sekvens av forskjellige elementer i en mengde X, definerer vi med utgangspunkt i denne sekvensen, en permutasjon av X. Dersom 1 apple i<askal den sende x i på den umiddelbare etterfølgeren i sekvensen og det siste elementet på det første, altså sendes x a på x 1.Allex 2 X som ikke forekommer i sekvensen, skal ligge i ro. De kalles fikspunktene til permutasjonen. Formelt defineres permutasjonen slik: 8 >< x j+1 om x = x j og 1 apple j<a (x) = x 1 om x = x a (Y) >: x om x ikke forekommer i sekvensen. Vi skriver = (x 1,x 2,...,x a ) og kaller for en syklus, ensykel, ellerensyklisk permutasjon. Vikallertalleta for lengden til syklen. En sykel som er av lengde to, kaller vi for en transposisjon. Idennekontekstenerdetviktigåhuskepåat(x 1,x 2,...,x 3 ) betegner permutasjonen og ikke sekvensen. Samme permutasjon kan nemlig representeres av flere forskjellige sekvenser. Hvor i syklusen vi tar utgangspunkt for beskrivelsen, betyr ikke noe for permutasjonen, men det gir forskjellige sekvenser. Det enkleste eksempelet er permutasjonen (1, 2) som bytter om 1 og 2 (og lar alle andre elementer som måtte være involvert i ro). Den kan vi også skrive som (2, 1). Likeledes er (1, 2, 3) og (2, 3, 1) samme permutasjon. På figuren nedenfor har vi illustrert permutasjonen (1, 2, 3, 4, 6), ogdersynesdetklartatvikanbrukeethvilketsomhelst tall mellom 1 og 6 på første plass i sekvensen. 1 6 2 5 3 4 Valget av elementet på første plass er faktisk den eneste variasjonen som gir samme permutasjon. Vi formaliserer dette: Setning 4 Gitt en sekvens (x 1,x 2,...,x a ) av forskjellige elementer i en mengde X. La være den sykliske permutasjonen som den definerer. For hvert heltall i, med2 apple i apple a, vil sekvensen (x i,x i+1,...,x a,x 1,x 2,...,x i 1 ) (M) 6

definere den samme permutasjonen. Omvendt, om en sekvens definerer formen (M) for en i., er den på Bevis: La være permutasjonen som defineres av sekvensen (M). Ved å bruke definisjonen (Y) påside6 av en syklisk permutasjon finner vi (x j )=x j+1 om i apple j<a. Videre finner vi at (x a )=x 1 og (x j )=x j+1 for 1 apple j<i.itillegger (x) =x for alle de x som ikke forekommer i sekvensen. Dette er presis samme definisjon som av i(m). Anta nå at en annen sekvens (y 1,...,y b ) også definerer.fikspunktenetil er presis de punktene som ikke er med i en definerende sekvens, det være seg den ene eller den andre. Derfor består de to sekvensene av de samme elementene, men muligens opptrer de i forskjellige rekkefølge. Etter en eventuell renummerering av x i -ene, kan vi anta at x 1 = y 1.Ogdafølger det fra (Y) vedinduksjonatx i+1 = (x i )= (y i )=y i+1 for alle i<a. o Sykler av lengde a er av orden a Det er også intuitivt ganske opplagt at uansett hvor vi begynner i en syklus av lengde a, må anvendes a ganger for å at vi skal komme tilbake til utgangspunktet; som en illustrasjon, se på 6-syklusen vi tegnet ovenfor. Allikevel spanderer vi et formelt bevis for dette: Lemma 1 Hvis er definert av sekvens av lengde a, såer av orden a. Bevis: Om (x 1,x 2,...,x a ) er en sekvens som definerer,såer i (x 1 ) = x i+1 for 1 apple i<a.derfor a (x 1 )= a 1 (x 1 )= (x a )=x 1.Visånettoppatvikunnevelge hvilket som helst element i syklusen til å være det første i en representerende sekvens. Derfor er a =id X.At i 6=id X for i<afølger siden elementene i sekvensen er antatt å være forskjellige, så i (x 1 )=x i+1 6= x 1. o Eksempel. Selv om er en syklisk permutasjon, så er ikke nødvendigvis alle potenser av sykliske. Det enkleste eksempelet er den sykliske permutasjonen =(1, 2, 3, 4). Regner vi ut virkningen av 2 finner vi at 1 og 3 byttes om og at 2 og 4 byttes om. Så 2 er ikke syklisk, men består av to sykler (1, 3) og (2, 4). e Oppgave 2. La =(1, 2, 3, 4, 5, 6) 2 S 6.Visat 2 =(1, 3, 5)(2, 4, 6) og at 3 = (1, 4)(2, 5)(1, 6). X Oppgave 3. Vis at om a og m er relativt primiske og er en syklisk permutasjon av orden a. Såer m syklisk. X 7

Disjunkte sykler kommuterer Gitt to sekvenser (x 1,...,x n ) og (y 1,...,y n ) fra en mengde X. Vilar og være de to syklene de definerer. Vi sier at syklene er disjunkt om sekvensene er det, det vil si at x i 6= y j for alle i og j mellom 1 og n. Foreksempeler(1, 2) og (3, 4) disjunkte, mens (1, 2) og (2, 3, 4) ikke er det. Det er nærmest selvinnlysende at to disjunkte permutasjoner og kommuterer, men det er allikevel en fundamental observasjon. Anta at og permuterer elementer fra en mengde som er en disjunkt union av undermengdene X og Y,ogantaat bare permuterer elementer i X, mens bare permutere elementer fra Y.Da er Vi har (z) = (z) = ( (z) om z 2 X (z) om z 2 Y. Setning 5 Dersom og er to disjunkte sykler, så er =. Eksempel. Ikke-disjunkte kommuterer ikke. Hvis og er to sykler som ikke er disjunkte, vil de generelt ikke kommuterer. Som et eksempel la oss se på de to transposisjonenen =(1, 2) og =(1, 3). Vedåfølgehvasomskjermeddeforskjellige tallene 1, 2 og 3, finnervi: =(1, 2)(1, 3) = (1, 3, 2) =(1, 3)(1, 2) = (1, 2, 3) e Den inverse til en sykel Hvis =(x 1,...,x n ) er en sykel, så vil den inverse permutasjonen 1 også være en sykel, og den er naturlig nok gitt ved å skrive sekvensen i omvendt rekkefølge: 1 =(x n,x n 1,...,x 2,x 1 ). Faktorisering i disjunkte sykler Vi skal i dette avsnittet se at enhver permutasjon kan skrives som en sammensetning av disjunkte sykler. Å faktorisere permutasjoner slik, er en svært nyttig teknikk for å forstå dem, og den brukes hele tiden. Det er lengden av syklene som inngår i faktoriseringen, som bestemmer permutasjonens gruppeteoretiske egenskaper. En slik oppspalting er til og med entydig opptil rekkefølgen av de disjunkte syklene, de kommuterer jo, slik vi så. 8

Banen til en permutasjon La nå X være en mengde og la være en permutasjon av X. Plukk ut et punkt x 2 X og la undermengden B (x) være definert ved B (x) ={ k (x) k 2 Z } Mengden B (x) består av bildet k (x) av x under alle itererte anvendelser av og alle itererte anvendeler av 1.DersomX er endelig, kan vi erstatte Z med N [{0} i definisjonen, og B (x) består av alle itererte bilder av : B (x) ={ k (x) k 2 N [{0}}. Det vet vi fordi når Sym(X) er endelig, er av endelig orden, og 1 = r for et passende naturlig tall r. Vikanskrive B (x) ={x, (x), 2 (x),..., a 1 (x)} (;) der a er det minste naturlige tall slik at a+1 (x) =x, ogmankandalettsjekkeat elementene i oppramsingen alle er forskjellige, i.e., i (x) 6= j (x) om 0 apple i<j<a. Mengden B (x) kalles for banen til x under. Dersom m er helt tall, vil så klart k + m gjennomløpe alle hele tall når k gjør det. Derfor har vi B (x) =B ( m (x)) (R) for alle m 2 Z. Eksempel. Ser vi på permutasjonen iforrigeavsnittvilbanentil2 være mengden B (2) = {2, 4} siden vi fra definisjonen kan slutte at (2) = 4, at 2 (2) = 2 og at (1) = 5 og 2 (1) = 1 viser at B (1) = B (5) = {1, 5}, mensb (3) er redusert til {3} siden 3 er et fikspunkt. Denne permutasjonen kan repreenteres som sammensetningen (1, 5)(2, 4) av syklene (1, 5) og (2, 4). Strengttattburdeviogsåtamedifsktoriseringen sykelen (3) som bare består av ett element, men konvensjonen er å utelate slike. 1 2 3 4 5 Eksempel. La oss også se på eksemplet som er tegnet opp på side xxx. Der deles I 5 = {1, 2, 3, 4, 5} opp i to baner, nemligb (2) = B (3) = B (4) = {2, 3, 4} mens B (1) = B (5) = {1, 5}. Viharat =(2, 3, 4)(1, 5): 9 e

1 2 3 4 5 Ser vi på figurene i de to foregående eksemplene, er det klart at banene er disjunkte. De danner partisjoner av mengden I 5.Detteergenereltfenomensomerenviktig egenskap baner har: Setning 6 Anta at er en permutasjon av mengden X. BaneneB (x) danner en partisjon av X når x gjennomløper X. Bevis: Siden x = 0 (x), erx 2 B (x) og banene dekker X. Oppgavenvårerderfor å vise at to baner enten er disjunkte eller like det var en flere ekvivalente karakteriseringer av en partisjon. Så anta at x og y er to elementer fra X slik at B (x) \ B (y) 6= ;. Detbetyratvihar i (x) = j (y) for to hele tall i og j. Derforer B (x) =B ( i (x)) = B ( j (y)) = B (y) etter likheten (R) påforrigeside. o e Oppgave 4. Man kan definere banene til en vilkårlige undergruppe av Sym(X) og ikke bare sykliske, slik vi har gjort så langt. La H G være en undergruppe og la x 2 X være et element. Vi lar banen til x under H være definert ved B H (x) ={ hx h 2 H }. Vis at { B H (x) x 2 X } danner en partisjon av X. Sym(X) X Banenen til en syklisk permutasjon La nå = (x 1,...,x a ) være en syklisk permutasjon av lengde a. Viskalidenne paragrafen bestemme alle banene til.deeravtotyper.fordetførste,omx2x er et element som ikke er med i sekvensen (x 1,...,x a ),såerxet fikspunkt for,ogsåledes er banen til x redusert til x selv, i.e., B (x) ={x}. Fordetandre,elementenex i fra sekvensen ligger alle i samme bane siden i 1 x 1 = x i.detbetyratdendefinerende sekvensen selv utgjøre en bane: B (x i )={x 1,...,x a }. Konklusjonen er at alle banene til på én nær, består av ett punkt, og denne ikketrivielle banen består presis av elementene i sekvensen som definerer. Omvending av dette gjelder også. Vi har: Setning 7 En permutasjon har én ikketriviell bane. av elementene i X er syklisk hvis og bare hvis den kun 10

Bevis: Det er hvis-delen av utsagnet som vi ikke har argumentert for. La være en permutasjon av elementene i X slik at med unntak av en, så er alle banene til ettpunktsmengder. La videre B (x) være den ikketrivielle banen. Ovenfor på side 9 etablerte vi likheten (;) somfortellerossat B (x) ={x, (x), 2 (x),..., a (x)}, der a er det minste naturlige tallet slik at a+1 (x) =x, ogderalleelementeneer forskjellige. Det er nå klart at er den sykliske permutasjonen definert av sekvensen (x, (x), 2 (x),..., a (x)). o Faktorisering i disjunkte sykler Permutasjonene vi studerte i eksemplene 4 og 5 på side 9 var begge to et produkt av disjunkte sykler. Denførstesåslikut(1, 5)(2, 4)(3) og den andre slik (2, 3, 4)(1, 5). Det er generelt riktig at enhver permutasjon kan skrives som et slikt produkt av disjunke sykler. Dette er en nyttig måte å fremstille permutasjoner på. Den gjør det rimelig lett åfå oversikt over hvordan de virker, og ikke minst er mange av deres gruppeteoretiske egenskaper bestemt av denne faktoriseringen. De disjunket permutasjonenen som inngår er entydig bestemt, og siden de er disjunkte,kommuter de. Det fremgår tydelig fra eksempelene 4 og 5 at de disjunkte syklene i faktoriseringene kan leses ut av banene. Ogdetprinsippetskalvibyggedetgenerellebevisetpå.Vihar: Teorem 1 Gitt en endelig mengde X. Enhverpermutasjon som et produkt = 1 2... t 2 Sym(X) kan skrives der 1, 2,..., t er disjunkte sykler. De kommuterer og er entydig bestemt av. Bevis: La B 1,...,B t være de forskjellige ikketrivielle banene til,detvilsibanene med mer enn ett element. Siden alle banene danner en partisjon, er disse banene parvis disjunkte. Hver av dem definerer en sykel som vi kaller i. Denergittved ( (x) om x 2 B i i(x) = x om x 62 B i og det er klart at i er en sykel siden den kun har én ikketriviell bane, og syklene 1, 2,..., t er disjunkte. La oss argumentere for at = 1 2... t. Antax ligger i B m.davilogså (x) = m (x) ligge der, og de andre syklene i, medi 6= m, beveger hverken x eller (x). Derforer (x) = 1 2... t(x). o Eksempel. Vi ser på permutasjonen i S 7 som er gitt ved 1 2 3 4 5 6 7 = 3 5 4 6 2 1 7 Da er =(1, 3, 4, 6)(2, 5) faktoriseringen av idisjunktesykler. 11

1 2 3 4 5 6 7 e Fortegnet til en permutasjon Man kan snakke om fortegnet til en permutasjon, og ved hjelpav det, kan man dele permutasjonene inn i to klasser, de odde og de jevne. Fortegnetsign( ) til en permutasjon 2 S n er enten 1 eller 1. Dereretelementigruppenµ 2 = {±1}. Viskaletteråha definert fortegnet, vise at fortegnet er multiplikativt, i.e., sign( ) =sign( )sign( ), som er en fundamental egenskap til fortegnet. En annen måte å formulere det på er å si at fortegnet definerer en gruppehomomorfi sign: S n! µ 2. Det er en rekke mulige måter å defininere fortegnet til en permutasjon på. Alle er selvsagt ekvivalente, så det er mest snakke om å bestemme seg for hva som skal være høne og hva som skal være egg. Vi skal følge en fremgangsmåte som baserer seg på polynomet (x 1,...,x n )= Y (x i x j ), 1applei<japplen der x 1,...,x n er (relle) variable. Vi har tidligere, i eksempel 1påside2,snakketom hvordan S n virker på funksjoner ved å permutere de variable. Vi lot f (x 1,...,x n )= f(x (1),...,x (n) ). Vi anvender nå dette på og finner (x 1,...,x n ) = (x (1),...,x (n) )= Y 1applei<japplen (x (i) x (j) ). Nå er faktorene i polynomene og opptil fortegn de samme det eneste vi muligens har gjort, er å bytte om x i og x j såvikandefinerefortegnetsign( ) til ved likheten =sign( ). Da er sign( ) 2 µ 2.Vikallerenpermutasjon for odde om sign( )= 1, ogdener jevn dersom sign( )=1. 12

Setning 8 Fortegnet er multiplikativt. Det vil si at sign( ) = sign( )sign( ) for alle permutasjoner og fra S n.videreersign(id) = 1 og følgelig er sign( 1 )= sign( ). Bevis: Vi har følgende serie av likheter som viser setningen: sign( ) = =( ) =(sign( ) ) =sign( ) =sign( )sign( ). Som sagt, betyr dette at sign: S n! µ 2 er en gruppehomorfi. Kjernen er en undergruppe og består av alle de jevne permutasjonene. Den kalles den alternerende gruppen på n bokstaver og betegnes med A n.oftekalleshomomorfiensign: S n! µ 2 for den alternerende karakteren. La oss nå se på et viktig spesialtilfelle som i utgangspunktet kan virke svært spesielt, men vi skal se at det har mange konsekvenser. Vi skal finne fortegnet til den enkleste av alle permutasjoner, nemlig transposisjonen (1, 2),menbetraktetsomelementigruppen S n.detgjørvivedåordnefaktorenetil på følgende måte: =(x 1 x 2 ) Y 3appleiapplen (x 1 x i )(x 2 x i ) Y 3applei<japplen (x i x j ). Bytter vi nå om x 1 og x 2,vildenførstefaktorenx 1 x 2 skifte fortegn. De to faktorene x 1 x i og x 2 x i vil bytte plass, men det influerer ikke på fortgnet, og resten av faktoren er uberørt av ombyttingen. Det betyr at skifter fortegn, og vi har funnet at sign((1, 2)) = 1, og(1, 2) er en odde permutasjon. Det gjelder generelt at: Setning 9 Enhver transposisjon (i, j) 2 S n er odde. Bevis: Vi skal tilbakeføre påstandet til transposisjonene (1, 2). Forågjøredetlarvi være permutasjonen =(1,i)(2,j), somaltsåbytter1 med i, og2 med j. Vibenytter o oss av likheten 3 (1, 2) 1 =(i, j), som gir at sign((i, j)) = sign((1, 2)) sign( ) 2 = 1. o 3 Tenk på avbldningen som en nummerering av paret (i, j), medi som nummer en og j som nummer to. Da er det opplagt at å bytte om 1 og 2 tilsvarer ombytting av i og j. 13

Faktorisering i produkt av transposisjoner Det er velkjent fenomen fra hverdagslivet at enhver ombytting av gjenstander kan gjennomføres som en sekvens av ombyttinger av to og to. Så også i matematikken. Vi har følgende likhet (1, 2, 3,...,n)=(1,n)(1,n 1)...(1, 3)(1, 2) For å innse det, mater vi høyresiden som vi betegner med - med et tall k mellom 1 og n, ogundersøkerhvaoutputer.omk = n, skjeringentingmedn før vi kommer til den siste transposisjonen, og den erstatter n med 1. Detbetyrat (n) =1. Om k =1,vildenførstetransposisjonen(1, 2) sende 1 på 2, meningenavderesterende ineholder 2, så (1) = 2. Antasåatk ligger mellom 2 og n 1. Forågjøredettydligere hva som skjer skriver vi ut på følgende måte: =(1,n)(1,n 1)...(1,k+1)(1,k)...(1, 3)(1, 2) Mates nå k inn fra høyre, skjer ingenting med k når vi suksesivt anvender transposisjonene, før vi kommer til (1,k). Daforvandlesk til 1, somumiddelbartetterforvandles til k +1.Ingenavdepåfølgendetransposisjoneninneholderk +1,såk +1overlever uforandret. Derfor er (k) =k +1. Vi har vist (k) =k +1for k < n og at (n) =1, i.e., =(1, 2, 3,...,n). Ved et nå standard nummereringstriks følger det at Setning 10 La x 1,...,x n være forskjellige elementer fra en mengde X. Daer (x 1,...,x n )=(x 1,x n )(x 1,x 2 )...(x 1,x 3 )(x 1,x 2 ) Og kombinerer vi dette resultatet med teorem 1 på side 11 som sa at enhver permutasjon er et produkt av disjunkte sykler, finner vi Teorem 2 Enhver permutasjon er et produkt av transposisjoner. Det er et par viktig bemerkninger å gjøre til dette teoremet. For det første kommuterer ikke to transposisjoner med mindre de er disjunkte. Man sjekker lett at (a, b)(a, c) =(a, c, b). Den andre viktige kommentaren er at en fremstiling av en permutasjon som en sammensetning av transposisjoner ikke er entydig. Det mest banale eksemplet er at id = (1, 2)(1, 2). Vilmanhaetnoemerelaborerteksempel,er(a, b)(a, c) =(c, a)(c, b). Antallet transposisjoner som trenges er heller ikke entydig, men pariteten er: Setning 11 Anta at = 1... n der i er transposisjoner. Da er sign( )=( 1) n. Derfor er n odde om er en odde permutasjon og n er jevn om er jevn. 14

Bevis: Dette følger direkte av at fortegnet er multiplikativt og av at transposisjoner er odde: ny sign( )= sign( i )=( 1) n. i=1 Odde og jevne sykler Man skal være oppmerksom på følgende påstand som kan virke paradoksal. Vi har allerede observert fenomenet i det enkle tilfellet at syklen er en transposisjon, som vi jo så var odde: Setning 12 En sykel av odde lengde er jevn. En sykel av jevn lengde er odde. Bevis: Dette følger direkte av faktoriseringen av en sykel slik vi gjorde i setning 10 på side 14, derensykelavlengden ble skrevet som et produkt av n 1 transposisjoner. o o Nabotransposisjoner IdensymmetriskegruppenS n,somjopermuterertallenemellom1 og n, erdetnoen særmerkede transposisjoner som kalles for nabotransposisjoner. Det er de som er på formen (k, k +1),med1 apple k<n.debytteraltsåomtonaboeroglaralleandretall iro.dettebegrepeterspesifiktforgruppens n og har ikke mening i det d generelle tilfellet Sym(X), med mindre vi har ordnet elementene i mengden X på et vis. Teorem 2 forteller oss at en hver permutasjon kan skrives som et produkt av transposisjoner, eller sagt annerledes transposisjonene genererer S n.deteravinteresseå finne små generatormengder, og vi kan gjøre det langt bedre enn å måtte bruke alle de n(n 1)/2 transposijonene. Vi skal vi se at det holder med n 1 transposisjoner, om de velges smart: Setning 13 En hver permutasjon i S n kan skrives som et produkt av de n transposisjonene (1, 2), (1, 3),...,(1,k),...,(1,n). Bevis: De er nok å påpeke, siden vi har teorem 2 på forrige side, at følgende sammenheng gjelder: (i, j) =(1,i)(1,j)(1,i). Et av engenskapene til nabotransposisjonene, er at de genererer S n,detvilsiat enhver permutasjon også er et produkt av nabotransposisjoner: o 1 nabo- Setning 14 Enhver permutasjon i S n kan skrives som et produkt av de n transposisjonene: (1, 2), (2, 3), (3, 4),...,(k 1,k),...,(n 1,n). 15

Bevis: Vi har likheten (1,k)=(1,k 1)(k 1,k)(1,k 1) som man lett sjekker ved å mate høyresiden med 1, k 1 og k. Detfølgerved induksjon på k at enhver permutasjon på formen (1,k) kan skrives som et produkt av nabotransposisjoner, og vi kan avslutte beviset med setning 13 på forrige side. o Oppgaver Oppgave 5. Skriv (a 1,a 2,...,a r )(a 1,b) som et produkt av disjunkte sykler. Oppgave 6. Skriv (a 1,...,a r,x,y,b 1,...,b s )(a r,...,a 1,x,y,c 1,c 2,...,c t ) som et produkt av disjunkte sykler Oppgave 7. La være en permutasjon i S n.visatvidaharrelasjonen (1, 2, 3,...,k) 1 =( (1), (2),..., (k)). Hint: Mat høyresiden med tallene 1, 2, 3,...,k. Oppgave 8. Vis at om =(1, 2,...,n) så er k (1, 2) k =(k +1,k+2) for hele tall k med 0 apple k apple n 2. Brukdettilåviseat og (1, 2) genererer S n. Versjon: Wednesday, January 30, 2013 4:14:30 PM 16